D - LES CONDITIONS DE FONCTIONNEMENT n circuit comprend une source de tension (le générateur) et un ensemble de composants montés pour satisfaire un besoin : permettre le fonctionnement d'un moteur ou d'un éclairage, réguler une température, commander à distance un appareillage, adapter un amplificateur à une chaîne audio, Réaliser ces circuits consiste en fait à connaître la tension qui existera entre deux points de ce circuit et le courant qui y passera, et ceci avant de le réaliser. Pour faire cette prévision, on s'appuie sur deux éléments : - la connaissances des caractéristiques des composants et de ce qui découlera de leur association, - la connaissance des conditions optimales ou des conditions limites d'usage de ces composants. D - I CARACTERISTIQE D NE ASSOCIATION EN SERIE I - A - Association en série de conducteurs ohmiques Connaissant les résistances R et R de deux composants montés en série et la tension aux bornes de cette association, que peut-on prévoir du courant I qui les traversera ou des tensions et à leurs bornes? R I R La loi des mailles permet d'écrire : = + () La loi d'ohm permet d'écrire : = R I et = R I () En utilisant les relations (), la relation () peut s'écrire sous la nouvelle forme : = ( R + R ) I () Ce qui permet ensuite de calculer : I = = R + R R R + R R = R + R
La relation () montre que la loi d'ohm est vérifiée aux bornes de l'association série, comme si cette association avait une résistance R eq équivalente à la somme des deux résistances : R eq = R + R Si ce circuit avait comporté une troisième résistance, un raisonnement similaire montre que, dans ce cas, l'association serait équivalente à une résistance unique R eq égale à la somme des trois résistances, etc. Il peut donc en être déduit une loi d'association. Loi d'association série de conducteurs ohmiques : Si plusieurs conducteurs ohmiques sont montés en série, l'association est équivalente à un conducteur ohmique unique dont la résistance serait égale à la somme de toutes les résistances : R eq = R + R + R + Observation graphique Si sur un même graphique on porte les caractéristiques des deux conducteurs ohmiques, le même raisonnement que précédemment permet de construire la caractéristique de l'association. Exemple : Ci-dessous sont représentées les caractéristiques de deux composants de résistance connue R = 6 Ω et R = Ω. (V),5 R eq = 58 Ω R = 6 Ω,5 R = Ω,5 0,5 0 0 0 0 40 50 60 70 80 90 I (ma) Puisque les composants sont en série, le même courant I les traverse et la tension totale aux bornes de l'association est égale à la somme des tensions partielles et. Sur le graphique on peut lire que si I = 50 ma : =,8 V et =, V.
On en conclut que la tension totale aux bornes de l'association serait dans ce cas de,9 V. Le couple de valeurs (I = 50 ma ; =,9 V) représente donc un des points de la caractéristique de l'association. En construisant ainsi plusieurs points de cette caractéristique, on construit une droite passant par l'origine et d'équation = 58 I qui vérifie que l'association est équivalente à un composant de résistance 58 Ω. I - B - Association en série de composants quelconques Lorsqu il n est pas possible d associer une équation à une caractéristique ; on ne peut pas déterminer par le calcul le comportement de l association. Par contre, il est toujours possible de le faire graphiquement. Exemple : ne ampoule à incandescence dont on connaît la caractéristique et une résistance de Ω sont montées en série. Sur le même graphique on reporte les deux caractéristiques et en additionnant les tensions pour plusieurs valeurs d intensité de courant, on obtient des points de la caractéristique de l association série. On peut alors savoir que pour une tension de 4,5 V maintenue aux bornes de cet ensemble, un courant de ma circulera dans ces composants. (V) Association série R = Ω 4 Ampoule 0 0 50 00 50 00 I (ma)
D - II CARACTERISTIQE D NE ASSOCIATION EN PARALLÈLE II - A - Association en parallèle de conducteurs ohmiques Les deux composants de résistance R et R étant montés en parallèle, ils ont même tension à leurs bornes I I R I R La loi des nœuds et la loi d Ohm permettent d écrire cette fois-ci : D où on peut tirer : I = I + I = R I = R I I = + R R I = ( + ) R R Cette dernière relation montre qu il est possible de considérer l association parallèle comme un composant unique de conductance : G = = + = G + G R R R Il est évidemment possible d étendre la démonstration à plusieurs composants en parallèle. Loi d'association parallèle de conducteurs ohmiques : Si plusieurs conducteurs ohmiques sont montés en parallèle, l'association est équivalente à un conducteur ohmique unique dont la conductance G eq serait égale à la somme de toutes les conductances : G eq = G + G + G + Observation graphique Là encore le même raisonnement permet de vérifier graphiquement cette loi d association. Exemple : En reprenant les caractéristiques des deux composants de résistance connue R = 6 Ω et R = Ω, et en faisant cette fois-ci une somme d intensités pour plusieurs tensions considérées, on obtient une droite caractéristique de l association parallèle. 4
