PROPORTIONNALITE. Durée (en s) Hauteur d'eau (en cm) ,5 30

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1 PROPORTIONNALITE I) Définition : Définition: Dans un tableau, si les quotients d un nombre de la seconde ligne par le nombre correspondant de la première ligne sont égaux alors : On dit que les nombres de la seconde ligne sont proportionnels à ceux de la première ligne. La valeur de ces quotients s appelle le coefficient de proportionnalité. Exemple 1 : Un réservoir est constitué d un parallélépipède rectangle. On le remplit d eau. Le tableau ci-dessous donne la hauteur d eau (en cm) en fonction de la durée de remplissage (en seconde). hauteur d'eau Durée (en s) Hauteur d'eau (en cm) ,5 30 Est-ce une situation de proportionnalité? Si oui, donner le coefficient de proportionnalité. Exemple 2 : Un opérateur téléphonique a proposé à un client un nouvel abonnement. Le prix dépend du temps de communication comme indiqué dans le tableau suivant. Temps de communication (en minute) Prix (en ) Est-ce une situation de proportionnalité? Si oui, donner le coefficient de proportionnalité. 1

2 II) Activité : III) Calcul d une quatrième proportionnelle : 1) En utilisant la définition de la proportionnalité: Le tableau suivant donne les prix d un opérateur Internet. On sait que ces prix sont proportionnels à la durée de connexion. On veut compléter le tableau suivant. Durée de connexion (en minute) 7 10,5 b Prix (en ) 2 a 3,4 Calculons le coefficient de proportionnalité k : 2 k = 7 Calculons a : 2 21 a = 10,5 = = Calculons b : 3,4 7 b = = 3,4 = 11, ) En utilisant le produit en croix: Reprenons l exemple précédent 7 10,5 2 a Pour calculer a, on effectue un produit en croix 2 10,5 21 a = = =

3 7 b 2 3,4 Pour calculer b, on effectue aussi un produit en croix 7 3,4 23,8 b = = = 11,9 2 2 Justification: On donne le tableau de proportionnalité suivant : a b a' b' avec a 0 Calculons le coefficient de proportionnalité k : b k = car a 0 a On a alors b' = k a' b b a' b' = a' = a a On donne le tableau de proportionnalité suivant : 8,5 6 b a 7,2 3,6 Calculer a et b en utilisant le produit en croix. Remarque: Quand on calcule une quatrième proportionnelle par la méthode du produit en croix, on n est pas obligé de calculer le coefficient de proportionnalité. Quand on fait le produit en croix, il est préférable d utiliser la valeur de la première ligne et la valeur de la seconde ligne données dans l énoncé. Quand on utilise le coefficient de proportionnalité, les calculs sont plus rapides et plus simples mais il ne faut pas faire d erreur dans le calcul de ce coefficient. 3

4 IV) Représentation graphique d une situation de proportionnalité : 1) Propriété : Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement, dans un repère, par des points alignés entre eux et avec l origine du repère. On donne ci-dessous un tableau de proportionnalité ,5 3 4,5 6 1) Représenter graphiquement cette situation de proportionnalité. Echelle : en abscisse, 1 cm 1 unité en ordonnée, 1 cm 1 unité 2) Retrouver graphiquement le coefficient de proportionnalité. Remarque: Les nombres de la première ligne du tableau représentent les abscisses des points et les nombres de la deuxième ligne, les ordonnées des points. 2) Réciproque : Si les points d un graphique sont alignés entre eux et avec l origine du repère, alors ces points représentent une situation de proportionnalité. Un magasin de location de DVD propose à ses clients trois tarifs différents : tarif A, tarif B et tarif C. On a représenté graphiquement ces trois tarifs. 4

5 Prix (en ) Tarif C Tarif B Tarif A Nombre de DVD loués Parmi ces trois tarifs, lequel ou lesquels représente une situation de proportionnalité? Justifier. V) Pourcentage : 1) Propriété 1: Pour appliquer un pourcentage a %, on multiplie par la fraction. 5 % des habitants d une ville de habitants vont au cinéma une fois par semaine. Quelle est le nombre d habitants de cette ville allant au cinéma une fois par semaine? 2) Propriété 2: Calculer un pourcentage revient à calculer une quatrième proportionnelle. Dans un collège de 560 élèves, 168 élèves étudient l italien. Quelle est le pourcentage d élèves étudiant l italien dans ce collège? 5

6 VI) Vitesse moyenne, distance et temps: 1) Vitesse moyenne: La vitesse moyenne v d un mobile est le quotient de la distance parcourue d par le temps de parcours t. distance parcourue vitesse moyenne v= temps de parcours Un athlète a couru 400 mètres en 50 secondes. Quelle a été sa vitesse moyenne? 2) Distance: La distance parcourue d par un mobile est le produit de la vitesse moyenne v et du temps de parcours t. d= v t Justification: d v d v t v = donc =, effectuons un produit en croix d = t 1 t 1 et donc d = v t. Une voiture a roulé deux heures et demie à la vitesse de 70 km/h. Quelle distance a-t-elle parcourue? 6

7 3) Temps: Le temps de parcours t d un mobile est le quotient de la distance parcourue d par la vitesse moyenne v. t= d v Justification: d v = donc v d d =, effectuons un produit en croix t = 1 t 1 t v d et donc t =. v Un motard a effectué 2500 mètres à la vitesse de 20 m/s. En combien de temps, le motard a-t-il parcouru ces 2500 mètres? 4) Changement d unité pour le calcul de vitesse: a) Rappels : 1 heure 60 minutes 3600 secondes 1 minute 60 secondes 1 km = 1000 mètres Attention 2 h 30 min correspond à 2,5 h. 2 h 15 min correspond à 2,25 h. 2 h 45 min correspond à 2,75 h. 7

8 b) Méthode : Le 5 décembre, la rame 325 du TGV Atlantique bat le record du monde de vitesse sur rail en atteignant la vitesse de 8040 m/min. 1) Exprimons la vitesse de ce record en km/h (ou km.h -1 ) temps en minute 1 60 distance en m 8040 d d = donc d = Il a parcouru m en 60 min Donc v = m/h = km/h = 482,4 km/h ) Exprimons la vitesse de ce record en m/s temps en seconde 60 1 distance en m 8040 d d = donc d = = 134 m/s c) Exemples : 1) Une antilope peut courir à la vitesse moyenne de 28 m/s. Exprimer cette vitesse en km/h. 2) Un lévrier court à la vitesse moyenne de 72 km/h. Exprimer cette vitesse en m/s. d) Remarque : Pour passer de km/h à m/s, on divise par 3,6. Pour passer de m/s à km/h, on multiplie par 3,6. : 3,6 vitesse en m/s vitesse en km/h 3,6 8