TD N 3: Filtrage, fonction de transfert et diagrammes de Bode. M1107 : Initiation à la mesure du signal Le but de ce TD est de vous permettre d'appréhender les notions indispensables à la compréhension de la notion de filtrage en télécommunication. L'outil graphique nécessaire à l'étude des filtres est le gabarit en fréquence, qui nécessite en préalable la compréhension des diagrammes de Bode, donnant une image du comportement d'un système physique en fonction de la fréquence d'un signal sinusoïdal appliqué sur son entrée. Nous étudierons ici un filtre passe-bande tel que ceux utilisés dans les chaînes de réception sans fil, placés juste après l'antenne pour éliminer une partie du bruit capté. Analyse des diagrammes de Bode d'un filtre passe-bande: Diagrammes de Bode d'un filtre passe-bande passif pour GSM : Sur ce «double» diagramme, vous pouvez distinguer à la fois le module de la fonction de transfert du filtre (en trait plein, échelle en décibels à gauche) et l'argument (en trait pointillé, échelle en degrés à droite). Lorsque l'on étudie un filtre, on s'intéresse en général plus à son module, qui affecte l'amplitude du signal appliqué sur son entrée que son argument. Pour cette première étude nous allons parcourir les deux courbes pour en tirer les principales informations du point de vue des télécommunications. Fléchez les tensions d'entrée Ve et tension de sortie Vs du montage sur le schéma électrique. 1) Étude des échelles et des unités : a) Relevez les valeurs indiquées sur l'échelle des abscisses commentez l'écart entre ces valeurs. b) Indiquez les valeurs de part et d'autre des valeurs déjà indiquées. c) Mesurez l'écart en [cm] entre 100 [MHz] et 1 [GHz] puis entre 100 [MHz] et 200 [MHz], faites le rapport entre ces écarts. Recommencez avec 200 [MHz] et 400 [MHz]. S. DELAUNAY DUT RT CAEN 1/5
d) Ces échelles sont dites logarithmiques, c'est à dire que l'axe des abscisses est gradué avec Log(F) ( Log base 10, Log(x)=Ln(x)/Ln(10) ) et non pas directement la fréquence. Calculez Log(2) et comparez aux écarts relevés à la question précédente. 2) Étude du module de la fonction de transfert du filtre : a) L'unité utilisée est le décibel, qui est une unité permettant de comprimer les grands écarts de valeurs, l'axe des coordonnées est en fait gradué avec le module de la fonction de transfert en décibels : 20*Log( H(j.F) ) en db, on parle du gain en db. Relevez la valeur du gain max en db sur la courbe, ainsi que la fréquence correspondante Fo, appelée fréquence centrale. Faites apparaître ces mesures directement sur la courbe. b) Relevez les fréquences dites de coupure F cb et F ch sur la courbe telles que le gain soit égal à G max 3dB, faites les apparaître sur la courbe. 3) Étude de l'argument de la fonction de transfert du filtre : a) L'argument d'un nombre complexe est un angle, son unité est donc soit le degré, soit le radian. Il est dit modulo 2.π et les logiciels ainsi que l'oscilloscope ne peut afficher que des arguments compris entre +180 et -180 ou + π et - π. Or en physique, un signal ne peut arriver en sortie d'un système qu'en retard suite à une variation du signal d'entrée, c'est le principe de causalité. Ce qui signifie que l'échelle devrait être obligatoirement graduée entre 0 et une valeur extrême négative! Vous allez donc placer en parallèle de l'échelle affichée une échelle avec les vraies valeurs de l'argument. Il faut retirer 2.π en radians à toute l'échelle donnée par le logiciel... b) Faites apparaître les valeurs extrêmes des variations de l'argument ainsi que l'argument à la fréquence centrale. c) Tracez les asymptotes de la façon la plus simple qui soit. 4) Relevé de points sur des diagrammes de Bode : a) Le diagramme de Bode complet est le suivant : S. DELAUNAY DUT RT CAEN 2/5
