DÉVELOPPEMENT D UN MODÈLE SEMI-EMPIRIQUE POUR LA PRÉDICTION DE LA COHÉRENCE D UN JET UTILISÉ DANS LES PROCÉDÉS DE RECTIFICATION

DÉVELOPPEMENT D UN MODÈLE SEMI-EMPIRIQUE POUR LA PRÉDICTION DE LA COHÉRENCE D UN JET UTILISÉ DANS LES PROCÉDÉS DE RECTIFICATION Benoit St-Pierre 1, Jean-François Chatelain 2, Louis Dufresne 2 1 Pratt & Whitney Canada Inc. 2 Département de génie mécanique, École de technologie supérieure, Montréal, Québec, Canada E-mail: jean-francois.chatelain@etsmtl.ca; louis.dufresne@etsmtl.ca Received October 2011, Accepted May 2012 No. 11-CSME-79, E.I.C. Accession 3319 RÉSUMÉ La productivité des procédés de rectification par dressage continu (Continuous Dress Creep Feed - CDCF) est principalement limitée par les marques de brûlure générées sur les surfaces usinées lorsque des paramètres de coupe trop agressifs sont utilisés. Ce problème peut être résolu en améliorant l application du fluide de refroidissement dans la zone rectifiée en utilisant des buses à jet cohérent. Afin d étudier l influence des paramètres de conception d une buse sur la cohérence du jet de refroidissement tout en diminuant les coûts et le temps associé à une approche expérimentale, le présent travail illustre comment élaborer un modèle semi-empirique qui permet de prédire la cohérence physique d un jet de fluide de refroidissement à base d eau produit par une buse de type Webster en utilisant principalement des résultats de dynamique des fluides numérique (CFD). Un minimum de résultats expérimentaux est requis pour définir ce modèle qui utilise l ouverture des profils de vitesse numérique pour faire sa prédiction. Nos résultats ont montré que le modèle semi-empirique développé, en utilisant notre approche, permet de prédire la cohérence d un jet de fluide de refroidissement avec moins de 4% d erreur. Mots-clés : cohérence de jet; modèle semi-empirique; rectification par dressage continu; buse. DEVELOPMENT OF A SEMI-EMPIRICAL MODEL BASED ON CFD RESULTS FOR THE PREDICTION OF COOLANT JET COHERENCY FOR GRINDING APPLICATIONS ABSTRACT The productivity of Continuous Dress Creep Feed (CDCF) grinding processes is mainly limited by the burning marks that appear on the machined surfaces if too aggressive cutting parameters are selected. This issue can be solved by improving coolant application in the grinding zone by using coherent coolant nozzle. To study the effects of design parameters of a nozzle on the coherency of the cooling jet while diminishing costs and times related to an experimental approach, the present work demonstrates how to elaborate a semiempirical model that predicts the physical coherency of a water-based coolant jet produced by a Webster type nozzle using mainly computational fluid dynamic (CFD) results. In order to establish this semi-empirical model, a minimum of experimental results are required. The model uses the opening of the numerical velocity profiles to make the predictions. Our results demonstrate that the model developed, using our approach, can predict the physical coherency of the water-based coolant jet with less than 4% of error. Keywords: jet coherency; semi-empirical model; continuous dress creep feed grinding; nozzle. Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012 127

1. INTRODUCTION La productivité des procédés de rectification par dressage continu (Continuous Dress Creep Feed - CDCF) est principalement limitée par les marques de brûlure qui apparaissent sur les surfaces usinées lorsque des paramètres de coupe trop agressifs sont utilisés. Une solution simple à ce problème consiste à améliorer l application du fluide de refroidissement dans la zone rectifiée en utilisant des buses capables de générer un jet concentré, soit plus cohérent, sur une longue distance. Cui et Webster [1] ont développé avec succès un nouveau concept de buse, lui-même basé sur le concept de Rouse et al. [2], qui permet d augmenter de plus de 300% la cohérence du jet produit pour un nombre de Reynolds de 10 5 comparativement à une buse classique opérant avec un fluide de refroidissement à base d eau. Mindek et Webster [3] ont démontré que ce gain de cohérence peut se traduire en un gain de durée de vie de l outil de l ordre de 27% et cela sans influencer la qualité des pièces produites. Ghassemieh et al. [4] ont démontré que la géométrie interne de la buse agit directement sur certains mécanismes qui influencent la cohérence du jet. Ces mécanismes sont la cavitation, la turbulence, la stabilité du profil de vitesse, les effets de couche limite et l interaction entre le jet de fluide et l air ambiant. Yuan et al. [5] ont développé un modèle qui simule l écoulement de fluide à l intérieur d un injecteur de diesel. Leur modèle utilise une combinaison de la méthode pour écoulements multiphases Volume of fluid (VOF) et d équations pour simuler le changement de phase et qui permet la simulation de la cavitation. Pour modéliser la turbulence, ils ont utilisé le modèle k-ω de Wilcox [6]. Leurs résultats ont mis en évidence l influence que joue la géométrie intérieure sur la cavitation. En fait, ils ont montré que la cavitation diminue lorsque le rayon à l entrée de la sortie de la buse augmente. De plus, l ajout d un rayon important peut permettre de contenir la cavitation à l intérieur de la buse et ainsi diminuer les perturbations que cette zone de fraction de vapeur va causer sur le jet libre. Yuan et Schnerr [7] ont repris leur modèle précédemment développé pour simuler le comportement du jet produit par ce même injecteur de diesel. Leurs résultats ont mis en évidence l influence de la cavitation sur la fragmentation du jet produit par la buse. Il est important de noter que tous ces résultats ont été obtenus dans le cas de très petites buses, soit d un diamètre de sortie de l ordre de 120 à 170 µm (0.0047 à 0.0067 po). Les mécanismes qui influencent le comportement du jet produit, tel la cavitation, peuvent avoir une influence tout à fait différente à plus grande échelle, c est-à-dire dans le cas de buses pour les procédés de rectification (Fig. 1). Afin d étudier l influence des paramètres de conception d une buse pour procédé de rectification sur la cohérence du jet qu elle produit, l utilisation de simulations numériques est préconisée afin de diminuer les coûts et le temps associé à des approches expérimentales. Cette recherche présente donc une méthode permettant la prédiction de la cohérence de jet d une buse par simulation numérique. Dans un premier temps, la cohérence du jet d une buse donnée est mesurée expérimentalement afin de vérifier la capacité de reproduire le comportement observé à l aide des outils de simulation existants. Afin de pallier aux lacunes existantes et connues quand à ces outils (e.g. interaction du jet de fluide avec l air), une nouvelle approche référant à l ouverture du profil de vitesse obtenue numériquement est présentée, de même que le modèle semi-empirique développé à l aide de l analyse dimensionnelle. Ce dernier permet en fait de prédire l ouverture physique du jet de fluide à partir de l ouverture du profil de vitesse obtenue numériquement. 2. MESURES EXPÉRIMENTALES DE LA COHÉRENCE Les essais expérimentaux de mesure de la cohérence ont été réalisés chez Pratt & Whitney Canada (P&WC) avec une rectifieuse multi-axes (Mägerle). Cette machine-outil est équipée d un système de filtration et de distribution de fluide de refroidissement de marque HydroFlow modèle HVF-16A dont la pompe principale est une Grundfos CR30-40U capable de fournir 100 gpm (378.5 Lpm) de fluide de refroidissement à une pression de 100 psi (689.5 kpa). Cette machine est également équipée d un compresseur frigorifique 128 Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012