On peut alors vérifier que : si G = 0,08 S et G = 0,045 S alors G eq = 0,07 S et R eq =,65 Ω (V),5 R = 6 Ω,5,5 R = Ω R eq =,65 Ω 0,5 0 0 0 0 40 50 60 70 80 90 I (ma) II - B - Association en parallèle de composants quelconques La méthode graphique de construction d une caractéristique d association parallèle est encore la seule possible dans certains cas. Elle consiste donc à déterminer plusieurs points correspondant à des sommes d intensités pour différentes valeurs de tension. Exemple : L ampoule précédente étant branchée maintenant en parallèle de la résistance de Ω, on trace quelques points correspondant à cette association. (V) R = Ω 4 Ampoule Association parallèle 0 0 50 00 50 00 I (ma) 5
Ce qui vient d être vu pour des associations de deux composants peut évidemment s élargir à plusieurs composants associés en série, parallèle ou mixte. Le raisonnement se mène toujours de la même façon, en considérant les composants qui sont tous : - soit en série, dans ce cas à une intensité donnée correspond une somme de tensions, - soit en parallèle et pour eux, à une tension donnée correspond une somme d intensités. Exercice d'application D - Pour constituer un accumulateur on branche en série quatre piles identiques dont on connaît la f.e.m. E et la résistance interne r. Quelles sont les caractéristiques de cet accumulateur? Pour répondre, il est nécessaire de connaître également comment ces piles sont branchées les unes par rapport aux autres car les piles ne sont pas des dipôles symétriques. a) Aucune pile n est en opposition avec les autres, toutes sont des générateurs, ce qui correspond effectivement à un accumulateur et au schéma ci-dessous. I On peut ici traiter le problème par calcul car pour chaque pile on connaît l équation caractéristique : = = = 4 = E r I Les quatre piles sont en série, traversées par le même courant I. La tension totale à leurs bornes est la somme des tensions partielles, toutes de même sens. = + + + 4 = 4 (E r I)= 4E 4r I L accumulateur possède donc une f.e.m. de 4E et une résistance interne de 4r. b) Si la pile n a été branchée en opposition aux autres, elle n est plus un générateur mais un récepteur qui correspond à l équation caractéristique : = E + ri. La tension positive (qui correspond à l équation) est cette fois ci dirigée en sens inverse des trois autres. I La somme des tensions s écrit maintenant : = - + + + 4 = -E - ri + (E r I)= E 4r I Cette association est toujours un générateur mais de f.e.m. E et de résistance interne 4r. Mais cela a peu d intérêt pour constituer un accumulateur! 6
Exercice d'application D - Pour augmenter l intensité dans un circuit ont branche quatre piles identiques en parallèle et orientées de même façon. I I A quel générateur correspond ce montage? Chaque générateur ayant la même tension à ses bornes, chacun est parcouru par le même courant I. E = = = = 4 = E r I I = r Le courant total I qui alimente le circuit correspond à la somme des quatre courants partiels tous de même sens. E I = I + I + I + I 4 = 4 ( ) r Relation que l on peut mettre sous la forme : = E 4 r I Cette relation montre que cette association correspond à un générateur de f.e.m. E et de résistance interne 4 r, capable de débiter le courant I = 4I. D - III POINT DE FONCTIONNEMENT Lorsqu un circuit est envisagé, les caractéristiques, définies par des relations mathématiques ou des graphiques, permettent de déterminer le comportement général du circuit. C est la recherche du point de fonctionnement. Exemple : Si on reprend la situation de deux conducteurs en série de résistance Ω et 6 Ω alimentés par une pile de f.e.m.,5 V et de résistance interne Ω, comment déterminer l intensité du courant qui va circuler dans ce circuit et les valeurs des tensions? Le traitement mathématique est ici possible puisque tous les composants ont des caractéristiques linéaires. = R I = R I = E r I R I R 7
