MATHÉMATIQUES DE LA TECHNOLOGIE AU COLLÈGE. Chapitre 1. Manuel de l élève

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1 MATHÉMATIQUES DE LA TECHNOLOGIE AU COLLÈGE Chapitre 1 Manuel de l élève

2 1 Les systèmes d équations Attentes: Analyser des situations modélisées par des fonctions du premier degré et du second degré tirées de diverses applications. Résoudre, en situation, un système comportant des équations du premier degré et du second degré, et interpréter l ensemble-solution. Manipuler des expressions avec aisance. L un des objectifs des mathématiques est de définir des fonctions qui permettent de modéliser des situations à partir d un ensemble de données. Lorsqu un modèle est représentatif d une situation, tu peux l utiliser pour analyser cette situation et définir des comportements passés et à venir. Il est parfois nécessaire de modéliser une situation en considérant plusieurs équations. Cet ensemble d équations est appelé système d équations. Dans les cours précédents, tu as étudié les fonctions affines et les fonctions du second degré. Ce chapitre te permettra d étudier les systèmes d équations constitués de fonctions affines et de fonctions du second degré. Le succès d une entreprise dépend beaucoup de l étude des équations représentant les coûts de production et les revenus des ventes. L intersection de ces équations fournit de l information sur les pertes ou les profits possibles.

3 La mise en situation Le calcul des profits En 190, le premier groupe d artistes modernes du Canada fut formé. Les œuvres du Groupe des Sept ont montré au monde la beauté des paysages canadiens. Ces peintres ont fortement influencé l art au Canada. Leur travail se retrouve sur des timbres, des affiches, des tasses ou des t-shirts. Pour en savoir plus sur le Groupe des Sept, consulte les signets Internet sur le site com/mathtechno. Lorsqu il vend ses peintures, un artiste établit les équations ci-dessous décrivant les revenus de ses ventes, R(n), en milliers de dollars, ainsi que les coûts de production, C(n), en milliers de dollars, en fonction du nombre, n, de dizaines de peintures vendues. 3 R(n) n 3n 8 1 C(n) n n 6 4 a) Lorsque les revenus sont égaux aux coûts, combien de peintures le peintre a-t-il vendues? b) Dans quel intervalle ses revenus sont-ils supérieurs à ses coûts? c) Détermine le nombre de peintures que l artiste doit vendre s il veut maximiser ses profits. L artiste a acquis une certaine renommée, et ses peintures se vendent maintenant plus cher. La nouvelle fonction représentant ses revenus est définie par l équation 1 R(n) n 4n Détermine le nombre de peintures que l artiste doit maintenant vendre s il veut toujours maximiser ses profits. Dans ce chapitre, tu apprendras à modéliser des situations à l aide de fonctions du premier et du second degré, et à comparer ces équations afin de tirer des conclusions. CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

4 Prépare-toi Dans ce chapitre, tu travailleras avec des modèles, des équations et des systèmes d équations de fonctions affines et du second degré. Les exercices qui suivent t aideront à te préparer. 1. Développe et simplifie les expressions suivantes. a) 3(x 5x ) b) 3x(x 3) 5x(4x 7) c) (x )(x 6) d) (x )(3x 4) e) 4(x 7) f) (x 3y)(3x 4y) g) 5(3 x)(5 7x) h) (3x 1)(x 1). Résous les équations suivantes. a) 5x 6 16 b) 4c 7 c 3 c) 4(x 3) 8 3( x) d) x 1 x Si f(x) x 4 3x x 7, calcule a) f() b) f( 1) c) f 1 d) f( 0,5) 4. Isole la variable indiquée. a) A stv, t b) B c x 4, c c) y, y 3 5. Calcule a) b) c) 3 d) Récris les équations ci-dessous sous la forme générale Ax By C 0 et détermine les valeurs de A, de B et de C. a) y 3x x b) y 3 3 4y x c) Écris une équation représentant chacun des énoncés suivants. a) Le produit d un nombre par son carré égale 16. b) La somme de deux nombres dont la différence est 6 égale 15. c) Le triple d un nombre est égal à son carré. 8. Vérifie si les coordonnées ci-dessous satisfont aux équations. a) y x 1, (3, 5) b) y x 3x 1, (0, ) c) 4y 3x 0, ( 1, 1,5) d) y 3x x 5, (, 1) PRÉPARE-TOI 3

5 9. Estime les valeurs suivantes. a) y b) x y 4 6 x Les coordonnées à l origine Les coordonnées à l origine et le sommet 10. Récris les équations ci-dessous sous la forme y mx b et détermine les valeurs de m et de b. a) 6x y 4 0 b) 3y 6 x c) 5x 3y CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

6 1.1 Les caractéristiques des fonctions affines Déterminer les caractéristiques des fonctions affines dans différentes représentations. APERÇU Une fonction affine est une fonction polynôme du premier degré. Comme c est la forme la plus simple des fonctions polynômes, il est essentiel de bien la comprendre avant d explorer les fonctions polynômes de degré plus élevé. Tu as déjà exploré les fonctions affines dans d autres cours de mathématiques. Cette section te permettra de revoir les caractéristiques des fonctions affines afin d établir une base solide pour l étude des systèmes d équations et des fonctions polynômes plus complexes. Situation Le transport par autobus Gabrielle se rend au centre-ville chaque jour pour suivre ses cours. Elle voyage par autobus. Chaque aller simple coûte,35 $. Si elle prévoit prendre l autobus deux fois par jour, combien son transport lui coûtera-t-il pour l année? Il est possible de déterminer un modèle mathématique représentant cette situation afin de calculer le coût exact du transport de Gabrielle. De plus, ce modèle permet d analyser la situation et de répondre à des questions semblables aux suivantes. S il y a 144 jours de classe, combien coûtera le transport de Gabrielle pour l année? Si Gabrielle épargne 650 $ durant l été afin de payer son transport, pendant combien de jours pourra-t-elle prendre l autobus? Si Gabrielle paie le tarif étudiant, chaque aller simple lui coûtera $. Pendant combien de jours de plus pourra-t-elle prendre l autobus? Cette section te permettra aussi d approfondir tes connaissances sur les fonctions affines afin de faciliter la modélisation mathématique et la résolution de problèmes semblables à celui présenté dans la situation. L application des fonctions affines sera explorée plus en détail dans la section LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS AFFINES 5

7 ÉTUDIE LE CONCEPT Qu est-ce qu une fonction affine? Avant de pouvoir modéliser et analyser des problèmes à l aide des fonctions affines, tu dois bien comprendre ce qu est une fonction affine. Dans l étude des mathématiques, on définit soigneusement chaque terme. Voyons d abord ce qu est une fonction. Une fonction est une relation particulière. Alors, qu est-ce qu une relation? Relation Une relation est un lien. Dans la vie, il existe diverses relations: la relation entre une mère et son enfant, la relation entre les élèves et leur enseignant ou leur enseignante, la relation entre le directeur d une entreprise et ses employés, etc. En mathématiques, on définit une relation comme un ensemble de couples (x, y). C est un lien entre deux variables, plus spécifiquement, entre x (abscisse) et y (ordonnée). Ce lien peut être représenté par: 1) une représentation graphique ) une équation 3) un tableau de valeurs 4) un ensemble de couples (x, y) Le domaine de définition d une relation est l ensemble de toutes les premières composantes (x) des couples (x, y). L image d une relation est l ensemble de toutes les deuxièmes composantes (y) des couples (x, y). Exemple: Soit la relation f {( 3, ), ( 1, 0), (0, 3), (, ), (3, 4)}. Le domaine de f { 3, 1, 0,, 3}. L image de f {0,, 3, 4}. Fonction Une fonction est une relation dans laquelle à chaque élément du domaine correspond un seul élément de l image. En d autres mots, à chaque valeur de x correspond une seule valeur de y. Le test de la droite verticale Si une droite verticale quelconque coupe le graphique en un seul point, la relation est une fonction. Si une droite verticale coupe le graphique en plus d un point, la relation n est pas une fonction. 6 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

8 En examinant le graphique d une relation, on peut faire le test de la droite verticale afin de déterminer s il s agit d une fonction. y y x x Fonction La droite verticale coupe le graphique en un seul point; la relation est une fonction. Regardons les ensembles de coordonnées. Relation La droite verticale coupe le graphique en deux points; la relation n est pas une fonction. f {( 1, 0), (0, ), (1, 4), (, 6), (4, 8)} g {( 3, 1), (, 0), ( 1, 1), (0, ), ( 1, 3)} Fonction Relation La relation g n est pas une fonction, puisque la coordonnée x 1 est associée à deux coordonnées de y, soit 1 et 3. Fonction affine Sachant ce que représente une fonction, on peut définir une fonction affine. Une fonction affine présente les caractéristiques suivantes. Équation L équation d une fonction affine doit pouvoir prendre la forme suivante: Graphique y mx b, où m représente la pente, b représente l ordonnée à l origine, et (x, y) représente un point sur la droite. x R et y R: Le domaine et l image d une fonction affine correspondent à l ensemble des nombres réels si m 0. Exemple: L équation y x 3 représente une fonction affine dont la pente est et dont l ordonnée à l origine est 3. Une fonction affine représente une droite non verticale. Une droite verticale ne représente pas une fonction. 1.1 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS AFFINES 7

