Chapitre 2 : Représentation des nombres en machine

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1 Chapitre 2 : Représentation des nombres en machine Introduction La mémoire des ordinateurs est constituée d une multitude de petits circuits électroniques qui ne peuvent être que dans deux états : sous tension ou hors tension. Comme il fallait donner un nom à ces états, on a décidé de les appeler 0 et 1. Une telle valeur s appelle un booléen, un chiffre binaire ou encore un bit (binary digit). Si bien qu un tel circuit à deux états s appelle un circuit mémoire un bit. L état d un circuit composé de plusieurs tels circuits se décrit par une suite finie de 0 et de 1, que l on appelle un mot. Par exemple, le mot 100 décrit l état d un circuit composé de trois circuits mémoires un bit, respectivement dans l état 1, 0 et 0. Il est donc plus naturel de compter uniquement à l aide des chiffres 0 et 1 au sein d un ordinateur, c est-à-dire en base 2. I. Représentation des entiers naturels 1. Numération et base On se donne k N. Le principe de la numération en base k est le suivant : Pour décomposer un entier n, on le groupe par paquets de k, puis on groupe ces paquets en paquets de k paquets, etc. Par exemple si on décompose 13 en base 2, on obtient le schéma suivant On obtient donc, si on numérote les nombres de paquets du plus gros au plus petit, 1101 pour 13. Conversion de n en base k Pour obtenir l écriture en base k, on fait donc une succession de divisions de n et des quotients successifs par k, jusqu à obtenir un quotient égal à 0. La liste des restes lue en remontant donne l écriture en base k de n. On a donc besoin de k chiffres pour écrire les entiers naturels en base k : pour les bases jusqu à 10 inclus, on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Au-delà, on utilise les lettres. Par exemple, pour la base 16, les symboles utilisés sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. On a l habitude d indiquer la base en indice du nombre. Parmi les bases les plus utilisées on peut citer : - La base 10 (décimal) dans laquelle on écrit depuis le Moyen Âge (sans doute parce que l on a 10 doigts!). - Les bases 2 (binaire), 8 (octal) et 16 (hexadécimal) qui sont utilisées en informatique. - La base 20 (vigésimal) qui était utilisée par les Mayas et les Aztèques (sans doute parce que l on a 2 mains et 2 pieds!). Ex 1 Ecrire 22 et 45 en binaire, 62 en base 8 et en base 16. 1

2 Conversion de n en base 10 Si l on note a p...a 1 a 0 l écriture de n en base k, pour obtenir son écriture en base 10 il suffit d appliquer la formule suivante : n = a 0 + a 1 k + a 2 k a p k p Exemple 1 : = = 13 Exemple 2 : 5AD9 16 = = Binaire Décimal Octal Hexadécimal Binaire Décimal Octal Hexadécimal A B C D E F 2. Écriture binaire (a) Caractéristiques Si on reprend l écriture binaire de treize c est-à-dire : de droite à gauche, 1 unité, 0 deuzaine, 1 quatraine et 1 huitaine. L écriture d un entier naturel en binaire est plus longue que son écriture en base dix mais elle ne demande d utiliser que deux chiffres : 0 et 1. Dans la mémoire des ordinateurs les circuits mémoires un bit sont souvent groupés par huit pour former ce qu on appelle des octets. Les entiers sont alors exprimés en machine en binaire sur un, deux, quatre ou huit octets, soit 8, 16, 32 ou 64 bits. Pour faciliter la lecture on regroupe les chiffres par 4 ou 8 en allant de la droite vers la gauche. Suivant la configuration choisie, on peut représenter des nombres de 0 à = 255 sur un octet voire de 0 à = sur huit octets. (b) Addition et multiplication en binaire On fait comme dans le système décimal, en posant l opération à faire, avec un calcul final fait de droite à gauche, et en appliquant les règles d addition ou de multiplication bit à bit suivantes : = 0, = 1 et = = 0, 0 1 = 0 et 1 1 = 1 Ex 2 Que vaut ? Ex 3 Effectuer l addition en binaire de 45 et 54. Vérifier le résultat en décimal. Ex 4 Effectuer la multiplication en binaire de 45 et 13. Vérifier le résultat en décimal. 2

