Thermodynamique de l atmosphère

Thermodynamique de l atmosphère Rappel de quelques no6ons Introduc6on à la théorie ciné6que des gaz Capacité thermique et Enthalpie Processus adiaba6ques Entropie L eau et ses changements de phase Humidité et nuages Radiosondages 1

Humidité et nuages Les nuages Eau précipitable Niveau de condensa6on Différentes températures pour différents usages Processus adiaba6que isobare Thermomètre mouillé Température équivalente Température Virtuelle Température Poten6elle Virtuelle Température poten6elle équivalente (adiaba6que et pseudo adiaba6que) Gradient adiaba6que de l air saturé Température Poten6elle pseudo- adiaba6que du thermomètre mouillé Bases physiques des diagrammes Skew- T 2

Les types de nuages Une vision très descrip6ve (principalement forme et al6tude), mais qui peut donner des informa6ons sur l état de l atmosphère. Par exemple sur l instabilité (présence de cumulus), sur la dynamique (forma6on de bandes de cirrus, ou approche d un front, cisaillement du vent), etc. Barry & Chorley Routledge 3

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Eau précipitable L eau «précipitable» est le contenu intégré en vapeur d eau d une colonne d atmosphère. L eau précipitable est donnée sous la forme d une épaisseur ou masse surfacique d eau liquide (1mm=1kgm - 2 d eau). L eau précipitable P w, se calcul en intégrant l humidité spécifique sur la colonne: Lors d un orage, le taux de précipita6on est souvent beaucoup plus grand que l eau précipitable. Ceci montre que les orages puisent leur eau dans les régions environnantes. Cede eau converge principalement dans la couche limite atmosphérique. P w = q(z)ρ(z)dz = 1 g p q( p)dp L eau précipitable varie entre quelques mm pour les régions polaires et plus de 5mm pour les région tropicales. Exemple d une large différence entre deux profils de rapport de mélange 6

Distribu9ons globales de l eau précipitable en janvier et en juillet Barry & Chorley Routledge 7

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Niveau de condensa6on J.P. Duvel 29 9

Niveau de condensa6on Le niveau de condensa6on est l al6tude à laquelle une parcelle d air soulevée de façon adiaba6que depuis le sol (par exemple la couche de surface) adeint une humidité rela6ve de 1%. En fait, quand la parcelle s élève, sa température diminue, mais son volume augmente. Pour qu il y ait condensa6on à un certain niveau d al6tude, il faut donc que la diminu6on de la pression par6elle de vapeur e (due à l augmenta6on du volume) soit moins rapide que la diminu6on de e s avec T. Pour déterminer l al6tude du niveau de condensa6on, on peut prendre en compte la décroissance de T et de T d (température du point de rosée) avec l al6tude: ( ) ( ) T = T Γ d z z T d = T d Γ dd z z où Γ d est le gradient adiaba6que de l air sec et Γ dd est ici le gradient ver6cal de la température du point de rosée. Le niveau de condensa6on z NC est celui pour lequel T=T d, c est à dire: z NC = z + T T d Γ d Γ dd 1

Quel est le gradient de T d? Il faut par6r de l expression de la pression par6elle de vapeur d eau: e = w w + ε p et donc de dz = d où, avec w constant: 1 de e dz = 1 dp p dz w dp w + ε dz e, la pression par6elle diminue avec z. Par défini6on, e = e s (T d ). Donc, e s va décroître avec z (*). En séparant les différen6elles en T d et en z, on ob6ent: 1 ( ) e s T d de s ( T d ) dt d dt d dz = 1 dp p dz (*) Ce qui signifie que la température du point de rosée T d décroit également avec z. Clausius- Clapeyron donne: 1 de s ( T d ) = l v 2 e s ( T d ) dt d R v T d et l équa6on hydrosta6que donne: 1 dp p dz = g RT Le gradient de température du point de rosée est donc: Γ dd = dt d dz = g 2 T d εl v T En première approxima6on, ce gradient est constant et de l ordre de 1.8 Ckm - 1, ce qui donne une expression simple de l al6tude du niveau de condensa6on: z NC z = T T d T T d Γ d Γ dd 8 [ km] 11

z NC z 1 T T d 8 [ m] On peut calculer un niveau de condensa6on moyen (au dessus de la surface z ) à par6r des réanalyses ERA- Interim du Centre Européen (ECMWF), ici pour l été 2. On reconnaît bien les régions plus sèches (Afrique du nord, Espagne, Turquie et Grèce) pour lesquelles le niveau de condensa6on est élevé, y compris en mer Egée. En Europe du nord, plus humide, les niveaux de condensa6on sont bas, et il sera donc plus facile de former des nuages par soulèvement/convec6on. Une es6ma6on plus exacte de Z NC et T NC peut être obtenue en appliquant une méthode numérique. 12

