PLANCHE-MATH statistiques MATH7- Vocabulaire et calculs I. Le vocabulaire statistique Une étude statistique est menée auprès d un ensemble d individus. On appelle population l ensemble sur lequel on effectue l étude statistique. NOTE : En statistique les termes individu et population ne se limitent pas à des personnes humaines ; ils peuvent tout aussi bien désigner des objets ou des animaux. Lorsque la population à étudier est de taille trop importante, l étude statistique devient très coûteuse en temps et financièrement. Dans ce cas, on réduit l étude à une partie de la population appelée échantillon. On appelle échantillon une partie de la population sur laquelle on réalise effectivement l étude statistique lorsque la population est trop grande pour être complètement étudiée. NOTE : Un échantillon doit être représentatif de la population (c est-à-dire avoir une taille suffisante) pour que l étude statistique soit fiable. Une étude statistique porte toujours sur un ou plusieurs caractères. On appelle caractère ce sur quoi porte l étude statistique. Exemples : la taille des personnes ; le poids des personnes ; le nombre d enfants dans les familles ; la couleur des cheveux ; Il existe deux sortes de caractères statistiques : Les caractères quantitatifs dont les valeurs s expriment numériquement ; c est-à-dire dont les valeurs sont des nombres. Exemples : La taille des personnes ; le poids des personnes ; le nombre d enfants dans les familles ; la note obtenue à un devoir, Les caractères qualitatifs dont les valeurs ne se mesurent pas numériquement. Exemples : La couleur des yeux ; la marque des voitures,
-1- Les caractères quantitatifs se divisent encore en deux groupes : Les caractères quantitatifs continus qui peuvent prendre toutes les valeurs d un intervalle. Exemples : La taille des personnes ; le poids des personnes ; l âge, Les caractères quantitatifs discrets qui ne peuvent pas prendre toutes les valeurs d un intervalle. Exemples : le nombre d enfants dans les familles ; le nombre de voitures par foyer, II. Organisation d une étude statistique Soit X le caractère (taille ; âge ; poids, ) étudié dans une population. On note alors x 1, x 2,, x p les valeurs possibles de ce caractère. On appelle effectif de la valeur x i du caractère, le nombre d individus de la population pour lesquels le caractère prend la valeur x i. NOTATION : L effectif de la valeur x i se note n i. Par exemple n 1 est l effectif de la valeur x 1 ; n 2 est l effectif de la valeur x 2 et ainsi de suite. On appelle effectif total la somme de tous les effectifs des différentes valeurs du caractère. NOTATION : L effectif total se note N et on a alors N = n 1 + n 2 +L+ n p. Les résultats de l étude statistique se regroupent alors sous forme d un tableau statistique ci-dessous : Caractère x i x 1 x 2 x p Effectif n i n 1 n 2 n p APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N 1 : Dans une école de coiffure et esthétique on a interrogé les élèves sur leur couleur préférée. Les résultats sont regroupés dans le tableau statistique ci-dessous. 1 Quelle est la population étudiée? 2 Quel est le caractère étudié? Préciser s il est quantitatif ou qualitatif.
