L'enseignement des mathématiques : RESOLUTION DE PROBLEMES. Exemples de situations et ressources / cycles 2 et 3. Audrey Bertin, CPC

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1 L'enseignement des mathématiques : RESOLUTION DE PROBLEMES Exemples de situations et ressources / cycles 2 et 3 Audrey Bertin, CPC

2 1. La place des problèmes dans les programmes : B.O n 3 H.S 19 juin 2008 Au Cycle 2 Au Cycle 3 L apprentissage des mathématiques développe l imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. La résolution de problèmes fait l objet d un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations : addition, soustraction et multiplication. La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l imagination et les capacités d abstraction, la rigueur et la précision. dans les 4 domaines Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, l élève enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, et continue d apprendre à résoudre des problèmes. L acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

3 1. a ) La place des problèmes au CYCLE 2 Domaines CP CE1 B.O : «La résolution de problèmes fait l objet d un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations». PROGRESSIONS POUR LE COURS PRÉPARATOIRE ET LE COURS ÉLÉMENTAIRE PREMIÈRE ANNÉE Nombres et calcul Grandeurs et mesures Résoudre des problèmes simples à une opération Résoudre des problèmes de la vie courante Résoudre des problèmes relevant de l addition, la soustraction et de la multiplication Résoudre des problèmes de longueur et de masse Organisation et gestion des données Lire ou compléter un tableau dans des situations concrètes simples Utiliser un tableau, un graphique Organiser les informations d un énoncé

4 1. b) La place des problèmes au CYCLE 3 Domaines CE2 CM1 CM2 B.O : La résolution de problèmes liés à la vie courante permet d approfondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement. Nombres et calcul Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes Résoudre des problèmes de plus en plus complexes B.O :La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et, à leur donner sens. À cette occasion des estimations de mesure peuvent être fournies puis validées Grandeurs et mesures Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs : longueurs, masses, capacité, monnaie, temps Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions. Résoudre des problèmes dont la résolution implique des unités différentes de mesure.

5 Domaines CE2 CM1 CM2 B.O : Les problèmes de reproduction ou de construction de configurations géométriques diverses mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont l occasion d utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé. Géométrie Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé, pointé) à partir d un modèle Construire un carré ou un rectangle de dimensions données Compléter une figure par symétrie axiale Tracer une figure simple à partir d un programme de construction ou en suivant des consignes Tracer une figure simple (sur papier uni, quadrillé, pointé) à partir d un programme de construction ou d un dessin à main levée ( avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions) B.O :Les capacités d organisation et de gestion des données se développent par la résolution de problèmes de la vie courante ou tirés d autres enseignements Organisation et gestion des données Savoir organiser les données d un problème en vue de sa résolution Utiliser un tableau ou «la règle de trois» dans des situations très simples de proportionnalité Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment les problèmes relatifs aux pourcentages, eux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d unité, en utilisant des procédures variées (dont «la règle de trois»)

6 2. Un problème mathématique? a) DÉFINITION DU PROBLÈME «Est un problème, pour un élève donné, toute situation (réelle ou imaginaire) dans laquelle des questions sont posées, ces questions étant telles que l élève ne peut y répondre de manière immédiate.» D. Pernoud «Il y a problème dès qu il y a réellement quelque chose à chercher, que ce soit au niveau des données ou du traitement et qu il n est pas possible de mettre en jeu la mémoire seule». Equipe Ermel Les problèmes sont donc à distinguer des exercices d automatisation.

