TABLE DES MATIÈRES Préface... v Introduction... 1 Un bref aperçu historique..................................... 1 Contenu des exposés.......................................... 5 Références.................................................... 7 J.-Y. Chemin Équations d Euler d un fluide incompressible 9 1.1. Introduction............................................. 9 1.2. Qu est-ce-qu un fluide parfait?........................... 10 1.3. Résolution locale en temps pour des données suffisamment régulières..................................................... 15 1.4. Une condition nécessaire d explosion portant sur le tourbillon..................................................... 19 1.5. Les solutions à tourbillon borné en dimension deux...... 20 1.6. Un exemple.............................................. 26 1.7. Le paradoxe de d Alembert.............................. 28 Références.................................................... 30 I. Gallagher Le problème de Cauchy pour les équations de Navier-Stokes.................................................. 31 2.1. Quelques remarques préliminaires........................ 32 2.2. Différentes notions de solutions.......................... 35 2.3. Existence globale de solutions turbulentes............... 37 2.4. Solutions d échelle....................................... 45 2.5. Unicité fort-faible........................................ 54
iv TABLE DES MATIÈRES 2.6. Quelques exemples de grandes données générant une solution globale régulière.............................................. 56 2.7. Comportement en grand temps.......................... 60 2.8. Comportement au temps d explosion..................... 62 Références.................................................... 63 D. Gérard-Varet Interaction fluide-solide................ 65 3.1. Équations du mouvement d un corps solide dans un fluide visqueux...................................................... 65 3.2. Solutions turbulentes et fortes........................... 67 3.3. Poussée d Archimède et paradoxe de Cox-Brenner....... 73 3.4. Rôle de l irrégularité du solide........................... 74 Références.................................................... 77 D. Gérard-Varet De Navier-Stokes vers Euler............ 79 4.1. Convergence dans des domaines sans bords.............. 80 4.2. Cas des domaines à bords : la couche limite.............. 83 4.3. La théorie de Prandtl.................................... 84 4.4. Caractère mal posé de l équation de Prandtl............. 87 Références.................................................... 94 J.-Y. Chemin Fluides géophysiques......................... 97 5.1. Introduction............................................. 97 5.2. Étude d un cas modèle................................... 100 5.3. Définition et étude du système limite.................... 103 5.4. Démonstration de la convergence vers la solution du système limite............................................. 109 Références.................................................... 111
PRÉFACE Remontant à Euler au xviii e siècle (fluide parfait incompressible) et Navier puis Stokes au xix e siècle (fluide visqueux), la théorie mathématique de la mécanique des fluides repose en bonne partie sur les travaux de Leray débutés dans les années 1930. Les textes de ce volume en dégagent les concepts fondamentaux à travers diverses notions de solutions, donnent quelques résultats importants d existence et d unicité, et font comprendre la difficulté d un des problèmes du millénaire proposés par la fondation Clay. Nous tenons à remercier la direction de l École polytechnique, et tout particulièrement la Direction des Études, pour l aide matérielle importante qu elles ont apportée à la préparation de ces journées et à la publication de ce volume. Nous remercions aussi le secrétariat du Centre de Mathématiques Laurent Schwartz, notamment Carole Juppin et Michèle Lavallette. Pascale Harinck, Alain Plagne et Claude Sabbah
INTRODUCTION Dans cette courte introduction, nous donnons un bref (et certainement incomplet) aperçu de l histoire de l étude mathématique de la mécanique des fluides, puis nous présentons les aspects que nous avons retenus pour ces exposés. Un bref aperçu historique Les équations d Euler et de Navier-Stokes. L étude du comportement des fluides (liquides ou gaz) remonte au moins à Archimède et à la Grèce Antique, mais c est à partir du xvi e siècle que la mathématisation de la Physique permet une étude systématique de la mécanique des fluides. C est bien sûr à I. Newton que l on doit l essor des mathématiques en Physique, avec notamment les lois fondamentales de la dynamique qu il introduit en 1687 (voir [6]). De nombreux phénomènes physiques peuvent ainsi être mis en équations : pour la mécanique des fluides il faut citer