Outils mathématiques pour tester la fiabilité des émetteurs UM7 Jeudi 27 septembre 27 Marc Menicucci, SNCF, I&R, GDA Maître de stage : Rachid Ziani, SNCF, I&R, GDA
Thème de stage / déroulement du stage Projet Optifra Appareils de signalisation subissent des incidents Retards de train Coûts, insatisfaction clientèle Étude des durées de vies par retour d expérience par méthodes classiques : estimation par Kaplan Meier, estimation par la méthode du hazard plotting Étude des durées de vies par le modèle de Bertholon Détermination de la politique de maintenance optimale
Plan Statistique descriptive des durées de vies des émetteurs UM7 Estimation non paramétrique de la fiabilité des UM7 Estimation paramétrique par méthode du «hazard plotting» Estimation paramétrique par le modèle de Bertholon Définition d une politique de maintenance Simulation des conséquences de la politique de maintenance appliquée Conclusion et préconisations 2
Base de données de l étude n série Symbole Ligne Lettre série pk Censure ordre Durée de vie (ans) Durée de stock (ans) Région Nb train an S 75 A 33, 5,63, Clermont 269 S 57 A 449,38 2 2,49 2,57 Bordeaux 22726 2 S 64 A 7,27,3 2,65 Bordeaux 362 3 S 8 A 7,8 2 3,34,67 Montpellier 82 4 S 8 A 658,3,82,6 Lyon 99 5 S 9 A 26,4,5, Chambéry 6759 5 S A 82,6 2 6,33,24 Paris Est 7 Une ligne pour chaque vie des UM7 Durée de vie = - signifie que l UM7 n a pas encore été mis en fonction active Censure = signifie que l UM7 n a toujours pas eu d accident dans la vie considérée Censure = signifie que l UM7 a eu un accident ou qu il est déclassé 3
Statistique descriptive des durée de vies Ci-contre la répartition des émetteurs UM7 tombés en panne La moyenne des durées de vies, en tenant compte des données censurées est.95 ans Nombre de pannes par année de fonctionnement 4
Étude descriptive des différentes vies Effet du nombre de réparations subies : Moyenne Médiane Variable d analyse : durée de vie 4 2 Numéro de vie Vie Nombre d UM 2236 Moyenne (ans) 2.5 Médiane (ans).46 8 Vie 2 943.46.64 6 Vie 3 33 9.57 9.59 4 Vie 4 622 6.98 6.87 2 Vie 5 7 4.4 4.72 Vie Vie 2 Vie 3 Vie 4 Vie 5 On voit une importante diminution de la durée de vie entre les UM7 neufs et réparés (6%). 5
Modélisation de la fiabilité des émetteurs UM7 Fiabilité différente selon le nombre de réparations subies La lettre de série informe sur la technologie des appareils, fiabilité différente suivant la lettre de série Les séries s et s2 représentent près des deux tiers de la population actuelle et les trois quarts de la population totale des détecteurs Nous n exposerons que les émetteurs neufs série s 6
Rappels de fiabilité Soit Te une variable aléatoire qui modélise le temps de panne d un émetteur Fiabilité (ou survie) : R(t) = P(Te>t) avec Te le temps de panne de l émetteur E T E T E Taux de panne instantané : R( t) = F( t) = P( TE > t) P T λ( t) = lim h ( [ ]) ( ) E t, t + h P TE > t Mean up time au temps t : MUT( t) t = R( x) dx 7
Estimation non paramétrique de la fiabilité Représentation de la fiabilité par l estimateur de Kaplan-Meier (Annexe) R( t) = P( TE > t) Summary of the Number of Censored and Uncensored Values Total 522 Failed 4588 Censored 632 Percent Censored 2. Statistiques (en années) Moyenne 25% de pannes 5% de pannes 75% de pannes.8 5.8.86 6.3 (en années) 8
Représentation du taux de hasard Représentation du taux de panne par la méthode actuarielle Moyenne (.8 ans) 257 UM7 sont encore en vie après 9 ans, soit 4.9% 9
La méthode du «hazard plotting» Annexe2 Méthode qui consiste à trouver la transformation de notre fonction de survie empirique qui s approche le plus d une droite. Transformations les plus utilisées : celles de la loi Exponentielle et de Weibull. Modèle Exponentiel : -log(r) = a*t + b Modèle de Weibull : log(-log(r)) = c*log(t) + d R_ =.72 R_ =.88 Ici, le Modèle de Weibull est sélectionné.