-2-3 Calculer l effectif total. 4 Quel est l effectif de la couleur bleu? Couleur Blanc Rouge Bleu Vert Noir Nombre de personnes (effectif ni) 48 12 32 34 24 1 La population étudiée est l ensemble des élèves de l école de coiffure et esthétique. 2 Le caractère étudié est la couleur et il s agit d un caractère qualitatif. 3 L effectif total est N = 48 + 12 + 32 + 34 +24 = 150. C est le nombre total d élèves interrogés lors de l étude statistique. 4 L effectif de la couleur bleu est 32. Cela signifie que 32 élèves préfèrent le bleu. APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N 2 : Dans une classe de CAP esthétique, on a relevé les notes obtenues lors d un devoir surveillé de mathématique. Les résultats sont les suivants : 8 ; 6,5 ; 12 ; 14,5 ; 3,5 ; 4 ; 16 ; 9,5 ; 11 ; 12 ; 8 ; 14 ; 18 ; 13,5 ; 2,5 ; 7 ; 17 ; 16,5 ; 15,5 ; 18,5 ; 14,5 ; 8 ; 14 ; 16 ; 13. 1 Préciser la population étudiée? 2 Quel est le caractère étudié? Préciser s il est quantitatif ou qualitatif. 3 Calculer l effectif total. 4 Compléter le tableau ci-dessous. Note [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20[ Nombre d élèves (effectif ni) 1 La population étudiée est l ensemble des élèves de la classe de CAP esthétique. 2 Le caractère étudié est la note et il s agit d un caractère quantitatif. 3 Il y a 25 notes au total ; donc l effectif total est N = 25. 4 In faut juste compter le nombre de notes comprises dans chaque intervalle. On obtient donc le tableau suivant. Note [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20[ Nombre d élèves (effectif ni) 3 6 9 7
-3- III. Les fréquences Considérons la série statistique ci-dessous d effectif total N = n 1 + n 2 +L+ n p. Caractère x i x 1 x 2 x p Effectif n i n 1 n 2 n p 1. Définition On appelle fréquence de la valeur x i du caractère, le nombre f i défini par la formule : Effectif Fréquence = Effectif total Remarque fondamentale : Les fréquences sont le plus souvent exprimées sous forme de pourcentages. Dans ce cas, on multiplie la formule précédente par 100 et on obtient la formule suivante qui donne directement les fréquences en pourcentages : OU Effectif ni Fréquence (en %) = 100 OU fi = 100 ( en %) Effectif total N f i = n i N ASTUCE : Si on ne se souvient pas de cette formule, on peut très facilement effectuer les calculs à l aide du tableau de proportionnalité suivant : Effectifs Effectif total Effectif (n i ) Fréquence (en %) 100 Fréquence f i? (A calculer) 2. Signification de la fréquence La fréquence f i représente le pourcentage de l effectif n i (de la valeur x i du caractère) par rapport à l effectif total N. APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N 3 : Une enquête réalisée auprès des élèves d une école d esthétique, sur le nombre de films qu ils ont vu au cinéma au cours des deux derniers mois a donné les résultats ci-dessous.
-4- Calculer les fréquences en pourcentages de cette série statistique. Nombre de films x i 0 1 2 3 4 5 6 Nombre (effectifs ni) d élèves 12 50 70 24 20 16 8 METHODOLOGIE (A SUIVRE!) Dans la pratique, on passe en disposition verticale sous forme de tableau pour mieux organiser les différents calculs et pour limiter les efforts. NOTE : Au CAP, ce tableau est souvent donné et il s agira juste de le compléter. Nombre de films x i Effectifs ni Fréquences f i (en pourcentages) 0 12 12 100 = 6 % 1 50 50 100 = 25 % 2 70 70 100 = 35 % 3 24 24 100 = 12 % 4 20 20 100 = 10 % 5 16 16 100 = 8 % 6 8 8 100 = 4 % TOTAL 100 % NOTE : La somme de toutes les fréquences (en pourcentages) doit absolument faire 100 % ; dans le cas contraire, il y a des fautes et il faut contrôler les différents calculs. Dans la colonne des fréquences, les détails de calculs ne sont en général pas demandés.