9 Tableau de valeurs et ensemble de couples Un tableau de valeurs ou un ensemble de couples représente une fonction affine lorsque les premières différences entre les valeurs de y sont constantes pour des valeurs de x à intervalles réguliers. Exemple: Le tableau de valeurs ci-contre x y représente une fonction affine, puisque les premières différences sont constantes. La valeur obtenue 1 4 par les premières différences, soit 3, représente la pente de 1 3 la droite. 3 5 ( ) 3 De plus, l ordonnée à l origine correspond ( 5) 3 à l ordonnée du point où la droite coupe 5 8 l axe des y. Algébriquement, c est la valeur 11 ( 8) de y lorsque x 0. D après le tableau de valeurs, l ordonnée à l origine est 7. Il est à noter que, si l intervalle régulier des valeurs de x n est pas 1, pour déterminer la pente de la droite, il faut diviser la constante obtenue par les premières différences des valeurs de y par la différence entre les valeurs de x. Exemple: Considérons le tableau de valeurs suivant x y ( 5) 6 6 La pente de la droite est m 3. Connaissant la pente, m, et l ordonnée à l origine, b, tu peux déduire que l équation de la fonction affine qui correspond au tableau de valeurs ci-dessus est y 3x 7. Tu peux vérifier l équation obtenue en remplaçant les coordonnées du tableau de valeurs dans l équation. Prends les points (0, 7) et (4, 5). Vérifie le point (0, 7). M.G. y M.D. 3x 7 Remplace x et y 7 3(0) 7 par les valeurs 7 correspondantes. 8 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

10 M.G. M.D. Vérifie le point (4, 5). La solution est vérifiée. M.G. y M.D. 3x 7 Remplace x et y 5 3(4) 7 par les valeurs 1 7 correspondantes. 5 M.G. M.D. La solution est vérifiée. Tu peux procéder de la même façon avec les autres points du tableau de valeurs afin de vérifier l équation. L abscisse à l origine correspond à la valeur de l abscisse du point où la droite coupe l axe des x. Algébriquement, c est la valeur de x lorsque y 0. D après l équation y 3x 7, tu peux déterminer l abscisse à l origine en remplaçant y par 0. Donc, y 3x 7, où y 0 Remplace y par x 7 Isole x. 7 3x 7 3 x 7 x 3 7 L abscisse à l origine est donc. 3 Pour trouver les coordonnées à l origine, il faut trouver l abscisse à l origine et l ordonnée à l origine. Pour déterminer la pente d une droite, il faut déterminer la valeur de m dans l équation de la forme y mx b. Si l équation de la droite n est pas connue, tu peux déterminer la pente d une droite (fonction affine) à partir de deux points sur la droite en appliquant la formule suivante. Si l on connaît deux points sur la droite, soit P 1 (x 1, y 1 ) et P (x, y ),la formule pour déterminer la pente est: y m x m y y 1 x x 1 Vérifie cette formule en considérant la droite définie par l équation y 3x LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS AFFINES 9

11 Prends encore une fois les points (0, 7) et (4, 5) dans le tableau de valeurs. Donc, y m x, où P 1 (0, 7) et P (4, 5) m m y y 1 x x m 4 Remplace les variables connues. Calcule. Simplifie. m 3 La pente est bien 3. En considérant le graphique d une fonction affine, si tu connais deux points sur la droite, tu peux déterminer la pente de la droite en appliquant la formule de la pente ou en calculant le quotient du déplacement vertical, y, et du y déplacement horizontal, x. Donc, x. De plus, lorsque l ordonnée à l origine est égale à 0, la valeur de y varie en fonction de x. La pente de la droite représente donc une variation directe. Lorsque l ordonnée à l origine n est pas égale à 0, la valeur de y varie partiellement en fonction de x. La pente de la droite représente donc une variation partielle. Exemple 1 Déterminer l équation d une droite d après son graphique Le graphique ci-dessous représente une fonction affine. Détermine l équation de cette droite. y x 4 Solution Tu sais que l équation de la droite peut s écrire sous la forme y mx b. Il s agit donc de déterminer la pente, m, et l ordonnée à l origine, b. 10 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

12 Pour déterminer la pente, considère les deux points P 1 (0, ) et P (4, 1) afin de calculer le quotient du déplacement vertical, y, et du déplacement horizontal, x. Pour se rendre du point P 1 au point P, il faut se déplacer de trois unités vers le haut et de quatre unités vers la droite. Donc, y 3, x 4 et la pente y 3 est égale à m x. 4 y Vérifie le résultat en appliquant la formule m y 1 x. x 1 Soit les points P 1 (0, ) et P (4, 1). Donc, 1 ( ) m 4 0 Calcule. 1 m 4 Calcule. 3 m 4 3 La pente m est égale à. 4 L ordonnée à l origine est la valeur de y lorsque x 0. Sur le graphique, c est le point où la droite coupe l axe des y. Puisque la droite coupe l axe des y à, tu peux conclure que l ordonnée à l origine, b, est égale à. 3 En remplaçant m par et b par dans l équation générale y mx b, 4 3 tu obtiens l équation de la droite y x. 4 Exemple Déterminer l équation d une droite qui passe par deux points Détermine l équation de la droite qui passe par les points P 1 (, ) et P ( 1, 7). Solution Tu sais que l équation de la droite peut s écrire sous la forme y mx b. Il s agit donc de déterminer la pente, m, et l ordonnée à l origine, b. Puisque tu connais deux points sur la droite, tu peux déterminer la pente en appliquant la formule suivante: m y x m m m y y 1 x x m 3 7 ( ) 1 La pente est donc égale à 3. Remplace les variables par les valeurs correspondantes. Calcule. Simplifie. 1.1 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS AFFINES 11

13 En remplaçant m par 3 dans l équation, tu obtiens y 3x b. Il faut maintenant déterminer l ordonnée à l origine, b. Tu ne sais pas où la droite coupe l axe des y, car les points P 1 et P n ont pas de coordonnées où x 0. Alors, tu ne connais pas la valeur de b. Toutefois, il est possible de déterminer cette valeur en utilisant l équation y 3x b et les coordonnées de l un des deux points donnés. Prends le premier point, soit P 1 (, ) et remplace x et y par leur valeur dans l équation y 3x b. y 3x b 3() b Remplace les variables connues. Calcule. 6 b Isole b. 6 b 4 b L ordonnée à l origine est donc 4. Simplifie. L équation de la droite qui passe par les points P 1 (, ) et P ( 1, 7) est y 3x Exercices (série 1) A 1. Une famille de droites est un ensemble de droites ayant une caractéristique commune. À l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent, représente graphiquement les fonctions affines ci-dessous et décris une ressemblance et une différence. Quelle est la caractéristique qui décrit cette famille de droites? 1 5 a) y x 1 b) y 3x 1 c) y x 1 d) y x 1 3. À l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent, représente graphiquement les fonctions affines ci-dessous et décris une ressemblance et une différence. Quelle est la caractéristique qui décrit cette famille de droites? a) y x 3 b) y x 1 c) y x 3 d) y x 1 3. Détermine si les équations ci-dessous représentent une fonction affine. Justifie ta réponse. a) 3 y x b) 3x 4y 1 0 c) y 3x 4 1 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

14 B 4. Détermine le domaine et l image des relations suivantes. a) x y b) g {( 3, 1), (, ), ( 1, 3), (0, 4)} c) y x Indique si les relations ci-dessous représentent une fonction (F), une fonction affine (FA) ou simplement une relation (R). a) y x 3 0 b) h {(, 3), ( 1, ), (0, 4), (1, ), (, 4), (3, 1)} c) y d) x y x Détermine l équation de la droite qui passe par les points donnés. a) A( 4, 5) et B(, ) b) M(, ) et N(4, 6) c) J(0, 3) et K(9, 0) d) S, et T, 1.1 Exercices (série ) A 1. En utilisant les premières différences, détermine l équation de la fonction affine pour chacun des tableaux de valeurs suivants. a) x y b) x y c) x y 4 6, ,5 0,5 3 0, Représente graphiquement la fonction affine à l aide des coordonnées à l origine. Vérifie ton résultat à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) 3x y 6 b) y 6x 18 c) y x 3 d) 0,8x 0,y LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS AFFINES 13

15 3. Détermine la pente, l ordonnée à l origine et l abscisse à l origine pour chacune des fonctions affines suivantes. a) y x 5 b) y x c) 5 3x 6y d) y x e) y 1 3 x B 4. Reproduis le graphique ci-dessous dans ton cahier et relie les points afin de former un parallélogramme. Détermine l équation représentant chaque côté du parallélogramme y x 5. Voici les équations de deux fonctions affines. A: y 4x 4 B: y x 8 a) Représente graphiquement chaque fonction sur le même plan cartésien. b) En supposant qu on trace les deux droites simultanément de gauche à droite, laquelle des deux fonctions coupera la droite y 16 la première? Laquelle coupera la droite y 4 la première? Explique tes résultats. Vérifie tes résultats à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. 14 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

16 1. Les applications des fonctions affines Interpréter les caractéristiques d une fonction affine dans une application. APERÇU Plusieurs situations ou phénomènes peuvent être modélisés par une fonction affine. Il est important de bien comprendre les fonctions affines afin de pouvoir les utiliser pour modéliser des problèmes et les résoudre. Dans la section 1.1, tu as exploré les caractéristiques des fonctions affines. Tu vas apprendre maintenant à les appliquer dans diverses situations. Revenons à la situation de la section 1.1, Le transport par autobus. Gabrielle se rend au centre-ville chaque jour pour suivre ses cours. Elle voyage par autobus. Chaque aller simple coûte,35 $. Si elle prévoit prendre l autobus deux fois par jour, combien son transport lui coûtera-t-il pour l année? Il est possible de déterminer un modèle mathématique représentant cette situation afin de calculer le coût exact du transport de Gabrielle. De plus, ce modèle permet d analyser la situation et de répondre aux questions semblables suivantes. S il y a 144 jours de classe, combien coûtera le transport de Gabrielle pour l année? Si Gabrielle épargne 650 $ durant l été afin de payer son transport, pendant combien de jours pourra-t-elle prendre l autobus? Si Gabrielle paie le tarif étudiant, chaque aller simple lui coûtera $. Pendant combien de jours de plus pourra-t-elle prendre l autobus? Avant de modéliser cette situation par une fonction affine, il est nécessaire de répondre aux questions suivantes: Comment peut-on représenter cette situation par une équation de la forme y mx b? Identifie la variable dépendante (y) et la variable indépendante (x). Quelle est la valeur de m et de b dans cette situation? Rappel: m représente la pente et b, l ordonnée à l origine. Il faut déterminer la pente, l ordonnée à l origine et les variables x et y afin de pouvoir modéliser algébriquement la situation. Après avoir établi l équation en fonction de la situation, on peut l utiliser pour résoudre divers problèmes. Dans cette section, tu vas approfondir tes connaissances sur les fonctions affines en explorant leurs applications. 1. LES APPLICATIONS DES FONCTIONS AFFINES 15

