Fonctions affines 1. Définition Eemple : Au vidéo-club En achetant une carte d abonnement annuelle qui coûte 5, chaque DVD loué coûte. n note le nombre de DVD loués. g désigne la fonction qui à associe le pri paé (en ) si on est abonné. g() = + 5 Définition «a et b» sont des nombres relatifs fiés. Une fonction affine est un processus qui à un nombre associe le nombre a + b. f : a + b f () = a + b Eemple: f : + La fonction f est une fonction affine. Eemple: g : + 5 g est la fonction affine qui modélise la situation ci-dessus. a = b = 5 Cas particuliers: Si b =, f () = a f est une fonction linéaire de coefficient a. Eemple: h() = + = h est la fonction linéaire de coefficient. Si a =, f () = b f est une fonction constante. Eemple: k() = + 5 = 5 k est la fonction constante de valeur 5.. Image et antécédent n considère la fonction f définie par: f : + L image de 5 par la fonction f est : f(5) = 5 + f(5) = -6 L image de par la fonction f est : f() = + f() = n cherche tel que : f() = + = = = = - = solution unique. f() = + = = = = 1 solution unique. L antécédent de est 1. L antécédent de est. Remarque: Pour un nombre donné, il n eiste qu un seul antécédent, par une fonction affine. 5 f()
3. Représentation graphique La représentation graphique d une fonction affine f : a + b «a» est appelé pente ou coefficient directeur de la droite. «b» est appelé ordonnée. f() 16 est une droite. n note la représentation graphique de la fonction f. Dans un repère, un point M ( ; ) appartient à la droite si et seulement si = a + b n dit que la droite a pour équation = a + b Eemple: Soit f la fonction affine f : + f() = f() = Les points M ( ;) et N ( ; ) appartiennent à la droite. f(). Fonction croissante ; fonction décroissante fonction croissante si a > rdonnée fonction constante si a = 1 1 1 8 6-1 1 3 fonction décroissante si a < «monte» est parallèle à l ae [) «descend» 5. Epression algébrique d une fonction linéaire Trouver l epression algébrique d une fonction affine f, c est trouver la valeur de «a» dans l epression f () = a + b Eemple f est une fonction affine. Trouver l epression de f, sachant que : les points M ( 3 ; 5 ) et N ( ; -1 ) appartiennent à la représentation graphique de f. Par le calcul n a : f (3) = 5 donc 3a + b = 5 et f () = -1 donc a + b = -1
n calcule la pente «a» et l ordonnée «b». a = f (3) f () 3 () a = 5 (-1) 3 () a = 5 + 1 3 + a = 15 5 a = 3 f () = 3 + b Par lecture graphique La fonction s écrit: différence des ordonnées différence des abscisses f () = a b N est un point de la droite, donc ses coordonnées vérifient l équation f (3) = 5 3 5 + b = 5 9 + b = 5 b = 5 9 b = - donc, f() = 3. pente «a» = a = 3 1 a = 3 différence des ordonnées différence des abscisses ordonnée «b» = - donc, f() = 3. ordonnée - - -6 pente -8-1 -1 Si on veut... Penser à... 1. Prouver, à partir d un tableau de valeurs, démontrer que ce tableau est un tableau de qu une fonction est linéaire proportionnalité. Calculer l image d un nombre par une Remplacer par ce nombre dans l epression de fonction linéaire ou affine f donnée f() 3. Trouver un nombre dont on connaît l image Résoudre l équation f() = a + b d inconnue, par une fonction affine f donnée connaissant a, b et f(). Représenter graphiquement une fonction Remplacer par deu valeurs particulières et affine f donnée tracer la droite passant par les deu points de 5. Déterminer une fonction affine f, connaissant son ordonnée, un nombre et son image. 6. Déterminer une fonction affine f, connaissant deu nombres et leurs images 7. Déterminer une fonction affine f à partir de sa représentation graphique. coordonnées ( ;f()) ainsi obtenus Résoudre l équation f() = a + b d inconnue a, connaissant les valeurs de b, et f(). Calculer a par les accroissements finis. Calculer b en résolvant une équation. Lire les coordonnées de deu points distincts appartenant à la représentation graphique et appliquer la méthode du 6.
Fonctions affines 1. Définition «a et b» sont des nombres relatifs fiés. Une fonction affine est un processus qui à un nombre associe le nombre a + b. f : a + b f () = a + b Eemple: f : + La fonction f est une fonction affine. Cas particuliers: Si b =, f () =. f est une fonction. de coefficient Si a =, f () = f est une fonction.. Image et antécédent n considère la fonction f définie par: f : + L image de 5 par la fonction f est : f(5) =.. L image de par la fonction f est : f(..) =.. f(5) =. f(...) =. n cherche tel que : f() = f() = L antécédent de est.. L antécédent de est. Remarque: Pour un nombre donné, il n eiste qu un seul antécédent, par une fonction affine. f() 5. Epression algébrique d une fonction linéaire Trouver l epression algébrique d une fonction affine f, c est trouver la valeur de «a» dans l epression f () = a + b Eemple : f est une fonction affine. Trouver l epression de f, sachant que les points : M ( 3 ; 5 ) et N ( ; -1 ) appartiennent à la représentation graphique de f.
3. Représentation graphique La représentation graphique d une fonction affine f : a + b «a» est appelé pente ou coefficient directeur de la droite. «b» est appelé ordonnée. est une droite. n note la représentation graphique de la fonction f. Dans un repère, un point M ( ; ) appartient à la droite si et seulement si = a + b n dit que la droite a pour équation = a + b f() 16 1 1 Eemple: Soit f la fonction affine f : + f(..) =.. f(..) =.. Les points M (.. ;..) et N (.. ;..) appartiennent à la droite. f() rdonnée 1 8 6-1 1 3 Si on veut... Penser à... 1. Prouver, à partir d un tableau de valeurs, démontrer que ce tableau est un tableau de qu une fonction est linéaire proportionnalité. Calculer l image d un nombre par une Remplacer par ce nombre dans l epression de fonction linéaire ou affine f donnée f() 3. Trouver un nombre dont on connaît l image Résoudre l équation f() = a + b d inconnue, par une fonction affine f donnée connaissant a, b et f(). Représenter graphiquement une fonction Remplacer par deu valeurs particulières et affine f donnée tracer la droite passant par les deu points de 5. Déterminer une fonction affine f, connaissant son ordonnée, un nombre et son image. 6. Déterminer une fonction affine f, connaissant deu nombres et leurs images 7. Déterminer une fonction affine f à partir de sa représentation graphique. coordonnées ( ;f()) ainsi obtenus Résoudre l équation f() = a + b d inconnue a, connaissant les valeurs de b, et f(). Calculer a par les accroissements finis. Calculer b en résolvant une équation. Lire les coordonnées de deu points distincts appartenant à la représentation graphique et appliquer la méthode du 6.