PRISME ET RESEAU APPLICATION A LA MESURE DE LONGUEURS D'ONDE PARTIE THEORIQUE A - RESEAUX 1 - Définition On appelle réseau plan le système constitué par un grand nombre de fentes fines, parallèles, égales et équidistantes, situées dans un même plan. Ces fentes sont appelées les traits du réseau. On caractérise un réseau : - par sa période a, c'est-à-dire par la distance qui sépare 2 points homologues de 2 fentes voisines. - ou plus souvent, par le nombre N de traits par unité de longueur. Evidemment, N.a = 1, N = 1/a. Le réseau est éclairé en lumière parallèle et l'on observe la figure de diffraction à l'infini qu'il produit. Le dispositif expérimental est celui que l'on adopte pour l'étude de tous les phénomènes de diffraction à l'infini. Un collimateur fournit la lumière parallèle qui tombe sur le réseau sous l'incidence i et l'on observe la lumière diffractée dans la direction i' à l'aide d'une lunette visant à l'infini. Dans la pratique, il existe deux types de réseaux : 1 - Les réseaux par transmission, obtenus en traçant des sillons opaques sur une surface transparente. On montre, par application du théorème de Babinet des écrans complémentaires, que la figure de diffraction obtenue est la même que celle produite par des fentes transparentes percées dans un écran opaque. 2 - Les réseaux par réflexion obtenus en traçant des traits sur une surface métallique polie; les sillons se comportent comme s'ils n'étaient pas réfléchissants. La manipulation se fera uniquement avec un réseau par transmission. 2 - Théorie élémentaire - Formule du réseau D'après ce qui a été dit plus haut, on peut faire le calcul en supposant que le réseau utilisé est formé de fentes fines percées dans un écran opaque. Prisme et réseau 1
2.1 - En lumière monochromatique Supposons le réseau éclairé en lumière monochromatique. La théorie de la diffraction à l'infini par une fente unique montre que : a) Si la source est elle-même une fente, la figure de diffraction est formée de franges parallèles à la fente source. On se place généralement dans le cas où fente source et fente diffringente sont parallèles. Il suffit alors pour décrire le phénomène d'étudier ce qui se passe dans un plan, dit plan de section principale perpendiculaire à la direction commune des fentes. b) Si la fente diffringente est suffisamment fine, la vibration diffractée possède à peu près la même intensité dans toutes les directions du plan de section principale (voir T.P. Diffraction). c) La vibration diffractée par une fente a même phase que la vibration qui provient de son centre. En éclairant le réseau plan par la lumière parallèle provenant d'une fente source parallèle aux traits du réseau, on observe donc une figure de diffraction formée de franges rectilignes parallèles aux traits du réseau. La position des maxima d'intensité lumineuse se calcule de la façon élémentaire suivante. La différence de marche entre deux vibrations diffractées par deux fentes voisines est : Pour une incidence i donnée, il y aura maximum d'intensité dans la direction i' si cette différence de marche est un multiple entier de la longueur d'onde λ, soit : Ce maximum est dit maximum principal. a (sin i + sin i') = p λ (1) On observe donc une série de raies intenses correspondant aux différents ordres p. Le nombre de valeurs de p accessibles est limité de façon absolue par la relation : (sin i + sin i') = 2 2.2 - En lumière polychromatique Si la lumière incidente est polychromatique, il existera pour chaque longueur d'onde présente une série de maxima principaux et l'on observera des spectres correspondant aux différents ordres p. Il n'y a évidemment pas de séparation des longueurs d'onde dans le spectre d'ordre 0 puisque sin i = sin i' quelle que soit λ. 2.3 - Théorie complète OH + OK = a (sin i + sin i' ) (On vérifiera que cette expression est valable quel que soit le cas de figure, que le réseau fonctionne par réflexion ou par transmission, à condition de compter i et i' tous deux positifs quand ils sont du même côté de la normale). Le calcul précédent n'est qu'approché. Une théorie plus complète du réseau montre qu'en lumière monochromatique, la variation d'intensité est la suivante Théorie élémentaire Théorie exacte On voit que : p-1 p p+1 p-1 p p+1 Prisme et réseau 2