de marque Koolant Koolers modèle AFD7500WC-SST qui maintient la température du fluide à 68 ±4 ºF (20 ± 2.2 ºC) pendant la durée des essais. Le fluide de refroidissement à base d eau utilisé est composé d une proportion eau/huile de 70 pour 1. 2.1. Montage expérimental et méthodologie Les essais expérimentaux de mesure de la cohérence sont effectués pour une buse de type Webster (Fig. 1) [8]. Le ratio de contraction, C r, se définit par l équation suivante : C r = D i / D o, (1) où D i et D o représentent respectivement les diamètres d entrée et de sortie de la buse. Des essais internes chez P&WC ont montré qu un ratio égal ou supérieur à 2.67 était préférable pour ce type de buse. Étant donné que le diamètre interne D i de la tuyauterie présente sur la machine-outil est de 1 po (25.4 mm), le diamètre de sortie D o est donc de 3/8 po (9.525 mm). Cette buse est fixée sur une section droite qui assure Fig. 1. Schéma de la section intérieure de la buse de Webster à l essai. le lien entre la buse à tester et la tuyauterie existante sur la machine-outil (Fig. 2). À l intérieur de cette section droite, un conditionneur d écoulement, tel que développé par Cui [8], est installé. Ce dernier a montré expérimentalement que ce conditionneur d écoulement permet d accélérer la stabilisation du profil de vitesse de l écoulement et d obtenir un profil pleinement établi à une distance de 7.5D i suivant la position du conditionneur. À cette distance, soit de 7.5 po (190.5 mm) dans notre cas, un manomètre (0 200 psi, 0 1380 kpa) est fixé sur la section droite. Ce manomètre ayant une précision de ±1% est remplit de silicone afin d obtenir une lecture stable qui ne sera pas influencée par les vibrations causées par la machine-outil. En fait, le débit de fluide de refroidissement est contrôlé avec la pression mesurée. Cette technique de contrôle du débit a été sélectionnée car elle est plus simple qu un débitmètre et plus représentative de la façon dont le débit est contrôlé en usine. La lecture de pression obtenue avec le manomètre est considérée comme étant la pression moyenne de l écoulement au point de lecture. Le contrôle de la pression est assuré par une valve de détente. Finalement, une barre de référence est fixée à l assemblage afin d indiquer la distance de référence de 6 po (152.4 mm) lors de la prise des mesures de la cohérence du jet (Fig. 3). Cette distance a été choisie, car c est la distance typique que le jet doit parcourir pour atteindre la zone rectifiée dans un procédé de rectification CDCF. La méthodologie expérimentale utilisée est similaire à celle de Webster [9] et Cui [8], cependant la mesure de la cohérence du jet est prise à l aide d une caméra numérique haute résolution. Cette méthode a été proposée par Webster et elle permet d éliminer des équipements accessoires à la prise de mesure (système de montage/fixture avec vernier et axe pour déplacement transversal). La caméra numérique utilisée pour capturer l ouverture du jet est une Sony Cyber-Shot DSC-H5 de résolution 7.2 méga pixels et de zoom optique égal à 12x. Trois pressions ont été testées, soit 60, 80 et 100 psi (413.7, 551.6 et 689.5 kpa). Ces Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012 129

Fig. 2. Schéma du montage utilisé lors des essais expérimentaux pour obtenir des mesures physiques de cohérence de jet. pressions représentent un éventail assez complet des pressions normalement retrouvées sur une rectifieuse de type CDCF qui utilise un fluide de refroidissement à base d eau. Pour chacune de ces pressions, 60 photos ont été prises afin de s assurer de la répétabilité des mesures. Ensuite, à l aide du logiciel AutoCAD 2005, qui permet le traitement d images, le diamètre du jet à la sortie de la buse, D o, et celui à une distance L de la buse, D L, est extrait (Fig. 3). Ces deux mesures nous permettent d évaluer la cohérence du jet en référant au ratio d ouverture de jet D r : D r = D L / D o. (2) Fig. 3. Exemple de prise de mesure pour déterminer la cohérence du jet produit par la buse. 2.2. Résultats La procédure décrite ci-haut a été utilisée pour le calcul de la cohérence du jet produit par la buse Webster pour des distances L de 3, 4.5 et 6 po (76.2, 114.3 et 152.4 mm) à partir de la sortie de la buse, et cela pour chacune des pressions testées, soit 60, 80 et 100 psi (413.7, 551.6 et 689.5 kpa). Ces distances ont été choisies car elles correspondent aux distances normales qu un jet de fluide de refroidissement doit franchir pour atteindre la zone usinée par une rectifieuse. Les pressions choisies correspondent aux pressions normalement utilisées dans les procédés de rectification qui utilisent des meules en oxyde d alumine (AlOx). La Fig. 4 représente graphiquement la distribution des résultats expérimentaux (quartiles 1 à 4 et la moyenne) sous la forme de diagramme de Tukey (Box-plot) pour chacune des distances L où la cohérence du 130 Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012

