La proportionnalité Si j affirme qu une boite d œufs contient six œufs je peux construire un tableau qui me donnera la quantité d œufs en fonction du nombre de boites. Nombre de boîtes Nombre d'œufs 1 2 3 4 5 6 7 6 12 18 24 30 36 42 x6 coefficient de proportionnalité Dans ce tableau, on «passe» d une ligne à l autre en multipliant par le même nombre : 6. On dit qu il y a proportionnalité 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Relevé pluviométrique Nbre œufs 0 1 2 3 4 5 6 7 On dit qu il y a proportionnalité sur un graphique lorsque tous les points sont alignés et forment une droite qui passe par 0. Des cas concrets de proportionnalité : Lors de l achat de carburant, le montant est proportionnel à la quantité de carburant acheté. Le coefficient de proportionnalité est le prix au litre du carburant. Dans une boucherie, le prix d un morceau de viande est proportionnel à sa masse. Le coefficient de proportionnalité est le prix au kg de la viande. Le périmètre d un carré est proportionnel à son côté : P = 4 * c. le coefficient de proportionnel est de 4. Si une voiture roule à vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle au temps de parcours. Le coefficient de proportionnalité est la vitesse de la voiture. La longueur d une distance sur une carte est proportionnelle à sa varie longueur. Le coefficient de proportionnalité est l échelle de la carte. 75
Recherche de la 4 ème proportionnelle Lorsque l on cherche à remplir un tableau de proportionnalité, on doit chercher le coefficient de proportionnalité et l utiliser pour calculer les autres nombres. On peut notamment calculer la quantité de la deuxième ligne pour la valeur 1 de la première ligne. Tableau de proportionnalité représentant la distance parcourue par une voiture roulant à vitesse constante, en fonction du temps : Temps en heures 0,5 1 1,5 2 Distance en km 240 x120 coefficient de proportionnalité On recherche le coefficient de proportionnalité : Pour compléter le tableau, on calcule : 0,5 120 = 60 km 1,5 120 = 180 km 240 2 = 120 Temps en heures 0,5 1 1,5 2 Distance en km 60 120 180 240 Exercices 1 On note les données suivantes correspondant à une personne faisant du jogging à vitesse constante. Compléter ce tableau et donner le coefficient de proportionnalité : Temps en minutes 1 20 30 40 60 Distance en km.. 8. 2 On note le montant de la main d œuvre H.T. payée à un artisan chauffagiste, lors du changement d une chaudière, en fonction du temps. Compléter le tableau et donner le coefficient de proportionnalité : Temps en heures 1 8 16 24 32 40 Montant HT en 2400 76
3 On note le montant payé pour un plein d essence en fonction du nombre de litre acheté. Compléter le tableau et donner le coefficient de proportionnalité : Nombre de litres 1 24 30 35 45 55 Montant en 36 4 On note le poids de colis identiques à livrer par un site de vente en ligne de produits du terroir, en fonction de leur nombre. Compléter le tableau et donner le coefficient de proportionnalité Nombre de colis 1 6 10 16 22 39 Masse en kg... 57,6 5 Un appareil photo numérique, avec un certain réglage, a effectué 4 photos pour un poids de 5,2 Mo (mégaoctets). Combien pèseraient en Mo : Renseigner le tableau puis répondre aux questions 6 photos? 10 photos? 22 photos? 1 photo? 30 photos?... 77
Applications Pour retrouver quel pourcentage représente une partie par rapport à la totalité, on peut utiliser un tableau de proportionnalité. Méthode : Dans une entreprise de 120 salariés, 36 sont des hommes. Nombre 120 36 On cherche le coefficient multiplicateur qui est : Le pourcentage à trouver est donc Méthode : produit en croix 36 120 36 120 = 0,3 x 100 = 0,3 x 100 = 30 % Nombre 120 36 Dans un tableau de proportionnalité le produit en croix des termes est égal : 36 x 100 = 120 x Exercices 1 Une personne salariée «aux 35 h», à temps partiel, travaille 28 h par semaine. Quel est son pourcentage de temps de travail? Nombre 35 28 80
