CLASSES DE PCSI 1, 2 et 3 - D.S N 6 DE PHYSIQUE

CLASSES DE PCSI 1, 2 et 3 - D.S N 6 DE PHYSIQUE Durée de l'épreuve : 3h Usage de la calculatrice autorisé. Les 3 exercices sont indépendants, et dans chacun les différentes parties sont indépendantes. Il sera tenu compte dans la notation de la qualité de la présentation. Les résultats doivent être encadrés. Tout résultat numérique doit comporter une unité et le nombre de chiffres significatifs pertinent. Exercice 1: Principe d un sismographe Les séismes donnent naissance à différents types d'ondes sismiques, provoquant à la fois des déplacements horizontaux et des déplacements verticaux du sol. On étudie dans cet exercice le fonctionnement d'un sismographe destiné à enregistrer les vibrations verticales générées par un séisme. On considère le dispositif schématisé sur la figure ci-contre modélisant un sismographe vertical. A l intérieur d un boîtier (B) reposant au sol, un solide S assimilable à un point matériel de masse m est suspendu à un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0. On note A l'extrémité du ressort fixée au boîtier et M l'autre extrémité reliée à S. Un système d'amortissement électromagnétique réglable exerce d'autre part sur S une force de "frottement" F! f = h V!!, où V est la vitesse de S par rapport au boîtier et h une constante positive. Un capteur permet d enregistrer les déplacements de S relativement à (B). Données numériques : k = 9,5.10 2 N.m -1 ; m = 12 kg ; g = 9,8 m.s -1 Oscillations libres Dans cette partie, l'appareil n'est soumis à aucune onde sismique et le boîtier (B) est immobile dans le référentiel terrestre (R) supposé galiléen. 1. Exprimer la longueur du ressort à l équilibre notée l e en fonction de l 0, m, g et k. 2. Le solide S après avoir été écarté de sa position d'équilibre est mis en mouvement par rapport au boîtier. On note x = AM - l e, l abscisse du point M comptée à partir de sa position d équilibre sur un axe vertical descendant solidaire de (B). 2.1. Montrer que le mouvement du solide obéit à une équation différentielle qui peut se mettre sous la forme : d 2 x dt +ω 0 dx 2 Q dt +ω 2 0x=0 et donner les expressions de la pulsation propre ω 0 et du facteur de qualité Q de cet oscillateur à l'aide de k, m et h. 2.2. Avec les valeurs fournies, calculer numériquement ω 0 et la période propre T 0 des oscillations non amorties. 3. Le système d'amortissement a été réglé de telle sorte que le régime libre soit un mouvement pseudopériodique donné par x(t) = X m e λt cos(ωt+ψ). 3.1. Déterminer les expressions de λ et de la pseudopulsation Ω en fonction de ω 0 et Q. 3.2. L enregistrement des variations de x en fonction du temps est reproduit ci-dessous. Déterminer grâce à cet enregistrement la pseudopériode T des oscillations de S. Comparer la valeur obtenue à la période propre calculée question 2.2 et commenter. 1 CLASSES DE PCSI 2017/2018- DS N 6 DE PHYSIQUE

x(t) 4. On rappelle la définition du décrément logarithmique: δ = ln = 1 x(t+t) n ln x(t) avec n x(t+nt) entier positif quelconque. 4.1. Exprimer δ en fonction de λ et T, puis en fonction de Q exclusivement. 4.2. Déterminer la valeur de δ à partir de l enregistrement puis celle du facteur de qualité Q. En déduire la valeur à laquelle a été réglée le coefficient h. 5.1. Si l'on veut régler l amortissement à sa valeur critique, quelle valeur faut-il donner à Q? Exprimer en fonction de m et k la valeur de h correspondant à ce régime et effectuer l application numérique. 5.2. Quel intérêt présente le régime critique? Oscillations forcées Le boîtier, soumis à une onde sismique, est maintenant animé d un mouvement de translation verticale. En l'absence d'onde sismique l'extrémité A du ressort est située au point A 0 lié au référentiel galiléen (R). On note y = A 0 A, le déplacement selon la verticale du point A, par rapport à sa position au repos.!!!!" 6.1. Exprimer le vecteur position A 0 M en fonction de le, x, y et du vecteur unitaire u! x de Ox. En déduire le vecteur accélération de S relativement à (R). 6.2. En traduisant les lois de la mécanique dans (R), montrer que le mouvement de S est maintenant décrit par l'équation différentielle: d 2 x dt +ω 0 dx 2 Q dt +ω 2 0x= d2 y dt 2 7. On suppose une onde sismique sinusoïdale donnée par une loi de la forme y(t) = Y 0 cos(ωt). Après un régime transitoire il s établit un régime sinusoïdal forcé de la forme x(t) = X 0 cos(ωt + ϕ). 7.1. On introduit les représentations complexes : y(t) = Y 0 exp(jωt) et x(t) = X 0 exp[j(ωt + ϕ)]. 2 CLASSES DE PCSI 2017/2018- DS N 6 DE PHYSIQUE