jet a été mesurée et la Table 1 donne les résultats moyens et les écarts-types obtenus. Ces résultats montrent bien qu il y a une ouverture du jet de fluide de refroidissement qui se produit en fonction de la distance L et que celle-ci est non négligeable. Ces résultats sont en conformité avec la littérature [1,3,8,9]. Les sections suivantes présentent la modélisation et la simulation de ce comportement. Fig. 4. Distribution du ratio d ouverture (Min, Q1, Q2, Q3, Max) avec courbe moyenne en fonction de la pression de la buse à l essai pour les différentes distances. Distance, L (po) Pression (psi) 60 80 100 6 Moyenne 1.2490 1.3168 1.4073 Écart-Type 0.0386 0.0439 0.0444 4,5 Moyenne 1.2028 1.2401 1.2976 Écart-Type 0.0224 0.0336 0.0406 3 Moyenne 1.1391 1.1588 1.1676 Écart-Type 0.0269 0.0262 0.0250 Table 1. Résultats des tests de mesure de cohérence du jet d une buse de type Webster. 3. MODÈLES MATHÉMATIQUES ET MÉTHODES NUMÉRIQUES Les modèles mathématiques et méthodes numériques utilisés dans ce travail sont ceux disponibles avec le logiciel de CFD FLUENT (v 6.3.26). Étant donné que l on désire simuler le jet de fluide de refroidissement qui entre dans l air, un modèle numérique pour écoulements multiphases est requis. Le modèle choisi est celui de MIXTURE [10], car il permet d avoir un écoulement avec des phases inter pénétrantes (interpenetrating) afin d améliorer la représentation numérique de l ouverture du jet produite par la buse qui est un mélange de fluide de refroidissement et d air. De plus, la cavitation devrait être prise en compte afin d améliorer la représentation du jet. Toutefois, FLUENT est limité de ce côté, car il permet seulement Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012 131

l utilisation des deux phases d un même fluide et, dans notre cas, trois phases sont requises; eau liquide, eau vapeur et air. Donc, la cavitation ne peut être utilisée dans nos modèles mathématiques. L omission de ce phénomène significatif pour l ouverture du jet [7], est corrigée par notre modèle semi-empirique. 3.1. Équations de conservation L équation de conservation de la masse pour le mélange est la suivante : t (ρ m) + (ρ m v m ) = ṁ, (3) où ρ m représente la masse volumique du mélange, v m la vitesse moyennée par la masse (mass-averaged) et ṁ le transfert de masse (e.g. la cavitation). La vitesse moyennée par la masse v m est calculée de la façon suivante : n α k ρ k v k k=1 v m =. (4) ρ m La masse volumique du mélange ρ m est calculée à partir de l équation suivante : ρ m = n k=1 α k ρ k, (5) où α k représente la fraction de volume de la phase k, ρ k la masse volumique de la phase k et n est le nombre de phase. L équation de conservation de la quantité de mouvement pour le mélange est la suivante : t (ρ m v m ) + (ρ m v m v m ) = p + [µ ( m vm + v T )] m + ρm g + F + ( n k=1α k ρ k v dr,k v dr,k ), (6) où p représente la pression statique, µ m la viscosité du mélange, ρ m g la force gravitationnelle par unité de volume, F les forces extérieures (e.g. celles dues à l interaction avec la phase dispersée) et v dr,k la vitesse de dérive (drift velocity) de la phase k. La viscosité du mélange µ m est calculée de la façon suivante : µ m = n k=1 α k µ k. (7) Étant donné qu il est possible que les phases secondaires ne se déplacent pas à la même vitesse que la phase principale, le concept de vitesse de glissement (slip velocity) ou vitesse relative doit être établi. Ainsi, par exemple, la vitesse de glissement v pq de la phase secondaire p par rapport à la vitesse de la phase primaire q est donnée par l équation suivante : v pq = v p v q. (8) Pour faire le lien entre la vitesse de dérive v dr,p et la vitesse de glissement v pq, l équation suivante est utilisée : α k ρ k v dr,p = v pq v qk. (9) ρ m n k=1 Pour résoudre la vitesse de glissement, une formule algébrique doit être utilisée. La formulation utilisée est celle de Manninen et al. [10] qui est définie de la façon suivante : v pq = (ρ p ρ m )d 2 p 18µ q f drag a, (10) 132 Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012

