TPC2 Sciences Physiques DL n o 11 pour le 28/11/16 Collés avec des aimants... Un aimant est un milieu ferromagnétique dont les dipôles magnétiques microscopiques qui le composent sont orientés dans une direction privilégiée, créant dans l espace un champ magnétique permanent. Les aimants les plus courants sont fabriqués à base de ferrite, tandis que les aimants les plus intenses sont constitués d alliages de néodyme, de fer et de bore. Ce problème tente de répondre à cette question : peut-on caractériser les propriétés d aimantation d un aimant ainsi que le champ magnétique créé à son voisinage? Un modèle simple de dipôle magnétique dans la matière consiste à étudier le mouvement de l électron autour du noyau dans un atome d hydrogène. Classiquement, l électron, de masse m e = 9, 1.10 31 kg et de charge e = 1, 6.10 19 C, a un mouvement circulaire de rayon r 0 à la vitesse angulaire de rotation ω autour du noyau situé en O et subit la seule force d attraction coulombienne du noyau. 1 Exprimer le moment cinétique orbital L 0 de l électron par rapport au point O. Montrer que celui-ci est une constante du mouvement. En déduire que le mouvement est uniforme. Proposer une analogie en mécanique. 2 Le mouvement circulaire de l électron est analogue à une boucle de courant parcourue par un courant électrique d intensité I, constituant un modèle simple de dipôle magnétique. Le moment dipolaire magnétique associé à cette boucle de courant est défini par m = I S où S = πr 2 0 u z est la surface de la boucle de courant. Exprimer l intensité I du courant électrique dans la boucle de courant en fonction de e et ω. Préciser le sens de parcours du courant. En déduire le moment dipolaire magnétique m de l électron dans ce modèle. 3 Montrer que le moment cinétique orbital de l électron et son moment dipolaire magnétique sont colinéaires et exprimer le rapport gyromagnétique γ e de l électron, défini par la relation m = γ e L0. 1
4 La mécanique quantique montre que la projection L z sur (Oz) du moment cinétique orbital de l électron ne peut prendre que certaines valeurs, multiples entières de = h/2π, où h est la constante de Planck : h = 6, 63.10 34 J.s. Donner l unité SI de L z. Commenter. 5 Montrer que le moment dipolaire magnétique de l électron est lui aussi quantifié. En déduire l expression du quantum µ B de moment dipolaire magnétique électronique, appelé magnéton de Bohr. Calculer µ B numériquement. 6 On considère un aimant parallélépipédique de dimensions 10 mm 20 mm 40 mm en ferrite, composé essentiellement d oxydes de fer F e 2 O 3 ou F e 3 O 4 mélangés à d autres éléments comme le strontium, le baryum ou le cobalt. Cet aimant pèse 40 g. On suppose, pour simplifier, que l aimant est uniquement constitué de fer et que chaque atome de fer fournit un dipôle magnétique de moment dipolaire magnétique µ B. On rappelle la masse molaire du fer : M F e = 56.10 3 kg.mol 1. Évaluer le nombre de dipôles magnétiques par unité de volume dans le matériau. En déduire l ordre de grandeur du moment magnétique volumique de cet aimant permanent, aussi appelé aimantation, notée M. 7 Évaluer alors l ordre de grandeur du champ magnétique rémanent à l intérieur de l aimant, lié à M par la relation B = µ 0 M. 8 On souhaite caractériser le champ magnétique permanent créé dans tout l espace par cet aimant et le comparer au champ magnétique créé par un dipôle magnétique seul. On utilise pour cela de la limaille de fer et on visualise le spectre magnétique, simple image du champ magnétique. 2
Commenter l allure des champs magnétiques de l aimant et du dipôle magnétique. Pourrait-on considérer que l aimant se comporte comme un unique dipôle magnétique? 9 À l aide d un teslamètre (sonde à effet Hall), on a mesuré l intensité du champ magnétique le long de l axe d un aimant en ferrite et d un aimant en néodyme de même taille, en fonction de la distance d. Les graphes expérimentaux sont représentés ci-après. Afin de tester la validité du modèle dipolaire, on a également tracé le champ magnétique créé le long de l axe d un dipôle magnétique de moment dipolaire m selon la relation : B z (z) = µ 0 m 2π z. 3 Identifier les courbes relatives à l aimant en ferrite et à celui en néodyme. Le modèle du dipôle magnétique convient-il? Commenter la valeur du champ magnétique au voisinage de chaque aimant. 3
10 L ajustement du modèle théorique du dipôle avec les points expérimentaux a permis d obtenir la valeur du moment dipolaire magnétique équivalent à chaque aimant. Déduire de ces résultats l aimantation M dans chaque aimant. Commenter. 11 Lorsque deux aimants sont face à face, ils se repoussent ou s attirent fortement selon l orientation de leurs pôles et la distance qui les sépare. On a placé deux aimants en néodyme face à face, leurs pôles Nord se faisant face, et on a mesuré la force nécessaire pour maintenir les aimants en équilibre à une distance donnée. Le graphe ci-après présente les résultats expérimentaux, ainsi que la courbe du modèle dipolaire théorique. On rappelle que l énergie potentielle d un dipôle magnétique de moment dipolaire m placé dans un champ magnétique B s écrit : E p = m B. La force magnétique s exerçant sur le dipôle magnétique dérive alors de cette énergie potentielle : F = grade p. Exprimer la force magnétique exercée sur chacun des deux aimants face à face à la distance d l un de l autre. Cette force magnétique est-elle attractive ou répulsive? 12 Commenter l adéquation du modèle du dipôle avec les mesures expérimentales. On obtient numériquement pour ce modèle m = 6, 6 A.m 2. 13 Une mesure simple et rapide du champ magnétique moyen au voisinage d un aimant consiste à effectuer un test d arrachement : un aimant est placé sur une surface en acier et on mesure simplement la force nécessaire pour le décoller de la surface. On a ainsi réussi à accrocher une masse de 6 kg à l aimant en néodyme. Pour une masse de 7 kg, l aimant se décroche de la surface. On considère la force F à exercer sur l aimant pour le décoller d une faible distance ε. Le travail fourni par cette force est alors utilisé pour remplir d énergie magnétique le volume situé entre l aimant et le support. On note B moy le champ magnétique moyen au voisinage de l aimant et S = 20 mm 40 mm la surface de contact. Relier simplement la force F et le champ magnétique moyen B moy au voisinage de l aimant. 14 En déduire la valeur numérique de B moy. 4
15 Des simulations numériques permettent d obtenir directement le champ magnétique créé dans l espace par un aimant permanent dont on connaît les caractéristiques. On a reporté ci-après l allure des lignes de champ magnétique obtenues avec l aimant en néodyme étudié, ainsi que les profils de champ magnétique le long de l axe de l aimant et au voisinage de sa surface. À l aide des simulations numériques, interpréter les résultats précédents. Commenter le rôle du modèle du dipôle magnétique. La Méditation, c est la Terre qui explore le Ciel ; la Contemplation, c est le Ciel qui éclaire la Terre de ses myriades d étoiles. Marcel Driot. 5