Relevez le module et l'argument aux points suivants : Donnez au préalable la formule permettant de passer du module en db au module en [V/V] f [MHz] 20 50 100 700 H(j.f) db H(j.f) en [V/V] φ=arg(h(j.f)) [ ] b) L'étude d'un amplificateur audiofréquence donne les diagrammes de Bode suivants : Complétez le tableau aux points suivants : f [Hz] 3000 1 Mega H(j.f) db 17 H(j.f) en [V/V] φ=arg(h(j.f)) [ ] -180 1 c) Rappelez la formule liant l'amplitude des signaux de sortie et d'entrée, ainsi que leur déphasage en fonction du module et de l'argument de la fonction de transfert. d) Pour un signal d'entrée Ve ( t ) = 1. sin ( 18849,556. t ), déterminez : _ sa fréquence F _ son amplitude efficace RMS _ l'amplitude efficace du signal de sortie V srms de l'amplificateur _ le déphasage du signal de sortie V s par rapport à Ve(t) _ faire apparaître l'allure du spectre du signal Ve(t) sur la courbe pour bien visualiser le module et l'argument à la fréquence de Ve(t) S. DELAUNAY DUT RT CAEN 3/5
e) Pour un signal d'entrée Ve ( t ) = 0,1.sin(62800.t) + 0,2.sin(3769911.t), déterminez : _ la fréquence et l'amplitude de chaque composante fréquentielle de Vs _ l'amplitude efficace du signal de sortie V SRMS de l'amplificateur (calcul en 2 temps!) _ le déphasage des composantes fréquentielles du signal de sortie V s par rapport à Ve(t) f) Pour un signal d'entrée Ve ( t ) = 0,5 + 0,2. sin ( 3769911. t ), déterminez : _ la fréquence et l'amplitude de chaque composante fréquentielle de Vs _ l'amplitude efficace du signal de sortie V srms de l'amplificateur (calcul en 2 temps!) _ le déphasage du signal de sortie V s par rapport à Ve(t) 5) Diagrammes de Bode des filtres de base : a) Filtre passe bas du 1 er ordre: H ( j.ω )= V s ( j.ω) ( j.ω) = 1 1+ j.r.c.ω _ Identifiez l'expression de H(j.ω) à un nombre complexe tel que présenté habituellement en mathématiques. _ Donnez l'ordre du polynôme du dénominateur, c'est la puissance la plus élevée de ω. _ Exprimez son module H(ω) en conservant la forme de fonction rationnelle. _ Exprimez son argument Arg( H(j.ω) ). Pour faire un tracé très rapide de l'allure des diagrammes de Bode, on utilise les asymptotes du module en db (20.Log(H(ω)) ainsi que l'argument lorsque ω tend vers 0 (DC) puis vers + (Hautes Fréquences HF). Bien souvent il est plus simple de regarder ces limites après avoir simplifié la fonction de transfert complexe H(j.ω) en faisant tendre ω vers ces 2 limites : _ Faire tendre ω vers 0 (DC) et exprimez l'expression limite de H(j.ω) : H DC ( j.ω )=Limite de H ( j.ω )lorsqueω 0 sous la forme d'un polynôme simple en ω * Donnez l'expression du module de cette limite, puis exprimez le en db et faites apparaître l'abscisse du diagramme de Bode X = Log ω En déduire la courbe représentative du module de cette limite (l'asymptote) lorsque ω 0. * Donnez l'expression de l'argument de cette limite en degrés En déduire la courbe représentative du module de cette limite (l'asymptote) lorsque ω 0. _ Faire tendre ω vers (DC) et exprimez l'expression limite de H(j.ω) : H ( j.ω )=Limite de H ( j.ω )lorsqueω sous la forme d'un polynôme simple en ω * Donnez l'expression du module de cette limite, puis exprimez le en db et faites apparaître l'abscisse du diagramme de Bode X = Log ω En déduire la courbe représentative du module de cette limite (l'asymptote) lorsque ω. * Donnez l'expression de l'argument de cette limite en degrés En déduire la courbe représentative du module de cette limite (l'asymptote) lorsque ω. _ Calculez le point d intersection des 2 asymptotes en module, en posant l'égalité des 2 équations. Vous appellerez la valeur de la pulsation à laquelle ces asymptotes se croisent ω c pulsation de cassure. _ Si R=1KΩ et C=680nF : exprimez numériquement H(j.ω), ω c, puis tracez les diagrammes de Bode asymptotiques en module et en argument. S. DELAUNAY DUT RT CAEN 4/5
b) Filtre passe haut du 1 er ordre: K ( j.ω )= V ( j.ω ) s ( j.ω ) = j.r.c.ω Recommencez le même exercice que pour le filtre passe-bas! 1+ j.r.c.ω Vous prendrez pour les applications numériques R=2,2KΩ et C=22nF c) Filtre passe bande du 1 er ordre: F ( j.ω )= V ( j.ω ) s ( j.ω) = j.r.c.ω 1+ 3.j.R.C.ω+ ( j.r.c.ω )² Idem! Avez vous reconnu le filtre du TP3? Vous prendrez pour les applications numériques R=10KΩ et C=220nF S. DELAUNAY DUT RT CAEN 5/5