Pierre Proulx, ing PhD, professeur Phénomènes d échanges I: GCH200 Supplément au livre de Bird, Stewart, Lightfoot: Transport Phenomena qui est utilisé comme texte de référence
Phénomènes d échanges I: GCH200 Ces transparents doivent être utilisés comme suppléments au livre de Bird, ils seront utiles dans la mesure ou ils complètent la lecture des sections du livre qui sont indiquées Ils viennent parfois ajouter des précisions dans les développements faits dans le livre ou aident à comprendre les développements mathématiques effectués
Section 1: les propriétés d échange Chapitre 1: la viscosité Lecture essentielle: pages 11 à 29, lecture suggérée 29-37 Chapitre 9: la conductivité thermique Lecture essentielle: pages 266 à 278, lecture suggérée pages 279-284 Chapitre 17: la diffusivité Lecture essentielle: pages 513 à 528, 533-537, lecture suggérée 528-532
Chapitre 1 Viscosité et loi de Newton Introduction de la notion de viscosité (11) Loi de Newton généralisée (12) Newtonien vs non-newtonien Viscosité des gaz, comment la calculer théorie cinétique relations empiriques Viscosité des liquides relations empiriques
Chapitre 1 Viscosité et loi de Newton Introduction de la notion de viscosité (Section 11 de Transport Phenomena et ajouts)
Profil transitoire de vitesse Fluide au repos entre deux plaques infinies immobiles Plaque inférieure soudainement accélérée Profil après t Profil en état de régime
Analogie de la gare de triage Imaginons une très grande gare de triage, avec un très grand nombre de trains parallèles, plein de passagers fous 0 i-1 i i+1 N
Analogie de la gare de triage Le train N est ancré sur le quai Au temps t=t, le train 0 démarre à la vitesse V 0 i-1 i i+1 N
Analogie de la gare de triage C est à ce moment ou intervient l importante notion de passagers fous En effet, ces passagers, uniformément distribués dans tous les trains, transportent tous un nombre important de boulets de canon, qu ils balancent allègrement aux passagers des autres trains par les fenêtres 0 i-1 i i+1 N
Analogie de la gare de triage Ces boulets lancés par les passagers vont éventuellement causer un transfert de quantité de mouvement, car on verra le train 1 commencer à bouger, sous l impulsion des boulets lancés par les passagers du train 0, et ainsi de suite jusqu à ce qu un état de régime s établisse 0 i-1 i i+1 N
Analogie de la gare de triage i-1 i i+1 Le taux de transfert net de momentum sur le train numéro i est donc donné par le bilan suivant: v(i-1) (Boulets provenant de i-1) - v(i) (Boulets partant de i) - v(i+1) (Boulets provenant de i+1) - v(i) (Boulets partant de i)
Analogie de la gare de triage i-1 i i+1 Quelques calculs maintenant: Les boulets ont une masse M Les passagers fous lancent des boulets à un taux de Z boulets par seconde Le taux de transfert net sur le train numéro i est donc donné par : { ZM v ZM v } { ZM v ZM v } i-1 i i + 1 i
Analogie de la gare de triage i-1 i i+1 On obtient donc: T { ZM } { v } = ZM v i-1 i+ 1 Si on arrête ici, ce résultat n est pas très utile, v i-1 correspond à quoi dans un fluide? Il faut continuer pour obtenir un résultat plus intéressant Maintenant abandonnons un peu la gare de triage pour revenir à notre véritable but: obtenir par une analogie la loi de Newton Pour avoir une expression mieux adaptée aux fluides que celle présentée ci-haut on utilisera, au lieu de v i-1 et v i+i, une approximation différentielle
Analogie de la gare de triage i-1 i i+1 Ainsi, en utilisant la série de Taylor, on remplacera les valeurs i-1 et i+1 par une expression plus utile Négligeons les termes d ordre supérieur à 1 En faisant ceci, on suppose que v(x) est une droite de pente dv/dx v v i-1 i+ 1 = = v i v i + dv dx dv dx i i ( x ( x i 1 i+ 1 x i x i ) ) + +