où ρ p représente la masse volumique de la phase secondaire p, d p le diamètre des gouttelettes et/ou bulles de la phase secondaire p, a l accélération de celles-ci, µ p la viscosité de la phase primaire q et f drag une fonction de trainée. Cette fonction de trainée f drag est résolue par la méthode dite Symmetric. Cette méthode est recommandée pour les cas où la phase secondaire d une partie du problème devient la phase principale et vice-versa. Elle est un dérivé de la méthode de Schiller et Naumann [11]. Pour déterminer la fraction du volume occupé par les phases secondaires, l équation de continuité suivante est utilisée : t (α pρ p ) + (α p ρ p v m ) = (α p ρ p v dr,p ). (11) Finalement, l équation de conservation de l énergie est omise car le problème est à température constante. 3.2. Modèle de turbulence Pour modéliser la turbulence présente dans l écoulement, les équations de Navier-Stokes moyennées sont utilisées (Reynolds-Averaged Navier-Stokes - RANS) en combinaison avec un modèle de turbulence afin de compléter ces équations. Le modèle sélectionné pour ce travail est le k ε tel que proposé par Launder et Spalding [12]. L énergie cinétique de turbulence k et le taux de dissipation de la turbulence ε sont respectivement définis par les Éqs. (12) et (13) : t (ρk) + x i (ρku i ) = x j [( µ + µ t σ k ) k x j ] + G k + G b ρε +Y M + S k (12) et t (ρε) + (ρεu i ) = [( µ + µ ) ] t ε ε +C 1ε x i x j σ ε x j k (G k +C 3ε G b ) C 2ε ρ ε2 k + S ε, (13) où ρ représente la masse volumique, k l énergie cinétique de turbulence, u i et u j la composante de la vitesse en direction i et j respectivement, µ la viscosité dynamique, µ t la viscosité turbulente, σ k et σ ε le nombre de Prandtl pour k et pour ε respectivement, G k la production d énergie cinétique de turbulence causée par le gradient moyen de vitesse, G b la production d énergie cinétique de turbulence causée par la flottaison (buoyancy), ε le taux de dissipation d énergie par unité de masse, Y M la contribution de la dilatation fluctuante dans le cas de turbulence compressible, S k et S ε des termes sources définis par l utilisateur si nécessaire, C 1ε, C 2ε et C 3ε sont des constantes. Dans le cadre de cette recherche, le nombre de Prandtl utilisé pour le calcul de l énergie cinétique est fixé à 0.85 et les constantes du modèle de turbulence k ε utilisées ont les valeurs suivantes : C 1ε = 1.44 ; C 2ε = 1.92 ; C µ = 0.09 ; σ k = 1.0 et σ ε = 1.3. Pour déterminer l énergie cinétique de turbulence k, l équation de Yuan et Schnerr [7] est utilisée : k = 6 10 4 V 2 i, (14) où V i représente la vitesse à l entrée de la buse. Pour déterminer la vitesse à l entrée de la buse V i, l équation suivante, qui provient de l équation de Bernoulli, est utilisée : 2P i 1 V i = A o ρ A 2 i +, (15) A2 o où P i représente la pression à l entrée de la buse, A i et A o l aire à l entrée et à la sortie de la buse respectivement. Cette équation est similaire à celle utilisé par Cui [8], cependant nous ne négligeons pas la vitesse à l entrée de la buse. Pour déterminer le taux de dissipation turbulent à l énergie cinétique de turbulence ε, l équation proposée par Ferziger et Peric [14] est utilisée : ε k3/ 2 D i. (16) Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012 133

3.3. Discrétisation des équations Les équations principales à résoudre sont celles de continuité (Éq. 3), de quantité de mouvement (Éq. 6), de turbulence (Éqs. 12 et 13) ainsi que celles de la fraction de volume occupé par la phase secondaire (Éq. 11). Afin de pouvoir les résoudre numériquement, la méthode Second Order Upwind [14] a été utilisée pour la discrétisation requise à la résolution des équations de quantité de mouvement et de turbulence alors que la méthode de QUICK, similaire à la méthode du deuxième ordre [15], a été utilisée pour la discrétisation de la fraction de volume. Le problème est simulé en utilisant le segregated solver. Le schéma d interpolation de la pression utilisée est celui de PRESTO! (pressure staggering option) et l algorithme de couplage pression-vitesse utilisé est celui de SIMPLE (semi-implicit method for pressure linked equations). Ce schéma d interpolation et cet algorithme de couplage sont très courants dans le domaine CFD et ils sont très bien décrits aux références [16] et [14] respectivement. 3.4. Discrétisation du domaine La discrétisation du domaine est réalisée à l aide du logiciel GAMBIT. Le problème est considéré comme étant axisymétrique. La section considérée débute à l endroit où le manomètre est fixé sur la section droite (Fig. 2) et se termine à une distance de 6 po (152.4 mm) à partir de la fin de la buse (Fig. 5). Ainsi, la longueur considérée pour la buse est de 2.15 po (54.61 mm) alors que la hauteur de l extrémité de la buse est fixée à 1 po (25.4 mm), ce qui correspond au rayon extérieur de la buse testée lors des essais expérimentaux. La section à mailler est divisée en sept zones, identifiées de A à G, afin de faciliter l explication du maillage utilisé. La distribution des éléments du maillage dans chacune de ces zones est définie dans la Table 2. Le maillage obtenu est représenté à la Fig. 5. Le maillage ainsi formé est composé d un total de 49 800 éléments. Il est important de souligner qu avant d arriver à ce maillage, une étude de convergence du maillage a été réalisée pour l écoulement à l intérieur de la buse afin de s assurer que les résultats numériques ne dépendent pas de celui-ci. Le critère de convergence utilisé était un résidu maximal de 10e 3 et le résidu maximal obtenu était de 1.9e 14. Nombre de divisions Direction Y Zone A, B, C, D & E 60 Zone F 100 Zone G 20 Total 180 Direction X Zone A 30 Zone B 20 Zone C 20 Zone D 40 Zone E, F & G 240 Total 350 Ratio de distribution des divisions Direction Y Zone A, B, C, D & E 1 Zone F : de bas en haut 1.015 Zone G 1 Direction X Zone A 1 Zone B 1 Zone C : de gauche à droite 0.84 Zone D : Double de gauche à droite 1.125 1.125 Zone E, F & G : Double de gauche à droite 1.029 1 Table 2. Nombre et ratio de distribution des divisions de chacune des zones. 134 Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012