Traduire l'équation différentielle précédente en formalisme complexe et déterminer la fonction de transfert du dispositif définie par H = x(t) y(t). 7.2. Exprimer H en fonction de Q et de la pulsation réduite θ = ω ω 0. En déduire l'expression du rapport X 0 Y 0 en fonction de θ et Q. 8. La figure ci-dessous reproduit les variations de X 0 Y 0 en fonction de θ pour différentes valeurs de Q. 8.1. Vérifier la cohérence de l'allure de ce graphe avec l'expression obtenue à la question précédente. 8.2. Dans quel domaine doit se situer la pulsation ω si l on désire que l amplitude X 0 des oscillations de S reproduise fidèlement l amplitude des vibrations du boîtier? Est-il souhaitable que ce sismographe présente un phénomène de résonance? 8.3. On tolère un écart relatif de 1% entre X 0 et Y 0. Parmi ces valeurs de Q, quelle est celle pour laquelle la bande de pulsation où ce critère est vérifié est la plus large? En supposant que Q est réglé à cette valeur, déterminer numériquement à l'aide du graphe la valeur minimale de la fréquence des ondes sismiques pour lesquelles ce sismographe est adapté? Exercice 2: Etude d une bobine On dispose d une bobine modélisable par l association en série d une inductance de valeur L et d une résistance de valeur r. On se propose de mesurer les caractéristiques r et L de cette bobine par différentes méthodes en régime sinusoïdal. Mesures à l aide d un multimètre En plaçant en série avec la bobine, un résistor de résistance connue R = 40 Ω, on réalise le circuit de la figure ci-contre, alimenté par un générateur basse fréquence délivrant une 3 CLASSES DE PCSI 2017/2018- DS N 6 DE PHYSIQUE

tension u G sinusoïdale de fréquence f 1 = 250 Hz. En branchant un voltmètre numérique aux bornes de la résistance puis aux bornes de la bobine, on mesure des tensions efficaces U Reff = 3,00 V et U Beff = 8,07 V. 1.1. Déterminer l'impédance Z B1 de la bobine à cette fréquence. Quelle valeur en déduirait-on pour L en modélisant la bobine par une inductance pure? 1.2. Dans l'hypothèse d'une bobine parfaite, représenter le diagramme de Fresnel des tensions u R, u B et u G. 1.3. Déduire de ce diagramme la valeur de la tension efficace qui serait mesurée aux bornes du générateur ainsi que le déphasage ϕ ug /i de la tension u G par rapport à l intensité circulant dans le circuit. On reprend le protocole précédent en modifiant la fréquence du générateur que l'on règle maintenant à la valeur f 2 = 100 Hz. La tension efficace aux bornes de la résistance est maintenue à la valeur U Reff = 3,00 V et on mesure aux bornes de la bobine une nouvelle tension de valeur efficace U Beff = 3,80 V. 2.1. Déterminer l'impédance Z B2 de la bobine à la fréquence f 2. Quelle nouvelle valeur en déduit-on pour L dans l'hypothèse d'une bobine parfaite? Commenter la validité de ce modèle dans les conditions de l'expérience réalisée. 2.2. Exprimer la valeur exacte de l inductance L en fonction de Z B1, Z B2 et des fréquences f 1, f 2. Effectuer l application numérique et en déduire la valeur de la résistance r de la bobine. Détermination de r et L à partir d'un oscillogramme On utilise maintenant un oscilloscope pour mesurer les valeurs de r et L. En série avec la bobine et le resistor précédent de résistance R, on place un condensateur de capacité C = 10 µf. Le GBF est réglé pour délivrer une tension sinusoïdale de fréquence f = 250 Hz. Sur un oscilloscope numérique, on observe les tensions u G (t) et u R (t). On obtient l oscillogramme suivant: 3.1. Déterminer la valeur de l'amplitude U Rm de la tension u R. En déduire la valeur numérique de l'amplitude I m de l intensité du courant i(t). 3.2. On note Z l'impédance complexe du circuit. Grâce aux résultats de la question précédente, calculer Z = Z. 4 CLASSES DE PCSI 2017/2018- DS N 6 DE PHYSIQUE

