Fiche(1) Variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient dix boules indiscernables au toucher, l une d entre-elles porte le numéro 10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 3 et les autres portent le numéro 1. L expérience consiste à extraire au hasard une boule de l urne et à noter son numéro. L univers Ω de cette expérience est formé de l ensemble des 10 boules. On s intéresse aux 4 évènements suivants qui forment une partition de Ω : A 1 : «la boule extraite porte le numéro 10» ; A 2 : «la boule extraite porte le numéro 5» ; A 3 : «la boule extraite porte le numéro 3» ; A 4 : «la boule extraite porte le numéro 1». Décrire la loi de probabilité associée. Exercice 2 Un jeu consiste à lancer un dé. Le joueur empoche une somme équivalente au nombre apparu si ce nombre est un multiple de 3 et paye le montant indiqué à la banque dans le cas contraire. a) Donner la loi de probabilité associée au gain (positif ou négatif) pour une partie. b) Calculer l espérance et la variance de la loi déterminée ci-dessus. Exercice 3 Dans une kermesse, un jeu est organisé de la façon suivante : le joueur mise 10 euros puis il réalise un tirage en deux étapes : 1 re étape : le joueur tire au hasard un billet dans un panier. Dans ce panier, on a placé 10 billets marqués «U 1» et 2 billets marqués «U 2». 2 e étape : Si le joueur a obtenu un billet marqué «U 1», il tire alors un jeton dans une urne U 1 où sont placés 10 jetons marqués «Perdant» et 2 jetons marqués «Gagnant». Si le joueur a obtenu un billet marqué «U 2», il tire alors un jeton dans une urne U 2 où sont placés 7 jetons marqués «Perdant» et 5 jetons marqués «Gagnant». On note A l événement : «Le joueur a tiré un billet U 1». On note B l événement : «Le joueur a tiré un billet U 2». On note G l événement : «Le joueur a tiré un jeton marqué Gagnant». Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. 1. Construire un arbre pondéré qui décrit ce jeu. 2. Calculer la probabilité des événements (G A) et (G B). 3. Montrer que la probabilité de l événement G est égale à. 4. Quelle est la probabilité conditionnelle de l événement A par rapport à l événement G? Les événements A et G sont-ils indépendants? 5. Avec un jeton gagnant de l urne U 1, le joueur reçoit 25 ; avec un jeton gagnant de l urne U 2, il reçoit 50 ; sinon rien. On notera X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l issue du jeu. a) Quelles sont les valeurs prises par X? b) Etablir la loi de probabilité de X. c) Déterminer son espérance mathématique. Page 1 sur 8
Variable aléatoire CORRIGE Exercice 1 Une urne contient dix boules indiscernables au toucher, l une d entre-elles porte le numéro 10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 3 et les autres portent le numéro 1. L expérience consiste à extraire au hasard une boule de l urne et à noter son numéro. L univers Ω de cette expérience est formé de l ensemble des 10 boules. On s intéresse aux 4 évènements suivants qui forment une partition de Ω : A 1 : «la boule extraite porte le numéro 10» ; A 2 : «la boule extraite porte le numéro 5» ; A 3 : «la boule extraite porte le numéro 3» ; A 4 : «la boule extraite porte le numéro 1». Décrire la loi de probabilité associée. A 1 dont la probabilité est ; A 2 dont la probabilité ; A 3 dont la probabilité ; A 4 dont la probabilité. On peut établir le tableau suivant : Exercice 2 Un jeu consiste à lancer un dé. Le joueur empoche une somme équivalente au nombre apparu si ce nombre est un multiple de 3 et paye le montant indiqué à la banque dans le cas contraire. a) Donner la loi de probabilité associée au gain (positif ou négatif) pour une partie. Les gains possibles sont les suivants : Face 1 2 3 4 5 6 gain 1 2 3 4 5 6 La loi de probabilité associée à cette épreuve est gain 1 2 3 4 5 6 donc : probabilité b) Calculer l espérance et la variance de la loi déterminée ci-dessus. En appliquant la formule du cours, l espérance est : Valeurs possibles de l expérience 10 5 3 1 Probabilité correspondante L espérance de cette loi est de. Cela signifie qu en moyenne, le joueur perd 0,50. Calcul de la variance : Gain 1 2 3 4 5 6 Probabilité Fiche(1) Donc ( ) ( ) La variance de cette loi est Exercice 3 Dans une kermesse, un jeu est organisé de la façon suivante : le joueur mise 10 euros puis il réalise un tirage en deux étapes : 1 re étape : le joueur tire au hasard un billet dans un panier. Dans ce panier, on a placé 10 billets marqués «U 1» et 2 billets marqués «U 2». 