Analogie de la gare de triage i-1 i i+1 { Remplaçons dans le bilan obtenu ZM } { ZM v } ces deux valeurs de v: v i-1 i+ 1 v dv dv = v v i ( xi 1 xi ) et = v ( i -1 dx i + xi+ i + 1 dx 1 x i ) }={ {ZM v } {ZM v ZM } { v i-1 i 1 i dv dx h ZM v i dv dx h } h = x i+1 -x i = x i -x i-1
Analogie de la gare de triage i-1 i i+1 On obtient donc finalement: {ZM v i-1 } {ZM v i 1 }= {2ZMh } dv Τ = {2ZMh } dv dx i Ou plus simplement, le taux de transfert de momentum est: C est la «viscosité» dx
Analogie de la gare de triage i-1 i i+1 Τ = {2ZMh } dv dx Cette expression nous montre qu avec un développement très simplifié on obtient bien la loi de Newton, et que la constante «viscosité» est proportionnelle à: la masse une distance un taux de transport
Loi de Newton: interprétation macroscopique F A =μ ΔV ΔY 0 V = μ Y 0 v v x y 0 La force de friction par unité de surface est proportionnelle à la viscosité et au gradient de vitesse (le taux de changement de la vitesse) τ yx 0 Loi de Newton, interprétation: microscopique différentielle ponctuelle y Sous forme différentielle τ yx = μ dv x dy
Unités usuelles Force Newtons (kg-m/sec 2 ) Énergie Joules(kg-m 2 /sec 2 ) Puissance Viscosité Conductivité thermique Watts (joules/sec) Kg/m-sec W/m-K Flux de momentum Kg/m-sec 2 (Newton/m 2 ) Flux de masse Kg/m 2 -sec Flux d énergie W/m 2
Viscosités de fluides usuels, à 20 degrés C et 1 atm (kg/m-sec) Eau 0001 Air 00000187 Huile 0799 Azote 00000178 Acétone 000033 CO 2 0000015 Alcool é 00012 CH 4 000001 Alcool m 000058 Mercure 000155
Flux de momentum, convention v x v x y < 0 τ yx 0 y
Flux de momentum, convention v x v x y > 0 τ yx 0 y
Exemple: deux très grandes plaques distantes de 1 mm, séparées par de l eau La plaque supérieure a une vitesse de 1 m/sec 1 m/sec 1 mm µ = 0001 kg/m-sec
Fluides non-newtoniens: modèle de Bingham τ yx = η dv x dy Une viscosité apparente, ou pseudo-viscosité τ yx = μ 0 dv x dy ±τ 0 si τ yx τ 0 Comme un fluide Newtonien τ yx =0 si τ yx τ 0 Comme un solide
Fluides non-newtoniens: modèle de Bingham τ yx = η dv x dy τ yx τ 0 τ 0 Ce comportement est celui d un fluide qui se comporte comme un solide lorsqu on exerce une faible pression dessus Lorsque la pression est assez forte ils se comportent comme un fluide Newtonien dv x dy
Fluides non-newtoniens: modèle de puissance τ = m dv n 1 x yx dy dv x dy τ yx n=1, Newtonien n<1, pseudoplastique n>1, dilatant Remarquez que le fluide pseudoplastique ressemble au fluide de Bingham, de plus en plus si n devient petit dv x dy
Comportement pseudoplastique, une explication possible Polymères en suspension orientés de façon aléatoire Polymères s orientant sous l effet du cisaillement
Détermination de la viscosité des gaz Plusieurs approches: données disponibles dans la littérature technique corrélations générales, méthodes empiriques théories générales
Méthodes empiriques Utilisation du graphe 13-1 de BSL 1: (Graphe 13-1)On connaît la viscosité µ d un gaz en un point, et on connaît les propriétés critiques T et P On évalue alors sur c c le graphique la valeur de µ sur le graphe et R ensuite la valeur de µ sera évaluée en faisant C simplement µ = µ /µ Par la suite il sera C R facile de déterminer la viscosité en tout autre point
Méthodes empiriques Utilisation du graphe 13-1 de BSL 2: (graphe 13-1)On connaît les propriétés critiques T et p et V On détermine la c c c viscosité critique en utilisant: μ c =616 MT c 1/2 V c 2/3 ou μ c =7 70 M 1/ 2 p c 2 /3 T c 1 /6 μ c en micropoises, p c en atm, T c en K, V c en cc/g mole
Illustration de la théorie cinétique Théorie cinétique des gaz Méthode basée sur la théorie moléculaire On considère alors le gaz comme constitué d un grand nombre de particules Les propriétés macroscopiques (densité, viscosité, pression, etc ) sont alors la conséquence du comportement microscopique des gaz C est tout à fait notre analogie des trains!