-5- Ces calculs montrent par exemple que 35 % des élèves ont vu 2 films au cours des deux derniers ers mois. IV. Les effectifs et fréquences cumulés croissants et décroissants Considérons la série statistique ci-dessous, donnée par classes (ou intervalles) notées C 1, C 2,, et d effectif total N = n 1 + n 2 +L+ n p. Classes C i C 1 C 2 C p Effectifs n i n 1 n 2 n p 1. Effectifs cumulés croissants (E.C.C.) On appelle effectif cumulé croissant (E.C.C.) de la classe C i (classe numéro i), la somme des effectifs allant de la première classe C 1 jusqu à cette classe C i. Par exemple l effectif cumulé de la deuxième classe C 2 est n 1 + n 2 (on ajoute ou on cumule les effectifs de la première classe jusqu à la deuxième classe). 2. Effectifs cumulés décroissants (E.C.D.) On appelle effectif cumulé décroissant (E.C.D.) de la classe C i (classe numéro i), la somme des effectifs allant de cette classe C i jusqu à la dernière C p. Par exemple l effectif cumulé de la deuxième classe C 2 est n 2 + n 3 +L+ n p (on ajoute ou on cumule les effectifs de la deuxième classe jusqu à la dernière classe). REMARQUES IMPORTANTES Dans la pratique, les E.C.C. et les E.C.D. se calculent extrêmement facilement à l aide d un tableau (voir application plication ci-dessous). Le premier E.C.C. est l effectif (noté n 1 ) de la première classe, et le dernier E.C.C. est l effectif total (noté N) de la série statistique. Le premier E.C.D. est l effectif total (noté N) de la série statistique, et le dernier E.C.D. est l effectif (noté n p ) de la dernière classe.
-6-3. Fréquences cumulées croissantes s (F.C.(.C.C.).) et fréquences cumulées décroissantes s (F.C.D.) Les fréquences cumulées croissantes s (F.C.C.) et les fréquences cumulées décroissantes s (F.C.D.) se calculent exactement e de la même façon que les effectifs cumulés croissants et décroissants, sauf qu on cumule les fréquences à la place des effectifs. La première F.C.C. est la fréquence (notée f 1 ) de la première classe, et la dernière F.C.C. est 100 %. La première F.C.D. est 100 %,, et la dernière F.C.D. F est la fréquence (notée f p ) de la dernière classe. On peut obtenir le F.C.C. en divisant chaque E.C.C. par l effectif total N puis en multipliant le résultat par 100,, et on peut obtenir les F.C.D. en divisant chaque c E.C.D. par l effectif total N puis en multipliant le résultat par 100. NOTE : Les significations des E.C.C. ; des E.C.D. ; des F.C.C. et des F.C.D. seront données dans l application suivante. APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N 4 : Dans un supermarché, on a relevé les montants (en ) des 80 premières factures réglées par les clients au cours d une journée. Les résultats sont récapitulés dans le tableau statistique ci-dessous. 1 Compléter le tableau de calcul ci-dessous. 2 Donner le nombre de factures dont le montant est inférieur à 80. Indiquer ce nombre en le soulignant dans le tableau. 3 Donner le nombre de factures dont le montant est d au moins 40 (c està-dire de 40 ou plus). Indiquer ce nombre dans le tableau en grisant la case correspondante. 4 Donnez une interprétation de la fréquence cumulée croissante (F.C.C.) correspondant à la classe [40 ; 60[. 5 Donner une interprétation de la fréquence cumulée décroissante (F.C.D.) correspondant à la classe [40 ; 60[. Montants (en ) ou classes Effectifs ni E.C.C. E.C.D..D. Fréquences f i (en %) F.C.C. F.C.D.