2 e étape : Si le joueur a obtenu un billet marqué «U 1», il tire alors un jeton dans une urne U 1 où sont placés 10 jetons marqués «Perdant» et 2 jetons marqués «Gagnant». 1. Construire un arbre pondéré qui décrit ce jeu. 2. Calculer la probabilité des événements (G A) et (G B). P(G A) = P A (G) P(A) = P(G B) = P B (G) P(B) = 3. Montrer que la probabilité de l événement G est égale à. D après la formule des probabilités totales : P(G) = P(G A) + P(G B) P(G) = Si le joueur a obtenu un billet marqué «U 2», il tire alors un jeton dans une urne U 2 où sont placés 7 jetons marqués «Perdant» et 5 jetons marqués «Gagnant». On note A l événement : «Le joueur a tiré un billet U 1». On note B l événement : «Le joueur a tiré un billet U 2». On note G l événement : «Le joueur a tiré un jeton marqué Gagnant». Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. 4. Quelle est la probabilité conditionnelle de l événement A par rapport à l événement G? Les événements A et G sont-ils indépendants? PG(A) = P(G A) P(G) P(A), les événements G et A ne sont donc pas indépendants. 5. Avec un jeton gagnant de l urne U 1, le joueur reçoit 25 ; avec un jeton gagnant de l urne U 2, il reçoit 50 ; sinon rien. On notera X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l issue du jeu. a) Quelles sont les valeurs prises par X? Si le joueur tire un jeton gagnant de l urne U 1, alors X = 25 10 = 15. Si le joueur tire un jeton gagnant de l urne U 2, alors X = 50 10 = 40. Sinon, X = 0 10 = -10. Les valeurs prises par X sont donc 15 ; 40 et -10. b) Etablir la loi de probabilité de X. P(X = 15) = P(G A) = ; P(X = 40) = P(G B) = ; Loi de probabilité de X : P(X = -10) = 1 P(G) = 1 c) Déterminer son espérance mathématique. E(X) = 15 + 40 10 =. X 15 40-10 probabilités Page 2 sur 8
Exercice (La Réunion juin 2007) Fiche(2) Les deux parties sont totalement indépendantes. Partie A Soient A, B, C et T quatre évènements associés à une épreuve aléatoire. On note l évènement contraire de l évènement T. On donne l arbre de probabilités suivant. 1. Donner la probabilité p A (T) de l évènement «T sachant que A est réalisé». 2. Calculer : a. la probabilité p(b) de l évènement B; b. la probabilité p A ( ) de l évènement «non T sachant que A est réalisé» ; c. la probabilité p(a T) de l évènement «A et T». 3. On sait que la probabilité p(t) de l évènement T est : p(t) = 0,3. a. Calculer la probabilité p T (A). b. Calculer la probabilité p B (T). Partie B Un domino est une petite plaque partagée en deux parties. Sur chacune des parties figure une série de points. Il peut y avoir de zéro à six points dans une série. Un jeu de dominos comporte 28 dominos, tous différents. Lors d une fête, on propose le jeu suivant : le joueur tire au hasard un domino parmi les 28 dominos du jeu, il gagne, en euros, la somme des points figurant sur le domino tiré. On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d être tirés 1. Établir la loi de probabilité des gains possibles. 2. Le joueur doit miser 7 (avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-il espérer récupérer ses mises à l issue d un grand nombre de parties? Page 3 sur 8
Fiche(2) Exercice (La Réunion juin 2007) CORRIGE Partie A 1. Par simple lecture de l arbre donné dans l énoncé : p A (T) = 0; 4 2. a) On a : p(a) + p(b) + p(c) = 1 donc p(b) = 1 - p(a) - p(c) = = 1 0,2 0,7 p(b) = 0,1 b) On a : p A ( ) + p A (T) = 1 donc p A ( ) = 1 - pa(t) = 1 0,4 p A ( ) = 0; 6 c) Par définition, p A (T) = donc p(a T) = p A (T) p(a) = 0,4 0,2 p(a T) = 0,08 3) On sait que : p(t) = 0; 3 a) Par définition, p T (A) = p T (A) = b) Pour calculer p B (T), nous devons calculer tout d abord P(B T) On peut écrire : T = (T A) (T B) (T C) A, B, C constituent une partition de l univers. { T A}, { T B }, { T C } constituent une partition de T Nous pouvons écrire : p(t) = P(T A) + p(t B) + p(t C) donc : p(b T) = p(t) - p(t A) - p(t C) =p C (T) p(c) ainsi, p(b T) = 0,3 0,08 - p C (T) p(c) on a :, p(b T) = 0,3 0,08 0,2 0,7 donc p(b T) = 0,08 Nous pouvons maintenant calculer p B (T) : par définition, p B (T) = Nous pouvons écrire : p B (T) = Partie B 1) Introduisons la variable aléatoire X égale au gain possible, c est-à-dire la somme des points figurant sur le domino tiré. Les différentes valeurs prises par X sont : X(Ω) = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ; 10; 11; 12} X=k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=k) Le joueur mise 7 avant de tirer un domino. Introduisons une nouvelle variable aléatoire T égale au gain algébrique du joueur (gain algébrique : gain - mise). Les différentes valeurs prises par T sont : T(Ω) = {-7;-6;-5;-4;-3;-2; ; 3; 4; 5} X=k -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 P(X=k) Calculons l espérance de T. E(T) = Comme E(T) < 0, le joueur ne peut pas espérer récupérer ses mises Page 4 sur 8