17 ÉTUDIE LE CONCEPT Une fonction affine comme modèle mathématique Pour concevoir un modèle mathématique représentant le problème des frais de transport, tu dois: définir les variables; Une fonction affine comprend toujours deux variables, soit x et y, où x est la variable indépendante et y, la variable dépendante. On dit que y est en fonction de x. Il faut donc identifier la variable indépendante et la variable dépendante dans la situation. Puisque le coût dépend du nombre d allers simples, on peut dire que le coût représente la variable dépendante et que le nombre d allers simples représente la variable indépendante. Soit n: le nombre d allers simples C(n): le coût total du transport, en dollars. Tu peux donc remplacer x par n et y par C(n) dans l équation y mx b. Tu obtiens l équation C(n) mn b. Tu dois maintenant déterminer m et b dans la situation. Pour déterminer la valeur de m, considère le changement dans le coût lorsque le nombre d allers simples augmente. Regarde le tableau de valeurs suivant. n C(n),35 4,70 7,05 9,40 11,75 Puisque chaque aller simple coûte,35 $, le coût augmente de ce montant pour chaque aller supplémentaire. Donc,,35 $ représente la pente de la fonction affine. Dans une fonction affine, la pente est appelée taux de variation ( y / x). Le taux de variation est la pente représentée de façon unitaire, c est-à-dire que x 1. Il faut aussi écrire les unités de mesure correspondantes. Dans ce cas, le taux de variation est de,35 $/aller simple. Tu obtiens donc l équation C(n),35n b. L ordonnée à l origine, b, représente la valeur de y lorsque x 0 ou, dans ce cas, la valeur de C(n) lorsque n 0 ; donc, C(0). Évidemment, si Gabrielle ne prend jamais l autobus, le coût sera de 0 $. Donc, l ordonnée à l origine est zéro et le taux de variation représente une variation directe. 16 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

18 écrire le modèle mathématique obtenu; Ce modèle algébrique est une fonction affine. utiliser le modèle mathématique dans la résolution de problèmes et tirer des conclusions. Tu peux maintenant utiliser le modèle pour répondre aux questions de la situation. Première question S il y a 144 jours de classe, combien coûtera le transport de Gabrielle pour l année? Solution Puisqu elle prendra l autobus deux fois par jour, on peut dire qu en 144 jours, elle fera 88 allers et retours. Il faut donc déterminer C(88). C(88),35(88) C(88) 676,80 Le transport de Gabrielle coûtera donc 676,80 $. Calcule. Deuxième question Si Gabrielle épargne 650 $ durant l été afin de payer son transport, pendant combien de jours pourra-t-elle prendre l autobus? Solution On veut déterminer n lorsque C(n) 650. Donc, 650,35n Isole n. 650 n,35 76,6 n Calcule. Gabrielle pourrait donc s offrir environ 76 allers et retours. Cela signifie qu elle peut payer l autobus pendant 138 jours (76 138). Elle n a pas assez d argent pour les 144 jours de classe. Troisième question Si Gabrielle paie le tarif étudiant, chaque aller simple lui coûtera $. Pendant combien de jours de plus pourra-t-elle prendre l autobus? Solution Puisque chaque aller simple coûte $ plutôt que,35 $, le taux de variation sera de $. Donc m et l équation devient C(n) n. Donc, 650 n 650 n 35 n C(n),35n 1. LES APPLICATIONS DES FONCTIONS AFFINES 17

19 Gabrielle pourrait donc s offrir environ 35 allers et retours. Cela signifie qu elle peut payer l autobus pendant 16,5 jours (35 16,5). Gabrielle gagne 4,5 jours (16, ,5) avec le tarif étudiant. Elle a assez d argent pour les 144 jours de classe. La modélisation algébrique par une fonction affine y mx b y: variable dépendante x: variable indépendante m: taux de variation, pente b: valeur de y lorsque x 0, ordonnée à l origine Exemple 1 Modéliser une situation par une fonction affine afin de résoudre un problème Aaron présente au comité organisateur les coûts pour le bal de fin d études. Le comité doit payer 350 $ pour la location de la salle et 15,75 $ par personne pour le repas. Au cours de l année, les élèves ont amassé 140 $ pour leur bal. Le comité espère pouvoir payer le repas des élèves et de leurs invités. Combien de personnes pourraient aller au bal gratuitement? Solution Puisque le coût dépend du nombre de personnes qui iront au bal, tu peux conclure que le coût est la variable dépendante et que le nombre de personnes est la variable indépendante. Soit n: le nombre de personnes qui iront au bal C(n): le coût de la salle et du repas, en dollars Puisque le coût augmente de 15,75 $ par personne, tu peux dire que le taux de variation est de 15,75 $/personne. Donc, m 15,75. Même si personne ne va au bal, le comité devra tout de même payer 350 $ pour la location de la salle. Donc, C(0) 350. Alors, l ordonnée à l origine, b, est 350. Le modèle algébrique de cette situation est donc: C(n) 15,75n 350 Tu veux savoir combien de personnes peuvent aller au bal gratuitement si le comité a 140 $. 18 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

20 Tu veux déterminer n lorsque C(n) 140 $ ,75n 350 Soustrais 350 de chaque membre ,75n Calcule ,75n Isole n n 15,75 Calcule. 113,65 n Environ 113 personnes pourraient aller au bal gratuitement. Exemple Modéliser deux situations afin de les comparer Une station de ski offre deux possibilités d abonnement. Dans le premier cas, il y a des frais de base de 15 $ et un coût de 10 $ pour chaque journée de ski. Dans le second cas, il y a des frais de base de 00 $ et un coût de 5 $ pour chaque journée de ski. Quelle offre est la plus avantageuse si tu comptes skier 10 fois durant la saison? Quelle offre est la plus avantageuse si tu comptes skier 0 fois durant la saison? Solution Puisque le coût dépend du nombre de journées de ski, tu peux conclure que le coût est la variable dépendante et que le nombre de journées de ski est la variable indépendante. Soit n: le nombre de journées de ski durant la saison C(n): le coût total de l abonnement, en dollars Dans le cas du premier abonnement, disons l offre A, la pente est 10, puisque le taux de variation est de 10 $/jour, et l ordonnée à l origine est 15, le prix de base de l abonnement. Dans le cas du second abonnement, disons l offre B, la pente est 5, puisque le taux de variation est de 5 $/jour, et l ordonnée à l origine est 00, le prix de base de l abonnement. Tu obtiens donc les deux fonctions suivantes: Coût de l abonnement A: Coût de l abonnement B : C(n) 10n 15 C(n) 5n 00 Quel est le coût de 10 journées de ski selon l abonnement choisi, c est-à-dire C(10)? Coût de l abonnement A: Coût de l abonnement B : C(n) 10n 15 C(n) 5n 00 C(10) 10(10) 15 C(10) 5(10) 00 Calcule. C(10) C(10) Calcule. C(10) 5 C(10) 50 Si tu comptes skier 10 fois durant la saison, l offre A est plus avantageuse. 1. LES APPLICATIONS DES FONCTIONS AFFINES 19

21 Quel est le coût de 0 journées de ski selon l abonnement choisi, c est-à-dire C(0)? Coût de l abonnement A: Coût de l abonnement B : C(n) 10n 15 C(n) 5n 00 C(0) 10(0) 15 C(0) 5(0) 00 Calcule. C(0) C(0) Calcule. C(0) 35 C(0) 300 Si tu comptes skier 0 fois durant la saison, l offre B est plus avantageuse. 1. Exercices (série 1) A 1. Michelle a remarqué que son vélomoteur dont le réservoir contient 6 L d essence consomme 0,55 L d essence par heure. Écris un modèle mathématique reflétant cette situation et décris ce que représentent les variables.. Pour avoir accès à Internet, Fiona paie des frais de base mensuels de 0 $ et 0,60 $ par heure d utilisation. a) Écris un modèle mathématique reflétant cette situation et décris ce que représentent les variables. b) Si la facture de Fiona s élevait à 6 $ pour le mois de mars, pendant combien d heures a-t-elle utilisé Internet? 3. Le graphique ci-dessous montre la hauteur H(t), en mètres, d un parachutiste en fonction du temps t, en secondes, de sa descente. 800 H(t) Hauteur (m) t Temps (s) a) À quelle hauteur le parachutiste commence-t-il sa descente? Que représente cette valeur sur le graphique? b) Combien de temps prend-il pour descendre? Que représente cette valeur sur le graphique? c) À quelle vitesse descend-il? Que représente cette valeur sur le graphique? d) Détermine l équation de cette fonction affine et explique ton raisonnement. 0 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