3 II. Représentation des entiers relatifs 1. Introduction Pour représenter les entiers relatifs en notation binaire, on doit étendre la représentation aux nombres négatifs. Une solution est de réserver un bit pour le signe de l entier à représenter et d utiliser les autres pour représenter sa valeur absolue. Ainsi, avec des mots de 16 bits, en utilisant 1 bit pour le signe et 15 bits pour la valeur absolue, on pourrait représenter les entiers relatifs de = (2 15 1) = à = = Mais cette méthode a plusieurs inconvénients dont l un est d avoir deux zéros. 2. Principe de la notation en complément à deux On utilise alors une autre méthode appelée notation en complément à deux, qui consiste à représenter un entier relatif par un entier naturel. Pour des mots de 8 bits, le principe est le suivant : Sur 8 bits on peut à priori coder les nombres suivants : entier naturel (= 2 8 1) codage binaire On choisit alors de partager l intervalle [0,255] en deux : tous les entiers compris entre 0 et 127 seront représentés en machine par leur écriture binaire «classique». les entiers compris entre 128 et 255 vont représenter les entiers négatifs compris entre 128 et 1. Donc si x est compris entre 128 et 1, sa représentation en machine est x codage binaire «signification» Généralisation et exemples Notation en complément à deux (sur n bits) Soit x un entier relatif. Si 0 x 2 n 1 1, alors il sera représenté en machine par son écriture binaire. Si 2 n 1 x 1, alors il sera représenté en machine par l écriture binaire de l entier naturel x + 2 n qui est lui compris entre 2 n 1 et 2 n 1. Conséquence La représentation d un entier négatif en binaire par la méthode de complément à deux dépend donc complètement du nombre de bits sur lequel sont stockés les entiers en mémoire. Cela signifie qu entre deux machines ayant des capacités différentes, on aura des écritures binaires différentes pour les entiers négatifs! Conversion d un entier relatif du binaire au décimal On commence par convertir l écriture binaire en écriture décimale, on obtient un entier naturel p. Si p < 2 n 1, c est l entier naturel représenté. Si p 2 n 1, l entier négatif représenté est p 2 n. Remarque D après la représentation choisie, on en déduit que le bit le plus à gauche vaut 1 pour les entiers strictement négatifs et 0 pour les entiers naturels. 3

4 Ex 5 Sur 8 bits, représenter les nombres suivants : 1, 48, 100. Déterminer ensuite les nombres correspondants à et Ex 6 Sur 4 bits, déterminer le nombre correspondant à Sur 8 bits, déterminer les nombres correspondants à et Ex 7 Sur 16 bits, donner la représentation de 1, de Déterminer le nombre associé à et Pratique Calcul de la notation en complément à deux Pour déterminer la représentation binaire sur n bits d un entier négatif on écrit la représentation binaire de sa valeur absolue sur n bits. on inverse tous les bits du nombre : on remplace chaque 0 par un 1 et chaque 1 par un 0. on ajoute 1 au nombre obtenu. Quelques explications sur 8 bits On se place dans le cas où on connaît la représentation p sur 8 bits de l entier relatif x et on cherche à calculer la représentation p de son opposé. Si 0 x < 127 alors il est représenté sur 8 bits par p = x et son opposé x par p = x soit p = 256 p. Si 127 x 1 alors il est représenté sur 8 bits par p = x et son opposé x par p = x = 256 p. Finalement si x est représenté par p alors son opposé x est représenté par p = 256 p = (255 p) + 1 Calculer 255 p = p est facile, puisqu il suffit, dans la représentation binaire de p, de remplacer chaque 0 par un 1 et chaque 1 par un 0. Il suffit ensuite d ajouter 1 au nombre obtenu pour avoir x. Exemple Sur 8 bits, 19 = donc 19 =

5 5. Dépassement de capacité Puisque les nombres représentables en machine sont limités par la capacité de stockage de l ordinateur, on peut se demander ce qui se passe lorsque l on atteint ces limites. Le premier cas est d obtenir lors d une somme une retenue sur le bit le plus à gauche (1+1) alors cette dernière est perdue et le résultat obtenu n est évidemment pas le résultat attendu. On appelle ce phénomène dépassement arithmétique (overflow en anglais). Ex 8 Sur 4 bits,que représente ? Un second cas, conséquence inattendue de la notation en complément à 2, est la somme de deux entiers positifs trop grands qui peut donc donner un résultat négatif! De même, la somme de deux entiers négatifs peut être un entier positif. Ex 9 Sur 4 bits,que représente 6 + 6? Ex 10 Sur 8 bits,que représente ? 5