Es6ma6on du niveau de condensa6on On fait ici une représenta6on graphique des diminu6ons de e et de e s avec z. " l e s ( z) = e s exp v % " $ ' exp l v 1 % $ ' # R v T & # R v T sol Γz& " e(z) = e() T sol Γz% $ ' # & T sol c p R En partant d une parcelle non saturée (e=2hpa) au sol à 28 C, on ob6ent un niveau de condensa6on vers 1327m. La formule approchée donne un résultat très correct (1328.6m) Le γ=c p /C v de l air est de l ordre de 1.4 et c p /R=γ/γ- 1. Altitude (m) 2 15 1 5 1 e s (z) e(z) T(z) 15 Température ( C) 15 2 2 25 3 25 T sol =28 C e sol =2Pa z nc =1327.2m 35 pression partielle de vapeur d'eau (Pa) 3 Pression partielle de vapeur d'eau (Pa) 35 3 25 2 15 1 15 2 25 Température ( C) 3 Supposons maintenant un gaz ayant un γ de 1.4. Alors, en partant d une parcelle de gaz avec la même pression de vapeur à 2 C à 1m, on ob6ent par compression une forma6on de nuage vers 345m! Avec γ=1.4, c p /R=26 au lieu de 3.5 pour l air, la pression décroît donc plus vite avec l al6tude (croît plus vite avec T). Ce type de configura6on est possible avec certains gaz. Altitude (m) 2 15 1 5 1 γ=1.4 15 e s (z) e(z) T(z) Température ( C) 15 2 2 25 3 25 T 1m =2 C e sol =2Pa z nc =344.9m 35 pression partielle de vapeur d'eau (Pa) 3 Pression partielle de vapeur d'eau (Pa) 35 3 25 2 15 γ=1.4 1 15 2 25 Température ( C) 3 13

Différentes températures pour différents usages Résultat d un changement de phase de l eau. Mesure de l humidité de l air: Température du point de rosée (T d ) Température du «thermomètre mouillé» (wet bulb) (T w ) Variables conserva6ves: Température poten6elle (θ) Température poten6elle équivalente (θ e ) Critère de densité: Température virtuelle (T v ) Température poten6elle virtuelle (θ v ) Comparaison entre un profil «nuageux» et l environnement Température poten6elle pseudo adiaba6que (θ e, θ w ) Détermina6on du gradient adiaba6que d une atmosphère saturée 14

Processus adiaba6que isobare Pour calculer la température du «thermomètre mouillé» T w, on évapore de l eau liquide (donc on refroidit et on humidifie l air) d une parcelle d air ini6alement à la température T i, jusqu à obtenir une pression de vapeur saturante à T f =T wb. Donc, si w est le rapport de mélange, pour T f =T wb, w f =w s (T wb ) p, w i, T i p, w f, T f 15

Évapora6on ou condensa6on adiaba6que et isobare Pour un tel processus, Q= et dp= et l enthalpie totale L enthalpie de vaporisa6on est ici considérée comme constante: H = m d h d + m v h v + m l h l est donc conservée (indice d pour l air sec, v pour la vapeur d eau et l pour l eau liquide.) La masse d air sec m d et la masse d eau totale: m t = m v + m l sont également conservées. En prenant les rapports de mélange de la vapeur d eau w =m v /m d et de l eau totale w t =m t /m d. L enthalpie massique (masse d air sec) est: l v = h v h l L enthalpie du mélange est donc: h = h d + wl v + w t h l Comme cede enthalpie massique est conservée (H et m d constantes) entre l état ini6al i et l état final f, et que c pd, c l et w t sont également constants: ( ) + ( w i w f )l v + w t c l ( T i T f ) = ( c pd + w t c l )( T i T f ) = l v ( w f w i ) c pd T i T f h = h d + wh v + (w t w)h l 16