22 B 4. Soit n, le nombre de cartouches d encre achetées pour une imprimante et C(n), le prix, en dollars, de l imprimante et de n cartouches. Avec 5 cartouches, le prix total est de 550 $ et avec 8 cartouches, le prix est de 730 $. a) Quel est le coût de chaque cartouche? b) Quel est le coût de l imprimante? c) Écris l équation représentant cette situation. d) Si l on a dépensé $, combien de cartouches a-t-on achetées? 5. L équation M 5n 45 représente la masse M, en grammes, d une boîte de biscuits en fonction du nombre de biscuits, n, dans la boîte. a) Représente graphiquement cette fonction affine. b) Quelle est la masse de la boîte vide? c) Quelle est la masse d un biscuit? d) Si la masse totale d une boîte pleine de biscuits est de 45 g, combien de biscuits y a-t-il dans la boîte? 6. Décris une situation pouvant être modélisée par les équations suivantes. a) y 100x b) y 500 0x 1. Exercices (série ) A 1. Un groupe d élèves se rend au musée en autobus. L équation 900 3C 19,5n 0 représente la relation entre le coût total du voyage, C, en dollars, et le nombre d élèves, n. Le coût total inclut la location de l autobus et les entrées au musée. a) Représente graphiquement le coût total du voyage en fonction du nombre d élèves. b) Quel est le coût de location de l autobus? c) Combien coûte une entrée au musée? 3. Une piscine contient L d eau. Pour l hiver, on vide les de l eau 4 qu elle contient. On utilise une pompe pour aspirer l eau, et il faut 50 heures. a) À quelle vitesse la piscine se vide-t-elle? b) À l aide d une équation, décris la quantité d eau dans la piscine en fonction du temps. c) Représente graphiquement cette relation. d) Si une seconde pompe, identique à la première, est ajoutée dans la piscine dès le début, quels seront les effets de cette modification sur ton graphique? Explique ton raisonnement. 1. LES APPLICATIONS DES FONCTIONS AFFINES 1

23 3. Deux entreprises de télécommunications t offrent un plan pour tes appels interurbains. L entreprise Piac piac exige des frais de base mensuels de 15 $ plus 0,08 $ par minute pour chaque appel interurbain. L entreprise Jasette exige des frais de base mensuels de 10 $ plus 0,1 $ par minute pour chaque appel interurbain. a) Décris la relation du plan de chacune des entreprises à l aide d équations. b) Représente graphiquement chaque relation dans le même plan cartésien à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. c) Si une personne fait des appels interurbains totalisant 70 minutes par mois, quel plan est le plus avantageux? d) Si une personne fait des appels interurbains totalisant 170 minutes par mois, quel plan est le plus avantageux? e) À l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent, détermine le point d intersection et décris ce qu il représente. B 4. Un photographe exige 4,75 $ pour un album de photos de mariage et un salaire horaire de 36,85 $. a) Écris une équation modélisant cette situation et décris ce que représentent les variables. b) Si tu as un budget de 700 $ pour tes photos de mariage, environ combien de temps, au maximum, le photographe passera-t-il à tes noces? c) Si tu veux que le photographe prenne des photos pendant tout le mariage, soit de 15 heures à minuit, combien coûteront tes photos? 5. Décris une situation pouvant être modélisée par les équations suivantes. a) y 10x 30 b) y 100 0,5x 6. Simon est vendeur dans un magasin de meubles. Il reçoit un salaire de base plus une commission sur ses ventes. Une semaine, ses ventes s élevaient à $, et il a reçu une paye de 63 $. Une autre semaine, ses ventes s élevaient à $, et il a reçu une paye de 556 $. a) Quel taux de commission verse-t-on à Simon? Exprime ta réponse sous forme de pourcentage. b) Quel est son salaire de base hebdomadaire? c) Écris un modèle mathématique reflétant cette situation et décris ce que représentent les variables. d) Combien gagnera-t-il dans une semaine si ses ventes s élèvent à 4 36 $? CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

24 1.3 La résolution d un système d équations du premier degré Résoudre des systèmes comportant des intersections de graphiques de fonctions du premier degré. APERÇU Plusieurs problèmes sont modélisés par plus d une équation. Il faut alors faire l étude d un système d équations. Un système d équations est un ensemble d équations qui modélisent une situation. Dans cette section, il s agira plus précisément d un ensemble de droites. L une des principales caractéristiques d un système d équations est le point d intersection. L analyse du point d intersection fournit une foule de renseignements sur la situation et permet de tirer des conclusions. Dans cette section, tu vas explorer les différents types de systèmes d équations ainsi que les méthodes utilisées pour déterminer le point d intersection d un ensemble de droites. Situation La rentabilité d une entreprise Jacqueline vend des hot-dogs durant l été afin de payer ses études. Elle paie 100 $ pour la location du stand et chaque hot-dog lui coûte 0,75 $. Jacqueline vend ses hot-dogs,50 $ chacun. Combien de hot-dogs doit-elle vendre pour faire un profit? La réponse à cette question sera analysée dans la section 1.4 lorsque tu étudieras les applications des systèmes d équations du premier degré. Tu pourras ensuite résoudre des problèmes modélisés par des systèmes d équations. ÉTUDIE LE CONCEPT La classification des systèmes d équations du premier degré 1. Le système compatible dépendant On appelle système compatible dépendant un système d équations dont l une des équations découle de l autre. On dit que les droites sont confondues (superposées). Le système a donc une infinité de solutions (plusieurs points d intersection). 1.3 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 3

25 On peut déterminer si deux droites sont confondues à partir d un graphique si elles sont représentées dans un même plan cartésien, ou si elles sont dans deux plans et que leurs points sont identiques. On peut reconnaître des droites confondues à partir de leurs équations en les comparant de la façon suivante. Les droites confondues Deux droites sont confondues si les coefficients d une équation sont un multiple des coefficients de l autre équation. Soit D1, une première droite, et D, une seconde droite. Leurs équations seraient: D1 D y mx b ny n(mx b) ou, ny mnx nb n R. Si les deux équations sont exprimées sous la forme y mx b, leur pente, m, et leur ordonnée à l origine, b, sont identiques. D1 D y m 1 x b 1 y m x b ou, m 1 m et b 1 b. Exemple: Les droites y 3x et y 6x 4 sont confondues, car la seconde équation peut être exprimée par y (3x ), qui est un multiple de la première. 15 y 10 5 y = 3x + y = 6x x 10. Le système incompatible 4 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS On appelle système incompatible un système dont les deux droites ne se croisent jamais. On dit que les droites sont parallèles et distinctes. Le système n a donc aucune solution (aucun point d intersection). On peut reconnaître deux droites parallèles et distinctes à partir d un graphique. Elles ne se croisent pas, car leurs pentes sont identiques et leurs ordonnées à l origine sont différentes. On peut reconnaître deux droites parallèles et distinctes à partir de leurs équations exprimées sous la forme y mx b, puisque leurs pentes, m, et leurs ordonnées à l origine, b, sont facilement identifiables. Les pentes sont identiques et les ordonnées à l origine sont différentes.

26 Les droites parallèles et distinctes Si y m 1 x b 1 est l équation de la première droite et que y m x b est l équation de la seconde droite, les deux droites sont parallèles et distinctes si les pentes sont identiques et que les ordonnées à l origine sont différentes, c est-à-dire si m 1 m et que b 1 b. Exemple: Les droites définies par les équations y y 3x et y 3x sont 10 parallèles et distinctes, parce que 5 leurs pentes sont identiques, 3 3, et que leurs ordonnées à l origine y = 3x + x sont différentes, y = 3x Le système compatible indépendant On appelle système compatible indépendant un système dont les deux droites se croisent. On dit que les droites sont sécantes ou concourantes. Le système a alors une solution (un point d intersection). On peut déterminer si des droites sont sécantes (ou concourantes) lorsqu elles se croisent en un point. Les droites sécantes (ou concourantes) Deux droites sont sécantes (ou concourantes) lorsqu elles ne sont ni confondues ni parallèles et distinctes. Donc: m 1 m. Les ordonnées à l origine peuvent être identiques. Exemple : Les droites définies par les équations y y 5x 10 et y 4x 0 sont sécantes y = 4x x y = 5x Droites perpendiculaires Deux droites sécantes sont aussi perpendiculaires si elles se croisent à un angle de 90. Elles ont alors un point d intersection. 1.3 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 5

27 Il est parfois difficile de justifier que deux droites sont perpendiculaires simplement en regardant le graphique. L angle formé par les deux droites peut ne pas avoir l air d un angle de 90 si les axes ne sont pas sectionnés de façon identique. Il faut donc utiliser la méthode suivante afin de vérifier si elles sont vraiment perpendiculaires. Il faut déterminer les pentes des deux droites et les comparer. On peut comparer la pente, m, de deux droites lorsque leur équation est exprimée sous la forme y mx b. Les droites perpendiculaires Si m 1 est la pente de la première droite et que m est la pente de la seconde droite, alors les deux droites sont perpendiculaires si m 1 m 1. Les pentes sont des nombres inverses et elles sont de signe contraire. 1 Exemple: Les droites définies par les équations y 3x et y x sont perpendiculaires, car y y = 3x + 1 y = ( )x x Il est possible d avoir des systèmes de trois droites ou plus. Il y a plusieurs relations possibles entre les droites d un système à trois équations ou plus. Voici quelques exemples: y y = x y = x y = 6x 14 x y 6 5 y = 3x y = 0,5x + 3 y = x x Un point d intersection Trois points d intersection 6 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

28 10 y y = 4x + 3 y = 4x 15 y y = x y = x + 3 y = x Deux points d intersection x x 5 10 Aucun point d intersection Les méthodes de résolution d un système d équations présentées dans cette section se limitent aux systèmes à deux équations. Elles sont applicables à des systèmes de trois équations ou plus si ceux-ci n ont qu un seul point d intersection. Sinon, il faut considérer les droites en groupes de deux. 0 y = x La résolution des systèmes d équations linéaires Pour résoudre un système d équations, il faut déterminer le point d intersection de deux droites. Les droites doivent donc être perpendiculaires ou sécantes. 1. La méthode graphique On peut déterminer le point d intersection de deux droites en examinant le graphique de ces deux droites dans un même plan cartésien. Parfois, on peut seulement estimer le résultat parce que la réponse précise n est pas évidente. Regardons le graphique suivant x y = 5x y y = 4x On peut estimer que le point d intersection est (3, 6). 3 Pour déterminer le point d intersection de façon précise, il faut utiliser l une des méthodes algébriques suivantes.. La méthode de substitution Soit le système d équations suivant: ➀ y x 4 ➁ y 4x LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 7