a) Entre deux maxima principaux consécutifs, il existe une série de maxima secondaires d'intensité beaucoup plus faible (ils ne peuvent pas être observés dans la manipulation). b) Chaque maximum principal se présente sous la forme d'une raie dont la demi-largeur à la base est λ/l, où L est la largeur totale du réseau. 3 - Méthode du minimum de déviation Par application directe de la formule fondamentale (1), il est possible de faire une mesure relative de longueur d'onde ou de déterminer le nombre de traits par unité de longueur. En pratique la mesure de i et de i' est imprécise, car il n'est pas possible de repérer avec exactitude la direction de la normale au réseau. On élimine cette difficulté en utilisant la méthode du minimum de déviation. Par définition, la déviation est D = i + i' (même convention de signe que plus haut). Cherchons à quelle condition D est minimum dd = di + di' D'autre part, d'après (1), sin i + sin i' = Npλ. D'où cos i di + cos i' di' = 0 Donc au minimum de déviation, on a dd = 0 = di ( 1 - cos i cos i' ) La seule valeur acceptable est i = i' (i = - i' correspond au faisceau direct). La déviation est alors Dmin = 2i = 2i', et la formule fondamentale du réseau devient : 2 sin D min = p N l (2) 2 C'est cette formule qui sera utilisée dans la manipulation. B - PRISME 1 - Marche d'un rayon à travers un prisme transparent Considérons un rayon monochromatique contenu dans le plan perpendiculaire à l'arête du prisme (plan de section principale). Il traverse le prisme en subissant une réfraction à l'entrée et une à la sortie, tout en restant dans le plan d'incidence. L'angle des rayons incident et émergent est l'angle de déviation D. Les angles i, i', r, r', A et D sont définis dans le plan orienté. Les lois de la réfraction et quelques considérations géométriques simples permettent d'écrire les relations suivantes : sin i = n sin r (1) sin i' = n sin r' (2) A = r + r' (3) D = i + i' - A (4) Prisme et réseau 3
2 - Variation de D avec i D est une fonction de A, n et i. Pour un prisme donné, A et n sont fixes : la déviation est une fonction de i présentant un minimum. En différenciant les relations précédentes, il vient : cos i di = n cos r dr cos i' di' = n cos r' dr' ñ 0 = dr + dr' dd = di + di' et par conséquent? i'? i =? D? i cos i cos r' cos i' cos r = 1 +? i'? i = 1 - cos i cos r' cos i' cos r Cette dérivée est nulle pour i = i' = i m, ce qui implique r m = r' m = A/2 La valeur im est définie par sin i m = n sin (A/2) La courbe représentant la variation de D (i) est celle de la figure ci-dessous. i 0 est la valeur minimale de i, à laquelle correspond i' = p/2. On vérifie en faisant i= i 0 et i = p/2 que D passe bien par un minimum pour i = i m. Ce minimum est donné par : D m = 2 i m - A d'où sin i m = n sin A/2 = sin (A + D m )/2 Conditions d'émergence : A = 2 α avec 1 = n sin α i 0 = i = p/2 avec sin i 0 = n sin (A -α) 3 - Variation de D avec l'indice n Pour un prisme donné et un angle d'incidence donné, D croit avec n :?D?n = sin A cos i' cos r L'indice est lui-même une fonction de la longueur d'onde, donc le prisme éclairé par un rayonnement non monochromatique dévie de façons différentes les différentes longueurs d'onde. C'est un instrument dispersif. PARTIE PRATIQUE 1 - Description du goniomètre Voir le schéma détaillé dans la salle. En pratique, on mesure l'angle de déviation minimum à l'aide d'un goniomètre. Cet appareil se compose de trois parties : A une plateforme sur laquelle repose le prisme ou le réseau. Celle-ci, mobile autour d'un axe vertical, est munie d'un dispositif de blocage (1) permettant ensuite une rotation très faible au moyen d'une vis micrométrique (2). Prisme et réseau 4
B un collimateur, dispositif optique permettant d'obtenir un faisceau parallèle de lumière, muni d'une fente (3) éclairée par une lampe spectrale (4). La largeur de la fente est réglable à l'aide de la vis micrométrique (5). C une plateforme mobile autour d'un axe vertical, munie elle aussi d'un dispositif de blocage (6) permettant ensuite un réglage fin de la rotation au moyen de la vis micrométrique (7). Sur cette plateforme on distingue : * C1, une lunette autocollimatrice composée - d'un objectif (8) avec son dispositif de réglage (9) - d'un réticule (10), croisillon métallique placé perpendiculairement à l'axe optique de la lunette. Ce réticule peut être à la fois "objet" (autocollimation) et "référence" lors des mesures précises des angles (axe du système) - d'un dispositif à lame semi-transparente (11) actionné par un petit levier (12) - d'une source lumineuse interne (13) - d'un oculaire (14) permettant d'adapter l'appareil à la vue de l'observateur - d'une vis de réglage (15) placée sous la lunette autocollimatrice qui permet de régler l'horizontalité de l'axe de celle-ci * C2, un viseur muni de son oculaire (16) qui permet de repérer les rotations de l'ensemble de la plateforme C. 2 - Réglages Avant d'effectuer les mesures, il faut procéder aux réglages de l'appareil en utilisant le prisme. 