2 Un artisan carreleur refait une terrasse de 64 m 2 chez un particulier. Il a fait 16 m 2 et souhaite dire le pourcentage du travail qu il a fait, à la personne chez qui il travaille. Quel est ce pourcentage exact? Compléter le tableau de proportionnalité suivant pour répondre, en arrêtant les calculs un chiffre après la virgule, s il y a lieu : Nombre Pourcentage 3 Lors de la vente de son bien immobilier, un particulier souhaite la mettre s adresser à un agent immobilier. Le particulier souhaite obtenir la somme de 150 000. Le montant des honoraires de l agent immobilier est de 9 000. La maison sera donc mise en vente à «159 000 F.A.I.» (frais d agence inclus). Quel pourcentage représente les honoraires de l agent immobilier par rapport à la somme souhaitée par le particulier? Compléter le tableau de proportionnalité suivant pour répondre, en arrêtant les calculs un chiffre après la virgule, s il y a lieu : Nombre Pourcentage 4 A une heure tardive de la nuit, seules les chaînes TF1, C + et M6 diffusent une émission. Un institut de mesure donne le nombre de téléspectateurs inscrit dans le tableau. Quel est le pourcentage de téléspectateurs de chacun, appelé «part de marché»? Chaînes TF1 C+ M6 Total Nombre de téléspectateurs 108 000 60 000 72 000 240 000 Pourcentage 100% 81
5 On a noté dans un tableau les résultats du 2 e tour d une élection cantonale. Quels sont les pourcentages recueillis par chacun des candidats? Noms G. Porte L. Nadal Total Nombre de voix 2 558 3 215 5773 Pourcentage 100 Compléter les deux tableaux de proportionnalité suivants pour répondre, en arrêtant les calculs un chiffre après la virgule Nombre 5 773 2 558 Nombre 5 773 3 215 6 On a noté dans un tableau les résultats du 2 e tour d une élection législative. Quels sont les pourcentages recueillis par chacun des candidats? Noms Y. Garcia M. Leclerc Total Nombre de voix 23 106 22 251 45 357 Pourcentage 100 Compléter les deux tableaux de proportionnalité suivants pour répondre, en arrêtant les calculs un chiffre après la virgule : Nombre 45 357 23 106 Nombre 45 357 22 251 82
7 Compléter le tableau qui donne les ingrédients nécessaires pour faire un gâteau au chocolat pour 4 personnes. nombre de personnes œufs sucre chocolat farine beurre 4 4 200 g 100 g 120 g 20 g 8 2 6 83
Savoir faire 1 Pour calculer la valeur de la TVA à partir d un montant HT, on peut utiliser un tableau de proportionnalité. Méthode : On note les prix HT dans un tableau et on calcule 19,6% = de ce montant. Montant HT en 40 55 95 200 900 TVA à 19,6 % 7,84 10,78 18,62 39,2 176,4 Montant TTC en 47,84 65,78 113,62 239,2 1076,4 On additionne ensuite le montant HT à la TVA pour obtenir le montant TTC : 40 + 7,84 = 47,84 2 Travaux d électricité où le montant de la TVA est de 5,5 %. On note des montants HT de main d œuvre dans un tableau et on calcule 5,5% = montant de ce Montant HT en 240 500 720 1 000 2 000 TVA à 5,5 % 13,2 27,5 39,6 55 110 Montant TTC en 253,2 527,5 759,6 1 055 2 110 On additionne ensuite le montant HT à la TVA pour obtenir le montant TTC : 240 + 13,2 = 253,2 Exercices 1 Dans une grande libraire, les prix des livres sont souvent les prix conseillés auxquels sont enlevés 5% Compléter le tableau où des prix avant remise sont notés, pour connaître les prix après remise. Prix conseillés 6 8 11 15 19 Montant de la remise Prix à la vente 88
2 M. Duran reçoit sa facture d électricité, mais son chien a arraché la facture. Complète les nombres qui ont disparus pour connaître le montant exact à payer. Pour le calcul de TVA, on ne garde que les deux premiers chiffres après la virgule. nombre Prix à l unité Abonnement 2 14,11 28,22 Consommation en kwh 626 0,08 50,08 Total HT en TVA (19,6%) Total TTC en 3 Un journal quotidien affirme en titre : «Entre le 1 er août 2008 et le 1 er février 2009, le prix de l essence a baissé de 30%». Compléter le tableau suivant : Gasoil Super SP 95 SP 98 Prix au 1/08/2008 1,60 1,70 1,80 Montant de la baisse 0,45 Prix au 1/02/2009 89