29 Étapes: i. Isoler une variable dans l une des équations. Isolons y dans la première équation. ii. iii. ➀ y x 4 3 Substituer cette variable dans l autre équation. On remplace y par x 4 dans l équation ➁. ➁ x 4 4x 0 0 Isoler la variable dans l équation. Isoler x. ➁ x 4x 4 0 ➁ 6x 4 4 ➁ x 6 ➁ x 4 Simplifie. iv. Substituer x 4 dans l équation 3 et isoler y. 3 y x 4 3 y (4) 4 3 y y 4 Le point d intersection des droites définies par les équations y x 4 et y 4x 0 0 est (4, 4). Il est préférable d utiliser la méthode de substitution lorsqu on peut facilement isoler une variable dans l une des équations. 3. La méthode de comparaison Soit le système d équations suivant: Étapes: ➀ y x 4 ➁ y 4x 0 0 i. Isoler la même variable dans les deux équations. Isolons y dans les deux équations. On isole y pour éviter les fractions. En isolant x, il y aurait des fractions dans les équations 3 et 4. ii. ➀ y x 4 3 ➁ y 4x 0 4 Comparer les deux variables isolées. Dans les deux équations, la valeur de y est la même au point d intersection. On peut donc dire que les deux équations équivalentes sont aussi égales. 5 x 4 4x 0 8 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

30 iii. Isoler la variable dans la nouvelle équation. Isoler x dans 5. 5 x 4 4x 0 5 x 4x x x 6 5 x 4 Simplifie. iv. Substituer x par 4 dans l équation 3 et isoler y. 3 y x 4 3 y (4) 4 3 y y 4 Le point d intersection des droites définies par les équations y x 4 et y 4x 0 0 est (4, 4). Il est préférable d utiliser la méthode de comparaison lorsqu on peut facilement isoler la même variable dans les deux équations. 4. La méthode d élimination Soit le système d équations suivant: Étapes: ➀ y x 4 ➁ y 4x 0 0 i. Au besoin, récrire les équations sous la forme Ax By C. ii. iii. ➀ x y 4 3 ➁ 4x y 0 4 Multiplier par une valeur l une des équations ou les deux afin d obtenir le même coefficient numérique ou des coefficients numériques opposés pour l une des variables. Comme le coefficient numérique pour la variable y est 1 dans les deux équations, cette étape n est pas nécessaire dans ce cas-ci. Additionner ou soustraire les équations afin d éliminer l une des deux variables. Il faut soustraire les équations: x y 4 4 (4x y 0) 5 6x 0y LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 9

31 iv. Isoler la variable dans la nouvelle équation. Isoler x dans l équation x 0y 4 5 6x x 6 5 x 4 Simplifie. v. Substituer x 4 dans l équation ➀ et isoler y. ➀ y x 4 ➀ y (4) 4 ➀ y 8 4 ➀ y 8 4 ➀ y 4 Le point d intersection des droites définies par les équations y x 4 et y 4x 0 0 est (4, 4). Il est préférable d utiliser la méthode d élimination lorsqu on ne peut pas facilement isoler une variable dans les équations. Pour vérifier les résultats, il suffit de vérifier si le point d intersection satisfait aux deux équations du système. Donc, le point (4, 4) devrait satisfaire aux deux équations, y x 4 et y 4x 0 0. Vérification : Pour l équation y x 4 Pour l équation y 4x 0 0 M.G. y x M.D. 4 M.G y 4x 0 M.D. 0 4 (4) 4 4(4) M.G. M.D. M.G. M.D. La solution est vérifiée. La solution est vérifiée. Tu peux aussi vérifier ces coordonnées à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Avec la calculatrice, il suffit d inscrire les équations sous la forme y mx b en utilisant la touche o, puis de représenter le graphique à l aide de la touche s (le cas échéant, n oublie pas d ajuster la fenêtre à l aide de la touche e). Enfin, pour déterminer les coordonnées du point d intersection, utilise la touche i ( e fonction et r) et choisis l option. Tu n as plus qu à suivre les instructions. Il est à noter que le point d intersection est souvent appelé l ensemblesolution d un système d équations. 30 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

32 Exemple 1 y 40 y = 4x + 0 x y = 5x 10 Déterminer le point d intersection de deux droites par la méthode de comparaison Reprenons l exemple qui a été présenté pour illustrer la méthode graphique. Tu as vu qu il n est pas toujours possible de déterminer le point d intersection de façon précise par la méthode graphique. Il faut alors utiliser une méthode algébrique. Solution Tu peux utiliser la méthode de comparaison pour résoudre ce système, puisque la variable y est déjà isolée dans chaque équation. Soit le système d équations ➀ y 5x 10 ➁ y 4x 0 i. Isole la même variable dans les deux équations. (C est déjà fait.) ii. Compare les équations de la variable isolée. 3 5x 10 4x 0 iii. Isole la variable x de l équation x 10 4x 0 3 5x 4x x x x 3 10 iv. Substitue x dans l équation ➁. 3 ➁ y 4x 0 10 ➁ y ➁ y ➁ y ➁ y 3 Simplifie. Le point d intersection des droites définies par les équations y 5x 10 et 10 y 4x 0 est donc, Tu peux vérifier ces coordonnées à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Avec la calculatrice, il suffit d inscrire les équations sous la forme y mx b en utilisant la touche o, puis de représenter le graphique à l aide de la touche s (le cas échéant, n oublie pas d ajuster la fenêtre à l aide de la touche e). Enfin, pour déterminer les coordonnées du point d intersection, utilise la touche i ( e fonction et r) et choisis l option. Tu n as plus qu à suivre les instructions. 1.3 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 31

33 Exemple Identifier le système d équations afin de prédire combien de solutions sont admises Détermine le type de chacun des systèmes d équations ci-dessous et le nombre de solutions qu il admet sans résoudre le système a) ➀ y 3x b) ➀ y 6x 4 0 c) ➀ x y ➁ 3y 9x 1 ➁ y x 6 ➁ x y Solution Pour mieux analyser les pentes et les ordonnées à l origine, écris les équations sous la forme y mx b. a) ➀ y 3x 9 1 ➁ y x y 3x Puisque les pentes sont égales et que les ordonnées à l origine sont différentes, tu peux conclure que les droites sont parallèles et distinctes. Le système d équations est donc incompatible et n a aucune solution. 6 4 b) ➀ y 6x 4 y x y 3x 1 ➁ y x Comme le produit des pentes est égal à 1, 3 1, tu peux conclure 3 que les droites sont perpendiculaires. Le système d équations est donc compatible indépendant et il a une seule solution. c) Afin de simplifier les équations, tu peux supprimer les fractions en multipliant chaque terme par un nombre divisible par chaque dénominateur dans l équation ➀ x y 4 4 Puisque 8 est divisible par 4 et par, multiplie chaque terme par 8. 3 ➀ (8) x (8) 1 y (8) Simplifie. ➀ ()(3)x ()(1)y (4)(1) Calcule. ➀ 6x y ➁ x y 6 3 Puisque 6 est divisible par, 6 et 3, multiplie chaque terme par 6. 1 ➁ (6) x (6) 1 y (6) Simplifie. ➁ (3)(1)x (1)(1)y ()(1) Calcule. ➁ 3x y ➁ 3x y Fais passer le y de l autre côté afin de mieux comparer l équation ➁ avec l équation ➀. Puisque ➁ ➀, tu peux conclure que les droites sont confondues. Le système d équations est donc compatible dépendant et il a une infinité de solutions. 3 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

34 Tu peux vérifier ces résultats à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Avec la calculatrice, il suffit d inscrire les équations sous la forme y mx b en utilisant la touche o, puis de représenter le graphique à l aide de la touche s (le cas échéant, n oublie pas d ajuster la fenêtre, à l aide de la touche e). Enfin, pour déterminer les coordonnées du point d intersection, utilise la touche i ( e fonction et r) et choisis l option. Tu n as plus qu à suivre les instructions. 1.3 Exercices (série 1) A 1. Utilise la méthode graphique afin de déterminer l ensemble-solution, s il existe, de chacun des systèmes d équations ci-dessous. Vérifie tes réponses à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) x y 3 0 b) 1 x 3 y 4 4 c) y x 7 0 3y x y x 3y 4x 11 d) y x 16 e) y 3x 0 f) 0,5x 0,3y 0, 1 1 y x 3 4 y 8x 5x 3y 0. Utilise la méthode de substitution afin de déterminer l ensemble-solution, s il existe, de chacun des systèmes d équations ci-dessous. Vérifie tes réponses. a) x y 3 b) y 4x 5 c) 3x 4y x 3 x 3y 4 x y y x 1 0 d) 0,4x 0,y 1 0 e) 3(x 1) (y 1) f) 1 y x y x 1 4 x y 0 5y 10x Utilise la méthode de comparaison afin de déterminer le point d intersection des deux droites, s il existe, dans chacun des systèmes d équations ci-dessous. Vérifie tes réponses. a) (x 3) y 8 b) 3x 3y 30 c) x y 4 x y y 4 x y 5 (x 1) d) x y 0 e) 4(x y) 8 f) y x 3 0,5x 0,5y 1 (x 1) y 1 (x y) LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 33

