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3. Magasins 2 On a relevé les chiffres d affaires mensuels d un certain nombre de magasins : C.A. euros Nombre de magasins 50 000-55 000 10 55 000-60 000 20 60 000-70 000 32 70 000-80 000 21 80 000-100 000 17 a) Histogramme. Bien indiquer l échelle. b) Diagramme cumulatif. Expliquer comment on doit le lire. c) Mode et étendue. d) Médiane. e) Moyenne et écart-type (avec changement de variable). N.B. Préciser les unités et expliquer la signification pratique de chacune des caractéristiques. 4. Du pain sur la planche Une étude statistique a été réalisée sur les 60 boulangeries d'une ville. On a relevé le nombre d'employés dans chaque boulangerie. Les données rassemblées sont présentées dans le tableau suivant : Nombre d'employés 2 3 4 5 total Nombre de boulangeries 25 15 12 8 60 On demande de représenter graphiquement les effectifs les effectifs cumulés. Calculer aussi les caractéristiques suivantes : mode, étendue, médiane, moyenne, écart-type Préciser comment doit se lire chaque graphique et interpréter chaque caractéristique. N.B. Les calculs doivent être détaillés dans un tableau.
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9 3. Étude des chiffres d affaires de 100 magasins Dans cette étude, les individus sont les magasins et la variable, c est le chiffre d affaires. Le chiffre d affaires est variable d un magasin à l autre. Les nombres de magasins représentent les effectifs. L étude porte sur 100 magasins au total. C.A. euros Nombre de magasins Effectifs cumulés 50 000-55 000 10 10 55 000-60 000 20 30 60 000-70 000 32 62 70 000-80 000 21 83 80 000-100 000 17 100 100 histogramme 20 32 5 =5 magasins 10 21 17 CA 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000 110 000 euros effectifs cumulés 100 80 60 40 20 CA 0 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000 110 000 euros Le point de coordonnées (70 000 ; 60), par exemple, signifie qu il y a 60 magasins avec des chiffres d affaires inférieurs à 70 000 euros. La classe modale est la classe 55 000 à 60 000 euros de CA. Le mode est 57 500 euros. C est le chiffre d affaires rencontré le plus fréquemment. L étendue est 50 000 euros (100 000 50 000). Entre les chiffres d affaires de 2 magasins, quels qu ils soient, il n y a jamais plus de 50 000 euros d écart.
10 La médiane Me partage l effectif en deux partie égales : 50 magasins de chaque côté. On a ici : 30 magasins qui réalisent un CA inférieur à 60 000 50 magasins qui réalisent un CA inférieur à Me 62 magasins qui réalisent un CA inférieur à 70 000 50 30 Me = 60000 + (70000 60000) 62 30 Me = 60000 + 20 32 10000 Me = 66 250 euros (interpolation linéaire) La moitié des magasins ont un chiffre d affaires inférieur à 66 250 euros. Changement de variable pour simplifier les calculs de moyenne et d écart-type : Z i = ( x i 6 5000 ) / 25 000 (on calcule avec les centres de classes) n i x i x i - 65000 Z i n i Z i 2 n i Z i 10 52 500-12 500-5 -50 250 20 57 500-7 500-3 -60 180 32 65 000 0 0 0 0 21 75 000 10 000 4 84 336 17 90 000 25 000 10 170 1 700 100 totaux 144 2 466 Z = 1,44 (moyenne de la variable Z) V z = 24,66 (1,44) 2 = 22,59 (variance pour la variable Z) σ z = 4,75 (écart-type pour la variable Z) Pour revenir à la variable x (chiffres d affaires) : x i = 2 500 Z i + 65 000 x = 2 500 Z + 65 000 = 68 600 (moyenne de la variable x) σ x =2 500 σ z = 11 881,29 (écart-type pour la variable x) Le chiffre d affaires moyen est de 68 600 euros. Ceci signifie que si tous les magasins avaient un chiffre d affaires de 68 600 euros, le chiffre d affaires total resterait le même. 68 600 euros, c est la part du chiffre d affaires qui reviendrait à chaque magasin, si on faisait une répartition uniforme du chiffre d affaires total, c est-à-dire si tous les magasins avaient la même part du chiffre d affaires total. L écart-type est de 11 881 euros (arrondi). Ce chiffre donne une mesure de la dispersion des chiffres d affaires autour de la moyenne. Les écarts autour de la moyenne sont en moyenne (en moyenne quadratique, pour être précis) de 11 881 euros. On peut écrire que les chiffres d affaires sont de 68 600 ± 11 881 à condition de comprendre que 11 881 n est pas un maximum. Certains écarts sont supérieurs à ce chiffre et d autres lui sont inférieurs.
