DEVOIR SURVEILLE N 1

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1 Année 2011/ PCSI-2 DS 01 : Optique 1 DEVOIR SURVEILLE N 1 Samedi 24 Septembre 2011 Durée 3h00 Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il a été amené à prendre. Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires qui vous sembleront pertinents, même lorsque l énoncé ne le demande pas explicitement. La barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Exercice 1 : Oculaire de Huygens L oculaire de Huygens est un système optique formé de deux lentilles convergentes, de centres O 1 et O 2, séparées par une distance e et dont les distances focales images vérifient la relation f 1 4 = e 3 = f Déterminer la positions du foyer principal objet F de l oculaire. Pour cela, on exprimera O 1 F en fonction de e. On accompagnera le raisonnement d une construction à l échelle. 2. Déterminer la positions du foyer principal image F de l oculaire. Pour cela, on exprimera O 2 F en fonction de e. On accompagnera le raisonnement d une construction à l échelle. 3. En supposant connue la position de F, construire l image B d un objet ponctuel situé à l infini, dans une direction repérée par un angle α 2π par rapport à l axe optique (une étoile, par exemple). 4. Déterminer l expression de la distance F B en fonction de α et e. Exercice 2 : Aberration chromatique C O Figure 1: Exemple de lentille S On considère une lentille dont les faces ont même courbure, caractérisée par un rayon algébrique R = CS où C et S sont relatifs au second dioptre de la lentille (axe optique orienté comme sur la figure 1). On peut montrer que la distance focale image (algébrique) f = OF d une telle lentille est donnée par : f = R 2(n 1) où n est l indice du verre. Dans tout l exercice, on suppose que les lentilles, considérées comme minces, fonctionnent dans les conditions de Gauss. 1. Dessiner une lentille pour laquelle R<0. Comment la qualifie-t-on? Est-elle convergente ou divergente? On considère une lentille mince biconvexe de centre optique O dont chacune des faces est une portion de sphère de même rayon R 1 =+20cm. L indice de réfraction du verre de la lentille n 1 varie en fonction de la longueur d onde λ. Cette variation est bien modélisée par la formule de Cauchy :

2 Année 2011/ PCSI-2 DS 01 : Optique 2 n 1 = A 1 + B 1 λ 2 avec A 1 =1, 5 et B 1 =4, m Énoncer les conditions dites " de Gauss ". 3. Dans ces conditions, que peut-on en conclure pour la formation des images? 4. Quelle est la plage de longueurs d ondes de la lumière visible et quelles sont les couleurs limites associées? 5. Qu est-ce que la lumière blanche? 6. On considère un point objet A situé à l infini dans la direction de l axe optique et émettant de la lumière blanche. Déterminer en fonction de R 1, des longueurs d onde extrêmes λ b (limite bleue/violette) et λ r (limite infrarouge) et des constantes A 1 et B 1 du verre l expression de la longueur d du segment constituant "l image" de A. Le phénomène mis en évidence dans cette question est appelé aberration chromatique. 7. Faire l application numérique et commenter. On accole une seconde lentille à la première, la seconde présentant une même courbure pour les deux faces, de rayon algébrique R 2 et un indice n 2 vérifiant la même formule de Cauchy n 2 = A 2 + B 2 λ, 2 avec A 2 =1, 7 et B 2 =10 14 m 2. Par ailleurs, on précise que la distance focale image f résultante pour une association de deux lentilles accolées de distances focales images respectives f 1 et f 2 est donnée par : 1 = f f 1 f 2 8. Donner l expression du rayon R 2 à choisir pour corriger l aberration chromatique, c est-à-dire pour rendre la distance focale image de l ensemble f indépendante de la longueur d onde. 9. Faire l application numérique et commenter. 10. La correction de la question précédente ayant été effectuée, quelle est la distance focale image de l ensemble? Faire l application numérique. 11. Quel résultat aurait-on obtenu si on avait voulu utiliser le même verre pour les deux lentilles?