Fiche(3) Exercice (Liban juin 2007) Les parties A et B sont indépendantes. Les places d une salle de cinéma sont toutes occupées. Le film proposé est une rediffusion d une comédie à grand succès. Dans cette salle, les hommes représentent 25 % des spectateurs, les femmes des spectateurs et les autres spectateurs sont des enfants. des hommes et 30% des femmes ont déjà vu ce film au moins une fois. À la fin de la projection, on interroge au hasard une personne sortant de la salle. On appelle : H l événement : «la personne interrogée est un homme» F l événement : «la personne interrogée est une femme» E l événement : «la personne interrogée est un enfant» V l événement : «la personne interrogée avait déjà vu le film avant cette projection» l événement : «la personne interrogée n avait jamais vu le film avant cette projection». La notation p(a) désigne la probabilité de l événement A. La notation p B (A) désigne la probabilité de l événement A sachant que B est réalisé. Partie A 1. À l aide des notations ci-dessus, traduire la situation décrite en recopiant et en complétant l arbre pondéré dont le départ est proposé ci-dessous. On prendra soin de le compléter au fur et à mesure. 2. (a) Exprimer à l aide d une phrase l événement H V. (b) Donner p H (V) et en déduire p(h V). 3. La probabilité que l événement V soit réalisé est égale à 0,345. (a) Déterminer p( ). (b) Déterminer la probabilité que si l on interroge un enfant, il ait déjà vu ce film au moins une fois avant cette projection. 4. On interroge au hasard et successivement quatre personnes sortant de la salle. On suppose que le nombre de spectateurs est suffisamment grand pour assimiler l interrogation au hasard d un spectateur à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité arrondie à 10 3 près, qu au moins une personne ait déjà vu le film avant cette projection? Partie B À la fin de l année, une étude nationale a été réalisée sur le nombre de fois qu un spectateur sortant de la salle est allé voir ce film. Le tableau ci-dessous, pour lequel il manque une valeur notée q représente la loi de probabilité du nombre de fois que le spectateur est allé voir ce film. Nombre de fois 1 2 3 4 5 6 probabilité 0,55 0,15 0,15 0,05 q 0,05 1. Déterminer q. 2. En déduire l espérance mathématique, arrondie à l unité de cette loi de probabilité et interpréter le résultat obtenu. Page 5 sur 8
Fiche(3) Exercice (Liban juin 2007) - CORRIGE Partie A 1) En utilisant les notations de l énoncé, on établit que p(h ) = 0,25, p(f ) = 0,4 (en effet une proportion de 2/5 représente un pourcentage de 40%). On en déduit, par soustraction, que p(e) =1- p(h ) - p(f) =1-0,25-0,4 = 0,35 De plus, l énoncé nous indique que p H (V) = 0,2 car «des hommes ont déjà vu ce film au moins une fois.». On en déduit par soustraction, que p H ( ) = 1 p H (V) = 0,8 2) a) H V est l événement «la personne interrogée est un homme et a déjà vu le film avant cette projection». b) p H (V) est la probabilité que la personne interrogée ait déjà vu le film sachant que c est un homme. L énoncé nous indique que p H (V) = 0,2 On en déduit que p(h V)=p(H) p H (V) = 0,25 = 0,05 3) a) V et sont deux événements contraires donc p( ) =1- p(v ) =1-0,345 = 0,655 b) On cherche p E (V) En utilisant la formule des probabilités totales appliquée au système complet d événement (H,F,E), on écrit : P(V)= p(h V)+p(F V)+p(E V)=0,05+0,4 0,3+0,35p E (V) Mais puisque p(v) = 0,345, on résout 0,35 p E (V) =0,345-0,05-0,4 0,3 d où p E (V) =0,5 4) Le contraire de l événement «au moins une personne a déjà vu le film avant cette projection» est l événement : J : «aucune personne n a déjà vu le film avant cette projection» Comme le nombre de spectateurs est suffisamment grand pour assimiler l interrogation au hasard d un spectateur à un tirage avec remise, on a : p(j) = p( ) p( ) p( ) p( ) = (p( )) 4 = 0,184 Par conséquent, la probabilité qu au moins une personne ait déjà vu le film avant cette projection est égale à p( ) =1- p(j ) =1-0,184 4 0,999 Partie B 1) a) La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1. Ainsi 0,55 + 0,15 + 0,15 + 0,05 + q + 0,05 = 1. Donc q = 1-0,95 = 0,05. b) L espérance de cette variable aléatoire est E(X)= Dans une enquête portant sur un grand nombre de spectateurs, un spectateur a déjà vu en moyenne 2 fois ce film. Page 6 sur 8