7 2. b) Différents types de problèmes pour des diverses finalités Selon la situation d apprentissage, un même problème peut avoir différentes fonctions et correspondre à différents types de problèmes PROBLÈMES POUR APPRENDRE PROBLÈMES POUR CHERCHER Types de problèmes Situationproblème 40 % Construction d une nouvelle connaissance ou d un nouvel aspect d une connaissance antérieure Problème d application directe Entraînement pour maîtriser le sens d une connaissance nouvelle Problème de réinvestissement / transfert 40 % Problème complexe nécessitant l utilisation de plusieurs connaissances construites dans différents contextes Problème ouvert 20 % Développement des capacités à chercher

8 Exemple : «J'ai 250 œufs. Combien de boîtes de 6 sont nécessaires pour les ranger?"

9 Exemple : «J'ai 250 œufs Combien de boîtes de 6 sont nécessaires pour les ranger?"

10 Amorce de programmation

11 2. c) Typologie de problèmes : La classification des problèmes arithmétiques à l'école s'appuient sur la classification des problèmes proposés par selon G. Vergnaud : - les problèmes se situant dans le champ conceptuel des structures additives : Problèmes additifs et soustractifs. - les problèmes se situant dans le champ conceptuel des structures multiplicatives : Problèmes multiplicatifs, divisifs et de proportionnalité.

12 Problèmes additifs et soustractifs: Problèmes de transformations 1. Transformation positive ; recherche de l ETAT FINAL 2. Transformation négative ; recherche de l ETAT FINAL 3. Transformation positive ; recherche de L ÉTAT INITIAL 4. Transformation négative; recherche de L ÉTAT INITIAL 5. Recherche de la transformation positive 6. Recherche de la transformation négative Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo?» «Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a maintenant Léo?» «Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes avait Léo?» «Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait il de billes?» «Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant 9 billes. Combien de billes Juliette a-t-elle données à Léo?» «Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes. Combien de billes Léo a t il données à Juliette?»

13 Problèmes additifs et soustractifs: Problèmes de combinaison de 2 états 7. Recherche de la combinaison de deux états. 8. Recherche d un état connaissant un second état et la combinaison des deux états. «Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble?» «Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a t il de billes?» Problèmes de comparaison de 2 états E1 C E2 9/10. Recherche de l état à comparer connaissant : - l état comparé - la comparaison positive ou négative. «Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliette a t-elle?» «Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliette a t-elle?» E1? C+ C-

14 Problèmes additifs et soustractifs: Problèmes de comparaison de 2 états E1 C E2 11/12. Recherche de l état comparé avec une comparaison positive ou négative. «Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliette a t-elle?» «Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette. Combien de billes Juliette a t elle?»? E2 C+ C- 13/14. Recherche de la comparaison positive ou négative connaissant les deux états. «Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes Juliette a t elle de plus que Léo?» «Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes Juliette a t elle de moins que Léo?» E1 E2?

15 Problèmes additifs et soustractifs: Problèmes de composition de transformations T1 T2 T 15- Recherche de la composée de plusieurs transformations 16. Recherche d une des composantes. «Léo a gagné 18 billes, puis il en a perdu 5. En a-til plus ou moins qu au départ? Et combien?» «Léo a gagné 18 billes. Puis il en a perdu. Il a maintenant 2 billes de moins qu au départ. Combien a-t-il perdude billes»??

16 Problèmes multiplicatifs: Problèmes de proportionnalité directe : a b c d Problème relevant de l'addition réitéré. a=1 Problème de division partition On recherche la valeur d une part. Problème de division quotition On recherche du nombre de parts. «Il y a 4 élèves. La maîtresse distribue 3 jetons à chaque élève. Combien distribue t elle de jetons en tout?» La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à 4 élèves. Chaque élève a le même nombre de jetons. Combien de jeton a chaque élève? 4 X? = : 4 =? «La maîtresse a 12 jetons. Elle les distribue à un groupe d élèves. Chaque élève reçoit 3 jetons. Combien y a t il d élèves?» 1 b c? 1? c d 1 b? d

17 Problèmes multiplicatifs: Problème relevant du produit de mesures Problème relevant du produit de mesures La représentation rectangulaire rend visible la propriété de commutativité de la multiplication. «Quel est le nombre de carreaux que contient une tablette de 3 sur 4?

