Chap.4 Induction : circuit mobile dans un champ permanent 1. Circulation du champ électrique Loi de Faraday 1.1. Changement de référentiel : transformation non-relativiste des champs 1.2. Le champ électrique n est pas à circulation conservative Force électromotrice 1.3. Loi de Faraday (circuit filiforme fermé) 1.4. Schéma équivalent d un conducteur filiforme en présence d induction 1.5. Exemple : Rail de Laplace 1.6. Loi de Lenz (loi de modération) 2. Force de Laplace Couplage électromécanique 2.1. Force de Laplace (+ Rappels effet Hall) 2.2. Couple résultant des forces de Laplace 2.3. Travail des forces de Laplace Conversion électromécanique de puissance 3. Applications au haut-parleur 3.1. Modélisation 3.2. Equations mécanique et électrique 3.3. Illustration de la conversion électromécanique de puissance Intro : On peut distinguer deux situations extrêmes en induction. Soit le circuit est fixe et le champ magnétique variable : c est l induction de Neumann. Soit le circuit est mobile et le champ magnétique est permanent (pas nécessairement uniforme) : c est l induction de Lorentz. Dans le cas général (hors programme), ces deux aspects doivent être pris en compte simultanément. Dans le cas d un circuit mobile, on va aussi s intéresser au couplage électro-mécanique. En plus de l aspect électrique (fém induite), on étudiera l aspect mécanique : l effet des forces de Laplace sur le mouvement du circuit. 1. Circulation du champ électrique Loi de Faraday 1.1. Changement de référentiel : transformation non-relativiste des champs Dans le référentiel R d étude, le champ électromagnétique est supposé permanent. On se place dans le référentiel R d un conducteur en mouvement. La force de Lorentz et la charge électrique étant invariantes par changement de référentiel, en déduire l expression du champ électromagnétique dans le référentiel R. 1.2. Le champ électrique n est pas à circulation conservative Force électromotrice Le champ électrique n est (toujours) pas un champ de gradient en régime variable. Définition du champ électromoteur 1
Définition fém (en volts) Contrairement au chapitre précédent, il est souvent facile de calculer le champ électromoteur, et cette définition permet souvent en pratique de calculer la fém induite. 1.3. Loi de Faraday (circuit filiforme fermé) Dans le cas particulier d un circuit filiforme fermé, ou dont l ouverture est étroite devant la longueur du circuit : Loi de Faraday où est le flux du champ magnétique à travers le circuit. La surface doit être orientée de manière cohérente avec le sens du courant (donc de la fém). Dans le cas d un circuit mobile dans un champ permanent, cette loi est admise. On notera qu en induction, il y a finalement trois manières de faire varier le flux magnétique : soit en modifiant le champ, soit en déformant le circuit, soit en déplaçant le circuit dans un champ non-uniforme. Si c est le circuit qui se déforme, il ne doit pas subir de discontinuités lors de sa déformation. 1.4. Schéma équivalent d un conducteur filiforme en présence d induction Cas d un circuit non-fermé En présence d un champ magnétique variable, entre deux points A et B du conducteur : Il faut simplement mémoriser le schéma électrique équivalent entre A et B du conducteur soumis à l induction : une résistance en série avec une source idéale de tension (fém ) orientée en convention générateur. La seule façon de calculer la fém est d utiliser l expression du champ électromoteur (ou la notion de «flux coupé», mais hors programme). Cas d un circuit fermé (ou dont l ouverture est très petite devant la longueur du contour) L expression ci-dessus tient toujours, mais il est préférable de calculer la fém grâce à la loi de Faraday. 1.5. Exemple : Rail de Laplace Un circuit fermé par une barre mobile (rail de Laplace) baigne dans un champ magnétique permanent et uniforme. A, la barre est lance avec une vitesse initiale. Déterminer la fém induite dans le circuit par le mouvement de la barre. 2
1.6. Loi de Lenz (loi de modération) En finissant l étude de l exemple du rail de Laplace, on montrera que cette loi de modération est encore valable. Loi de Lenz Les conséquences de l induction tendent à s opposer aux causes qui lui ont donné naissance. 2. Force de Laplace Couplage électromécanique On prend comme exemple concret l étude du rail de Laplace. 