La loi des mailles donne = + E r I = (R + R ) I D où la relation donnant la valeur de I : I = r E + R + R soit I = 4,6 ma et celle des tensions : =,5 x0,046 =,4 V = x 0,046 = 0,54 V = 6 x 0,046 = 0,89 V Le couple de valeurs =,4 V et I = 0,046 A représente le point de fonctionnement de ce circuit. Ces valeurs se retrouvent graphiquement au point d intersection entre la caractéristique de la pile ( = E-r I) et celle de l association série ( = (R + R ) I). En effet ce point d intersection correspond bien à l égalité de ces tensions ( = + ). (V),5 R = 6 Ω,5 En série R = Ω,5 0,5 En parallèle 0 0 0 0 40 50 60 70 80 90 I (ma) De façon identique, l intersection de la caractéristique de la pile avec celle de l association en parallèle donne les valeurs du point de fonctionnement dans le cas où cette pile alimente ce montage en parallèle. La tension aux bornes de la pile est aussi la même que celle aux bornes de l association, et il n y a qu une solution possible que l on peut lire : =, V et I = 0,09 A Bien évidemment ces résultats peuvent aussi se retrouver par le calcul. I I R 8 I R
D - IV LES CONDITIONS LIMITES D SAGE ne fois déterminé le point de fonctionnement d un circuit il reste à vérifier si ce fonctionnement sera supporté par l ensemble des composants et si ceux-ci seront utilisés au mieux. Les fabricants de composants fournissent les informations qui permettent cette vérification et ces informations peuvent apparaître sous diverses formes. Exemple : Pour une ampoule on donne sa tension d utilisation optimale (nominale) et la valeur de sa puissance. Ainsi on pourra lire sur un culot 0V 0V et 60 W. On sait alors déterminer soit par calcul (P = I) soit sur la caractéristique l intensité maximale qui limite la courbe. Si on veut utiliser cette lampe dans un circuit, il faudra donc travailler aux alentours de cette valeur d intensité. Pour une diode on dispose de sa tension seuil, de l intensité maximale qu elle supporte et de la tension maximale qu elle accepte en sens inverse. Dans le cas d une diode au silicium on aura une tension seuil de 0,6 V, une intensité maximale de A en sens direct et une tension maximale de 400V en sens inverse. Pour cette diode, si on ne dispose pas de l équation de sa partie linéarisée, on ne peut déterminer que graphiquement la tension maximale qu elle supporte en sens direct. On sait alors qu elle ne sera passante que pour une tension comprise entre sa tension seuil et cette tension maximale. Exercice d'application D - Pour une DEL on sait que sa tension seuil est de,8 V, son intensité nominale est de 0 ma et sa tension limite en sens inverse est de 5 V. Peut-on alimenter cette DEL avec des piles de,5 V, de 4,5 V ou de 9 V dont les résistances internes sont toutes négligeables? La pile de,5 V est sans intérêt puisque inférieure à la tension seuil! Pour la pile de 4,5 V en sens inverse il n y a aucun risque. Par contre, on sait que la résistance d une diode passante est faible, il est donc nécessaire au départ d être sûr que le courant ne sera pas supérieur à 0 ma. Pour limiter l intensité, on peut mettre une résistance en série. Si la résistance était seule à être aux bornes de la pile, pour limiter le courant à 0 ma il faudrait une résistance au 4,5 minimum de : R R 5 Ω 0,0 Si on ne dispose que de résistances de puissance maximale 4 de watt, encore faut-il vérifier le non-dépassement de cette autre limite. C est effectivement le cas puisque au maximum : P = 4,5 x 0,0 = 0,09 W 9
9 Dans le cas de la pile de 9 V, c est une résistance R 0,0 = 450 Ω qui serait nécessaire en sens directe. Ce qui donnerait une puissance de maximale de 0,8 W encore acceptable. Par contre, en sens inverse, comme c est la tension limite qui est connue, il est nécessaire de mettre la diode en parallèle d une résistance limitant la tension à 5 V. Il faut donc nécessairement utiliser deux résistances en série telle que l une, R, n est pas plus de 5 V à ses bornes et l autre, R, en conséquence au moins 4 V. R R Elles sont parcourues par la même intensité de courant I (pas de courant dans la diode en sens inverse). On doit donc vérifier : R I 5 V R I 4V R 4 5 R () De plus les puissances étant limitées à 0,5 W : P = I = R 0,5 W P = I = R 0,5 W Ce qui impose : R 00 Ω et R 64 Ω () La résolution du système d équations () et () donne comme solutions possibles : Etc. R = 00 Ω et R = 80 Ω 00 Ω R,5 Ω et R = 90 Ω 00 Ω R 5 Ω et R = 00 Ω Vous pouvez faire les applications directes n 0 à que vous trouverez dans le document «II - Les exercices et les corrigés» à la rubrique : Ex-E-II-D 0