Température du «thermomètre mouillé» La température du thermomètre mouillé T wb correspond donc à la température adeinte quand l évapora6on a saturé l air ambiant ini6alement à (T, w). ( c pd + w t c l ) T T wb ( ) ( ) = l v w s ( T wb ) w Comme w t <<1, on ob6ent: c pd ( ( ) w) ( T T wb ) l v w s T wb D autre part, si e est la pression par6elle de la vapeur d eau: w = ρ v ρ d = e p e R d R v = εe p e εe p On ob6ent alors l équa6on psychrométrique (du grec psychro- «froid»): e = e s ( T wb ) pc pd ε l v ( T T wb ) Au niveau de la mer, on définit la la «constante psychrométrique» comme: pc pd.65 mbk 1 ε l v Une mesure de p, T et T wb permet donc d es6mer la pression par6elle de vapeur d eau e. On en déduit aussi la température du point de rosée T d telle que: e s ( T d ) = e 17

Température équivalente Température adeinte si toute l eau est condensée par un processus adiaba6que isobare. En repartant de: ( c pd + w t c l )( T i T f ) = l v ( w f w i ) avec T i =T ambiante, T f =T e, w f = et w i =w t =w ambiant, la température équivalent T e est donc: ( c pd + wc l ) T T e l T e = T + v w c pd + wc l ( ) = l v w Ce processus adiaba6que à pression constante est possible suivant le premier principe. Mais comment condenser de l eau par un processus adiaba6que isobare? Ce processus n est en revanche pas permis par le second principe. On peut en effet montrer (en u6lisant la sec6on suivante sur les processus humides isentropes) que l entropie de l ensemble du système isolé (eau + air sec) décroît alors avec: s f - s i wr v ln(r) où r est l humidité rela6ve ini6ale (r 1). T e donne une es6ma6on de la température maximale qui peut être adeinte si toute l eau est condensée 18

Température virtuelle T v La densité de l air varie en fonc6on de son contenu en vapeur d eau. La température virtuelle T v permet de fixer un critère de densité en fonc6on de la température seule pour différents contenus en vapeur d eau. Par défini6on, T v est la température de l air sec ayant la même densité que l air humide à pression ambiante. p = ρr d T v = ρrt T v = R T = M d R d M T On cherche donc l expression de M d /M en fonc6on du contenu en vapeur d eau (ici q) et des masses molaires de l eau M v et de l air sec M d. M est la masse molaire de l air ambiant: M = ( 1 α)m d + αm v avec α = M d M = M d = ( 1 α)m d + αm v N v N d + N v 1 1 α 1 ε ( ) ε = M v = 18.16 M d 28.966 =.62197 On veut maintenant exprimer α en fonc6on de l humidité spécifique q et de ε=m v /M d. N q = v M v αm = v N d M d + N v M v ( 1 α)m d + αm v αε q = 1 α q 1 ε ( ) + αε d'où α = q ( ) + ε En remplaçant α par cede expression dans l expression de M d /M: M d M $ 1 ε & =1+ q % ε ' La température virtuelle est donc: ( ) T v = T 1+.678q La température virtuelle T v n est pas une température directement mesurable. 19

Flodabilité et température poten6elle virtuelle En considérant les caractéris6ques de la température virtuelle pour la parcelle et l environnement, p = ρ e R d T ve = ρ p R d T vp on ob6ent simplement: La force de flodabilité par unité de masse devient donc: F = g ρ p ρ e ρ e ρ p = T vp T ve = g T ve T vp ρ p T ve Par rapport à T v, la température virtuelle T vl d une parcelle contenant un ajout d eau liquide/ glace de densité ρ l est: T vl T v = ρ ρ + ρ l = ρ tot ρ l ρ tot ( )( 1 q l ) ( ) T vl = T 1+.68q T vl T 1+.68q q l =1 q l Le gradient ver6cal neutre pour un profil de température virtuelle de l environnement est simplement: On définit de même une température poten6elle virtuelle servant à s affranchir des différences de densité dues à la vapeur d eau: # p θ v = T & v % ( $ p ' Γ dv = dt v dz = g γ d 1 c pd γ d = T # p & v % ( $ p ' où γ d est le rapport C pd /R d, et C pd est la capacité thermique de l air sec à pression constante. θ v est conservée pour un air humide non saturé. Le gradient ver6cal de θ v permet donc d es6mer la stabilité de l air humide non saturé. R d C pd 2