Distribution de Maxwell Nombre d atomes ayant une vitesse donnée 160 140 120 100 80 60 40 20 0 À 300 degrés À 600 degrés 0 200 400 600 800 1000 1200 Vitesse des atomes Les atomes n ont pas tous la même vitesse, la température est donc une mesure de la vitesse moyenne (au carré)
Distribution des vitesses moléculaires (Maxwell-Boltzmann 1877) f u =4 n u 2 m 2 k T 3 2 e mu2 2k T U est la vitesse des molécules, n le nombre de molécules par unité de volume, m la masse d'une molécule et T la température absolue k est la constante de Boltzmann Cette distribution permet de calculer les vitesses moyennes, entre autres On peut l'intégrer afin d'obtenir, par exemple, la fraction des molécules se déplacant entre deux vitesses connues, ce qui revient à dire entre deux énergies connues Réécrivons-la ainsi: On peut alors écrire la fraction de molécules qui U 2 ont une vitesse entre u=u 1 et u=u 2 comme: F U 1 U 2 = f u = Au 2 e U 1 0 B u2 Au 2 e B u2 du Au 2 e B u2 du
U F U 1 U 2 = 1 U 2 u 2 e Bu 2 du 0 u 2 e B u2 du Ce type d'intégrale se fait en utilisant l'intégration par parties, et on rencontrera alors une fonction appelée fonction erreur', notée erf
U F U 1 U 2 = 1 U 2 u 2 e Bu2 du 0 u 2 e B u2 du u 2 e Bu2 du f dg= fg gdf f : u 2 df : 2udu dg :e Bu 2 du g : e B u 2Bu 2 u 2 e B u2 du=u 2 e B u 2 2 2Bu e B u u 2 e Bu 2 du= u e B u 2B 2 Donc, la fraction de molécules ayant une vitesse entre U 1 et U 2 peut etre obtenue: 4B 3 2 2Bu 2udu erf B u U 2 u 2 e Bu2 du U F U 1 U 2 = 1 0 u 2 e B u2 du =[ ue B u 2 2B [ ue B u 2 2B 4B 3 2 4B 3 2 U 2 erf B u ]U 1 erf B u ]0
L'intégrale au dénominateur est facilement obtenue: F U 1 U 2 =[ u B u e 2 2B U 2 erf 3 B 2 4B u ]U 1 [ ] 3 2 4B Celle au numérateur est aussi facilement calculée lorsqu'on a évalué la constante B Pour le cas de l'argon à 400 degrés K, cette valeur est de 1203 x 10-5 m est la masse d'un atome d'argon, k la constante de Boltzmann et T la température absolue Il faut évidemment utiliser des unités métriques, pas des unités impériales, des calories, des grammes, ou autres La fonction erreur est tabulée dans tous les bons livres de mathématiques, on trouve un graphe de cette fonction à la page 117 de Transport phenomena (en fait, 1-erf(x)) On obtient alors après substitution En utilisant les outils de calcul symboliques de Matlab, il est aisé de vérifier la justesse du calcul: >> int('x*x*exp(-1203e-5*x*x)',400,600)/int('x*x*exp(-1203e-5*x*x)',0,inf) ans = F 400 600 025 24402383833140597980222319670204 40 B= m 2 k T = 6023 10 26 2 138 10 23 400 =000001203
u= 8 KT 160 140 120 100 80 60 40 20 π m 0 0 200 400 600 800 1000 1200 0 u= 0 u f u du f u du 0 = 0 u u 2 e B u2 du u 2 e B u2 du
160 140 120 100 80 u = 8KT π m 60 40 20 0 0 200 400 600 800 1000 1200 la vitesse moyenne des atomes de gaz, obtenue en intégrant la distribution de Maxwell Le libre parcours moyen entre deux collisions atomiques λ = 1 2 π d 2 n ou a= 2 3 λ
Collisions entre molécules Illustration des collisions réelles entre atomes et molécules Collision idéalisée (billard) Collision réelle
Application de la théorie cinétique simple Problème: Calculer la vitesse moyenne, libre parcours moyen et viscosité de l argon à 293 et 3000 degrés K par la méthode de la théorie cinétique basée sur des collisions type billard Solution vitesse moyenne: u 293K= 8 KT π m = 8 1 38 10 23 293 =393 7m /s 3 1416 40 /6 023 10 26 u 3000 K= 8 KT π m = 8 138 10 23 3000 =1259 7m /s 26 3 1416 40/6023 10
Application de la théorie cinétique simple Vitesse moyenne et libre parcours moyen de l argon à 293 et 3000 degrés K Solution libre parcours moyen: Par la loi des gaz parfaits on trouve n=2498x10 25 atomes/m 3 à 293 K Par l appendice B-1 on trouve d=σ =3418 Angstrom λ 293K = 1 2 π d 2 n =1 2 π 3 418 10 10 2 2 498 10 25 =7 7 10 8 m λ 3000 K = 1 2 π d 2 n =1 2 π 3 418 10 10 2 2 4397 10 24 =7 88 10 7 m