par exemple D. Bernoulli, qui analyse la conservation de l énergie des fluides non visqueux dès 1738 [1]. Ce sont J. d Alembert et L. Euler qui ont pu établir les équations fondamentales de la mécanique des fluides, appelées aujourd hui équations d Euler. Ces équations voient le jour suite à un Prix de Mathématiques proposé en 1748 par l Académie des sciences de Berlin : il s agit de «déterminer la théorie de la résistance que souffrent les corps solides dans leur mouvement, en passant par un fluide, tant par rapport à la figure et aux divers degrés de vitesse des corps qu à la densité et aux divers degrés de compression du fluide». En d autres termes, il s agit d établir une théorie permettant d interpréter, voire d anticiper, le mouvement des fluides (ici en présence d un obstacle solide). J. d Alembert soumet en 1749 un manuscrit de 137 pages [2]
2 INTRODUCTION qui propose une nouvelle vision de l hydrodynamique. L académie lui refuse le prix, qui est attribué à un protégé de L. Euler : J. Adami, dont le manuscrit a aujourd hui disparu. On doit néanmoins à d Alembert, dans ce manuscrit, d avoir introduit dans l étude de la dynamique des fluides les notions fondamentales suivantes : les dérivées partielles le champ de vitesses. Son étude est cependant incomplète, du fait qu il ne parvient pas à dégager correctement la notion de pression, fondamentale pour comprendre le caractère incompressible des fluides. En 1755, L. Euler publie un traité ([3]) dans lequel apparaît pour la première fois le système complet d équations aux dérivées partielles décrivant les fluides parfaits incompressibles. Il a incontestablement lu le manuscrit de d Alembert et s en est sans nul doute inspiré. Néanmoins son travail est complètement abouti, contrairement à celui de d Alembert, et en outre il parvient à dégager la notion de gradient de pression. Si nous notons par u le champ de vitesse du fluide, qui dépend du temps t et de la position x (la formulation de ces équations est donc eulérienne et non lagrangienne, au sens où l on ne décrit pas la trajectoire de chacune des particules du fluide, mais plutôt le champ de vitesses en chaque point et à chaque instant) et si p désigne sa pression, les équations d Euler s écrivent t u + u u = p (E) div u =0. La première équation représente la conservation de la quantité de mouvement, alors que la seconde correspond à la conservation de la masse (le fluide est incompressible). Dès 1752 cependant, d Alembert s aperçoit qu un corps plongé dans un liquide satisfaisant aux principes décrits par ces équations peut se déplacer sans se voir opposer aucune résistance, ce qui est manifestement contraire à l intuition et à l expérience physique. C est ce qu on appelle le «paradoxe de d Alembert», qu il formule ainsi (traduction libre) : «Il me semble que la théorie, développée avec toute la rigueur possible, donne, au moins dans plusieurs cas, une résistance nulle, paradoxe singulier que je laisse les Géomètres futurs résoudre». Pour comprendre pourquoi un solide plongé dans un liquide va subir en général une force de
UN BREF APERÇU HISTORIQUE 3 résistance, tendant à le freiner, il faut en fait prendre en compte des phénomènes de frottement au niveau moléculaire dans le fluide : lors de son évolution, un fluide va en effet avoir tendance à dissiper de l énergie, sous forme de chaleur, et ce, simplement par le frottement d une couche de fluide sur l autre. Inclure un tel phénomène dans les équations d Euler semble difficile puisque les équations d Euler formulent l écoulement de la vitesse macroscopique du fluide, alors que cette dissipation d énergie a lieu à un niveau microscopique. On doit à C. Navier [5] l idée, en 1820, d introduire un terme supplémentaire à l équation d Euler, censé représenter cette perte d énergie dans le fluide. En simplifiant à outrance sa démarche, on peut considérer qu il a cherché à incorporer aux équations d Euler précisément une équation dite de la chaleur. Cette équation s écrit ainsi : si T est la température d un solide, son évolution au cours du temps obéit à (C) t T T =0. Ainsi C. Navier, suivi par G. Stokes en 1845 ([7]) propose le modèle suivant pour décrire l évolution d un fluide visqueux (ce terme rendant compte précisément de cette dissipation d énergie sous forme de chaleur) : t u + u u ν u = p (NS) div u =0. Le paramètre ν>0, la viscosité du fluide, est une mesure de l écart entre un fluide visqueux et un fluide parfait. Résolution de l équation de Navier-Stokes. Le premier réflexe que l on peut avoir à la vue de cette équation est de chercher à obtenir des solutions analytiques explicites. Malheureusement, hormis quelques configurations particulières extrêmement simplifiées, les chercheurs de l époque de C. Navier et de G. Stokes se sont rapidement convaincus que cette démarche était vouée à l échec. L étape suivante a alors consisté à chercher à construire des solutions approchées, par exemple sous forme de série de fonctions trigonométriques ou polynomiales, à la manière de J. Fourier ou de A. Cauchy. Cela a conduit à développer une théorie de résolution d équations aux dérivées partielles. Pour développer une telle théorie, il faut tout d abord s entendre sur ce que l on appelle résolution de l équation, dès lors