Expression de θ pour l air humide non saturé Avant d adeindre le niveau de condensa6on, la température poten6elle peut être es6mée en prenant en compte la différence de capacité thermique entre l air sec et la vapeur d eau. ici, l air est humide mais non saturé. Pour un processus adiaba6que réversible, l entropie est conservée. L expression de l entropie est: s = s d + ws v où w est le rapport de mélange. L entropie de l air sec et l entropie de la vapeur d eau ont pour expression: Cede entropie étant constante lors de la transforma6on, on ob6ent donc: ( c pd + wc pv ) dt T = R d dp d p d + wr v de e e =p d w/ε et p =p d +e=p d (1+w/ε) Si w est constant, de/e=dp/p=dp d /p d La température poten6elle, qui est par conven6on la température pour p=p =1hPa, est donc: s d = c pd lnt R d ln p d s v = c pv lnt R v lne s = ( c pd + wc pv )lnt R d ln p d wr v lne # θ = T p & % ( $ p ' R d +wr v c pd +wc pv w =.4 exposant =.283 w = exposant =.285 21

Skew- T Log- P (cas sans condensa6on) Pour op6miser ces diagrammes, on veut que la surface délimitée par un processus cyclique soit propor6onnelle à l énergie. Angles importants entre les isothermes et les isentropes pour mieux dis6nguer les critères d instabilité. On considère de l air sec ici pour l isentrope car on veut un résultat qui ne dépende pas de l humidité de la parcelle. On trace donc des isolignes dans le champ de θ=f(t,p). Une parcelle d air sec subissant une détente ou une compression adiaba6que suivra, par défini6on, une de ces isolignes. 22

2-2 -13-1 -12 1 2-11 3 4-1 -9 5 6-8 -7-6 -5-2 -4-3 # θ = T p & En vert: % ( $ p ' R d c pd 3-3 1 4 5 6 7 8 9 1-4 -1 1 3 4-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 2 8 9 7 La surface représente une détente adiaba6que, suivie d un refroidissement isobare, une compression adiaba6que puis un réchauffement isobare Dans un tel diagramme T Ln(p), le travail accompli lors d un processus cyclique est propor6onnel à la surface définie par la courbe fermée et représentant le processus. W = pdv = d( pv ) Vdp = Vdp W = RT p dp La pente des isothermes, qui améliore la lisibilité, ne modifie que le facteur de propor6onnalité entre la surface et l énergie. = R Td( ln p) 23

Processus adiaba6que réversible Cas humide On est arrivé jusqu au niveau de condensa6on par une transforma6on isentrope (adiaba6que et réversible) d une masse d air humide, mais sans changement de phase. Que se passe- t il ensuite? Si la masse d air con6nue à s élever, cede ascension sera accompagnée de condensa6on, et éventuellement de perte de contenu en eau par précipita6on des goudes de pluie ou des cristaux de glace. Dans une première étape, on considère un processus humide adiaba6que et réversible, donc isentrope. Dans ce cas, l entropie de la parcelle par unité de masse d air sec a pour expression: où w et w l sont les rapport de mélange de l eau vapeur et de l eau condensée (liquide). s = s d + ws v + w l s l s d, s v et s l sont respec6vement les entropies de l air sec, de la vapeur et de l eau liquide. Avant de poursuivre, on notera que l enthalpie de vaporisa6on l v =h vs -h l a également pour expression l v =T(s vs -s l ) (on note x vs les valeurs à satura6on). Ceci est dû à la conserva6on de l énergie libre g=h- Ts lors d un changement de phase (T et p constantes). On peut aussi simplement dire que le chauffage occasionné par le changement de phase est l v, et que la varia6on correspondante de l entropie est ds =s vs -s l =l v /T. On définit w t =w+w l On ob6ent l expression suivante pour l entropie de la parcelle: " s = s d + ws v + w t s l w s vs l % v $ ' # T & s = s d + w s v s vs ( ) + w t s l + wl v T 24