11 4. Du pain sur la planche Nombre d'employés Nombre de boulangeries effectifs cumulés fréquences en % fréquences cumulées 2 25 25 41,67 41,67 3 15 40 25,00 66,67 4 12 52 20,00 86,67 5 8 60 13,33 100,00 60 100,00 La population est constituée par un ensemble de 60 boulangeries. Les individus sont les boulangeries. La variable est le nombre de personnes employées dans chaque boulangerie. Le nombre d'employés est variable d'une boulangerie à l'autre. Il s'agit d'une variable discrète. Les effectifs sont les nombres de boulangeries. Il y a, par exemple, 15 boulangeries qui emploient 3 personnes. L'effectif total est de 60 boulangeries. Les fréquences sont des effectifs ramenés à une population de 100 boulangeries. y boulangeries 25 20 15 10 5 Diagramme en bâtons 0 2 3 4 5 Il y a y boulangeries qui emploient x personnes. x employés Y boulangeries 60 50 40 30 20 diagramme de effectifs cumulés croissants 10 0 0 1 2 3 4 5 6 Il y a Y boulangeries qui emploient au maximum x personnes. Il y a Y boulangeries qui n'emploient pas plus de x personnes. x employés
12 Mode L'effectif le plus élevé est 25. Il est atteint pour la valeur de la variable x = 2. Le mode est 2 employés. Il correspond à la situation la plus fréquente. Étendue Les valeurs extrêmes de la variable sont 2 et 5, soit un écart de 3. L'étendue est 3 employés. L'écart entre les nombres d'employés de 2 boulangeries n'est jamais supérieur à 3. Médiane Si l'on considère la liste des boulangeries classées par ordre croissant des nombres d'employés, le milieu de la liste se situe entre les boulangeries n 30 et 31 qui emploient chacune 3 personnes. Dans cette statistique, la médiane est 3 employés. Moyenne Pour déterminer la moyenne et l'écart-type, on dresse le tableau de calculs suivant : x i n i n i x i n i x i 2 2 25 50 100 3 15 45 135 4 12 48 192 5 8 40 200 60 183 627 Il y a 183 employés au total dans 60 boulangeries, soit une moyenne de 3,05 employés par boulangerie. Si les 183 employés étaient répartis de manière uniforme dans les 60 boulangeries, il y en aurait 3,05 dans chacune. Écart-type L'écart-type est la moyenne quadratique des écarts à la moyenne. On calcule d'abord la variance V qui est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L'écart-type σ est alors la racine carrée de la variance. Le calcul de la variance est plus simple en utilisant la formule développée : moyenne des carrés moins carré de la moyenne. V = 627 / 60 (3,05) 2 = 1,1475 σ = V = 1,07 L'écart-type est 1,07 employés. Il s'agit d'une mesure de dispersion : toutes les boulangeries n'ont pas 3,05 employés : le nombre d'employés dans chaque boulangerie s'écarte de ce chiffre moyen de ± 1,07 employés en moyenne. En arrondissant légèrement, on peut dire qu'il y a, en moyenne, 3 employés par boulangerie avec des écarts en plus ou en moins de 1 employé, en moyenne.