35 4. Utilise la méthode d élimination afin de résoudre, si c est possible, les systèmes d équations ci-dessous. Vérifie tes réponses. a) x y b) 4x 6y 1 0 c) 3x y 7 3x y 8 x 3y 4 9x 3y 1 d) 0,5x 0,75y 1 e) y 3x 1 0 f) y 3 6x x y 3 y 6x 8 y 4x 0 3 B 5. Utilise la méthode de ton choix afin de résoudre les systèmes d équations ci-dessous, si c est possible. Vérifie tes réponses à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) 10x y 0 b) 3y x 3 c) 15x 3y y 4x y 3 9x 10x y 4 d) 4x 6y 0 e) x y 3 4 f) 0,x 0,3y 0,4 x y 4 8 3y 4x 6 x y Sans résoudre le système, prouve algébriquement que les droites suivantes sont confondues. 3x 4y 0 9x 1y Exercices (série ) A 1. Détermine si les droites sont parallèles, perpendiculaires, confondues ou sécantes. Explique ton raisonnement. a) y x 1 0 b) 3x 6y 9 c) 3(x y 1) y x 4 x y 3 0 9x 6 3y d) 1 1 x y e) 0,1x 0,y 0,3 f) 3(x 1) 3y x y x y (x 1) (y 1). Résous les systèmes d équations ci-dessous par la méthode la plus appropriée. Vérifie tes réponses. a) (x 1) 3y y 14 b) x 3y 1 x y 4(y 3) x 47 (x 3) 4y 3 3. Alice reçoit un message secret indiquant qu il y a un trésor caché à l intersection des deux droites suivantes: x y 4 et 3(x 6) x y 3 34 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

36 Elle trouve un autre message secret indiquant qu il y a un trésor caché aux coordonnées (4, 6). Est-ce le même trésor ou y a-t-il deux trésors? Explique ton raisonnement. B 4. Résous chacun des systèmes d équations ci-dessous. Si les droites sont sécantes, vérifie ta solution. a) x y 1 b) 3x 9 4y c) x 3 4y x 3y 3 4x 37 3y ( x y) d) x y e) y 3x 1 0 f) x y x y x 4 y x 5y Représente graphiquement les systèmes d équations ci-dessous à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent et détermine, si c est possible, les coordonnées du point d intersection des deux droites. Ensuite, résous algébriquement, à deux décimales près, chacun des systèmes d équations afin de vérifier l ensemble-solution. a) 3x 4y 1 b) y x 1 5 x 5y 6 5y 10x 15 c) 3x 9 4y d) 0,x 0,3y 0,4 7x y 1 1 x y e) 1 1 (x 9) (y 8) 3 4 f) 3x y 3 x y 1 4x 3y 1 0 4y 8x 1.3 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 35

37 1.4 Les applications des systèmes d équations du premier degré Interpréter, dans le cadre d applications, la solution d un système comportant des équations du premier degré. APERÇU Dans la section 1.3, tu as appris à résoudre des systèmes d équations du premier degré. Tu vas maintenant apprendre à les interpréter dans des situations. Tu verras que l ensemble-solution ou le point d intersection d un système d équations fournit une foule de renseignements sur la situation. Reprenons la situation de la section 1.3, La rentabilité d une entreprise. Jacqueline vend des hot-dogs durant l été afin de payer ses études. Elle paie 100 $ pour la location du stand et chaque hot-dog lui coûte 0,75 $. Jacqueline vend ses hot-dogs,50 $ chacun. Combien de hot-dogs doit-elle vendre pour faire un profit? On peut modéliser cette situation à l aide d un système d équations. Que représenteront les deux équations du système? Que représentera l intersection des deux droites? Dans cette section, tu vas apprendre à modéliser une situation à l aide d un système d équations afin de résoudre un problème. De plus, tu vas approfondir tes connaissances sur les systèmes d équations en explorant leurs applications. ÉTUDIE LE CONCEPT La modélisation d une situation à l aide d un système d équations et l analyse de l ensemble-solution Pour modéliser une situation, il faut d abord établir les deux fonctions affines du système. Dans la section 1., tu as appris à créer un modèle mathématique à l aide d une fonction affine. Tu dois maintenant mettre ces connaissances en application afin de déterminer les équations des deux droites du système d équations. Tu pourras ensuite résoudre le système d équations et obtenir des renseignements sur la situation. 36 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

38 Considérons la situation de la section 1.3, La rentabilité d une entreprise. Pour déterminer combien de hot-dogs Jacqueline doit vendre pour faire un profit, il faut considérer les deux équations qui représentent le calcul du profit. Pour calculer un profit, il faut considérer les dépenses et les revenus. Il faut donc définir une équation pour représenter les dépenses et une pour représenter les revenus. Ces deux équations constitueront le système d équations. Pour modéliser les deux fonctions affines, tu dois: définir les variables; Soit n: le nombre de hot-dogs vendus D(n): les dépenses de Jacqueline, en dollars R(n): les revenus de Jacqueline, en dollars écrire le modèle mathématique obtenu; Jacqueline doit payer 100 $ pour la location du stand et 0,75 $ pour chaque hot-dog. L équation représentant ses dépenses est donc D(n) 0,75n 100. Jacqueline reçoit,50 $ par hot-dog vendu. L équation représentant ses revenus est donc R(n),5n. Par conséquent, le système d équations représentant cette situation est: utiliser le modèle mathématique pour résoudre le problème; Il faut résoudre le système d équations afin d analyser le problème. Tu peux utiliser l une des quatre méthodes présentées dans la section 1.3. Les méthodes algébriques (comparaison, substitution ou élimination) fourniront toujours une réponse précise pour l ensemble-solution du système. Avant de résoudre le système, remplace D(n) et R(n) par la variable y, puisque ces valeurs représentent y dans le plan cartésien. Les dépenses et les revenus représentent la variable dépendante. De plus, tu peux remplacer n par la variable x, puisque le nombre de ventes représente la variable indépendante. Tu obtiens alors le système suivant: D(n) 0,75n 100 R(n),5n 1 y 0,75x 100 y,5x Utilise la méthode de comparaison pour résoudre le système, puisque la variable y est isolée dans chacune des équations. 1.4 LES APPLICATIONS DES SYSTÈMES D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 37

39 Donc, 0,75x 100,5x Isole x. 0,75x,5x 100 Simplifie. 1,75x x 1,75 x 57,1 Calcule. Remplace x par 57,1 dans l équation ➁ afin de calculer y. Vérification : y,5(57,1) y 14,8 Équation 1 M.G. y M.D. 0,75x ,8 0,75(57,1) ,8 M.G. M.D. La solution est vérifiée. Équation M.G. y M.D.,5x 14,8,5(57,1) 14,8 M.G. M.D. La solution est vérifiée. L ensemble-solution du système d équations est donc le point d intersection (57,1, 14,8). Qu est-ce que cela signifie? En remplaçant D(n) et R(n) par la variable y, on a établi que y y, c est-à-dire que D(n) R(n). Autrement dit, les dépenses sont égales aux revenus. Donc, le point d intersection des deux droites représente le nombre, n, de hot-dogs que Jacqueline doit vendre pour que ses dépenses soient égales à ses revenus. Si elle vend environ 57 hot-dogs, ses dépenses et ses revenus seront d environ 143 $. Compare ses revenus à ses dépenses si elle vend moins de 57 hot-dogs, ou si elle en vend plus de 57. Regardons le graphique de ce système d équations. Somme d argent, en dollars, des dépenses et des revenus 38 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS Revenus et dépenses des ventes de hot-dogs en fonction du nombre de hot-dogs vendus S(n) D(n) = 0,75n R(n) =,5n Nombre de hot-dogs vendus D après le graphique, on constate que, si Jacqueline vend moins de 57 hot-dogs, ses dépenses seront plus élevées que ses revenus. Elle subira donc une perte. En revanche, si elle vend plus de 57 hot-dogs, ses revenus excéderont ses dépenses, et Jacqueline fera un profit. n

40 tirer une conclusion. Tu peux maintenant répondre à la question suivante: Combien de hot-dogs doit-elle vendre pour faire un profit? Pour faire un profit, Jacqueline doit vendre plus de 57 hot-dogs. En général, le point d intersection (a, b) représente un point de changement, c est-à-dire que, si x < a, la première situation est favorable, alors que si x > a, c est l autre situation qui est favorable. Si x a, les deux situations se valent. Ce point de changement porte le nom de seuil de rentabilité. Il est souvent utilisé en économie pour déterminer le moment où une entreprise réussira à survivre ou, au contraire, s effondrera si les dépenses sont trop élevées ou les revenus trop faibles. Exemple 1 Modéliser une situation par un système d équations afin de résoudre un problème Le problème présenté ci-dessous a été étudié dans la section 1.. Une station de ski offre deux possibilités d abonnement. Dans le premier cas, il y a des frais de base de 15 $ et un coût de 10 $ pour chaque journée de ski. Dans le second cas, il y a des frais de base de 00 $ et un coût de 5 $ pour chaque journée de ski. Quelle offre est la plus avantageuse si tu comptes skier 10 fois durant la saison? Quelle offre est la plus avantageuse si tu comptes skier 0 fois durant la saison? Après avoir étudié les systèmes d équations, tu peux analyser ce problème et répondre à la question suivante: Combien de journées de ski faut-il pour que les deux abonnements coûtent le même prix? Que peux-tu conclure d après ce résultat? Solution Soit n: le nombre de journées de ski durant la saison C(n): le coût total de l abonnement, en dollars Dans le cas du premier abonnement, disons l offre A, la pente est 10, puisque le taux de variation est de 10 $/jour, et l ordonnée à l origine est 15, le prix de base de l abonnement. Dans le cas du second abonnement, disons l offre B, la pente est 5, puisque le taux de variation est de 5 $/jour, et l ordonnée à l origine est 00, le prix de base de l abonnement. Tu obtiens donc les deux équations suivantes: Coût de l abonnement A: Coût de l abonnement B : C(n) 10n 15 C(n) 5n LES APPLICATIONS DES SYSTÈMES D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 39