Estimation des paramètres de la loi Weibull Estimation des paramètres par maximisation de la vraisemblance ou de la log-vraisemblance : ( ) = = 522 ) ( ) ( ) ( i i i i i t S t f L ε ε θ i i W i W W W W t t t L ε β ε β β η η η η β β η = = 522 exp exp * ), ( = ε i = ε i : donnée censurée : donnée non censurée Loi de Weibull :
Modèle paramétrique : résultat Paramètre de forme :.43 Paramètre d échelle : 2 ans Trouver une autre loi plus précise : modèle de Bertholon 2
Modèle de Bertholon : présentation Annexe2 B =Min(EXP, WEIB décalée) Pas de maximum à la vraisemblance et de forme précise Algorithme EM, Maximisation de la vraisemblance conditionnelle η E β t t + ηw ηw β Estimation des paramètres : η E η, et W β /η E t t Sélection du la vraisemblance qui maximise 3
Modèle de Bertholon : résultat Estimations : t =.7ans, ηe =9. 53ans η W =6.85ans, β = 4.88 4
Intégration de variables explicatives Expression d un paramètre comme régression de variables extérieures : X = x... η E t = exp( Α X ) = exp( α + αx α Α = α... Où sont les variables et sont les coefficients associés Weibull : Estimation des paramètres par maximisation de la vraisemblance Bertholon : Estimation par l algorithme EM, par maximisation de la vraisemblance conditionnelle Pas de changements sur le temps de cassure + 3 variables prises en compte : la vitesse nominale de la ligne, le nombre de trains journaliers et la durée de stockage t...) 5
Influence des variables : vitesse nominale, nombre de trains journaliers et durée de stockage Ces 3 variables influencent négativement la durée de vie. Pas d intervalle de confiance de leur estimation Pas de tests de significativité Test de ces variables avec la loi de Weibull : mêmes conclusions, variables significativement non nulles sauf la durée de stockage. 6
Politique de maintenance Les émetteurs connaissent effectivement un vieillissement Définition du temps optimal de remplacement : modèle de Kelly Étude de l impact de la politique de maintenance choisie 7
VII - Fonction de coût : série BCC neuve C d = 2 C CM ( t) = C d C R MUT(t) CM (t) euros *( R( t)) C MUT( t) d + R * R( t) : Coût d une défaillance : Coût d un renouvellement : Durée de vie moyenne au temps t. : Coût moyen par unités de temps est fixé à C R Si = 6 : C d Temps optimal est 6 ans Taux de panne en pleine montée exponentielle Si = 2 : C d Temps optimal est 4 ans Taux de panne commence à augmenter 8
Impact de la politique : simulations Réalisation de plusieurs simulations Simulations avec ou sans politique de maintenance préventive selon la loi de Bertholon trouvée précédemment Arrêt des simulations à 5 ans Application des coûts définis au départ Regroupement des simulations L écart dû au hasard des simulations est faible 9
Résultats des simulations Le pourcentage de pannes évitées est très variable selon les années. Ceci est certainement dû aux remplacements préventifs de masse. Le gain sera stabilisé au bout d un grand nombre d années On peut apprécier cidessous les gains financiers cumulés comparés sur plusieurs simulations. On peut voir qu on est rentable à partir de 8 années. Au bout d un temps long, les gains suivent une droite linéaire On remarque une nette diminution du nombre de pannes par rapport à la politique de maintenance actuelle. Ceci est à mettre en confrontation avec le nombre de remplacements 2
Résultats des simulations : chiffres Gain en Régularité de trafic : 33.3% de pannes en moins sur 5 ans Pas de perte d argent, très peu de bénéfices aussi. 2498 sur 5 ans, soit 7% de la somme totale dépensée pour l entretien des UM7 sans maintenance préventive Politique rentable à partir de 8 années d application 2
Diminution du coût de la défaillance Coût de défaillance réévalués à 6 euros Temps optimal de prévention : 6 ans Gain de panne : 22.2% Gain financier : 8554 sur 5 ans, soit 3% de la somme totale dépensée en entretien des UM7 sans maintenance préventive Rentable à partir de années de fonctionnement 22
Revenons au modèle de Weibull Que ce soit pour la série s ou la série s2, pour un coût de défaillance de 6 ou 2 euros, la fonction de coût n a pas de minimum Ceci signifie que le temps optimal de prévention est à l infini, donc il ne faut pas appliquer de politique de maintenance préventive 23
Conclusion Préconisations / limites Classifier les émetteurs forte et faible puissance Intégration des variables influentes dans le modèle de Bertholon à améliorer Étude de la pertinence de la réparation Simulation => Équation de renouvellement Extension de l étude à d autres appareils de signalisation 24
Je vous remercie de votre attention Des questions? 25
Annexe : Estimateur de Kaplan Meier Retour p7 C est un estimateur empirique. Il se base sur l effectif de la population restante à l instant ainsi que sur le nombre de pannes au même instant. Product-Limit Survival Estimates dureeviean. Survival. Failure Survival Standard Error Number Failed Number Left 522..992.88.29 46 574. *... 46 573.27... 47 572.27.998.92.32 48 57 26.475.54.9995.363 4587 2 26.8282 *... 4587 28.45. 4588 Rˆ ( t) = ( i i: T t n i + i δ ) 26
Annexe 2 : Formules associées au modèle de Bertholon retour p. retour p.2 Fiabilité d une loi exponentiel : Fiabilité d une loi de Weibull décalée: R E R W t ηe ] β ] Fiabilité de Bertholon : R R B(t) = exp[- - ]si t > η E ηw (t) = exp[- B t η E t t ] si t - t t - t (t) = exp[- ηw (t) = exp[- t β t Taux de panne associé au modèle de Bertholon : η η si t t β t t + η η β si t > t 27