Température poten6elle équivalente Nuage sans précipita6on On u6lise la défini6on de l entropie massique pour chacun des cons6tuants de l air humide: s d = c pd lnt R d ln p d s v = c pv lnt R v lne # $ s s vs = c pv lnt R v lne v s vs = R v lnr s % s l = c l lnt r étant l humidité rela6ve e/e s. L entropie d une unité de masse est donc : s = ( c pd + w t c l )lnt R d ln p d + wl v T wr v lnr Pour un processus isentrope, l entropie s ainsi définie est conservée. La température poten6elle équivalente θ e est la température d une parcelle d air «sec» (toute l eau sous forme liquide: capacité themique C pd +w t C l ) qui aurait la même entropie s à une pression de référence p, c est à dire: s = ( c pd + w t c l )lnθ e R d ln p En définissant : # θ e = T p & % ( $ ' p d c pt = c pd + w t c l = cst R d c wr v wl v pt c r pt c e pt T Cela revient donc à la température obtenue en condensant le contenu w de vapeur d eau pour c p =c pt, puis en compressant cede parcelle jusqu au niveau de référence en conservant l eau sous forme liquide. Le facteur en r est toujours très proche de 1 car w<<1 et R v /c pt 1/2. 25

Que représente θ e? La température poten6elle θ e dépend de la température et de la pression de la parcelle considérée, ainsi que de son contenu en vapeur d eau. Le contenue en vapeur d eau est important car il joue sur : le chauffage finalement fourni par la condensa6on de l ensemble de l eau. La capacité thermique du mélange air, eau vapeur et eau condensée (on pourrait également considérer une phase glace). On ne peut pas tester la flodabilité d une parcelle «nuageuse» par rapport à l environnement à l aide de θ e car l environnement n est généralement pas saturé. Un écart en θ e ne traduit donc pas forcément un écart en T (ou mieux, idéalement, en T v ). On peut en revanche, pour le calcul de θ e, fixer un contenu en vapeur d eau égal au contenu saturant à la température T. Cela revient à fixer le rapport de mélange à: w s (T, p) = εe s(t ) p e s (T ) La valeur de θ e obtenue correspond par exemple au θ e du niveau de condensa,on ou si l on considère un point de départ «fic6f» qui est la température du thermomètre mouillé (et non la température du point de rosée, voir plus loin). Dans ce cas, le rapport de mélange w t est remplacé par le rapport de mélange saturant w s (T,p) et r=1. La capacité thermique du mélange sera donc: c pts (T, p) = c pd + w s (T, p)c l La température poten6elle équivalente saturée est alors:! θ es = T p $ # & " % p d R d c pts e w s l v c pts T La comparaison entre le θ es de la parcelle nuageuse (θ es constant et égal à θ es au niveau de condensa6on) et le θ es de l environnement (mesure du radiosondage à la pression p considérée) donne une meilleure es6ma6on de la flodabilité de la parcelle nuageuse pour la pression p. 26

-2-2 -13-1 -1-12 1 1 2 2-11 3 4-1 5-9 -8-7 -6-5 -4-3 Isolignes (en noir) dans le champ θ es (T,p) 2 3-2 13 14 # θ es = T p % $ p d & ( ' Rd c pts e w s l v c pts T 12 1-3 4 5 6 7 8 9 1-4 -3-4 -1-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 Avec les défini6ons ci dessus, les isentropes saturées convergent normalement vers les isentropes sèches pour les faibles températures (c.a.d. des faibles w s ). Par défini6on, pour toutes les parcelles d air (T,P) ayant un même θ es, la température au sol après condensa6on de toute l eau (saturante à T) et compression adiaba6que (isentrope sèche) est θ es (donc 5 C pour l exemple en gras ci- dessus). 3 4 5 1 6 7 2 8 9 1 3 11 17 16 15 6 8 9 7 18 2 4 c pts = c pd + w s (T, p)c l c pd = 15JK 1 kg 1 c l = 4218JK 1 kg 1 l v = l v + ( c pv c l )( T T ) 27

-2-13 -1-12 1 2 2-11 3 4-1 5 6-8 -7-6 -5-4 Sensibilité au choix du cp 2 3 4 5 6 7 8 9 1-3 -4-2 -3-4 -1 1-9 -1-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 En bleu (c pd ): # θ es = T p & % ( $ ' p d # θ es = T p % $ p d & ( ' R d En noir (c pts ): Pour des températures supérieures à 1 C, il est important de prendre la bonne valeur pour la capacité thermique. Les écarts entre c pts et c pd peuvent donner des différences de θ es de plusieurs C pour des températures supérieures à 3 C. Si l on veut prendre en compte les précipita6ons qui assèchent la masse d air lors de son ascension dans une tour convec6ve, il faut faire varier le c pts entre c pts (p,t) au point de condensa6on et le c pts (p,t) au niveau considéré (c pts diminue quand T diminue) au cours de cede transforma6on. On parle alors de processus pseudo- adiaba6ques. 3 4 5 5 1 6 7 2 8 9 1 1 3 11 12 15 2-2 13 15 16 14 1 8 9-3 7 19 4 w s l v c pd c e pd T R d c pts e w s l v c pts T c pts = c pd + w s (T, p)c l c pd θ es (T, p,c p ) θ es (T, p,c pd ) 28