41 Il n est pas nécessaire de toujours remplacer la variable dépendante par y et la variable indépendante par x. Tu seras peut-être plus à l aise en utilisant ces variables, mais tu peux aussi appliquer les méthodes de résolution d un système d équations ayant des variables autres que x et y. La situation présentée dans cet exemple peut être modélisée par le système d équations suivant: 1 C(n) 10n 15 C(n) 5n 00 Puisque la variable C(n) est isolée dans les deux équations, il serait préférable de résoudre ce système par la méthode de comparaison. Donc, 10n 15 5n 00 Isole n. 10n 5n n n 5 n 15 Remplace n par 15 dans ➀. 1 C(15) 10(15) 15 1 C(15) 75 Simplifie. Divise chaque membre de l équation par 5. Calcule. L ensemble-solution du système d équations est donc (15, 75). Cela signifie que, si tu fais du ski 15 fois, les deux abonnements coûteront le même prix, soit 75 $. Regardons le graphique de ce problème. Coût de deux cartes saisonnières pour une pente de ski en fonction du nombre de visites Coûts des cartes, en dollars C(n) Carte A Carte B Nombre de journées de ski durant la saison n D après le graphique, il est évident que le point d intersection des deux droites représente le nombre de jours pour lequel le prix des deux abonnements est le même. De plus, on peut dire que ce point représente un point de changement dans le coût des abonnements, c est-à-dire que si tu comptes skier moins de 15 fois, l offre A est plus avantageuse, mais si tu comptes skier plus de 15 fois, l offre B est plus avantageuse. 40 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

42 Exemple Interpréter un système d équations Le système d équations ci-dessous décrit la quantité d eau, Q(t), en litres, qui reste dans deux réservoirs en fonction du temps, t, en minutes, au cours duquel ils se vident à l aide d une pompe. 1 Q(t) ,3t Réservoir A Q(t) ,4t Réservoir B Compare ces deux réservoirs. Que représentent l ordonnée à l origine, la pente et le point d intersection des deux droites? Solution Tu peux faire quelques observations d après les équations du système. Tu sais que le réservoir A contient initialement L d eau, puisque Q(0) De même, le réservoir B contient initialement L d eau, puisque Q(0) Le réservoir A se vide à une vitesse de 30,3 L par minute, tandis que le réservoir B se vide à une vitesse de 50,4 L par minute. Il est peut-être plus facile d analyser la situation en regardant un graphique. Voici le graphique de cette situation : Quantité d eau dans deux réservoirs en fonction du temps Quantité d eau, en litres dans les réservoirs Q(t) Réservoir B Réservoir A t Temps en minutes D après le graphique, il faut environ 130 minutes pour vider le réservoir A et environ 110 minutes pour vider le réservoir B. Pour déterminer le temps exact qu il faut pour vider chaque réservoir, il faut calculer algébriquement l abscisse à l origine de chaque fonction. Détermine la valeur de t pour laquelle Q(t) LES APPLICATIONS DES SYSTÈMES D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 41

43 Quantité d eau dans le réservoir A: Quantité d eau dans le réservoir B : Q(t) ,3t Q(t) ,4t ,3t ,4t 30,3t ,4t t ,3 t t 13,013 t 109,17 Le réservoir A se vide donc en 13,013 minutes, soit, heures ou heures et 1 minutes. Le réservoir B se vide donc en 109,17 minutes, soit 1,8 heure ou 1 heure et 49 minutes. Le réservoir B contient initialement plus d eau que le réservoir A. Cependant, comme l eau du réservoir B s écoule plus rapidement, il faut moins de temps pour le vider complètement. On peut donc conclure que la pompe qui aspire l eau du réservoir B fonctionne à une plus grande capacité que celle du réservoir A. Cela est évident selon les pentes des équations. Que représente le point d intersection de ces deux droites? Le point d intersection représente le moment où la quantité d eau est la même dans les deux réservoirs. D après le graphique, on peut estimer que le point d intersection se situe autour de (75, 1 750). Pour déterminer la valeur exacte du point d intersection, il faut résoudre algébriquement le système d équations. Puisque la variable Q(t) est isolée dans les deux équations, il est préférable d utiliser la méthode de comparaison. Donc, ,3t ,4t Isole t. 30,3t 50,4t Simplifie. 0,1t Divise chaque membre t ,1 t 74,67 Remplace t par 74,67 dans l équation. de l équation par 0,1. Calcule ,4 Q(74,67) ,4(74,67) Q(74,67) 1 738,799 Calcule. L ensemble-solution du système d équations est donc (74,67, 1 738,799), ce qui correspond à l estimation du graphique. Cela signifie qu après 74,67 minutes, soit environ 1 heure et 15 minutes, les deux réservoirs ont la même quantité d eau, c est-à-dire environ L. De plus, avant 74,67 minutes, le réservoir B contient plus d eau, et après 74,67 minutes, c est le réservoir A qui en contient le plus. 4 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

44 1.4 Exercices (série 1) A 1. Détermine deux nombres dont la somme est 56 et tels que l un est égal au triple de l autre, moins 8.. Mia et Donald travaillent dans un magasin d appareils électroménagers. Mia reçoit un salaire de base de 50 $ par semaine plus une commission de 6 % sur ses ventes hebdomadaires. Donald reçoit un salaire de base de 300 $ par semaine plus une commission de 5 % sur ses ventes hebdomadaires. À combien leurs ventes se chiffrent-elles s ils reçoivent la même paye à la fin de la semaine? À combien cette paye s élève-t-elle? 3. Jacob et sa grand-mère passent la journée dans un parc d attractions. Le prix d entrée est de 6,5 $ pour Jacob et de 3,75 $ pour sa grand-mère. Un billet pour un manège coûte 0,75 $ pour Jacob et 1,5 $ pour sa grand-mère. S ils ont chacun un chèque-cadeau de la même valeur, combien de billets au maximum chacun pourra-t-il s acheter avec ce chèque-cadeau et quel est le montant de ce chèque? B 4. Le graphique ci-dessous représente deux investissements à intérêt simple en fonction du temps. L intérêt simple signifie que l intérêt est calculé une seule fois, au moment de l investissement, et s ajoute au capital à intervalles fixes. Si on te fait choisir l un des deux investissements, lequel te semble le plus avantageux? Explique ta réponse. Valeur des investissements, en dollars S(t) Croissance de deux investissements en fonction du temps Investissement A Investissement B Temps en années t 5. Considère la situation présentée dans la question 4 et analyse les équations décrivant la somme, S(t), en dollars, des investissements en fonction du temps, t, en années: 1 S(t) t S(t) t Que peux-tu dire de plus à propos de cette situation? 1.4 LES APPLICATIONS DES SYSTÈMES D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 43

45 1.4 Exercices (série ) A 1. Détermine les dimensions d un rectangle dont le périmètre est de 36 m et dont la largeur est égale à la moitié de la longueur.. Suzanne fabrique des bracelets. Elle décide de les vendre dans une exposition de produits d artisanat. Elle doit payer 15 $ pour louer un stand pour la fin de semaine. Si la fabrication d un bracelet lui coûte,5 $ et qu elle le vend 8 $,combien de bracelets doit-elle vendre pour faire un profit? 3. Décris une situation pouvant être modélisée par le graphique du système d équations ci-dessous. Explique ce que représente le point d intersection dans ta situation B 4. Le graphique ci-dessous représente la quantité d essence dans le réservoir de deux voitures en fonction de la distance parcourue. Que peux-tu dire au sujet des deux voitures? Quelle est la quantité initiale d essence dans les réservoirs? Quel est le taux de variation de l essence dans chacune des voitures? Quelle est la distance parcourue par chacune des voitures? (Indice: Reporte-toi à l exemple de cette section pour t aider à interpréter la situation.) Quantité d essence dans le réservoir de deux voitures selon la distance parcourue Quantité d essence, en litres, dans le réservoir de la voiture Q(d) 0 Voiture A 0 Voiture B Distance parcourue en kilomètres d 5. Considère la situation présentée dans la question 4 et analyse les équations décrivant la quantité d essence, Q(d), en litres, en fonction de la distance, d, en kilomètres, parcourue : 1 Q(d) 4 0,07d Q(d) 55 0,11d Que peux-tu dire de plus à propos de la situation? 44 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

46 1.5 Les caractéristiques des fonctions du second degré Déterminer les caractéristiques des fonctions du second degré sous différentes représentations. APERÇU Dans les sections 1.1 à 1.4, tu as vu comment diverses situations peuvent être modélisées par une fonction affine. Les fonctions affines sont des fonctions du premier degré puisque la valeur de l exposant le plus élevé dans l équation est égale à 1. Les fonctions du premier degré sont des fonctions linéaires. Toutefois, certaines relations ne sont pas des fonctions linéaires et doivent être représentées par une courbe. Ces fonctions sont d un degré supérieur à 1, puisque la valeur de l exposant le plus élevé dans leur équation est égale à au moins. Dans cette section, tu vas revoir les caractéristiques des fonctions du second degré. Ces fonctions non linéaires permettent de modéliser des situations qui sont représentées par une courbe, plus précisément par une parabole. Situation Lancer un caillou On lance un caillou dans les airs à partir d un pont qui se trouve à 15 m au-dessus de l eau. Le caillou effectuant un déplacement ascendant et descendant, la hauteur qu il atteint au-dessus de l eau se définit en fonction du temps écoulé depuis qu il a été lancé. Au temps t, exprimé en secondes, la hauteur du caillou au-dessus de l eau, en mètres, peut être représentée par la fonction définie par l équation h(t) 4,9t 1t 15. À quel moment le caillou atteint-il sa hauteur maximale? Quelle est la hauteur maximale? Combien de temps s écoule avant que le caillou pénètre dans l eau? Cette section te permettra d approfondir tes connaissances sur les fonctions du second degré afin de faciliter la modélisation mathématique et la résolution de problèmes semblables à celui présenté dans la situation précédente. La solution de ce problème sera explorée davantage dans la section 1.6 lorsque tu étudieras les applications des fonctions du second degré. 1.5 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 45