Exercice (Pondichéry avril 2007) Fiche(4) Madame Boulard fait un très grand élevage de chats de races. Elle possède des Siamois, des Birmans et des Abyssins. Le printemps dernier, pratiquement toutes ses femelles ont eu des bébés et Madame Boulard a mis une annonce pour signaler qu elle avait une très grande quantité de petits chatons à vendre. On sait que : 32 % des chatons sont des Siamois, 54 % des chatons sont des Abyssins et le reste est constitué de Birmans. Parmi les Siamois, 54 % sont des mâles. 66 % des Abyssins sont des femelles. Il y a au total 40,96 % de chatons mâles. Un petit garçon, Pierre, vient acheter un chaton avec sa mère. Comme ils sont tous adorables et qu il n arrive pas à choisir, Pierre décide de le prendre au hasard. On désigne par S, B, A, M et F les événements suivants : S : «Pierre achète un chaton Siamois» ; B : «Pierre achète un chaton Birman» ; A : «Pierre achète un chaton Abyssin» ; M: «Pierre achète un chaton mâle» ; F : «Pierre achète un chaton femelle» ; 1. (a) Traduire les données de l énoncé en langage de probabilités. (b) Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur chaque branche les probabilités données dans l énoncé. Les probabilités manquantes seront calculées dans les questions ultérieures. 2. (a) Déterminer la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Siamois, (b) Calculer p(m A) et interpréter ce résultat à l aide d une phrase. (c) En déduire que la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Birman est égale à 0,0532. (d) Le chaton acheté par Pierre est un Birman. Quelle est la probabilité que ce soit un mâle? 3. Finalement, Pierre est tellement séduit par ces chatons qu il décide d en acheter trois toujours au hasard. On assimilera ces achats à des tirages successifs avec remise. Quelle est la probabilité qu il y ait, parmi ces trois chatons, exactement deux mâles Birmans (le résultat sera arrondi à 10 3 )? Page 7 sur 8
Fiche(4) Exercice (Pondichéry avril 2007) - CORRIGE 1. a.b. En utilisant les notations de l énoncé, on écrit que : p(s) 0,32 car «32 % des chatons sont des Siamois», p(a) 0,54 car «54 % des chatons sont des Abyssins». «Parmi les Siamois, 54 % sont des mâles» nous informe que p S (M) 0,54 «66 % des Abyssins sont des femelles» nous informe que p A (F) 0,66 Enfin «Il y a au total 40,96 % de chatons mâles» nous informe que p M 0,4096 2. a. On calcule p(s M) p(s) p S (M) 0,32 0,54 = 0,1728 La probabilité que Pierre achète un chaton mâle Siamois vaut 0,1728 b. Puisque pa(m) p A (F), on calcule : p(m A) p(a M) p(a) p A (M) Il s agit de la probabilité que Pierre achète un chaton femelle abyssin. c. La formule des probabilités totales appliquée au système complet d événement S; A;B, permet d écrire que : p M p S M p A M p B M. On en conclut donc que la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Birman est égale à : p B M p M p S M p A M 0,4096 0,1728 0,1836 0,0532 d. On cherche à calculer p B (M)= Par soustraction, on obtient d une part : p B 1 p S p A 1 0,32 0,54 0,14 On utilise ensuite le résultat de la question c. : p B M 0,0532. On calcule finalement p B (M)= Si le chaton acheté par Pierre est un Birman, la probabilité que ce soit un mâle est égale à 0,38 3. On répète successivement trois fois de manière indépendante une épreuve consistant à choisir un chaton, et qui peut se solder par un succès, de probabilité p p B M 0,0532, ou un échec, de probabilité q 1 p 1 0,0532 0,9468. On peut modéliser cette expérience par un arbre ou on note S le succès et E l échec. On obtient : Pour déterminer la probabilité qu il y ait, parmi ces trois chatons, exactement deux mâles Birmans, il faut dénombrer le nombre de chemins de l arbre répondant à cette possibilité, chacun de ces chemins ayant pour poids 0,0532 2 0,9468. Il y a trois chemins répondant à cette possibilité : (S 1 ;S 2 ;E 3 ) S 1 ;E 2 ;S 3 ) et (E 1 ;S 2 ;S 3 ) (chemins surlignés sur l arbre) La probabilité que Pierre choisisse parmi ces trois chatons, exactement deux mâles Birmans vaut donc 3 0,0532² 0,9468 0,008 Page 8 sur 8