Systèmes logiques combinatoires 1. Introduction Système de commande logique 2. Algèbre de Boole 3. Représentation d une fonction logique 4. Simplification algébrique 5. Simplification graphique 6. Réalisation 7. Utilisation des fonctions universelles
Structure d un système automatisé Ensemble des moyens de traitement de l information, assure la commande et coordination des tâches de la PO Agit sur la matière d œuvre
Types d information traitée par la partie commande S=1 S=0 Grandeurs physiques prenant une infinité de valeurs avec variation continue Résultat d un codage de l information analogique Signal n admettant que 2 valeurs 1/0, correspondant à 2 états vrai/faux: S = [w(t) > 5]
Système de commande logique Variables de type Tout Ou Rien: vrai ou faux, 1 ou 0
Système de commande logique Variables de type Tout Ou Rien: vrai ou faux, 1 ou 0 Entrées exprimées à l aide de participes passés Frontière Sorties exprimées à l aide de verbes à l infinitif Système combinatoire: à chaque combinaison des entrées correspond un et seul état de la sortie
2. Algèbre de Boole Equation logique : expression algébrique d une fonction logique à l aide des opérateurs logiques de Boole Exemple : S=a.b+c s interprète «a.b+c=0 S=0» et «a.b+c=1 S=1» Table de vérité
2. Algèbre de Boole Equation logique : expression algébrique d une fonction logique à l aide des opérateurs logiques de Boole Exemple : S=a.b+c s interprète «a.b+c=0 S=0» et «a.b+c=1 S=1» Algèbre de Boole Ensemble B ={ 0, 1} OUI - Relation d équivalence B B S = a Georges Boole 1815-1864 NON - Loi de complémentation B B a S = a OU - Somme logique: B² B (a,b) S = a + b ET - Produit logique: B² B (a,b) S = a. b
2. Algèbre de Boole - Propriétés et théorèmes b+a (a+b).(a+c) (a+b) + c a b.a a.b+a.c (a.b).c a 1 0 1 0 a a a = a Le produit ET est prioritaire sur la somme OU Théorème de De Morgan Absorption Identités remarquables
3. Représentation d une fonction logique Chaque sortie S j s exprime comme en fonction des entrées e i à l aide d opérateurs logiques S j = f(e i ). Les fonctions logiques expriment les raisons pour lesquelles des actions sont exécutées (causalité) en fonction des informations d entrée, on connait l état de S j à chaque instant t si l on connait l état des entrées e i à chaque instant t. Phrase explicitant la fonction
3. Représentation d une fonction logique Chaque sortie S j s exprime comme en fonction des entrées e i à l aide d opérateurs logiques S j = f(e i ) Table de vérité: état de la sortie (ou fonction logique) en fonction des états des variables d entrée Etats des entrées en binaire naturel ou binaire pur nombre ou mot base Chiffre ou digit
3. Représentation d une fonction logique Equation logique: expression algébrique d une fonction logique à l aide des opérateurs logiques de Boole 2 formes canoniques : «sommes de produits» et «produits de sommes» Equation logique S = f(a,b,c) a b c S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0
Réalisation d une fonction logique 1- Simplification de la fonction logique 2 - Recomposition de la fonction à l aide de cellules universelles 3 - Réalisation technologique
4. Simplification algébrique d une fonction logique
5. Simplification par Tableaux de Karnaugh Binaire réfléchi ou code Gray Passage d un nombre au suivant en ne changeant la valeur de qu un seul bit, s obtient par symétrie.
Rappel: inconvénient du binaire naturel permet de coder les chiffres décimaux de 0 à 9 sur 4 bits, le codage est optimal. Inconvénient : code peu fiable
5. Simplification par Tableaux de Karnaugh Exemple: 1 ligne de la table de vérité 1 case du tableau de Karnaugh On remarque que lorsqu on change de case une seule variable change
5. Simplification par Tableaux de Karnaugh Colonnes adjacentes
5. Simplification par Tableaux de Karnaugh Exemple:
6. Réalisation d une fonction logique Technologie électrique à contacts Schéma à contacts ou LADDER ou schéma à échelle http://admr.cad.free.fr/ logiciel contact Exemple: S = a+b Bouton poussoir 2 types de contact a
6. Réalisation d une fonction logique Technologie électrique à contacts Schéma à contacts ou LADDER ou schéma à échelle
6. Réalisation d une fonction logique Technologie pneumatique/électronique Logigramme: technologie à base de cellules normalisées
6. Réalisation d une fonction logique Technologie pneumatique/électronique Logigramme: technologie à base de cellules normalisées Technologie pneumatique Cellule NON Cellule OU Cellule ET Technologie électronique À base de transistor (physique PSI) Circuit intégré
6. Réalisation d une fonction logique Technologie pneumatique/électronique Logigramme b.c b.c+a a+c (b.c+a).(a+c)
6. Réalisation d une fonction logique http://admr.cad.free.fr/ logiciel logi Logigramme
7. Recomposition à l aide de cellules universelles Opérateur universel (ou complet): Opérateur avec lequel on peut réaliser les opérations logiques de base NON, ET, OU Intérêt : On peut alors réaliser n importe quelle fonction à l aide d un unique opérateur logique Exemple: Montrons que l IMPLICATION est une fonction universelle ( a + b )
ANNEXES Code GRAY symétries Codeur absolu
Codeur absolu