Pour compléter la discrétisation du domaine, on doit définir les différentes conditions aux frontières. L entrée en pression P i eau est à pression constante et elle est composée seulement d eau. L entrée en pression P i air est elle aussi à pression constante et elle est composée seulement d air. Pour simuler les conditions d air ambiant, une paroi avec des contraintes de cisaillement nulles est utilisée. Une condition de sortie de pression P o est fixée à pression constante et composée d un mélange eau-air. Finalement, la paroi de la buse est considérée comme imperméable et la condition de non-glissement pour la vitesse est appliquée. De plus, les conditions de paroi standard de Launder et Spalding sont utilisées pour la turbulence [13]. Fig. 5. Domaine maillé et conditions aux frontières du modèle 2D axisymétrique de la buse. Seulement 1 / 4 de tous les éléments sont illustrés. 3.5. Résolution du problème Les calculs sont effectués en double précision et en régime stationnaire (Steady state). Le mode stationnaire est utilisé, car les mesures expérimentales ont été prises seulement une fois l écoulement établi. Les facteurs de relaxation (Under-relaxation factors) sont tous fixés à 0.2. Le résidu minimal à atteindre est de 1E-3 pour toutes les équations résolues lorsqu un plateau stable est atteint pour chacun des résidus mis à l échelle (voir Section 3.6 pour les valeurs). Pour cette simulation on utilise les propriétés de l eau pure pour le fluide de refroidissement étant donné que le ratio eau/huile de celui-ci est de 70 pour 1. Les propriétés de l eau et de l air utilisées sont à 20 ºC (68 ºF) et à pression atmosphérique de 101.325 kpa (14.7 psi). La température de 20 ºC (68 ºF) est la même que celle du fluide de refroidissement utilisé lors des essais expérimentaux. Ainsi, les propriétés de l eau sont : masse volumique de 998.2 kg/m 3 (1.936 slug/ft 3 ) et viscosité dynamique de 0.001002 Ns/m 2 (2.423 10e 5 lb-s/ft 2 ). Les propriétés de l air sont donc : masse volumique de 1.204 kg/m 3 (2.338 10e 3 slugs/ft 3 ) et viscosité dynamique de 1.82e 5 Ns/m 2 (3.806 10e 7 lb-s/ft 2 ). Les paramètres liés aux différentes conditions frontières (i.e. P i eau, P i air, P o ) doivent être établis. Trois simulations numériques sont réalisées, soit une pour chacune des trois pressions testées, i.e. P i eau = 60, 80 et 100 psi (413.7, 551.6 et 689.5 kpa). Pour déterminer les paramètres de turbulence de cette condition, on doit d abord convertir la pression à l entrée P i eau en vitesse moyenne V i à l aide de l Éq. (15). Avec cette vitesse moyenne V i, les Éqs. (14) et (16) permettent de déterminer l énergie cinétique de turbulence k et le taux de dissipation turbulent ε. Les conditions de turbulence de l entrée d air P i air et de la sortie du mélange eau-air P o sont arbitrairement fixées à 0.001. De plus, les pressions de ces deux conditions sont nulles, car les calculs sont effectués en pression relative. La Table 3 résume les conditions aux frontières pour les trois cas. Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012 135

Cas 60 psi 80 psi 100 psi Entrée (i) Sortie (0) Entrée (i) Sortie (0) Entrée (i) Sortie (0) Eau Air Mél. Eau Air Mél. Eau Air Mél. P (Pa) 413686 0 0 551581 0 0 689476 0 0 V (m/s) 4.009 - - 4.629 - - 5.176 - - k (m 2 /s 2 ) 9.644e -3 0.001 0.001 1.286e -2 0.001 0.001 1.607e -2 0.001 0.001 (m 2 /s 3 ) 3.729e -2 0.001 0.001 5.741e -2 0.001 0.001 8.023e -2 0.001 0.001 Table 3. Conditions aux frontières pour chacun des cas. 3.6. Résultats Tel que mentionné précédemment, le problème est résolu pour les trois mêmes pressions que lors des essais expérimentaux, soit 60, 80 et 100 psi (413.7, 551.6 et 689.5 kpa). Pour chacune de ces trois simulations, environ 70 000 itérations sont requises pour stabiliser sous forme de plateau les résidus mis à l échelle. Le résidu maximal est obtenu par l équation de continuité et c est stabilisé à 4.06E-4. La méthode originalement anticipée pour prédire l ouverture du jet à partir des résultats numériques aurait été de déterminer, pour une distance L donnée de la buse, le ratio du mélange eau-air obtenu numériquement qui correspond à l ouverture moyenne du jet observé lors des essais expérimentaux (i.e. D r ). Cependant, car le mélange entre les deux phases est strictement limité aux deux rangées de cellules qui se situent de chaque côté du rayon de sortie de la buse. Afin de vérifier que ce problème n est pas causé par le modèle multiphasique de MIXTURE, le même cas a été solutionné à l aide du modèle multi phase VOF, mais le même résultat a été obtenu. Ceci est probablement dû au fait que l entrée du système, c est-à-dire la direction du profil de vitesse (qui provient de la condition à la frontière de pression constante P i eau ), est purement horizontale. Ce problème pourrait possiblement être évité avec l utilisation d un modèle de cavitation ce qui introduirait des composantes verticales dans les profils de vitesse qui composent l écoulement du jet de fluide. En étudiant les résultats numériques, nous avons remarqué que l évolution du champ de vitesses (Fig. 6), qui compose le jet, affiche un comportement assez similaire à l ouverture du jet observée expérimentalement (Fig. 3). Les profils de vitesses correspondant aux distances de 3, 4.5 et 6 po (76.2, 114.3 et 152.4 mm) dans le jet sont illustrés à la Fig. 7. Il est observé que le profil de vitesse s ouvre de plus en plus en fonction de l éloignement de la buse. En se basant sur ce comportement, une nouvelle méthode qui exploite l ouverture du profil de vitesse pour prédire l ouverture physique du jet de la buse est développée. Cette méthode consiste à élaborer un modèle semi-empirique qui permet de convertir les résultats numériques en résultats physiques très similaires aux mesures expérimentales. 4. MODÈLE SEMI-EMPIRIQUE Le modèle semi-empirique doit permettre de relier efficacement les résultats des simulations numériques aux résultats expérimentaux afin de pouvoir prédire l ouverture physique d un jet de fluide de refroidissement. L hypothèse de base derrière le développement du modèle semi-empirique est que l ouverture du profil de vitesse en fonction de la distance à partir de la buse L va dépendre de la géométrie intérieure de la buse. Ainsi, si la géométrie intérieure de la buse change, l ouverture du profil de vitesse à une distance L obtenue par simulations numériques va aussi changer en conséquence. Toutefois, il est important que le passage du diamètre d entrée D i au diamètre de sortie D o soit fait de façon progressive. 136 Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012

