CORRECTION DU SUJET A. 1) Les nombres 2584 et 1241 sont-ils premiers entre eux? Justifier votre réponse.

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1 CORRECTION DU SUJET A Eercice 1 1) Les nombres 2584 et 1241 sont-ils premiers entre eu? Justifier votre réponse. Deu nombres sont premiers entre eu lorsque leur PGCD est égal à 1. Calculons PGCD (2584 ; 1241) en utilisant l algorithme d Euclide Conclusion: PGCD (2584 ; 1241) = 17 et donc 2584 et 1241 ne sont premiers entre eu. 2) a) Calculer le PGCD de 663 et 969 en utilisant la méthode de votre choi. Pour calculer PGCD (663 ; 969), on utilise l algorithme d Euclide Conclusion: PGCD (969 ; 663) = 51 b) En déduire la forme irréductible de la fraction Pour rendre une fraction irréductible, on la simplifie par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur : 51 = : 51 = Eercice 2 Une grossiste en fleurs a reçu un lot de 5815 tulipes et 3489 roses. Elle veut réaliser des bouquets tous identiques, composés de roses et de tulipes en utilisant toutes les fleurs. 1) Quel nombre maimal de bouquets peut-elle composer? J appelle N le nombre de bouquets que cette grossiste peut former. J appelle a le nombre de tulipes par bouquet et j appelle b le nombre de roses par bouquet. Si on multiplie le nombre de bouquets par le nombre de tulipes par bouquet, on obtient De même, si on multiplie le nombre de bouquets par le nombre de roses par bouquet, on obtient On a donc les relations : N a = 5815 et N b = 3489.

2 Cela signifie que N est un diviseur de 5815 et de 3489, c est donc un diviseur commun de ces deu nombres. De plus, on veut que N soit le plus grand, N sera donc le plus grand diviseur commun de 5815 et Donc N = PGCD (5815; 3489). Je détermine N en utilisant l algorithme d Euclide Donc N = PGCD (5815; 3489) = 1163 Conclusion cette grossiste pourra faire au maimum 1163 bouquets identiques. 2) Quel est alors la composition de chaque bouquet? Cette question revient à calculer a et b. On sait que N a = 5815 et N b = Or N = 1163 Donc 1163 a = 5815 et 1163 b = Donc a = 5 et b = 3. Conclusion Chaque bouquet est formé de 5 tulipes et 3 roses. Eercice 3 1) On lance un dé non truqué à si faces. Compléter le tableau. Les réponses sont écrites en bleu. Evénements Obtenir un nombre inférieur à 6 (strictement inférieur à 6) Obtenir 2 Obtenir un diviseur de 7 Obtenir un multiple de 5 Obtenir le nombre 7 Elémentaire Impossible Certain Non élémentaire 2) Un dé a la forme d'un icosaèdre régulier. Les vingt faces sont numérotées de 1 à 20 et, si on lance le dé, on a autant de chances d'obtenir chacune des faces. Donner la probabilité de chacun des événements suivants: a) A = «Obtenir un multiple de 2». On est en situation d équiprobabilité, c est-à-dire que toutes les faces ont la même chance de sortir. On peut décrire de façon précise l événement A : A = «2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20»

3 Donc P (A) = =!! b) B = «Obtenir un multiple de 3». On peut ici aussi décrire l événement B de façon précise : Donc : P (B) =! =! B = «3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18» c) C = «Obtenir un numéro impair». On peut ici aussi décrire l événement C de façon précise : Donc P (C) = =!! Autre méthode pour calculer P (C) C = «1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19» Les événements A et C sont contraires. Donc P(C) = 1!! =!! d) D = «Obtenir un numéro qui ne soit ni un multiple de 2 ni un multiple de 3». On peut ici aussi décrire l événement D de façon précise : Donc P (D) =! D = «1 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19» Eercice 1 CORRECTION DU SUJET B 1) Les nombres 1339 et 2821 sont ils premiers entre eu? Justifier votre réponse. Deu nombres sont premiers entre eu lorsque leur PGCD est égal à 1. Calculons PGCD (2821 ; 1339) en utilisant l algorithme d Euclide Conclusion: PGCD (2821 ; 1339) = 13 et donc 2821 et 1339 ne sont premiers entre eu.

4 2) a) Calculer le PGCD de 2546 et 1159 en utilisant la méthode de votre choi. Pour calculer PGCD (2546 ; 1159), on utilise l algorithme d Euclide Conclusion: PGCD (2564 ; 1159) = b) En déduire la forme irréductible de la fraction Pour rendre une fraction irréductible, on la simplifie par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur : 19 = : 19 = Eercice 2 Une association organise une compétition sportive, 144 filles et 252 garçons se sont inscrits. L association désire répartir les inscrits en équipes mites. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe, et le nombre de garçons doit lui aussi le même dans chaque équipe. Tous les inscrits doivent être dans une équipe. 1) Quel est le nombre maimal d équipes cette association peut-elle former? Justifier. J appelle N le nombre d équipes que cette association peut former. J appelle a le nombre de garçons par équipe et j appelle b le nombre de filles par équipe. Si on multiplie le nombre d équipes par le nombre de filles par équipe, on obtient 144. De même, si on multiplie le nombre d équipes par le nombre de garçons par équipes, on obtient 252. On a les relations : N a = 252 et N b = 144. Cela signifie que N est un diviseur de 252 et de 144, c est donc un diviseur commun de ces deu nombres. De plus on veut que N soit le plus grand, N sera donc le plus grand diviseur commun de 252 et 144. Donc N = PGCD (252; 144). Je détermine N en utilisant l algorithme d Euclide. Donc N = PGCD (252 ; 144) = Conclusion le nombre maimal d équipes que cette association peut former est 36

5 2) Quel est alors la composition de chaque équipe? Cette question revient à calculer a et b. On sait que N a = 252 et N b = 144. Or N = 36 Donc 36 a = 252 et 36 b = 144. Donc a = 7 et b = 4. Conclusion Chaque équipe est formée de 7 garçons et 4 filles. Eercice 3 1) On lance un dé non truqué à si faces. Compléter le tableau. Les réponses sont écrites en bleu. Evénements Obtenir un nombre inférieur à 4 Obtenir un diviseur de 9 Obtenir 3 Obtenir un multiple de 4 Obtenir un nombre positif Elémentaire Impossible Certain Non élémentaire 2) Un dé a la forme d'un icosaèdre régulier. Les vingt faces sont numérotées de 1 à 20 et, si on lance le dé, on a autant de chances d'obtenir chacune des faces. Donner la probabilité de chacun des événements suivants: a) A = «Obtenir un multiple de 6». On est en situation d équiprobabilité, c est-à-dire que toutes les faces ont la même chance de sortir. On peut décrire de façon précise l événement A : Donc P (A) =! A = «6 ; 12 ; 18» b) B = «Obtenir un multiple de 5». On peut ici aussi décrire l événement B de façon précise : Donc : P (B) =! =!! B = «5 ; 10 ; 15 ; 20» c) C = «Obtenir un numéro impair». On peut ici aussi décrire l événement C de façon précise : Donc P (C) = =!! C = «1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19»

6 d) D = «Obtenir un numéro qui ne soit ni un multiple de 5 ni un multiple de 6». On peut ici aussi décrire l événement D de façon précise : Donc P (D) = D = «1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 13 ; 14 ; 16 ; 17 ; 19»

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