Application de la théorie cinétique simple Vitesse moyenne et libre parcours moyen de l argon à 293 degrés K Solution viscosité: μ= 2 mkt 3π 3/2 d 2 =1 65 10 5
Application de la théorie cinétique simple Vitesse moyenne et libre parcours moyen de l argon à 3000 degrés K Solution viscosité: μ= 2 mkt 3π 3/2 d 2 =5 37 10 5
Comparaison avec mesures T µ calculé x10 5 µ mesuré x10 5 293 168 185 3000 537 121
Amélioration du modèle de collisions: attraction-répulsion sur une courte distance ψ =4ε[ σ r 12 σ r 6] ε σ Répulsion puissance 12 r m Attraction puissance 6
Amélioration du modèle de collisions: attraction-répulsion sur une courte distance (Lennard-Jones) μ = 2 6693 10 5 MT g cm 1 sec 1 σ 2 μ o T [ K ], σ [ A ] Ω et σ proviennent des tableaux E-1 et E-2, ou encore: ε K =0 77T c ε K =1 15T b ε K =1 92T m σ =0841 V c 1/3 ou 2 44 T c p c 1/3 σ =1 166 V b,liq σ =1222 1/3 V m,sol 1/3
Mélanges de gaz: comment calculer la viscosité? Formule de Wilke, équation 14-15 n μ = mix i=1 Φ ij = 1 8 1 M i M j x i μ i n j=1 1/2[ x j Φ ij 1 μ i μ j 1/2 M j M i 1 /4]2
Questions rapides du chapitre 1 Comparez la loi de Newton avec la loi de Hooke Montrez que le flux de momentum par unité de surface est l équivalent d une pression Qu est-ce qu un fluide non-newtonien? Quelle discipline des mathématiques Newton a-t-il révolutionné Comment varie la viscosité des liquides et des gaz en fonction de la température? Que représentent les paramètres σ et ε?
Problèmes (fortement) suggérés Chapitre 1 1A1, 1A2, 1A4, 1C1utilisez Matlab
Problème 1A3: o 5 MT 1 1 l équation à utiliser est: µ = 26693 10 g cm sec T [ K], σ [A] 2 σ Ω µ O 2 σ =3433 ε /K=113 M=32 ===>KT/ε = 259 De B-1 N 2 σ =3681 ε /K=915 M=2802 ===>KT/ε = 32 De B-2 CH 4 σ =3822 ε /K=137 M=1604 ===>KT/ε = 214 O 2 Ω =108 N 2 Ω =1022 CH 4 Ω =1149 µ µ µ O N 2 2 CH 4 = 26693 10 = 26693 10 5 5 = 26693 10 5 32 293 = 2 3433 108 2802 293 = 17466 10 2 3681 1022 1604 293 2 3822 1149 20306 10 4 4 = 10903 10 p = 0020306cp 4 p = 0017466cp p = 0010903cp
Problème 1A4: l équation à utiliser est: μ mix = i=1 Calculs préliminaires n n j=1 M 1 =101, M 2 =2, μ 1 =124,μ 2 =88 4 x i μ i x j Φ ij, Φ ij = 1 8 1 M i M j Φ 12 = 1 8 1 101 1/2 [ 2 1 124 1/2 2 1/ 4]2 =010277 88 4 101 Φ 21 = 1 8 1 2 1/2[ 101 1 88 4 1/2 101 1/ 4 124 2 ]2 =3 6998 1/2[ 1/2 1 μ i M 1/ 4 j μ j M i ]2 Φ 11 =Φ 22 = 1 8 1 101 1/2 [ 101 1 124 1/ 2 101 1/ 4]2 =1 124 101 2 j= 1 2 j= 1 05 Φ 05 Φ 1 j 2 j = 05 1+ 05 010277 = 0551385 = 05 36998 + 05 1 = 23499 µ mix = = Calcul final 05 124 0551385 131 10 6 = 05 884 + 23499 00131 cp
Problème supplémentaire du chapitre 1 Un arbre de transmission de 25 mm de diamètre et de 300 mm de longueur tourne à 8000 rpm Le cylindre qui l entoure a un diamètre de 2525 mm et une huile de viscosité 0023 kg/m-sec est utilisée comme lubrifiant Quelle est la puissance nécessaire pour faire tourner l arbre? 2525 mm
Solution Hypothèse: courbure négligeable, alors le problème peut être traité comme si on avait deux plans parallèles Vitesse linéaire de l arbre: Par la loi de Newton: = μ dv dr 8000 v = 2π r = 1047m / sec 60 1047 = 0023 =1926 N /m2 0000125 Force= taux de cisaillement x surface Puissance=Moment x vitesse angulaire F= 2πrL 926 x 2 π 00125 x 03 454N P=M ω=f r ω =454 00125 2π 8000 60 =475W
La fonction gamma est définie à partir de: Γ x = 0 e y y x 1 dy, x 0 et Γ x 1 = e y y x dy 0 Γ x 1 =xγ x Γ 1 =1 Γ 1 2 = π Cette fonction est tabulée dans tout bon livre (de maths!) et devrait apparaître dans un bon tableur (Excel?)