PROGRAMME DE COLLES DE PHYSIQUE Semaine 2 du 26 Septembre au 30 Septembre 2016 Cours S3 : Superposition de deux signaux sinusoïdaux (COURS + EXERCICES) I. Superposition de 2 OPS synchrones de même amplitude : phénomène d'ondes stationnaires Mise en évidence : superposition de 2 OPS de même fréquence, de même amplitude A se propageant en sens inverse selon l'axe (Ox) sans atténuation ni déformation. En posant : s 1 (x,t)= A cos(ωt kx+ϕ 1 ) et s 2 (x,t)= A cos(ωt +kx+ϕ 2 ) On montre que : s(x,t )=s 1 (x,t )+s 2 (x,t )=2 Acos(ωt +ϕ).cos(kx+ψ) Structure de l'onde stationnaire : séparation des variables spatiale et temporelle. Une telle onde ne se propage pas mais vibre sur place : c'est une onde stationnaire. Application : étude des modes propres de vibration d'une corde i) Modèle de la corde vibrant fixée à ses deux extrémités : les conditions aux limites nous amènent à une quantification de la pulsation spatiale : k n =n π L Si l'on note y(x,t) le déplacement transversal d'un point de la corde d'abscisse x, la quantification des pulsations spatiale et temporelle nous permettent d'écrire : y n (x,t)=2 A n cos( n π c L t +ϕ n ).sin( n π L x) Il y a quantification des ondes stationnaires : ce sont les modes propres de vibration de la corde. Les fréquences propres sont telles que : f n =n f 1 =n c 2 L Le tracé des modes propres met en évidence le fait que pour le mode propre d'ordre n, on observe n ventres et n+1 nœuds. ii) Comparaison à l'expérience (Corde de Melde étudiée en TP) : on retrouve les ventres et les nœuds caractéristiques d'une onde stationnaire. iii) Interprétation physique : il se propage le long de la corde un très grand nombre d'ops provenant des réflexions aux deux extrémités. La superposition de toutes les ondes se propageant en sens inverse donne naissance à une onde stationnaire. iv) Mouvement général de la corde : est périodique mais NON sinusoïdal, il est obtenu par superposition linéaire de tous les modes propres : + y (x,t)= 2 An cos( n π c n=1 L t+ϕ n π ). sin( n L x)
II. Superposition de 2 SIGNAUX sinusoïdaux synchrones : phénomène d'interférences Mise en évidence (numérique) On remarque que l'amplitude du signal résultant de la somme des deux signaux sinusoïdaux dépend du déphasage entre les deux signaux. Calcul de l'amplitude du signal résultant à l'aide de la représentation de Fresnel : On pose : s 1 (t)= A 1 cos(ω t+ϕ 1 ) et s 2 (t)= A 2 cos(ω t+ϕ 2 ) En utilisant la représentation de Fresnel, on montre que l'amplitude du signal résultant n'est pas égale à la somme des amplitudes des 2 signaux : A= A 1 2 + A2 2 +2 A1 A 2 cos(ϕ 2 ϕ 1 ) l'amplitude du signal résultant dépend effectivement du déphasage entre les 2 signaux. Maximum et minimum d'amplitude : L'amplitude A est maximale lorsque Δ Φ= p2π c'est à dire lorsque les deux signaux sont en phase. L'amplitude A est minimale lorsque Δ Φ=(2 p+1)π c'est à dire lorsque les deux signaux sont en opposition en phase. Lien avec la simulation numérique et la représentation de Fresnel Cas de deux signaux de même amplitude : la superposition de 2 signaux de même amplitude en opposition de phase peut donner un signal résultant nul. Mise en évidence expérimentale : interférences d'ondes acoustiques et mécaniques (TP) Interprétation physique : La modélisation d'une expérience d'interférences d'ondes acoustiques met mise en évidence la différence de marche notée δ telle que : Δ Φ= 2π δ λ Conditions d'interférences constructives / destructives : on observe un maximum d'amplitude A en des points où la différence de marche est multiple de la longueur d'onde : δ= pλ Figure d'interférences : dans un plan contenant les sources (expérience de la cuve à ondes), il s'agit de branches d'hyperboles. Le champ d'interférences en volume (interférences lumineuses) est caractérisé par des hyperboloïdes de révolution. III. Superposition de 2 SIGNAUX sinusoïdaux de fréquences VOISINES : phénomène de battements Mise en évidence expérimentale Calcul de l'amplitude du signal résultant : On pose : s 1 (t)= A 1 cos(ω 1 t+ϕ 1 ) et s 2 (t)= A 2 cos(ω 2 t+ϕ 2 ) tels que : ϕ 1 =ϕ 2 =0 On montre que : s(t)=s 1 (t)+s 2 (t )=2 A 1 cos(ω m t). cos(ω mod t) On remarque que l'amplitude du signal résultant est modulée sinusoïdalement à la fréquence f mod On observe une lente modulation de l'amplitude du signal résultant : on parle de battements. Analyse et exploitation d'une acquisition : on retrouve la fréquence moyenne et la fréquence des battements.