Fig. 6. Iso-Contours du champ de vitesse de l écoulement et du jet de fluide de refroidissement pour une pression d entrée de 80 psi (551.6 kpa) avec le modèle de MIXTURE. Fig. 7. Profils de vitesse pour les trois distances étudiées (3, 4.5 et 6 po) pour une pression d entrée de 80 psi (551.6 kpa) avec le modèle de MIXTURE. 4.1. Élaboration du modèle Pour développer le modèle, l analyse dimensionnelle est utilisée. Le problème ainsi que les différents paramètres considérés pour l analyser sont schématisés à la Fig. 8, où P iavg représente la pression moyenne Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012 137

à l entrée de la buse, P atm la pression atmosphérique, D i le diamètre à l entrée de la buse, D o le diamètre de sortie de la buse, L la distance à laquelle la cohérence du jet est demandée, D le diamètre du jet mesuré expérimentalement à la distance L, V maxl la vitesse maximale du jet qui provient de la simulation numérique (moyenne de la partie droite du profil de vitesse) et V RL la vitesse à laquelle correspond l ouverture du jet, D. On désire alors trouver une fonction qui permet de déterminer la vitesse V RL à laquelle correspond Fig. 8. Schéma utilisé pour l analyse dimensionnelle afin de corréler l ouverture du profil de vitesse avec l ouverture du jet observé expérimentalement. l ouverture du jet D observée expérimentalement. Donc, à partir des différents paramètres précédents, cette fonction recherchée s écrit de la façon suivante : V RL = f ct ( D i,p iavg,p atm,d o,l, V maxl ). (17) À partir de la fonction de V RL, le théorème de Π de Buckingham est utilisé pour déterminer les différents coefficients adimensionnels qui permettent de lier les paramètres entre eux. On obtient alors l Éq. (18) : ( V RL Di = f ct, P i avg, L ). (18) V maxl D o P atm D o Cependant, étant donné que les cas étudiés pour développer le modèle / semi-empirique ne varient qu en fonction de la pression et non du ratio de contraction (C r ), le terme D i Do est ignoré. Ensuite, les simulations numériques étant réalisées en termes de rayon, les différents diamètres de l Éq. (18) sont remplacés par des rayons. De plus, étant donné que l on utilise la pression atmosphérique P atm la pression moyenne à l entrée doit être convertie en pression absolue. Après ces modifications, on obtient l équation suivante : ( V RL Piavg + P atm = f ct, L ). (19) V maxl P atm R o Par la suite, on doit déterminer la forme de la fonction qui relie les différents coefficients adimensionnels entre eux. Dans le cadre de cette recherche, on a émis l hypothèse, qu avec les bons paramètres h, la somme des trois différents coefficients adimensionnels est égale à une constante, H. Cette hypothèse provient de l analyse de la variation des résultats expérimentaux. Ainsi, la fonction recherchée prend alors la forme suivante avec l ajout de ces coefficients, h, les exposants, l, et de la constante H qui doivent être déterminés : H = h 1 ( VRL V maxl ) l1 ( ) Piavg + P l2 ( ) atm L l3 + h 2 + h 3. (20) 138 Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012 P atm R o