6 III. Représentation des flottants 1. Nombre binaire à virgule Dans le système décimal, écrire un nombre comme 13,48 cela signifie 13,48 = la seule nouveauté étant la présence de puissances négatives de 10 pour les chiffres situés après la virgule. Il en est de même en binaire avec des puissances de 2. Par exemple 110,101 signifie 110,101 = Exemple de conversion (base 2 à virgule fixe) On souhaite écrire 0,35 sous la forme a 2 + b 4 + c + avec a,b,c,..., égaux à 0 ou 1. Pour avoir 8 a, on fait 0,35 2 = 0,7 = a + b 2 + c + ce qui donne a = 0 (la partie entière). 4 On en est à 0,7 = b 2 + c 4 +, faisons comme précédemment 0,7 2 = 1,4 = b + c +, d où 2 b = 1 et ainsi de suite. On obtient ainsi la succession : 0,35 2 = 0,7 0 0,7 2 = 1,4 1 0,4 2 = 0,8 0 0,8 2 = 1,6 1 0,6 2 = 1,2 1 0,2 2 = 0,4 0 0,4 2 = 0,8 0 d où 0,35 = 0, On remarque que la succession des chiffres derrière la virgule est finalement périodique avec derrière 01 le bloc 0110 qui se répète indéfiniment. Cela entraîne qu avec un nombre toujours limité de bits, on n aura jamais exactement 0,35 en binaire. A son tour un nombre comme 17,35(= 17+0,35) s écrira 10001, Cela s appelle une écriture en virgule fixe, par opposition à l écriture des nombres en virgule flottante (float) utilisés par l ordinateur. Virgule flottante signifie que l on peut déplacer la virgule selon notre gré : 17,35 = = 1, , etc. à condition de faire intervenir des puissances de 10 en multiplication. C est particulièrement intéressant pour les très grands nombres ou ceux très proches de 0, pour lesquels on choisit l écriture scientifique, où l on a des nombres de quelques unités multipliés par des puissances de 10, comme par exemple 1, ou 2, Parmi toutes les écritures possibles, on préfère celle où la partie entière du nombre (à gauche de la virgule) est à un chiffre, celui-ci étant compris entre 1 et 9. 6

7 2. Norme choisie On utilise une représentation similaire à la notation scientifique, sauf qu elle est en base deux et définie dans la norme IEEE 754. Modèle de représentation en binaire Un nombre à virgule x est représenté sous la forme x = s m 2 n où s est le signe du nombre, n son exposant et m sa mantisse. Conversion de la représentation en binaire sur 64 bits Le signe s est représenté sur 1 bit : + est représenté par 0 et par 1. L exposant n est un entier relatif représenté sur 11 bits. On a donc 1022 n 1023 ; il est représenté en machine par l entier naturel n qui est compris entre 1 et La mantisse m est un nombre binaire à virgule qui vérifie 1 m < 2 : la partie avant la virgule vaut donc 1, on ne la code donc pas. Elle comprend ensuite 52 chiffres après la virgule, la mantisse sera donc représentée sur 52 bits. Remarque 1 La mémoire de la machine étant finie, seuls certains nombres réels ayant un nombre fini de chiffres après la virgule pourront être représenté de manière exacte, les autres auront une écriture tronquée. Remarque 2 Les deux entiers naturels 0 et 2047 sont réservés pour des situations exceptionnelles (+,, NaN, etc.) Remarque 3 (Représentation sur 32 bits) Sur 32 bits, on a 1 bit pour le signe, 8 pour l exposant et 23 pour la mantisse Remarque 4 : Quel est l intérêt de cette écriture en virgule flottante? Rappelons que pour les nombres entiers écrits avec n bits nous obtenions 2 n nombres s étalant sur un intervalle de longueur 2 n. Cet intervalle est bien trop restreint pour les nombres à virgule, où grâce à l écriture en float on arrive à une gamme de nombres s étalant entre et au signe près sur 64 bits. En effet, Si n = 0,n 1023 = En mettant des 0 derrière la virgule, on obtient le nombre ( 1) s que l on assimile à 0. Si n = 2047,n 1023 = 1024, et avec des 0 derrière la virgule le nombre est ( 1) s , proche de ou +. Conversion d un flottant en écriture décimale Si l on note s le bit de signe, e 1...e 11 les bits d exposant (c est-à-dire l écriture binaire de l exposant) et m 1...m 52 les bits de la mantisse, on obtient l écriture décimale du nombre représenté par ( ) ( 1) s 52 m i i 2 e 1...e i=1 7