Capacités exigibles Cours S3 : Superposition de deux signaux sinusoïdaux Savoir retrouver la structure d'une onde stationnaire. Savoir caractériser une onde stationnaire par l existence de nœuds et de ventres. Savoir exprimer les fréquences propres connaissant la célérité et la longueur de la corde. Savoir qu une vibration quelconque d une corde accrochée entre deux extrémités fixes se décompose en modes propres. Faire le lien avec le vocabulaire de la musique. Savoir utiliser la représentation de Fresnel pour déterminer l amplitude de l onde résultante en un point en fonction du déphasage. Savoir donner un exemple de dispositif expérimental permettant de visualiser des interférences. Savoir exprimer le déphasage en fonction de la différence de marche. Savoir retrouver et utiliser les conditions d'interférences constructives/destructives. Savoir expliquer le phénomène de battement. Savoir retrouver l'expression du signal résultant de la superposition de 2 signaux sinusoïdaux de fréquences voisines. À partir d un enregistrement de battement, en déduire la différence de fréquence entre deux signaux.
FICHE D'ÉVALUATION KHÔLLE PCSI Semaine 2 NOM : PRÉNOM : NOTE : Question de cours : Exercice(s) : Compétences transversales A B C D Commentaires S'approprier et analyser le problème Savoir réinvestir les résultats de cours dans de nouvelles situations Savoir faire preuve d'initiatives et de réactivité face aux indications fournies par l'examinateur Savoir présenter son travail : tableau organisé et soigné, communication claire et convaincante Compétences disciplinaires A B C D Commentaires S3 : Superposition de deux signaux sinusoïdaux Établir la structure d'une onde stationnaire et la caractériser Retrouver les modes propres d'une corde fixée à ses deux extrémités Savoir utiliser les conditions aux limites fournies pour établir la structure de l'onde stationnaire Établir la formules des interférences grâce à la représentation de Fresnel Savoir exprimer le déphasage en fonction de la différence de marche Savoir utiliser les conditions d'interférences construc./destruc. Retrouver l'expression du signal résultant de la superposition de 2 signaux sinusoïdaux de fréquences voisines À partir d un enregistrement de battement, en déduire la différence de fréquence entre deux signaux A : acquis / B : en cours d'acquisition / C : insuffisant / D : non acquis / N : non évalué
FICHE D'ÉVALUATION KHÔLLE PCSI Semaine 2 NOM : PRÉNOM : NOTE : Question de cours : Exercice(s) : Compétences transversales A B C D Commentaires S'approprier et analyser le problème Savoir réinvestir les résultats de cours dans de nouvelles situations Savoir faire preuve d'initiatives et de réactivité face aux indications fournies par l'examinateur Savoir présenter son travail : tableau organisé et soigné, communication claire et convaincante Compétences disciplinaires A B C D Commentaires S3 : Superposition de deux signaux sinusoïdaux Établir la structure d'une onde stationnaire et la caractériser Retrouver les modes propres d'une corde fixée à ses deux extrémités Savoir utiliser les conditions aux limites fournies pour établir la structure de l'onde stationnaire Établir la formules des interférences grâce à la représentation de Fresnel Savoir exprimer le déphasage en fonction de la différence de marche Savoir utiliser les conditions d'interférences construc./destruc. Retrouver l'expression du signal résultant de la superposition de 2 signaux sinusoïdaux de fréquences voisines À partir d un enregistrement de battement, en déduire la différence de fréquence entre deux signaux A : acquis / B : en cours d'acquisition / C : insuffisant / D : non acquis / N : non évalué
FICHE D'ÉVALUATION KHÔLLE PCSI Semaine 2 NOM : PRÉNOM : NOTE : Question de cours : Exercice(s) : Compétences transversales A B C D Commentaires S'approprier et analyser le problème Savoir réinvestir les résultats de cours dans de nouvelles situations Savoir faire preuve d'initiatives et de réactivité face aux indications fournies par l'examinateur Savoir présenter son travail : tableau organisé et soigné, communication claire et convaincante Compétences disciplinaires A B C D Commentaires S3 : Superposition de deux signaux sinusoïdaux Établir la structure d'une onde stationnaire et la caractériser Retrouver les modes propres d'une corde fixée à ses deux extrémités Savoir utiliser les conditions aux limites fournies pour établir la structure de l'onde stationnaire Établir la formules des interférences grâce à la représentation de Fresnel Savoir exprimer le déphasage en fonction de la différence de marche Savoir utiliser les conditions d'interférences construc./destruc. Retrouver l'expression du signal résultant de la superposition de 2 signaux sinusoïdaux de fréquences voisines À partir d un enregistrement de battement, en déduire la différence de fréquence entre deux signaux A : acquis / B : en cours d'acquisition / C : insuffisant / D : non acquis / N : non évalué