4 INTRODUCTION que l on abandonne l idée d en trouver des solutions explicites. En suivant J. Hadamard nous dirons qu une équation aux dérivées partielles est bien posée si les trois conditions suivantes sont satisfaites, (existence, unicité, stabilité) : l état du fluide étant supposé connu à un instant donné (initialisons ce temps à t =0), il existe une solution à l équation aux instants futurs, coïncidant avec cet état initial à l instant t =0; il n existe qu une seule solution à l équation coïncidant avec cet état initial à l instant t =0; cette solution est stable sous perturbations, du moins pendant un certain temps. D un point de vue physique, ces trois principes correspondent au fait que il est effectivement possible de réaliser une expérience correspondant à l évolution décrite par les équations ; si l on réalise l expérience deux fois, on trouvera deux fois le même résultat ; si l on fait de petites erreurs de mesure, cela ne modifiera pas trop violemment la solution (pendant un temps fixé). Ce dernier point est particulièrement important si l on songe par exemple à des applications numériques : il est impossible d implémenter l équation exacte dans un ordinateur, on est obligé de la remplacer par une approximation (un ordinateur ne reconnaît que des quantités discrètes, et pas continues comme les variables x et t qu il faut donc discrétiser au préalable par exemple) et il est bon de vérifier tout d abord que la solution ne sera pas trop sensible à ce type de procédé. Sait-on mener à bien ce programme? La réponse est malheureusement en général non... Si l écoulement a une direction invariante (ce qui n est pas souvent réaliste, mais aide beaucoup mathématiquement) alors on sait depuis les travaux fondamentaux de J. Leray ([4]) en 1934 que les équations sont bien posées au sens précédent. En trois dimensions d espace en revanche la situation est beaucoup moins claire, et pour résumer l état de nos connaissances sur la question (qui remontent presque toutes d ailleurs aux travaux de J. Leray, du moins pour les idées fondamentales sous-jacentes) on peut dire que
CONTENU DES EXPOSÉS 5 l on ne sait résoudre ces équations, au sens précédent, que si l état du fluide à l instant initial est suffisamment proche du repos. Dans le cas contraire (une mer un peu agitée par exemple) on n est pas capable de décider si la solution de l équation correspondant à cet état initial va exister éternellement ou exploser en temps fini. Cette dernière notion signifie qu à un certain instant ultérieur, une des composantes de la vitesse va devenir plus grande que n importe quel nombre donné à l avance (on parle de singularité du champ de vitesse). Cela peut paraître physiquement peu concevable... la signification physique de ce fait est simplement qu à partir d un certain instant, la vitesse du fluide devient très grande et en particulier dépasse la vitesse du son. Mais alors l hypothèse d incompressibilité du fluide ne peut plus être satisfaite, et il faut simplement changer de modèle à cet instant. D un point de vue physique, de telles solutions «explosives» sont donc une indication que le modèle mathématique choisi cesse d être valable. Notons que la résolution des équations de Navier-Stokes fait partie de l un des sept Problèmes du Millénaire proposés par la Fondation Clay. Pour gagner le million de dollars à la clef, il s agit soit de démontrer que les équations de Navier-Stokes sont bien posées au sens rappelé au-dessus, pour toute donnée initiale «suffisamment régulière» (mais arbitrairement loin du repos), soit de démontrer qu il existe un état initial du fluide tel qu à un certain instant ultérieur, il «explose en temps fini» comme expliqué ci-dessus. Contenu des exposés Nous détaillons ici brièvement le contenu des textes de ce volume. Présentation des équations d Euler et de Navier-Stokes. Dans ce texte nous présentons la dérivation des équations d Euler par le principe de moindre action (ce n est pas la démarche historique d Euler, mais cela permet de voir le caractère géométrique, en plus du caractère physique, de ces équations). Nous présentons divers résultats sur le problème de Cauchy lié à ces équations, au sens décrit au paragraphe précédent. Puis nous expliquons le paradoxe de d Alembert évoqué ci-dessus et en déduisons l heuristique des équations de Navier-Stokes.