-7- [0 ; 20[ 20.......... [20 ; 40[ 24.......... [40 ; 60[ 16.......... [60 ; 80[ 12.......... [80 ; 100[ 8.......... TOTAL..... CALCULS PRATIQUES Pour calculer les E.C.C., on part du haut du tableau en reportant le premier effectif (qui est 20 dans ce cas) dans la colonne des E.C.C. puis on cumule les effectifs jusqu au bas du tableau (en passant sur la ligne en dessous, on ajoute l effectif qui se trouve sur cette ligne). Pour calculer les E.C.D., on part du bas du tableau en reportant le dernier effectif (qui est 8 dans ce cas) dans la colonne des E.C.D. puis on cumule les effectifs jusqu en haut du tableau (en passant sur une ligne au dessus, on ajoute l effectif qui se trouve sur cette ligne). 1 On obtient ainsi le tableau suivant : Montants (en ) ou classes Effectifs ni E.C.C. E.C.D. Fréquences f i (en %) F.C.C. F.C.D. [0 ; 20[ 20 20 80 25 25 100 [20 ; 40[ 24 44 60 30 55 75 [40 ; 60[ 16 60 36 20 75 45 [60 ; 80[ 12 72 20 15 90 25 [80 ; 100[ 8 80 8 10 100 10 TOTAL 80 100
-8- NOTE : Les E.C.C. et les F.C.C. se cumulent de haut en bas ; les E.C.D. et les F.C.D. se cumulent de bas en haut. 2 L effectif cumulé croissant (E.C.C.) correspondant à une classe [a ; b[ représente le nombre de valeurs inférieures à b. Dans ces conditions, le nombre de factures dont le montant est inférieur à 80, correspond à l effectif cumulé croissant de la classe [60 ; 80[, qui est alors 72. Il y a donc 72 factures dont le montant est inférieur à 80. 3 L effectif cumulé décroissant (E.C.D.).) correspondant à une classe [a ; b[ représente le nombre de valeurs au moins égales à a (c est-à-dire égales ou supérieures à a). Dans ces conditions, le nombre de factures dont le montant est d au moins 40, correspond à l effectif cumulé décroissant de la classe [40 ; 60[, qui est alors 36. Il y a donc 36 factures dont le montant est d au moins 40. 4 La fréquence cumulée croissante (F.C.C.) correspondant à la classe [40 ; 60[, est 75 %. Cela signifie que 75 % des factures ont un montant inférieur à 60. 5 La fréquence cumulée décroissante (F.C.D.) correspondant à la classe [40 ; 60[, est 45 %. Cela signifie que 45 % des factures ont un montant au moins égal à 40. V. La moyenne Considérons la série statistique ci-dessous d effectif total N = n 1 + n 2 +L+ n p. Caractère x i x 1 x 2 x p Effectif n i n 1 n 2 n p 1. Définition et formule de calcul. On appelle moyenne de cette série statistique le nombre noté x ou m et qui se calcule selon la formule très classique suivante : n1 x1 + n2 x2 + L+ n x = N p x p OU x = Total des produits Effectif total n i x i
-9- Remarque fondamentale : Dans le cas d une série donnée par classes (intervalles) les valeurs x i sont les centres des classes. La définition suivante trouve alors toute son importance. a + b Définition : Le centre d une classe [a ; b[ est le nombre x = qui 2 n est autre que le milieu de cette classe. 20 + 40 Par exemple, le milieu de la classe [20 ; 40[, est x = = 30. 2 2. Signification de la moyenne La moyenne qui est le paramètre statistique le plus connu, correspond à la valeur moyenne de la série statistique. APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N 5 : Une enquête réalisée auprès des élèves d une école d esthétique, sur le nombre de films qu ils ont vu au cinéma au cours des deux derniers mois a donné les résultats ci-dessous. Calculer la moyenne de cette série statistique et donner sa signification. Nombre de films x i 0 1 2 3 4 5 6 Nombre (effectifs ni) d élèves 12 50 70 24 20 16 8 Dans la pratique, on passe en disposition verticale pour effectuer efficacement les calculs sous forme d un tableau permettant de calculer sans effort le total des produits n i x i qui figure au numérateur de la formule de la moyenne. NOTE : La moyenne s obtiendra facilement en divisant ce total de produits par l effectif total. Nombre de films x i Nombre d élèves Produit n i x i (effectifs ni) 0 12 0 (12 0) 1 50 50 (50 1) 2 70 140 (70 2) 3 24 72 (24 3) 4 20 80 (20 4) 5 16 80 (16 5) 6 8 48 (8 6) TOTAL 470