2.1) Réglages optiques Pour obtenir des images nettes, il est nécessaire de travailler dans les conditions de stigmatisme rigoureux du prisme, c'est-à-dire avec un faisceau de lumière parallèle (rôle du collimateur) tombant dans une zone proche de l'arête du prisme. La lunette autocollimatrice permet de focaliser le faisceau parallèle dévié par le prisme dans son plan focal image (cf. schéma de principe ci-dessous). a - Réglage de la lunette autocollimatrice sur l'infini - Utiliser la source interne de lumière (13). - Régler l'oculaire de façon à voir l'image nette du réticule. - Placer le prisme au centre de la plateforme. - Faire tourner la lunette jusqu'à ce que l'axe optique soit à peu près perpendiculaire à une face du prisme : on voit alors apparaître un cercle plus éclairé, réflexion du faisceau incident sur cette face. - Régler le tirage de la lunette (9) de façon à observer, dans le cercle lumineux, une deuxième image nette du réticule (autocollimation) : le réticule est alors dans le plan focal de l'objectif, la lunette est dite "réglée sur l'infini". b - Réglage du collimateur sur l'infini Comme la lunette autocollimatrice a été réglée sur l'infini, on ne verra de façon nette dans l'oculaire que les objets ou sources lumineuses placés dans le plan focal objet du collimateur. - Utiliser la lampe spectrale. Prisme et réseau 5
- Avec la lunette, viser la fente lumineuse disposée derrière le collimateur. - Régler le tirage de ce dernier jusqu'à obtenir une image nette de la fente dans l'oculaire : le collimateur est dit "réglé sur l'infini" (les faisceaux qui en sortent étant parallèles). - Réduire la largeur de la fente (5). 2.2) Réglages mécaniques L'arête du prisme doit être parallèle à l'axe de rotation du goniomètre afin que les angles de déviation soient bien mesurés dans le plan de section principale du prisme. On supposera l'axe de la lunette perpendiculaire à cet axe de rotation. Le réglage est réalisé par autocollimations successives sur chacune des deux faces du prisme. A chaque autocollimation, on agit sur les vis calantes de la plateforme pour diminuer progressivement l'écart entre le réticule et son image. Lorsque le réticule et son image coïncident à peu près quelle que soit la face visée, l'axe de la lunette est alors perpendiculaire aux deux faces du prisme donc à l'arête : les pointés de la lunette se feront donc bien dans le plan perpendiculaire à cette arête. 3 - Etude qualitative Observer à l'aide d'un prisme, puis d'un réseau, le spectre d'une lampe à vapeur de cadmium. Comparer les deux spectres. En particulier, que peut-on dire de la luminosité, de la déviation en fonction de la longueur d'onde, de la séparation des raies? 4 - Etude quantitative 4.1) Mesure de l'angle de déviation minimum Observer avec la lunette l'image de la fente vue à travers le prisme (ou réseau) pour une longueur d'onde donnée. Faire pivoter simultanément la plateforme portant le prisme (ou réseau) et celle portant le viseur de façon à conserver constamment cette image : on voit alors que pour une position de la lunette, si on fait tourner le prisme (ou réseau), l'image de la fente se déplace d'abord dans un sens, passe par une position extrême, puis revient en sens inverse. Amener le centre du réticule sur cette position extrême de l'image : affiner le pointé avec le mouvement micrométrique (7) après le blocage de la plateforme (6). Dans l'oculaire du viseur, noter le repère angulaire α correspondant à ce minimum de déviation. Recommencer l'opération en intervertissant la face d'entrée et la face de sortie par rotation de la plateforme portant le prisme (sans toucher celui-ci!) : noter le repère α'. La symétrie des formules du prisme nous montre que les deux positions α et α' sont symétriques par rapport au faisceau incident. On en déduit : 2 Dm = α' - α 4.2) Application : analyse de la lampe à vapeur de cadmium En utilisant la méthode précédente, déterminer les longueurs d'onde des raies rouge, verte et bleues (2) du spectre, sans omettre l'incertitude sur ces mesures, à l'aide d'un : prisme d'angle au sommet A = 60 ± 1' et de sa courbe d'étalonnage n = f (1/λ 2 ) réseau comportant N = 534 ± 1 traits/mm (cf. valeur donnée dans la salle) Discuter la compatibilité des deux séries de mesures. Conclusion. Prisme et réseau 6