Étant donné l hypothèse de départ que H doit être constant, la variation de celui-ci, entre chacun des ratios d ouverture D r (voir Fig. 4), doit donc être minimisée. Cette minimisation de la fluctuation de H se fait par le choix des coefficients h et l. Les différents ratios d ouverture D r déterminés expérimentalement servent de point de contrôle à l élaboration du modèle semi-empirique. En tout, neuf points de contrôle sont disponibles à partir desquels H est calculé. Ceux-ci proviennent de la somme des trois mesures d ouverture de jet, L = 3, 4.5 et 6 po (76.2, 114.3 et 152.4 mm) réalisées pour chacune des trois pressions à l étude, P iavg = 60, 80 et 100 psi (413.7, 551.6 et 689.5 kpa). Pour déterminer les coefficients h et l, on doit d abord extraire des résultats des trois simulations numériques, les profils de pression à l entrée de la buse, ainsi que les profils de vitesses obtenues à chacune des trois distances où l ouverture du jet a été mesurée expérimentalement. À partir des profils de pression, les pressions moyennes à l entrée P iavg sont déterminées. Des profils de vitesse, les vitesses maximales du jet V maxl sont déterminées. Ensuite, pour chacune des ouvertures moyennes de jet observées expérimentalement (Fig. 4), les vitesses V RL auxquelles elles correspondent sont déterminées à partir de ces mêmes profils de vitesse. Par exemple, l ouverture moyenne du jet à 80 psi (551.6 kpa) et à une distance de 6 po (152.4 mm) de la buse est de 1.3168 (Table 1). Cette ouverture correspond à un rayon R de 0.247 po ou 6.271 mm (R = 1.3168 R o ). À partir du profil de vitesse obtenue à une distance de 6 po (152.4 mm) de la buse pour une pression de 80 psi (551.6 kpa), on détermine la vitesse qui se situe à un rayon de 0.247 po (6.271 mm), c est-à-dire V RL. Cependant, étant donné que chaque point du profil de vitesse correspond à la vitesse calculée à un nœud du maillage, il est fort probable qu aucune vitesse ne corresponde directement au rayon R. Dans ce cas, V RL est déterminée à l aide d une interpolation linéaire entre les deux vitesses les plus proches. Donc, à partir de toutes ces informations nécessaires au calcul de chacun des neuf points de contrôle (R o, L, P atm, P iavg, V maxl, V RL ), la sélection des coefficients h et l nécessaires pour minimiser la fluctuation de H est effectuée. Cette sélection est essentiellement réalisée par un processus itératif. D abord, les exposants l sont fixés à 1 pour étudier seulement le comportement des coefficients multiplicateur, h. Le coefficient h 1 est sélectionné de façon à minimiser l écart entre les H calculés pour les différents points de contrôle. Le coefficient h 1 étant fixé, le même processus est effectué avec h 2 et ensuite avec h 3. Lorsque les trois coefficients multiplicateurs sont fixés, h 1 est revérifié afin de s assurer qu il minimise toujours la variation de H et ainsi de suite pour h 2 et h 3. Par la suite, la sélection des exposants l est effectuée. L exposant l 1 est choisi de façon à minimiser l écart entre les constantes H calculées pour les différents points de contrôle. Ayant fixé l 1, le même processus est effectué avec l 2 et ensuite l 3. Lorsque les trois exposants sont fixés, l 1 est revérifié afin de s assurer qu il minimise toujours la variation de H et ainsi de suite pour l 2 et ensuite l 3. Ce processus a permis d obtenir les coefficients multiplicateurs et exposants suivants : h 1 = 1.031 ; h 2 = 0.033 ; h 3 = 0.00607 ; l 1 = 0.89 ; l 2 = 0.89 et l 3 = 1.01. Avec les coefficients multiplicateurs et exposants choisis, la fluctuation de H est essentiellement limitée à ±1.65% pour une valeur moyenne de H de : H = 1.12. Ainsi, à partir de ces résultats, l Éq. (21) est obtenue : ( ) 0.89 VRL 1.12 = 1.031 + 0.033 V maxl ( Piavg + P atm P atm ) 0.89 ( ) L 1.01 + 0.00607. (21) R o La valeur finale recherchée étant la vitesse correspondant à l ouverture du jet, soit V RL, celle-ci est isolée dans l Éq. (21) pour obtenir le modèle semi-empirique préliminaire suivant : { [ ( ) 1 Piavg + P 0.89 ( ) ]} 1 atm L 1.01 0.89 V RL = V maxl 1.12 0.033 0.00607. (22) 1.031 P atm R o Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012 139

4.2. Validation Étant donné que H provient de la moyenne des neuf points de contrôle et que l ouverture du jet R ne sera pas connue à l avance lors de l utilisation de ce modèle semi-empirique, les ouvertures prédites par ce modèle doivent donc être vérifiées en les comparants aux ouvertures expérimentales sur lesquelles il est basé. Ainsi, pour les trois cas à l étude (60, 80 et 100 psi ou 413.7, 551.6 et 689.5 kpa), les profils de pression à l entrée de la buse et les profils de vitesses obtenues à chacune des trois distances L (3, 4.5 et 6 po ou 76.2, 114.3 et 152.4 mm) où l ouverture du jet a été mesurée expérimentalement sont extraits. À partir des profils de pression, les pressions moyennes à l entrée P iavg sont déterminées. Des profils de vitesse, les vitesses maximales du jet V maxl sont déterminées. Ensuite, les vitesses V RL sont calculées à partir de ces informations et à l aide du modèle semi-empirique préliminaire (Éq. 22) pour chacun des neuf points de contrôle. Pour chaque vitesse V RL, les ouvertures de jet prédits R pred auxquelles elles correspondent sont déterminées à partir de ces mêmes profils de vitesse. Par exemple, pour une pression moyenne d entrée P iavg de 80 psi (551.6 kpa) à une distance de 6 po (152.4 mm) de la buse où la vitesse V maxl est de 98.56 ft/s (30.04 m/s), on peut calculer la vitesse V RL, soit 69.29 ft/s (21.12 m/s). À partir du profil de vitesse à une distance de 6 po (152.4 mm) de la buse pour une pression de 80 psi (551.6 kpa), on détermine le rayon R pred auquel correspond la vitesse V RL de 69.29 ft/s (21.12 m/s) calculée précédemment. À partir des ces ouvertures de jet R pred, les prédictions du modèle semi-empirique sont comparées aux résultats expérimentaux d ouverture de jet R. Ensuite, chacun des coefficients multiplicateurs h et des exposants l sont encore une fois vérifiés, l un après l autre, afin de s assurer que les écarts entre les ouvertures prédites et les ouvertures expérimentales soient minimisés. Cette dernière étape de vérification du modèle a permis d obtenir de légères modifications de la constante H, des coefficients multiplicateurs et des exposants : H=1.1104 ; h 1 = 1.03 ; h 2 = 0.033 ; h 3 = 0.0062 ; l 1 =0.95 ; l 2 = 0.88 et l 3 = 1.01. Ainsi, la version finale du modèle semi-empirique utilisé pour prédire l ouverture du jet de fluide de refroidissement à partir des résultats de simulation numérique est exprimée par l Éq. (23) : { [ ( ) 1 Piavg + P 0.88 ( ) ]} 1 atm L 1.01 0.95 V RL = V maxl 1.1104 0.033 0.0062. (23) 1.03 P atm R o À partir de ce modèle semi-empirique (Éq. 23), on peut vérifier l écart entre les prédictions réalisées par celui-ci et les mesures expérimentales d ouverture de jet (Fig. 9). Les résultats obtenus montrent que le modèle semi-empirique développé permet de prédire l ouverture du jet à une précision de ±2% (Table 4). Toutefois ce modèle n est valide que pour un intervalle de pression P iavg de 60 à 100 psi (413.7 à 689.5 kpa), une distance à partir de la buse L de 3 à 6 po (76.2 à 152.4 mm) et un ratio de contraction C r de 2.667. 5. CONCLUSION Une nouvelle méthode qui permet de prédire l ouverture physique d un jet de fluide de refroidissement à l aide d un modèle semi-empirique a été présentée dans cet article. Cette méthode permet d établir, à partir d un minimum de résultats expérimentaux, un modèle semi-empirique qui utilise les résultats numériques de l ouverture du profil de vitesse pour prédire l ouverture physique du jet de fluide de refroidissement. En effet, le modèle ainsi développé permet de prédire à ±2% l ouverture physique du jet de fluide de refroidissement à partir des résultats numériques obtenus avec le logiciel commercial FLUENT. Ce modèle peut être appliqué avec succès à un autre type de buse (e.g. un changement d angle) tant que le ratio de contraction reste le même et que le passage du diamètre d entrée D i au diamètre de sortie D o se fait de façon progressive, car ce changement de géométrie sera capturé par les résultats numériques. D ailleurs, ce modèle a été utilisé chez P&WC avec succès afin d optimiser la forme de la buse de type Webster et en développer une plus efficace. 140 Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012