-10- NOTE : Pour chaque produit, on multiplie chaque effectif par la valeur du caractère correspondante. Les calculs marqués entre les parenthèses ne sont pas obligatoires. La moyenne s obtient facilement en divisant le total des produits (souligné dans le tableau) par l effectif total (également souligné dans le 470 tableau). On a alors : x = = 2, 35 Cette moyenne représente le nombre moyen de films vu au cinéma par les élèves de l école d esthétique au cours des deux derniers mois. APPLICATION ET EXECUTION DES TÂCHES N 6 : Dans un supermarché, on a relevé les montants (en ) des 80 premières factures réglées par les clients au cours d une journée. Les résultats sont récapitulés dans le tableau statistique ci-dessous. 1 Compléter le tableau de calcul ci-dessous. 2 Calculer la moyenne m de cette série statistique et donner sa signification. Montants (en ) ou classes Effectifs ni Centre de la classe x i [0 ; 20[ 20 [20 ; 40[ 24 [40 ; 60[ 16 [60 ; 80[ 12 [80 ; 100[ 8 TOTAL 1 On complète très facilement le tableau. Produit n i x i Montants (en ) ou classes Effectifs ni Centre de la classe x i Produit n i x i [0 ; 20[ 20 10 [20 ; 40[ 24 30 720 [40 ; 60[ 16 50 800 [60 ; 80[ 12 70 840 [80 ; 100[ 8 90 720 TOTAL 80 3280
-11- MISE EN GARDE : Il faut faire très attention dans le calcul des centres des classes. Par exemple, pour calculer le centre de la classe [60 ; 80[, (qui vaut 70), il faut faire 60 + 80 2 qu il faut taper avec des parenthèses ; c est-àdire (60 + 80) 2 pour avoir le résultat exact. 2 La moyenne m s obtient simplement en divisant le total des produits 3280 (3280 3280) par l effectif total (80 80). On a alors m = = 41 ; cela signifie que le 80 montant moyen d une facture est de 41. EXERCICES A FAIRE ET A RENVOYER : EXERCICE N 1 : Dans un institut de beauté, on a relevé les montants (en ) payé par les 400 clientes reçues au cours d un mois. Le tableau statistique ci-dessous récapitule les résultats obtenus. 1 Compléter le tableau ci-dessous en calculant les fréquences en pourcentages. 2 Interpréter la première fréquence correspondant à la classe [0 ; 24[. Montant (en ) Effectifs ni Fréquences f i (en pourcentages) [0 ; 24[ 120... [24 ; 48[... [48 ; 72[ 60... [72 ; 96[ 20... TOTAL... EXERCICE N 2 : Dans un institut de beauté, on a relevé les montants (en ) payé par les 400 clientes reçues au cours d un mois. Le tableau statistique ci-dessous récapitule les résultats obtenus. 1 Compléter le tableau de calcul ci-dessous. 2 Donner le nombre de factures dont le montant est inférieur à 72. Indiquer ce nombre en le soulignant dans le tableau. 3 Donner le nombre de factures dont le montant est d au moins 24 (c est-
-12- à-dire de 24 ou plus). Indiquer ce nombre dans le tableau en grisant la case correspondante. 4 Donnez une interprétation de la fréquence cumulée croissante (F.C.C.) correspondant à la classe [24 ; 48[. 5 Donner une interprétation de la fréquence cumulée décroissante (F.C.D.) correspondant à la classe [24 ; 48[. Montants (en ) ou classes Effectifs ni E.C.C. E.C.D. Fréquences f i (en %) F.C.C. F.C.D. [0 ; 24[ 120.......... [24 ; 48[.......... [48 ; 72[ 60.......... [72 ; 96[ 20.......... TOTAL..... EXERCICE N 3 : 1 Compléter le tableau de calcul ci-dessous. 2 Calculer la moyenne m de cette série statistique et donner sa signification. Montants (en ) ou classes Effectifs ni [0 ; 24[ 120 [24 ; 48[ [48 ; 72[ 60 [72 ; 96[ 20 TOTAL Centre de la classe x i Produit n i x i