Gradient (pseudo- ) adiaba6que de l air saturé Les températures poten6elles équivalentes (pseudo- adiaba6que, saturée ou du thermomètre mouillé, voir plus loin) servent essen6ellement à comparer les températures et la flodabilité entre une colonne convec6ve «nuageuse» et l environnement. On peut aussi es6mer la température de la colonne «nuageuse» en intégrant numériquement l évolu6on d une masse d air soulevée (pseudo- ) adiaba6quement tout en subissant des changements de phase de l eau. On es6me ici les perturba6ons de température qui résultent d un tel soulèvement pour une parcelle saturée avec ou sans précipita,on de l eau en phase liquide. On repart donc de l expression précédente de l entropie, mais avec un rapport de mélange saturant: s = ( c pd + w ts c l )lnt R d ln p d + w s l v T Ici, r=1, w=w s et w ts =w s +w l On considère que le c p peut varier (ou non) avec l al6tude z, suivant que l on élimine (ou non) l eau liquide au fur et à mesure de la condensa6on: c pz = c pd + w ts (z)c l w ts (z) = cst [transfert entre w s et w l ] ou w ts (z) = w s (T z ) [w l =, pseudo adiabatique] L entropie s est conservée : c pz dt T R d dp d p d " et d w sl v % $ ' = 1 # T & T d w sl v " + d w sl v % $ ' = # T & La défini6on de w s et CC donnent: w s = e s p d R d R v et dt T 2 w sl v = R d de s p d ( ) dt 1 e s de s dt = T 2 w sl v l v R v T 2 La conserva6on de l entropie pour une excursion ver6cale s exprime donc comme: c pz dt dz R d T p d = R d dp p d ( ) dp dz + d w l s v dz R d dp d p d = On s intéresse à une pe6te perturba6on autour d une al6tude z. On considère donc que c pz est constant autour de cede al6tude z (c.a.d. que l eau liquide est conservée le temps du changement de phase, avant d être évacuée). L équa6on du gradient sera ensuite intégrée sur z avec c pz variable. 29

Gradient adiaba6que de l air saturé À un niveau z donné, la pression de la parcelle nuageuse est aussi celle de l environnement. En u6lisant l approxima6on hydrosta6que pour l air de l environnement: dp dz = gρ e On ob6ent: ( ) dt c pz dz + g ρ e + d w sl v ρ d dz = Souvent, on considère que des deux densités (ρ e et ρ d de la parcelle) sont égales. Ce qui revient à dire que R env T env =R d T par Dans ce cas, la différence de flodabilité est néanmoins donnée par une humidité plus grande et une température plus élevée pour la parcelle nuageuse. On considère ici que la détente de la parcelle est hydrosta6que: R d T dp p d dz = 1 dp ρ d dz = g ρ ρ d avec ρ/ρ d = 1+w s pour une parcelle saturée. On ob6ent: dt c pz dz + g(1 + w s ) + d ( w s l v) = dz Énergie sta,que humide On peut ici introduire une nouvelle variable conserva6ve (si c p est fixe), l énergie sta6que humide (souvent notée h, mais que l on notera ici h em ): h em = c pz T + gz + w s l v qui est donc conservée lors d une détente adiaba6que saturée (et hydrosta6que, avec conserva6on de l eau). Ici aussi, si l on veut être précis, il faut considérer la capacité thermique de l air humide c pt On voit que pour l énergie sta6que sèche h es définie précédemment: h es = c p T + gz Il faut prendre: c p = c pd + wc pv qui est constante pour des transforma6ons sans changement de phase. 3

