FONCTIONS AFFINES ET LINEAIRES I. Définition Une fonction affine une fonction f définie sur IR par f(x) =.. où a et b désignent deux réels Cas particulier : Si b = 0, f(x) =.. La fonction f est dite. Si a = 0, f(x) =... La fonction f est.. Remarques : - La fonction f est définie sur IR signifie que «pour tout x réel, f(x) = ax + b» - Une fonction linéaire est une fonction affine mais une fonction affine n est pas forcément linéaire! - Une fonction affine désigne le procédé : «Je multiplie par a puis j ajoute b» - Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité II. Représentation graphique 1. Représentation graphique, équation de droite La représentation graphique d une fonction affine f : x ax + b est. a est appelé. et b s appelle - Si la fonction est linéaire, cette droite - Si la fonction est constante, cette droite.. Remarques : - La droite passe par le point de coordonnées (0 ; b). D où le nom d ordonnée à l origine. - Dans le chapitre 1, nous avons vu que la courbe représentative d une fonction f a pour équation : y = f(x). Ici, on dira que la droite a pour équation : y ax b. (Cf. Géométrie : Droite du plan) 2. Déterminer algébriquement le coefficient directeur a Soit la fonction affine f : x ax + b. f ( x Pour tout nombres réels x 1 et x 2 distincts : a = 2 ) f ( x1 ) x2 x1 Démonstration :
3. Sens de variation (ADMIS) Soit f une fonction affine définie sur IR par f(x) = ax + b. Si a < 0, f est.. Si a = 0, f est.. Si a > 0, f est.. 4. Signe d une fonction affine Soit f une fonction affine définie sur IR par f(x) = ax + b. x est obtenu en résolvant l équation ax b 0 0 Exemple : Etudier le signe de la fonction affine f définie sur IR par f(x) = -2x + 3 On résoud l inéquation 2x 3 0 On peut alors obtenir le tableau de signe de f : x Signe de f(x) 0 Bilan :
FONCTIONS AFFINES - Exercices Définition d une fonction affine Exercice 1 : Complète le tableau suivant. f(x) = Linéaire (O/N) Affine (O/N) a (si affine) b (si affine) 5x-1 -x 43-7x 7-2x 3x² + 5 3-x -5x+3 17 + x x 1 4 8x 3 x 2 x 2 1 2x 6 4 16x ² 4 3 x + 1 3 x + 2 Exercice 2 : Montrer que les fonctions suivantes sont des fonctions affines : a) f : x (3x 1)(2 x 5) 6 x² 4x 1 b) g : x 4x(2x-3) 8x² - (8x -5) c) h: x (2x 1)(2x + 1) - (2x - 5)² d) i : x 2x-5 2x+5 3 Exercice 3 : 1) Le prix des tomates au marché est de : 3,5 euros le kg. Déterminer le prix P(x) (en euros) en fonction de la quantité x(en kg) de tomates choisie 2) Sur internet, un site informatique vend 15 euros la cartouche auquel on ajoute 40 euros pour les frais de livraison (quelque soit le nombre de cartouches livrées). Exprimer le prix P(x) (en euros) en fonction du nombre x de cartouches. 3) Sur une publicité pour téléphonie mobile est écrit : 0,15 euros/sms + forfait 9 euros par mois. Un client choisit cette offre. Exprime la facture mensuelle (en euros) que paye le client en fonction du nombre x de sms envoyés. 4) Voici le salaire d un gardien de musée : Il est payé 5 euros de l heure auquel on ajoute en début de chaque mois un versement fixe de 90 euros. Exprimé son salaire mensuel S (en euros) en fonction du nombre d heures effectuées pendant le mois.
Calculer une image ou un antécédent à partir d une expression algébrique Exercice 1 : 1) On considère la fonction f : x 5x + 6. Calculer l image par la fonction f des nombres suivants : -2 ; 8 ; 0 ; 3 5. 2) On considère la fonction g : x -7x - 4. Calculer l image par la fonction g des nombres suivants : 3 ; -1 ; 1 2 ; - 1 49 Exercice 2 : 1) On considère la fonction f : x -3x+4 Calculer l antécédent par la fonction f des nombres suivants : 16 ; 8 ; 0 ; 4 2) On considère la fonction g : x 6x - 2 Calculer l antécédent par la fonction g des nombres suivants : -5 ; 0 ; 1 ; -2. Exercice : Lire une image ou un antécédent à partir d une représentation graphique Représentation graphique Exercice 1 : 1) On considère la fonction f : x 2x + 1? Les points R(1 ;3) et S(-2,-5) appartiennent-ils à la représentation graphique de f? 2) Dans un repère, on donne les points A(23 ;90) et B(-16 ;-67). Les points A et B appartiennentils à la représentation graphique de la fonction affine f : x 4x-3? Exercice 2 : 1) Représenter graphiquement les fonctions affines suivantes en déterminant les coordonnées de points appartenant à sa représentation graphique : a) f 1 (x) = 3x 5 b) f 2 (x) = -2x + 3 c) f 3 (x) = - 4,5 d) f 4 (x) = 2 3 x +1 e) f 5(x) = 4 5 x -2 2) Représenter graphiquement les fonctions suivantes à l aide de l interprétation du coefficient directeur a et de l ordonnée à l origine b. a) f 1 (x) = 2x + 5 b) f 2 (x) = -x - 2 c) f 3 (x) = 3 d) f 4 (x) = 3 x -4 e) f 5 (x) = -3 x + 2 f) f 6 (x) = -4x g) f 7 (x) = x + 1
Déterminer graphiquement l expression algébrique d une fonction affine Résolution d équations et d inéquations du type f ( x) k; f ( x) k; f ( x) g( x) Exercice : On considère les fonctions affines définies sur IR par : f ( x) 5x 4; g( x) 3 x 2 1. Tracer les représentations graphiques de ces deux fonctions. 2. Résoudre graphiquement les équations f ( x) 0; g( x) 0. 3. Résoudre graphiquement les équations f ( x) 3; g( x) 5. 4. Résoudre graphiquement les inéquations : f ( x) 0; g( x) 0 5. Résoudre graphiquement les inéquations : f ( x) 3; g( x) 5 6. Résoudre graphiquement l équation : f ( x) g( x) 7. Résoudre graphiquement l inéquation : f ( x) g( x) 8. Retrouver les résultats des questions 2 à 7 par méthode algébrique
Problème 1 : Résoudre des problèmes concrets
Problème 2 : Aide : Revoir - Volume d un parallélépipède rectangle - Volume d une pyramide - Trigonométrie