6 INTRODUCTION Le problème de Cauchy pour les équations de Navier-Stokes. Ce texte est dévolu à l exposition de plusieurs résultats liés à la résolution des équations de Navier-Stokes : nous présentons différentes notions de solutions et montrons quel type de théorème d existence et d unicité peut être obtenu dans ces différents cadres. Nous mettons en évidence en particulier la différence entre la dimension 2 d espace (ou l équation est critique) et la dimension 3 (l équation est surcritique). Nous faisons un lien entre les différents types de solution, et enfin quelques résultats qualitatifs sur le comportement des solutions (en grand temps ou au voisinage de l explosion éventuelle) sont présentés. Interaction fluide-solide. Ce texte traite du mouvement d un corps solide plongé dans un fluide visqueux. Après la présentation des équations correspondantes, la question du problème de Cauchy est traitée, et enfin on présente une discussion autour du paradoxe de Cox-Brenner (selon lequel aucune collision ne serait possible entre un corps plongé dans un bassin rempli de liquide, et soumis à la gravitation, et le fond de ce bassin). Il y est en particulier montré que ce paradoxe tombe en défaut dès que le solide est suffisamment irrégulier. De Navier-Stokes vers Euler. Une question très naturelle est de savoir si, dans la limite d une très faible viscosité (ν 0), les solutions des équations de Navier- Stokes convergent vers celles des équations d Euler. Cette question est considérée dans ce texte, dans deux cadres différents : le cas où les équations sont posées dans un domaine sans bords, et le cas d un domaine borné (qui est redoutablement plus difficile, à cause de la présence de couches limites). L étude de ce passage à la limite dans le cas avec bord permet de présenter une équation mal posée, l équation de Prandtl. Fluides géophysiques. Le texte précédent a été l occasion d étudier les équations de Navier-Stokes en présence d un petit paramètre (la viscosité). Dans ce dernier texte on s intéresse à ces mêmes équations, soumises cette fois à l influence de la force de Coriolis (due à la rotation de la Terre). Le petit paramètre est alors le rapport entre la vitesse
RÉFÉRENCES 7 caractéristique du fluide et la vitesse de rotation de la Terre. On montre que ce système est en quelque sorte intermédiaire entre les équations de Navier-Stokes bidimensionnelles et tridimensionnelles, et en particulier que sous l effet d une forte rotation, la théorie de Cauchy est proche du cas bidimensionnel (même si le système par lui-même est tridimensionnel). Jean-Yves Chemin, Isabelle Gallagher et David Gérard-Varet Références [1] D. Bernoulli Hydrodynamica, 1738, version numérisée accessible sur http://imgbase-scd-ulp.u-strasbg.fr/displayimage. php?album=250&pos=0. [2] J. d Alembert Essai d une nouvelle théorie de la résistance des fluides, Paris, 1752, version numérisée accessible sur http://gallica. bnf.fr/ark:/12148/bpt6k206036b. [3] L. Euler «Principles of the motion of fluids», Physica D 237 (2008), p. 1840 1854, Traduction anglaise de l article original de 1756/57. [4] J. Leray «Essai sur le mouvement d un liquide visqueux emplissant l espace», Acta Math. 63 (1933), p. 193 248. [5] C. Navier «Mémoire sur les lois du mouvement des fluides», Mémoires de l Académie des Sciences de l Institut de France 6 (1822), p. 375 394. [6] I. Newton Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687, version numérisée accessible sur http://imgbase-scd-ulp.u-strasbg. fr/displayimage.php?album=98&pos=4. [7] G. Stokes «On the Theories of Internal Friction of Fluids in Motion and of the Equilibrium and Motion of Elastic Solids», Trans. Camb. Phil. Soc. 8 (1845), p. 287 319.