Gradient adiaba6que de l air saturé Pour exprimer le gradient adiaba6que de l air saturé, il faut donc développer: ( ) d w s l v dl = w v dz s dz + l dw s v dz La varia6on de l enthalpie de vaporisa6on avec z peut se décomposer en: dl v dz = dl v dt dt dz = ( c pv c l) dt dz Le rapport de mélange saturant w s =εe s /p d va varier en fonc6on de z comme: 1 dw s w s dz = 1 de s e s dz 1 dp d p d dz Ici encore, on considère que la pression de la parcelle nuageuse est la même que la pression ambiante. Si l on considère que, l approxima6on hydrosta6que s applique à l air sec: 1 dw s w s dz = 1 de s e s dt dt dz + g R d T L équa6on de Clausius- Clapeyron donne alors: 1 w s dw s dz = l v dt R v T 2 dz + g R d T L expression complète du gradient adiaba6que humide est donc: dt dz = g c pz 1+ w s + l v w s R d T + l v 2 w s c pz c pz R v T 2 1+ w s c pv c l En considérant que w s <<1, et comme ε=r d /R v, cela se simplifie en: dt dz = g c pz 1+ l v w s R d T 1+ εl 2 v w s c pz R d T 2 31

2-2 -13-1 -12 1 2-11 3 4-1 5-9 -8-7 -6-5 13 14 15-4 -3-2 dt dp = RT pc pz 1+ l v w s R d T 1+ εl v 2 w s c pz R d T 2 3 12 11 R = R d + w s R v 1+ w s -3 1 4 5 6 7 8 9 1-4 -1 1 2 3 4 8 9 7 6 Si l on prend un c pz constant (courbe en,rets noirs, uniquement pour T sol =3 C), le c p devient plus grand en al6tude (à tort) et le dt/dz trop faible -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 Les courbes en,rets verts représentent le profil de température calculé en intégrant ver6calement le gradient de température créé par un processus pseudo- adiaba6que saturé pour T(1)=, 15, 3 et 35 C (c pz =c pd +w s (T z )*c l et l v et R varie aussi en fonc6on de T z.) Une parcelle saturée soulevée pseudo- adiaba6quement (évacua6on de l eau liquide) ou compressée pseudo- adiaba6quement (évapora6on pour maintenir la satura6on) suivra ces courbes. Ce sont des courbes équivalentes qui sont reportées dans les diagrammes «skew- T» (ou émagrammes obliques à 45 ). 32

Température poten6elle équivalente pseudo- adiaba6que Les courbes correspondants à l intégrale du gradient pseudo- adiaba6que saturé (courbes en 6rets verts ci- dessus) peuvent également être représentée comme des isolignes d une température poten6elle équivalente «pseudo- adiaba6que». Dans un tel processus la parcelle d air subit donc deux transforma6ons: Une ascendance jusqu à une pression nulle, ou toute l eau condensée a été supprimée. L eau liquide est extraite de la parcelle d air au fur et à mesure de sa forma6on. D où le caractère «pseudo» adiaba6que. La parcelle est alors compressée adiaba6quement jusqu à la pression de référence (1hPa) Dans ce processus pseudo- adiaba6que, la température poten6elle est conservée jusqu au niveau de condensa9on. Au delà, l excès de vapeur d eau se condense et l eau liquide est éliminée au fur et à mesure de sa forma6on, r l = et l expression de l incrément d entropie est: ds p = ( c pd + w s (T )c l )d lnt " R d d ln p d + d w (T )l % s v $ ' # T & ( ) R v d w s (T )lnr 33

Température poten6elle équivalente pseudo- adiaba6que La capacité thermique de la parcelle (c pt ) n est plus constante mais varie en fonc6on de w. L eau va donc se condenser dans une parcelle d air de capacité thermique variable. On ne peut donc plus définir simplement un θ e, comme pour le cas adiaba6que, car la capacité thermique du mélange varie tout au long du processus. L entropie est alors: s p = c pd lnt R d ln p d + c l où T est une température très froide pour laquelle toute l eau a condensé. En considérant la température poten6elle de l air sec: T T w s (T )dlnt # θ d = T p & % ( $ ' p d R d c pd + w s (T )l v T L entropie est alors: s p = c pd lnθ d R d ln p + c l w s (T )dlnt + w s(t )l v R T v w s (T )lnr T On peut alors définir une température poten6elle équivalente pseudo- adiaba6que θ e comme la température d une masse d air sec qui aurait la même entropie à la pression de référence p : s p = c pd lnθ' e R d ln p L expression exacte de θ e est donc: R v w s (T )lnr T c pd T θ ' e =θ d r w s (T )R v T w s (T )l v e c pd T +c l w s (T )d lnt Il faut donc résoudre numériquement l intégrale suivant une pseudo- adiaba6que pour es6mer précisément θ e. 34