8 Ex 11 Convertir en décimale le flottant x représenté en binaire par Cas particuliers Représentation du 0 : La mantisse commence par définition par un 1 implicite, il n est donc pas possible de représenter le zéro par cette convention. On décide alors qu un nombre vaut zéro si et seulement si tous les bits de son exposant et de sa mantisse valent 0. Il reste un choix pour le bit de signe, il y a donc un zéro positif et un zéro négatif dans les nombres à virgule flottante. Par extension, pour tout nombre dont l exposant est composé de onze bits 0, on considère que le chiffre avant la virgule est un 0 implicite, et que l exposant vaut Représentation du +, : Ces valeurs non numériques sont représentées respectivement par les mots de 64 bits Représentation d une incohérence de calcul : Lorsque la machine dénote une impossibilité de calcul telle qu une division par zéro ou la racine carrée d un nombre négatif, elle le signale par l instruction NaN (Not a Number) qui sera codé en binaire par : 0 ou 1 puis puis tout mot de 52 bits non tous nuls 3. Dépassement de capacité et problèmes de précisions (a) Overflow De même que pour les entiers, les nombres à virgule flottante possèdent certaines limites inévitables ; un nombre n est plus représentable sur 64 bits si sa représentation demande un exposant supérieur à 1023, qui est le plus grand représentable sur 11 bits ou un exposant égal à 1023 et une mantisse supérieure à la plus grande mantisse représentable sur 52 bits, c est-à-dire 1 (implicite) suivi de 52 chiffres binaires tous égaux à 1 après la virgule. Tout calcul dont le résultat dépasse cette limite produit une situation qui est également appelée dépassement arithmétique (overflow) ; cependant, au lieu de produire une valeur par simple troncature des bits surnuméraires, on utilise les nombres spéciaux + et, selon le signe du résultat du calcul. Dans les opérations qui suivent, ceux-ci respectent les règles de calcul usuelles sur les limites, et produisent un NaN lorsqu aucune règle de calcul ne peut être appliquée sans ambiguïté. (b) Underflow Une situation similaire mais qui n existait pas pour les entiers se produit lorsque l on veut représenter un nombre trop proche de 0 son exposant est inférieur à 1022, le plus petit exposant représentable sur 11 bits ou ce nombre est inférieur en valeur absolue au plus petit nombre dénormalisé. On parle alors de dépassement par valeurs inférieures ou de soupassement arithmétique (en anglais underflow). 8

9 (c) Problèmes d arrondis : Comme le montre l exemple 0,35 = 0, , la plupart des nombres décimaux ne sont pas représentables exactement sur 64 bits. La troncature donnera pour 0,35 une valeur approchée. D autres erreurs d arrondis se présentent lorsque l on effectue des calculs, notamment entre des nombres dont les ordres de grandeur sont très différents. Par exemple = 1, sera arrondi par la machine à 1. Remarque très importante On retiendra qu il n est pas possible de savoir de façon certaine si le résultat d un calcul est égal à sa valeur théorique lorsque l on manipule des flottants. Par conséquent un test du type «est-ce que a = b?» n a en général pas de sens si a et b sont deux nombres à virgule flottante, puisque ceux-ci ont pu subir des erreurs d arrondis. On le remplacera donc par une condition de la forme «est-ce que a b < ε?» où ε est une valeur proche de zéro, choisie en fonction du problème à traiter et de l ordre de grandeur des erreurs auxquelles on peut s attendre sur a et b. 9