18 3. Représentations des élèves sur la résolution de problèmes Quand on interroge les élèves sur ce qu il faut faire pour résoudre un problème, leurs principales propositions sont : -Il faut faire des opérations -Il faut calculer -Il faut trouver la solution - Il faut écrire une phrase réponse Ils se focalisent principalement sur le résultat attendu et sur des connaissances supposées ou nécessaires pour y parvenir.

19 3. Représentations des élèves sur la résolution de problèmes En revanche, ils répondent rarement : -Il faut trier les informations pour comprendre ce qui est demandé -Il faut dessiner, schématiser ou manipuler -Il faut éliminer ce qui ne sert pas après avoir lu la question -Il faut écrire, raturer, faire plusieurs essais -Il faut échanger avec les autres pour savoir s ils cherchent de la même façon -Il faut savoir expliquer ce que l on a voulu dire Les savoirs méthodologiques sont flous, voire inexistants, dans leur esprit.

20 4. Les enjeux d apprentissage Des compétences liées à la capacité de raisonnement : -percevoir le but de la tâche -trouver les informations utiles -construire un argumentaire -émettre des hypothèses -percevoir les différentes étapes et les hiérarchiser Des compétences liées à la prise d informations : -utiliser différents supports (texte, dessin, schéma, tableau ) -construire des méthodes pour aller rapidement à l essentiel -se repérer dans l espace et dans le temps -maîtriser le vocabulaire nécessaire Des compétences liées à la méthodologie : -mettre en place d une stratégie de résolution de problèmes -choisir une technique de résolution (opératoire ou autre) Des compétences liées à la maîtrise des opérations : -utiliser à bon escient les quatre opérations

21 5. Les pistes de travail Manipulation et schématisation lors de l apprentissage des notions mathématiques Manipulation et schématisation lors de la résolution Constitution progressive d une mémoire de schémas référents Entraînement aux techniques opératoires et calcul mental

22 6. LA DEMARCHE D ENSEIGNEMENT : situation-problèmes 1. SITUATION DE DEPART Présenter la situation problème à l oral ou à l écrit à partir - d objets concrets ; jeux de cartes, pions - d un énoncé (oral ou écrit) - d une situation de la vie de la classe / vie quotidienne - d un défi Identifier le problème à résoudre Il s agit de se représenter ce qu on cherche

23 2. PRISE EN COMPTE DE CE QUE SAVENT LES ÉLÈVES temps de recherche individuelle : chaque élève s approprie l énoncé et s appuie sur ses connaissances préalables / l enseignant observe, encourage temps de recherche en groupe(de 2 à 4) : favoriser les échanges et la mise en forme d une trace pour communiquer confrontation des procédures

24 Selon la nature du problème et les objectifs d apprentissage visés, les élèves feront appel à des procédures personnelles et/ou expertes : Procédures personnelles Utiliser des connaissances et des savoirs pour construire et mener une procédure quand on ne dispose pas en mémoire d un schéma de résolution Procédures expertes Choisir une procédure adaptée à la situation ou à la résolution du problème

25 Exemples de procédures : importance de garder trace de la recherche

26 3. MISE EN COMMUN Prendre en compte et comparer les procédures des différents groupes : - rapprocher les procédures identiques, - confronter celles qui sont différentes, - analyser les procédures erronées

27 4. SYNTHÈSE Réaliser une affiche de référence comportant : des procédures de résolution possibles la procédure experte qui permet de résoudre le problème

28 5. PHASE D ENTRAINEMENT Les problèmes d application appartiennent à la même catégorie que celui de la situation problème. L élève s entraîne à maîtriser le sens d une nouvelle connaissance dans des problèmes similaires à la situation de référence. L élève applique et réinvestit une connaissance dans différents contextes.

29 6. PHASE DE TRANSFERT Les problèmes de réinvestissement correspondent à des problèmes complexes faisant appel à plusieurs connaissances et compétences élaborées dans des contextes différents. L élève doit : -reconnaître à quelle catégorie correspond le problème, -repérer les différentes étapes Au cours de cette tâche complexe l élève mobilise et intègre des compétences et des connaissances.