Fig. 9. Prédictions de l ouverture du jet à l aide du modèle semi-empirique VS les résultats expérimentaux. Cas 60 psi 80 psi 100 psi P i moy (Pa) po L m V max L (m/s) V RL (m/s) R préd (m) R exp. (m) % Écart- R préd vs 407030 6 0.1524 26.015 19.115 6.07e -3 5.95e -3 1.981% 4.5 0.1143 26.026 20.482 5.66e -3 5.73e -3 1.187% 3 0.0762 26.044 21.856 5.34e -3 5.42e -3 1.528% 542708 6 0.1524 30.037 21.117 6.32e -3 6.27e -3 0.770% 4.5 0.1143 30.051 22.693 5.85e -3 5.91e -3 0.904% 3 0.0762 30.070 24.274 5.48e -3 5.52e -3 0.699% 678386 6 0.1524 33.581 22.572 6.59e -3 6.70e -3 1.670% 4.5 0.1143 33.596 24.329 6.06e -3 6.18e -3 1.972% 3 0.0762 33.618 26.093 5.63e -3 5.56e -3 1.176% R exp. Table 4. Comparaison entre les prédictions du modèle semi-empirique et les résultats expérimentaux. REMERCIEMENTS Les auteurs remercient le Conseil de recherche en sciences naturelles et en génie du Canada (CRSNG), Pratt & Whitney Canada ainsi que l École de technologie supérieure pour le financement octroyé qui a permis la réalisation de ce projet de recherche. Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012 141

REFERENCES 1. Cui, C. et Webster, J. A., Experimental investigation of coolant jet design for creep feed grinding of gas turbine airfoils, American Society of Mechanical Engineers, International Gas Turbine Institute (Publication) IGTI, Portland, OR, USA, Vol. 9, pp. 91 96, 1994. 2. Rouse, H., Howe, J. W. et Metzler, D. E., Experimental investigation of fire monitors and nozzles, 117th ASCE Transactions, 1952. 3. Mindek, R. B. Jr. et Webster, J. A., Minimizing thermal damage of aerospace components using coolant nozzle and coolant system optimization, American Society of Mechanical Engineers, International Gas Turbine Institute (Publication) IGTI, Portland, OR, USA, Vol. 9, pp. 97 104, 1994. 4. Ghassemieh, E., Versteeg, H. K. et Acar, M., The effect of nozzle geometry on the flow characteristics of small water jets, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C (Journal of Mechanical Engineering Science), Vol. 220, No. C12, pp. 1739 1753, 2006. 5. Yuan, W., Sauer J. et Schnerr, G. H., Modeling and computation of unsteady cavitation flows in injection nozzles, Mécanique & Industries, Vol. 2, No. 5, pp. 383 394, 2001. 6. Wilcox, D. C., Turbulence Modeling for CFD, La Canada, CA, USA, DCW Industries Inc., 1998. 7. Yuan, W. et Schnerr, G. H., Numerical simulation of two-phase flow in injection nozzles: Interaction of cavitation and external jet formation, Journal of Fluids Engineering, Transactions of the ASME,, Vol. 125, No. 6, pp. 963 969, 2003. 8. Cui, C., Experimental Investigation of Thermo-Fluid Effects in the Grinding Zone, Ph.D., University of Connecticut, CT, USA, 1995. 9. Webster, J. A., Effective coolant application in grinding, WPI Surface Metrology and Applied Grinding Research Laboratories Seminar, Worcester Polytechnic Institute, Worcester (MA) USA, pp. 1 18, 2005. 10. Manninen, M., Taivassalo V. et Kallio, S., Mixture model for multiphase flow, VTT Publications 288, Technical Research Center of Finland, Finland, 1996. 11. Schiller, L. et Naumann, A., Uber die grundlegenden Berechnungen bei der Schwerkraftaufbereitung, Z. Ver. Deutsch. Ing. 77, Germany, pp. 318 326, 1935. 12. Launder, B. E. et Spalding, D.B., Lectures in Mathematical Models of Turbulence, London, England, Academic Press, 1972. 13. Pope, S. B., Turbulent Flows, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 2000. 14. Ferziger, J. H. et Peric, M., Computational Methods for Fluid Dynamics, Third Edition, Berlin, Germany, Springer, 2002. 15. Leonard, B. P. et Mokhtari, S., ULTRA-SHARP Nonoscillatory convection schemes for high-speed steady multidimensional flow, NASA TM 1-2568 (ICOMP-90-12), NASA Lewis Research Center, USA, 1990. 16. Patankar, S. V., Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Washington, DC, USA, Hemisphere Publishing Corp, 1980. 142 Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering, Vol. 36, No. 2, 2012