3 Année 2011/ PCSI-2 DS 01 : Optique 3 Problème : Formation d un arc-en-ciel 1. Énoncer les lois de Snell-Descartes relatives à la réflexion et à la réfraction en précisant la définition des notions utilisées. 2. Expliquer rapidement ce qu est le phénomène de réflexion totale. 3. Calculer l angle limite de réflexion totale, dans le cas d un plan de séparation eau/vide, sachant que l indice de l eau est n =1, 333. On considère une sphère transparente d indice n, de centre O, de rayon R, baignant dans l air (d indice pratiquement égal à 1). Cette sphère est éclairée par un faisceau de lumière parallèle, dont un rayon (x A) atteint la sphère en A, où se produit une réfraction. On choisit pour plan de figure (fig. 2) le plan défini par O et (x A). x i A r R + B X O X y α C Figure 2: Trajet d un rayon dans une goutte lors d un arc-en-ciel X OX est l axe passant par O, de mêmes direction et sens que (x A). On choisit un sens positif dans le plan de figure. Soit B le point où le rayon réfracté recoupe la sphère. En B, la lumière peut être soit réfractée, soit réfléchie, mais on ne considérera que le rayon réfléchi. On pose (OA, Ax )=i et (AO, AB) =r (figure 2). Soit C le point où le rayon réfléchi en B recoupe la sphère. En C, on ne considérera que le rayon réfracté Cy. On pose α = (OX,Cy). 4. Pourquoi le rayon réfracté en A est-il dans le plan de la figure? 5. Peut-il y avoir réflexion totale en B? 6. Exprimer α en fonction de r et i puis en fonction de i et n uniquement. 7. Pour [ étudier les variations de α avec i,montrer que l on peut restreindre cette étude à l intervalle 0, π ] Exprimer la dérivée de α par rapport à i en fonction de i et n uniquement. 9. En déduire les valeurs numériques de l angle i m correspondant à l extremum α m. 10. Calculer numériquement α (en degrés), pour les valeurs suivantes de i (en degrés): 0, 15, 30, 45, 60, 75 et 90. On gardera trois chiffres significatifs et on adoptera encore la valeur n =1, 333.

4 Année 2011/ PCSI-2 DS 01 : Optique Construire la courbe représentative des variations de α en fonction de i. Échelle : 1 cm pour 10 sur les deux axes. 12. Le faisceau d éclairage parallèle des questions précédentes est fourni par le soleil. Expliquer qualitativement, à l aide des résultats des questions précédentes, pourquoi il y a accumulation d énergie au voisinage d une certaine valeur de α et que l on peut ainsi expliquer le phénomène d arc en-ciel. Pourquoi voit-on des couleurs? 13. Dans des conditions telles que le soleil soit à l ouest, incliné de 10 au dessus de l horizon, de quel côté faut il regarder pour observer un arc en ciel? 14. Préciser les circonstances météorologiques nécessaires à son observation en s appuyant sur un croquis montrant le soleil et l observateur. A quelle distance de l observateur l arc en ciel se situe-t-il? 15. Décrire l arc-en-ciel en précisant numériquement sa hauteur angulaire maximale au dessus de l horizon. On se propose maintenant de trouver un ordre de grandeur α de l étalement angulaire de l arc en ciel. 16. Exprimer la valeur extrémale α m en fonction de n seulement. 17. En déduire les valeurs numériques extrêmes de α m, sachant que pour les extrémités rouge et violette du spectre visible, l indice n vaut respectivement 1,331 et 1, La partie extérieure de l arc est-elle rouge ou violette?

5 Année 2011/ PCSI-2 DS 01 : Optique 5 Les dernières questions, vraiment plus difficiles, ne sont à traiter que si le reste est "parfait". Le faisceau d éclairage est uniforme et une surface placée perpendiculairement à X X reçoit une puissance lumineuse Φ 0 par unité de surface. 19. Exprimer en fonction de Φ 0, i et R la puissance lumineuse dφ arrivant sur la couronne sphérique comprise entre les incidences i et i + di. 20. Vérifier ce résultat en calculant la puissance lumineuse totale incidente sur la sphère. 21. Tracer la courbe donnant les variations de dφ en fonction de i. Que vaut ce rapport pour di i =59 25, puis à son maximum?