BACCALAUREAT BLANC Février 216 MATHEMATIQUES Serie STMG Durée de l épreuve : 3h (coefficient 3) L utilisation de la calculatrice est autorisée. Le candidat s assurera que l énoncé comporte 8 pages, La feuille ANNEXE sera à remettre avec la copie pour les TSTMG3. Le candidat doit traiter les quatre exercices et faire l exercice 4 correspondant à sa classe. La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation de la copie.
EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des cinq questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l absence de réponse n enlève pas de point. Les deux parties sont indépendantes. Partie A La courbe C ci-dessous est la représentation d une fonction f définie sur l intervalle [ ; 36]. 14 B T B 12 1 8 6 4 T D T A A 2 5 1 15 2 25 3 35 D A est le point de la courbe C d abscisse 5, B celui d abscisse 12 et D celui d abscisse 33,5. T A est la tangente à la courbe C au point A, T B celle au point B et T D celle au point D. 1. L image de 12 par la fonction f est environ a. b. 76 c. 1 41 d. 1 9 2. f (5) est environ égal à a. 3 b. 125 c. 125 d. 1,25 3. L une des quatre courbes suivantes représente la fonction dérivée de f. Laquelle? STMG - bac blanc - Page 2/8
a. Courbe 1 b. Courbe 2 3 3 2 2 1 1 1 5 1 15 2 25 3 35 1 5 1 15 2 25 3 35 c. Courbe 3 d. Courbe 4 3 3 2 2 1 1 1 5 1 15 2 25 3 35 1 r 5 1 15 2 25 3 35 Partie B Soit g la fonction définie sur [ ; 36] par : g (x)=,2x 3 14,4x 2 + 259,2x+ 295,2. 1. La fonction dérivée g de g sur [ ; 36] est définie par : a. g (x)=,5x 2 28,8x+ 259,2 b. g (x)=,6x 2 28,8x+ 259,2 c. g (x)=,6x 2 28,8x+ 554,4 d. g (x)=,2x 2 144x+ 554,4 2. Le maximum de g sur [ ; 36] est : a. 295,2 b. 1 677,6 c. 12 d. 36 STMG - bac blanc - Page 3/8
EXERCICE 2 5 points Une entreprise fabrique un modèle de meuble en bois. Elle peut produire au maximum 1 meubles par jour. Pour x meubles fabriqués et vendus, le coût de production journalier (exprimé en euros), noté C (x), est donné par : C (x)=2,25x 2 6x+ 2 Chaque meuble est vendu 299. L entreprise est ouverte cinq jours par semaine. Le chef d entreprise a réalisé la feuille de calcul suivante : A B C D 1 x Recette Coût Bénéfice 2 2 2 3 1 2 99 185 285 4 2 5 3 6 4 7 5 8 6 9 7 1 8 11 9 12 1 1. a. Donner une formule qui, saisie dans la cellule B2, permet d obtenir par recopie vers le bas, la recette en fonction du nombre de meubles fabriqués et vendus chaque jour. b. Donner une formule qui, saisie dans la cellule C2, permet d obtenir, par recopie vers le bas, le coût en fonction du nombre de meubles fabriqués et vendus chaque jour. c. Calculer les valeurs associées aux cellules B7, C7 et D7. 2. Montrer que le bénéfice journalier correspondant à la production et la vente de x meubles (x [ ; 1]) est donné par B(x)= 2,25x 2 + 35x 2. 3. Calculer B (x) et donner le tableau de variations de B sur [ ; 1]. 4. Combien de meubles faut-il produire et vendre pour réaliser un bénéfice journalier maximal? Déterminer le bénéfice maximal que peut réaliser l entreprise sur une période de quatre semaines. STMG - bac blanc - Page 4/8
EXERCICE 3 4 points Tous les ans, en août, Maïlys reçoit l échéancier (document indiquant le montant de sa cotisation annuelle) de sa mutuelle «complémentaire santé». Elle décide d étudier l évolution de sa cotisation de 211 à 214. Elle note dans une feuille automatisée de calcul le montant en euros de ses cotisations annuelles de 211 à 214. La ligne 4 est au format pourcentage à une décimale. A B C D E F G 1 2 Année 211 212 213 214 3 Cotisation (en euros) 868 976 1 72 1 177 4 Taux d évolution annuel (en %) 9,8 9,8 5 1. Calculer le taux d évolution global de sa cotisation entre 211 et 214, exprimé en pourcentage et arrondi à,1 %. 2. Quelle formule Maïlys a-t-elle pu saisir dans la cellule C4 pour y obtenir le taux annuel d évolution de 211 à 212, puis par recopie vers la droite jusqu à la cellule E4, les taux d évolution annuels successifs jusqu en 214? 3. Montrer que le taux d évolution moyen annuel de la cotisation de 211 à 214, arrondi à,1 %, est de 1,7 %. 4. On fait l hypothèse que la cotisation annuelle augmentera chaque année de 1,7 % à partir de 214. a. Estimer le montant, arrondi à l euro, de la cotisation annuelle prévue pour 215. b. Déterminer en quelle année la cotisation annuelle aura doublé par rapport à celle de 211. Justifier la réponse. STMG - bac blanc - Page 5/8