2.1. Force de Laplace (+ Rappels effet Hall) Rappeler avec des mots ce qu est la force de Laplace. Donner l expression de la force appliquée à une portion élémentaire d un circuit filiforme Donner son expression dans le cas d un conducteur tridimensionnel (Rappels 1) Effet d un champ magnétique constant sur la conduction électrique : Effet Hall On considère un tronçon rectangulaire de conducteur d épaisseur a (selon la verticale), de largeur b, et de longueur L. Le conducteur est soumis à un champ électrostatique selon sa longueur. Un champ magnétostatique uniforme est appliqué verticalement. Expliquer qualitativement le mouvement des électrons lors du régime transitoire. En régime permanent, les électrons se déplacent le long du conducteur. En déduire l existence à l intérieur du conducteur d un champ électrostatique, dit champ de Hall, dirigé selon la largeur du conducteur. On précisera son sens. En régime permanent, ce champ de Hall compense exactement l effet du champ magnétique sur les électrons. En déduire l expression du champ de Hall en fonction de et. A ce champ de Hall est associé un potentiel électrostatique. La différence de potentiel entre les deux faces latérales du conducteur s appelle la tension de Hall. Etablir l expression de la tension de Hall en fonction de. Donner l ordre de grandeur de cette tension dans le cas du cuivre (0,1 mm d épaisseur, 1 Tesla, 5 A). Remarques : Cette tension de Hall est proportionnelle au champ magnétique appliqué. L effet Hall permet donc de mesurer des champs magnétiques. Vu la très faible valeur de la tension de Hall dans le cas d un métal, on utilise plutôt des semi-conducteurs, de densité de porteurs de charge fois plus faible. On notera aussi que le signe de la tension de Hall renseigne sur le signe des porteurs de charge mobiles!! (Rappels 2) Conséquence : Force de Laplace appliquée au conducteur On fait un bilan des forces appliquées au tronçon de conducteur. On rappelle que le conducteur est constitué des électrons de conduction et des cations du réseau. Faire le bilan des forces appliquées au conducteur par unité de volume, dans la situation étudiée au paragraphe précédent. Donner l expression de la force résultante appliquée au conducteur. 3
Un conducteur traversé par un courant est soumis, en présence d un champ magnétique, à la force de Laplace, qui est la résultante des forces électrique et magnétique appliquées aux porteurs de charge mobiles ainsi qu aux ions du réseau. Un volume élémentaire est soumis à la force élémentaire : Une portion d un circuit filiforme est soumise à la force élémentaire : Pour avoir la force de Laplace totale appliquée à un morceau de conducteur, il suffit alors d intégrer selon le volume du conducteur (modélisation volumique), ou selon la longueur de circuit considérée (modélisation linéique, circuits filiformes). (Rappels 3) Résultante des forces de Laplace En considérant un circuit rectangulaire, montrer que la résultante est nulle si le champ est uniforme. Montrer qu en général la résultante n est pas nulle. Dans le cas du rail de Laplace, exprimer la force résultante de Laplace exercée sur le rail en déplacement. Expliquer en quoi la direction et le sens de cette force est une illustration de la loi de Lenz. 2.2. Couple résultant des forces de Laplace Dans le cas d un champ uniforme et vertical, donner l expression du couple exercé sur un cadre rectangulaire vertical, pouvant tourner sur lui-même par rapport à son axe central. 2.3. Travail des forces de Laplace Conversion électromécanique de puissance (Admis) Ce que l on démontre dans le cas particulier du rail de Laplace est un résultat général. On néglige les forces de frottements et la résistance du circuit. Déterminer la puissance mécanique reçue par la barre sous l effet des forces de Laplace. Déterminer la puissance électrique fournie par la fém induite au circuit. Comparer les deux termes et conclure. 3. Applications au haut-parleur 3.1. Modélisation L équipage mobile de masse m est constitué d un solénoïde de longueur totale l placé dans un champ B radial et stationnaire, et solidaire d une membrane. Il est soumis : à son poids ; à une réaction du support normale au déplacement car sans frottement sec ; à une force de rappel de la membrane, modélisée par F = -k.z.u z ; dz à une force de frottement fluide f uz ; dt traduisant l émission sonore ; 4
3.2. Equations mécanique et électrique Déterminer l EDiff vérifiée par Comment modéliser électriquement le bobinage en tenant compte des effets de l induction? Déterminer l EDiff vérifiée par 3.3. Illustration de la conversion électromécanique de puissance Effectuer deux bilans de puissance : le premier mécanique, le second électrique. Interpréter physiquement chacun des termes, et discuter à nouveau de la conversion électromécanique de puissance Notions clefs Savoirs : Expression champ électromoteur et définition de la fém induite Loi de Faraday dans le cas d un circuit filiforme Loi de Lenz Expression forces linéiques de Laplace Savoirs faire : Savoir dessiner le schéma électrique équivalent d un circuit en présence d induction (fém!) Savoir orienter le courant, et la surface sous-tendue par le circuit de manière cohérente (tire-bouchon) Savoir orienter la fém en convention générateur dans le schéma élec équivalent pour utiliser les formules Savoir calculer la résultante des forces de Laplace sur un tronçon de conducteur (cas simples uniquement) Savoir calculer le moment résultant par rapport à un axe ( couple si champ uniforme) Savoir faire deux bilans de puissance (méca et élec) et discuter de la conversion de puissance électromécanique 5