r ici, w dans le cours! 35

r ici, w dans le cours! 36

Température pseudo- adiaba6que poten6elle du thermomètre mouillé Si on veut tracer l ensemble des pseudo- adiaba6qes depuis le niveau 1 hpa, il faut considérer un processus saturé depuis ce niveau. Dans ce cas, on ne considère plus T K et T L dans les formules précédentes mais simplement la température du thermomètre mouillé T w pour chaque couple (T, p). La formule correspondante de θ w est alors: # 1& θ' w = T w % ( $ p ' R d c pd e w s 1+.81w s ( ) 3376 & 2.54( T w ' Si les isolignes de θ w sont libellées comme la température T 1 correspondant à son intersec6on de l isobare 1hPa (au lieu de la vraie valeur correspondante de θ w ), on ob6ent des courbes très proches des profils «nuageux» obtenus précédemment en intégrant les gradients adiaba6ques humides à par6r de cede température T 1. Dans le schéma suivant, les labels des isolignes représentent les vraies valeurs de θ w. # % $ 37

1g/kg 4g/kg 1g/kg.1g/kg -13-12 -11-1 -9-8 -7 14-2 -1 1 8 9 1 13 2 6 12 3 4 5 7 2 3 4-3 -5 11-3 Tirets verts pour les profils nuageux résultant de l intégra6on des gradients pseudo- adiaba6ques saturés (méthode numérique «moderne») 5 6 7 8 9 1-4 -4-29 -18-5 -1 1-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 31 1 45 62 2 84 113 3 151 25 4 Tirets bleus pour les isolignes de θ w Pour un calcul précis d un profil nuageux dans un modèle, il est préférable d intégrer ver6calement le gradient local de température pour une parcelle saturée. Cela permet en outre: De considérer facilement une phase glace (c et l v différents) à par6r d un certain niveau De considérer l effet très important de l entrainement d air (plus sec et plus froid) de l environnement. En revanche, une es6ma6on de l instabilité du profil à par6r des émagrammes reste une ou6l intéressant pour les prévisions à court terme. 38

1g/kg 4g/kg 1g/kg.1g/kg -13-12 -11-1 -9-8 -7 12 14 15 5 1-2 -1 3 13 2 4-5 -4 2 3-3 -2 11 Les courbes (droites) violeees sont des iso- w s dans le repère (T, P) 4-3 1 9 Ce sont tous les couples (T, P) donnant le même w s. 5 8 6 7 8 9 1-4 -1 T -5-4 -3-2 -1 1 d T,p 2 3 s 4 T LCL,P LCL 1 2 7 6 Pour finir, on ajoute les courbes de w s =constante dans le diagramme T- Ln(P). ln e s = l " v 1 $ 1 e R v # T T " T = $ # 1 T R v l v ln e s e % ' & % ' & 1 On trace T=f(P) pour w s =constante " = 1 R v $ ln # T l v e w s p ε + w s ( ) % ' & 1 Connaissant T d au sol, on ob6ent w=w s (p s,t d ). Cela permet de trouver la pression et la température du niveau de condensa6on (LCL, li ing condensa6on level). L isentrope sèche partant de la surface croise la courbe w=w s (p s, T d )=w s (p LCL, T LCL ), avec θ(p s, T s )=θ(p LCL, T LCL ). 39

Astuce Trouver la pression de vapeur et la pression de vapeur saturante à par6r du diagramme «skew- T» On u6lise la rela6on: w = ρ v e = ε ρ d p e εe p w[g / kg] 622e p Pour p=622hpa, e=w[g/kg] 4

Pour les faibles w, les isentropes sèches et humides sont parallèles w s constant θ constant θ w constant Les mesures en rouge! T LCL,P LCL T d T w T,p T e θ w θ e Pour la parcelle d air considérée à (T,p): θ w est typiquement la limite froide lors d une descente précipitante. La pluie s évapore et refroidie la parcelle lors de la descente, tout en tendant à maintenir un air saturé. θ e sera typiquement la température adeinte par une subsidence sèche dans l environnement. C est l origine des inversions de température à grande échelle. En fait, le mélange et le refroidissement radia6f lors des descentes lentes font que cede température n est pas adeinte. 41