EXERCICE 4 :RÉSERVÉ AUX ÉLÈVES DE TSMTG1 ET TSTMG2 UNIQUEMENT Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. 6 points D après l INSEE, l espérance de vie à la naissance est passée pour les hommes de 59,9 ans en 1946 à 78,5 ans en 212. Pour les femmes, elle est passée de 65,2 ans à 84,9 ans durant la même période. Première partie On se propose ici de modéliser l évolution de l espérance de vie pour les hommes par la suite arithmétique (U n ) de premier terme U = 59,9 et de raison r =,25. 1. Calculer U 1,U 2 et U 3 qui correspondent aux années 1947, 1948 et 1949. 2. Donner U n en fonction de n. 3. Déterminer U 66. 4. Entre 1946 et 212 les hommes ont-ils gagné, en réalité, plus de 3 mois d espérance de vie chaque année en moyenne? Deuxième partie 1. Déterminer, à 1 2 près, le taux d évolution global de l espérance de vie pour les hommes exprimé en pourcentage de 1946 à 212. 2. Des hommes ou des femmes, qui a le taux d évolution global le plus élevé durant cette période? 3. Calculer pour les hommes le taux annuel moyen, pour cette période, exprimé en pourcentage à 1 2 près. Troisième partie Soit l algorithme suivant : 1. Que calcule cet algorithme? VARIABLES n EST DU TYPE NOMBRE A EST DU TYPE NOMBRE B EST DU TYPE NOMBRE T EST DU TYPE NOMBRE DÉBUT ALGORITHME AFFICHER «Entrez la valeur initiale». ENTRER A AFFICHER «Entrer le nombre d années» ENTRER n AFFICHER «Entrez la valeur finale» ENTRER B T PREND LA VALEUR (B A)/A T PREND LA VALEUR (1+T ) 1 n T PREND LA VALEUR (T 1) 1 AFFICHER T FIN ALGORITHME 2. Si on choisit : A= 65,2; B = 84,9; n= 66, quel sera le résultat affiché à 1 2 près? STMG - bac blanc - Page 6/8
EXERCICE 4 : RÉSERVÉ AUX ÉLÈVES DE TSMTG3 UNIQUEMENT 6 points Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A Un restaurateur ne sert au déjeuner que des plats du jour. Il cherche à estimer l effet du prix de ce plat sur le nombre de ses clients à partir du tableau suivant : Prix du plat du jour en euros x 7 9 11 13 15 Nombre de clients y 82 78 65 41 2 1. Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite d ajustement du nombre de clients y en fonction du prix x obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera la valeur exacte des coefficients. 2. Dans la suite du problème, on décide de modéliser le nombre y de clients en fonction du prix x par l expression y = 8x+ 146. a. D après ce modèle, calculer le nombre de clients si le restaurateur fixe le prix du plat du jour à 12. b. D après ce modèle, à combien le restaurateur doit-il fixer le prix du plat du jour pour espérer attirer 1 clients? Partie B On s intéresse à l évolution du nombre de licences sportives en France. Le tableau ci-dessous indique le nombre de licences sportives, toutes pratiques confondues, entre 24 et 21. Année 24 25 26 27 28 29 21 Rang de l année x i 1 2 3 4 5 6 Nombre de licences sportives (en millions) y i 15,23 15,78 15,91 16,25 16,78 17,27 17,42 Source : mission des études, de l observation et des statistiques (Meos) Le nuage de points de coordonnées ( x i ; y i ) pour i variant de à 6 est représenté en annexe. 1. À l aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au millième). 2. On décide d ajuster le nuage avec la droite D d équation y =,37x+ 15,26. a. Tracer la droite D sur le graphique de l annexe à rendre avec la copie. b. Calculer le nombre de licences sportives prévu par ce modèle d ajustement en 213. c. Selon ce modèle, en quelle année le nombre de licences sportives sera-t-il pour la première fois supérieur à 2 millions? STMG - bac blanc - Page 7/8
Ý Ý Ý Ý Ý Annexe de l exercice 4 pour les TSTMG3 à rendre avec la copie Nombre de licences sportives en millions 18,6 18,4 18,2 18, 17,8 17,6 17,4 17,2 Ý Ý 17, 16,8 16,6 16,4 16,2 16, 15,8 15,6 15,4 15,2 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Rang de l année STMG - bac blanc - Page 8/8