3.3. Des deux tensions, u R (t) et u G (t), quelle est celle qui est en avance sur l'autre? A partir de l'oscillogramme, déterminer le déphasage ϕ entre u G (t), et u R (t). 3.4. Que représente ϕ pour l'impédance complexe Z? Donner alors l expression de r en fonction de R, Z et ϕ ainsi que celle de L en fonction de Z, ϕ, C et f. 3.5. Déduire des mesures effectuées les valeurs de l inductance L et de la résistance r de la bobine. Vérifier la concordance de ces résultats avec ceux obtenus à la question 2.2. Exercice 3: Résonances dans un circuit R-L-C On réalise un circuit série en associant une bobine supposée parfaite d inductance L = 10 mh à un condensateur de capacité C = 1,0 µf et une résistance de valeur R = 30 Ω. Le circuit est alimenté par un générateur délivrant une tension sinusoïdale u de fréquence f. Tension aux bornes de la résistance 1. La fréquence est réglée de telle sorte que les tensions efficaces U Leff et U Ceff mesurées aux bornes de la bobine et du condensateur soient égales : U Leff = U Ceff = 10 V. 1.1. Déterminer la valeur à laquelle on doit fixer la fréquence du générateur pour réaliser cette condition. 1.2. Quelle est alors la valeur de l'impédance complexe de l'association de la bobine et du condensateur et quelle tension efficace mesure-t-on aux bornes de l ensemble bobine-condensateur? 1.3. Quelle relation en déduit-on entre les tensions aux bornes de la résistance et du générateur? Quel est le déphasage entre ces deux tensions? Déterminer les valeurs numériques des tensions efficaces correspondantes U Reff et U eff. 1.4. Si l'on considère les variations de l'intensité efficace dans le circuit en fonction de la fréquence, quelle est la fréquence particulière à laquelle a été réglé le générateur? Justifier. 2. La tension efficace délivrée par le générateur étant maintenue constante, on augmente sa fréquence f. 2.1. Comment évolue la tension U Reff mesurée aux bornes de R? 2.2. A la nouvelle fréquence à laquelle a été réglé le générateur, la tension délivrée par le générateur est en avance de π 4 radians par rapport à la tension u R. Déterminer la nouvelle valeur de la fréquence f ainsi que celle de la tension efficace U Reff. 5 CLASSES DE PCSI 2017/2018- DS N 6 DE PHYSIQUE

Exercice 4 Mais que fait la charge? On considère le circuit représenté par la figure (a) ci-dessous : C C e(t) R u(t) e(t) R R c u(t) figure (a) figure (b) On donne R = 1,0kΩ et C = 0,22 µf. 1. Déduire la nature probable de ce filtre par une analyse qualitative du montage à basse et haute fréquence. 2. Déterminer la fonction de transfert complexe H a de ce premier montage. Quelle fonction réalise ce montage? Quelle est sa fréquence de coupure f ca? Faire l application numérique. 3. La tension de sortie u(t) est destinée à alimenter un montage non représenté ici, qu on modélisera par une résistance R c (résistance de charge), comme représenté sur le montage de la figure (b) ci-dessus. Déterminer alors la fonction de transfert complexe H b de ce second montage. Quelle fonction réalise ce montage? Quelle est sa fréquence de coupure f cb? 4. Les figures suivantes montrent les allures du diagramme de Bode correspondant à H a et H b. G (db) 5 0 5 10 15 20 25 Absence de charge 30 10 1 10 2 10 3 10 4 ϕ ( ) 80 60 40 20 0 10 1 10 2 10 3 10 4 f (Hz) Ces graphes vous paraissent-ils être en accord avec l étude théorique menée précédemment? Déduire de leur étude la valeur de la résistance de charge R c. Quelle est l influence de la résistance de charge sur le fonctionnement du filtre? 5. On cherche à minimiser l influence de cette charge R c. Comment doit-on choisir cette dernière pour que le filtre conserve à mieux de 1% près la fréquence de coupure calculée en 2.? 1