30 Problématique de l enseignant : Comment aider ni trop, ni trop peu? préserver de tout guidage le versant action du processus de résolution de problème. aider à comprendre le problème, à mieux décoder et interpréter l énoncé. (Cf. «Les tâches surajoutées») ne pas guider la mise en œuvre de telle ou telle procédure. Les aides minimales sont les plus difficiles à concevoir et à mettre au point, un simple mot en plus ou en moins dans l énoncé peut être une aide efficace à la représentation* de problème..*action par laquelle on rend présent à l esprit une expérience sensible ou une idée.en d autres termes, c est le contenu de notre mémoire quand elle ne nous échappe pas, c est ce qui tourne dans nos têtes quand on réfléchit, c est le sens qu on donne à ce qu on perçoit.

31 7. Situations : problèmes ouverts L énoncé est court Rappel : un problème ouvert L énoncé n induit ni la méthode, ni la solution (pas de questions intermédiaires, ni de questions du type «montrer que»). En aucun cas, cette solution ne doit se réduire à l utilisation ou à l application immédiate des derniers résultats présentés en cours. Le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité. Ils peuvent ainsi prendre possession de la situation et s engager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution, des contre-exemples

32 7. Situations : problèmes ouverts 1 ère étape : Connaissances en jeu ; Procédures attendues ; Erreurs envisagées ; 2 ème étape : Description du dispositif Pistes de différenciation Quelles difficultés des élèves? A quel stade de la résolution? Quelles aides en réponse à ces difficultés?

33 Le nez de Pinocchio Le nez de Pinocchio a 5 cm de long. Quand Pinocchio dit un mensonge, la Fée aux cheveux bleus l'allonge de 3 cm, mais quand il dit la vérité, la Fée le raccourcit de 2 cm. A la fin de la journée, Pinocchio a dit 7 mensonges et son nez a 20 cm de long. Combien de fois Pinocchio a-t-il dit la vérité à la Fée au cours de la journée? On a tiré 15 cartes avec des carrés et des triangles. On a obtenu 54 côtés. Combien y a t-il de cartes avec des carrés et de cartes avec des triangles?

34 8. Problèmes : Les aides possibles La reformulation Les tâches surajoutées Les aides tutorielles La multiprésentation

35 La reformulation

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40 Les tâches surajoutées

41 La multi-présentation

42 La multi-présentation

43 La multi-présentation

44 Les aides tutorielles Problème 5 : Léo a 36 billes, Zoé en a 5 fois plus. Combien Zoé en a-t-elle?

45 AIDE 1 Vrai ou faux : Léo a plus de billes que Zoé? 5 fois plus que 7, c est 35? 5 fois plus que 7, c est 12?

46 AIDE 2 Entoure la bonne réponse : «5 fois plus», c est + 5 x 5-5

47 AIDE 3 Entoure le calcul qui correspond à l énoncé : 6x6= =41 5x5=25 36x5=180 25x5= =31

48 AIDE 4 Complète :

49 Les aides tutorielles Problème 6 : Mélissa prépare la table pour un repas. Elle doit placer 48 roses de la façon suivante : 12 roses au centre de la table et le reste partagé aux 4 coins de la table. Combien de roses y aura-t-il à chaque coin?

50 AIDE 1 Aide à la lecture : Mélissa prépare la table pour un repas. Elle doit placer 48 roses : -12 roses au milieu de la table -le reste partagé aux 4 coins de la table Combien de roses y aura-t-il à chaque coin?

51 AIDE 2 Étapes intermédiaires : Elle doit placer 48 roses. Elle met 12 roses au milieu de la table. Combien lui en reste-t-il après? Elle partage le reste aux 4 coins de la table. Combien de roses y a-t-il à chaque coin?

52 AIDE 3 Schéma :