Exercice 5 Étude et production du vide Les techniques d élaboration de produits et de matériaux qui font appel au «vide» sont de plus en plus nombreuses. Les basses pressions couvrent un très large domaine allant du vide grossier (10 1 à 10 3 fois la pression atmosphérique), jusqu au vide extrême (10 13 à 10 17 fois la pression atmosphérique). Le choix du matériel à utiliser pour atteindre et maintenir le vide dépend du niveau de pression. Ainsi, les pompes à transfert assurant l extraction du gaz ou des vapeurs du réservoir et capables de refouler directement à la pression atmosphérique sont appelées pompes primaires : elles permettent d atteindre le vide grossier ou moyen. Pour l obtention d un vide plus poussé, elles doivent être suivies de pompes dites à fixation, qui piègent par condensation les molécules à extraire. A L air et sa pression A.1 Donner les principaux composants de l air et leur proportion dans les conditions habituelles de l atmosphère. A.2 À quoi est due la pression cinétique des gaz? A.3 Donner la valeur de la pression atmosphérique normale P atm dans une unité du système S.I. que l on précisera et dans un autre système d unités. A.4 Dans le cas où leur pression est faible, les gaz peuvent être considérés comme parfaits : justifier cette hypothèse. A.5 Combien y a-t-il de molécules dans 1 mm 3 d air, assimilé à un gaz parfait, dans les conditions normales de température et de pression? Combien en reste-t-il lorsque la pression est diminuée d un facteur 10 6 à température constante? Exprimer le volume disponible pour une molécule de gaz dans ce dernier cas et comparer le avec le volume propre d une molécule (de l ordre de 10 27 m 3 ). Quelle remarque peut-on faire? Données : Dans les conditions normales de température et de pression, T = 273,15 K et la pression est égale à la pression atmosphérique; R = 8,31 J.K 1.mol 1 et N A = 6,02.10 23 mol 1. B Pompe à condensation Parmi les différents types de pompe à fixation, on trouve les pompes à condensation. Par abaissement de la température d une partie de la paroi de l enceinte à vider, on condense le gaz ou la vapeur à éliminer. Le produit condensé est ensuite éliminé. Soit une enceinte sphérique de diamètre D = 20 cm, maintenue à une température constante T = 273 K sauf au niveau d un élément de surface s représentant 0,1% de la surface totale, maintenu à une température T s inférieure à T et permettant la condensation du diazote. Cette enceinte est initialement remplie d air dans les conditions normales de température et de pression. L air et ses constituants sont supposés se comporter comme des gaz parfaits. D après la théorie cinétique des gaz, le nombre de molécules qui frappent l unité de surface pendant l unité de temps est donné par : N s = 1 4 n v où n est la densité volumique de molécules, v leur vitesse moyenne. On donne v = 454m s 1 dans les conditions de l expérience. B.1 En admettant que les molécules de diazote, qui frappe la surface s, y restent collés, montrer que la variation temporelle du nombre de molécule de ce gaz contenues dans l enceinte est donnée par une relation du type : N N2 = N 0 N 2 exp( t τ ) où t est le temps en seconde et N0 N 2 le nombre de molécules de diazote dans le réservoir à l instant initial. Exprimer τ en fonction de D et de la vitesse v N2 d une molécule de diazote puis donner sa valeur numérique. Donnée : On rappelle que la surface d une sphère de rayon R est égale à 4πR 2 be que son volume est 4 3 πr3. 2