47 ÉTUDIE LE CONCEPT Les caractéristiques d une fonction du second degré Avant de pouvoir modéliser et analyser des problèmes à l aide des fonctions du second degré, tu dois bien comprendre ces fonctions. Comment identifier une fonction du second degré Équation On peut reconnaître une fonction du second degré, puisque la valeur de l exposant le plus élevé dans l équation est égale à. Voici la forme générale d une fonction du second degré: y ax bx c, a 0 Exemple: L équation y x 3x 4 est une fonction du second degré. Graphique Le graphique d une fonction du second degré a la forme d une parabole. y x Lorsque la parabole est ouverte vers le haut, le sommet représente un point minimal et, lorsqu elle est ouverte vers le bas, le sommet représente un point maximal. Le sommet est aussi le point où la parabole passe de décroissante à croissante si la parabole est ouverte vers le haut ou de croissante à décroissante si la parabole est ouverte vers le bas. Les valeurs des abscisses à l origine (valeurs de x où la parabole coupe l axe des x) s appellent les zéros de la fonction. Tableau de valeurs sommet Rappel: Les premières différences du tableau de valeurs d une fonction affine sont constantes pour des valeurs de x à intervalles réguliers. Les secondes différences du tableau de valeurs d une fonction du second degré sont constantes pour des valeurs de x à intervalles réguliers. 46 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

48 Le tableau de valeurs ci-dessous représente les données de la fonction y x 3x 4. x y Premières différences Secondes différences ( ) 3 3 ( 7) ( 5) 1 1 ( 3) ( 4) Il est à noter que la constante de la seconde différence divisée par deux représente a, le coefficient du terme au carré de l équation y ax bx c. Dans l exemple ci-dessus, 4, le coefficient de x. Comment déterminer les zéros d une parabole Il existe trois possibilités de zéros ou d abscisses à l origine pour une parabole y y y x x x Deux zéros complexes Deux zéros réels Deux zéros réels distincts identiques On peut identifier le nombre de zéros réels dans une fonction du second degré en regardant son graphique. Toutefois, il sera parfois difficile de déterminer la ou les valeurs exactes des zéros réels, car le graphique ne fournit pas toujours des valeurs précises. Une méthode algébrique fournira toujours des valeurs exactes. Voici trois méthodes algébriques pour déterminer les zéros d une fonction du second degré. Méthode 1 : la factorisation Factoriser signifie mettre en facteurs. Des facteurs sont des polynômes écrits sous forme de produit. La factorisation consiste donc à convertir une équation sous la forme d un produit de facteurs. Pour simplifier la tâche de la factorisation d un trinôme, on vérifie d abord si les termes ont un plus grand facteur commun (pgfc). Si tel est le cas, on met ce facteur commun en évidence et on factorise le trinôme dans les parenthèses. Exemple: Pour factoriser l expression x 4x 6, on met en évidence le pgfc,. On obtient alors (x x 3). On factorise ensuite le trinôme dans les parenthèses. 1.5 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 47

49 A) Trinôme de la forme y ax bx c, où a 1. Considérons l équation y x 6x 8. Étapes: 1. Factoriser le trinôme L équation y x bx c devient une équation de la forme y (x )(x ), où c et b. Donc, y x 6x 8 devient y (x 4)(x ), car 4 8 et Pour déterminer ces zéros, posons y 0. 0 (x 4)(x ) On peut déterminer les valeurs de x, puisqu on sait que, si le produit de deux facteurs est 0, l un des deux facteurs doit être égal à 0. Si (a)(b) 0, alors a 0 ou b 0. Donc, si 0 (x 4)(x ) alors x 4 0 ou x 0 Isole x. x 4 ou x Les zéros de l équation y x 6x 8 sont 4 et. Vérification : x 4 M.G. y M.D. x 6x 8 0 ( 4) 6( 4) M.G. M.D. La solution est vérifiée. x M.G. y M.D. x 6x 8 0 ( ) 6( ) M.G. M.D. La solution est vérifiée. Tu peux aussi vérifier ces zéros en représentant graphiquement la fonction du second degré à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Pour déterminer la valeur exacte des zéros, utilise la fonction i sur la calculatrice à affichage graphique, choisis l option zéro et suis les instructions. 48 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

50 B) Trinôme de la forme y ax bx c, où a 1 et a 0. Considérons l équation y 3x x. Étapes: 1. Factoriser le trinôme L équation y ax bx c devient une équation de la forme y ax x x c, où a c et b. Puisque ( 3) () (3) ( ) et 3 1, alors l équation y 3x x devient y 3x 3x x. En regroupant les termes en groupes de deux, on peut mettre en évidence le plus grand facteur commun de chaque groupe. Cette méthode s appelle la factorisation par regroupement. y (3x 3x) (x ) y 3x(x 1) (x 1) Regroupe les deux premiers termes et les deux derniers. Mets en évidence le plus grand facteur commun de chaque groupe. y (x 1)(3x ) L équation y 3x x devient donc y (x 1)(3x ).. On détermine les zéros en remplaçant y par 0. 0 (3x )(x 1) Donc, 3x 0 ou x 1 0 Isole x. 3x x 1 x 3 Les zéros de l équation y 3x x sont et 1. 3 Vérification : x 3 M.G. y M.D. 3x x M.G. M.D. La solution est vérifiée. Factorise le binôme commun LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 49

51 50 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS x 1 M.G. y M.D. 3x x 0 3(1) M.G. M.D. La solution est vérifiée. Considérons une deuxième équation y x 3x 1. Étapes: 1. Factoriser le trinôme L équation y ax bx c devient une équation de la forme y ax x x c, où a c et b. Puisque 1 1 et 1 3, l équation y x 3x 1 devient y x x x 1. En regroupant les termes par deux, on peut mettre en évidence le plus grand facteur commun de chaque groupe. Cette méthode s appelle la factorisation par regroupement. y (x x) (x 1) Regroupe les deux premiers y x(x 1) (x 1) y (x 1)(x 1) termes et les deux derniers termes. Mets en évidence le plus grand facteur commun de chaque groupe. Factorise le binôme commun. L équation y x 3x 1 devient donc y (x 1)(x 1).. On détermine les zéros en remplaçant y par 0. 0 (x 1)(x 1) Donc, x 1 0 ou x 1 0 Isole x. x 1 x 1 1 x Les zéros de l équation y x 1 3x 1 sont x 1 et x. Vérification : 1 x M.G. y M.D. x 3x M.G. M.D. La solution est vérifiée

52 x 1 M.G. y M.D. x 3x 1 0 ( 1) 3( 1) 1 (1) M.G. M.D. La solution est vérifiée. Tu peux aussi vérifier ces zéros en représentant graphiquement la fonction du second degré à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Pour déterminer la valeur exacte des zéros, utilise la fonction i sur la calculatrice à affichage graphique, choisis l option zéro et suis les instructions. Méthode : la complétion du carré En considérant la forme générale d une fonction du second degré y ax bx c, on complète le carré de la façon suivante afin d obtenir l équation sous la forme y a(x h) k. Dans cette équation, on peut isoler la variable x lorsque y 0. Prenons comme exemple l équation y 3x 6x 9 pour démontrer cette méthode. Étapes: 1. y (3x 6x) 9 Regroupe les deux premiers termes du trinôme, ax bx c.. y 3(x x) 9 Mets en évidence le coefficient numérique du premier terme, a, comme facteur commun. 3. ( 1) 1 Divise par la valeur du coefficient numérique du deuxième terme dans les parenthèses et élève le résultat obtenu au carré. 4. y 3(x x 1 1) 9 Additionne et soustrais la valeur obtenue à l étape 3 dans les parenthèses. En additionnant et en soustrayant la même valeur, l équation ne change pas. 5. y 3(x x 1) 3 9 Sors le dernier terme, 1, des parenthèses en le multipliant par 3, puisque 3 multiplie chaque terme à l intérieur des parenthèses. 6. y 3(x x 1) 6 Regroupe les deux derniers termes. Le trinôme qui reste dans les parenthèses est un trinôme carré parfait. C est pourquoi cette méthode s appelle la complétion du carré. En factorisant ce trinôme, on obtient l équation suivante: 7. y 3(x 1) 6 On a maintenant la forme y a(x h) k. 1.5 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 51

53 8. Pour déterminer les zéros, posons y (x 1) 6 Isole x. 6 3(x 1) 6 (x 1) Simplifie. 3 (x 1) x 1 1 x Puisque le radicande est négatif, la parabole aura deux zéros complexes, c est-à-dire que son graphique ne coupe pas l axe des x. Donc, 1 1 x 1 1 x 1 i x x 1 1,414i, Extrait la racine carrée de chaque membre. où i représente un nombre imaginaire. Les deux zéros complexes sont 1 1,414i et 1 1,414i. Tu peux aussi vérifier que le graphique ne coupe pas l axe des x en représentant graphiquement la fonction du second degré à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Méthode 3 : la formule du second degré Alors que la méthode de la factorisation n est pas toujours possible et que la méthode de complétion du carré peut être très longue pour résoudre certaines équations, la formule du second degré permet de déterminer les zéros de toute fonction du second degré. De plus, elle permet de vérifier la nature des zéros avant même de les déterminer. La formule du second degré Pour toute fonction du second degré de la forme y ax bx c, a 0, on peut déterminer les zéros de la fonction à l aide de cette formule. Il suffit de remplacer les variables a, b et c par les valeurs correspondantes dans la formule. Voici la formule du second degré: b b x 4ac, a 0 a On peut aussi vérifier la nature des zéros en calculant le radicande ou le discriminant b 4ac. Si b 4ac > 0, alors les deux zéros sont réels et distincts et il y aura deux abscisses à l origine. Si b 4ac 0, alors les deux zéros sont réels et identiques et il y aura une seule abscisse à l origine. Si b 4ac < 0, alors les deux zéros sont complexes et il n y aura aucune abscisse à l origine. 5 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

54 Considérons l équation y x 3x 4 pour démontrer cette méthode. Étapes: 1. Déterminer les valeurs de a, b et c dans l équation de la forme y ax bx c. Dans l équation y x 3x 4, a, b 3 et c 4.. Remplacer les variables a, b et c par les valeurs correspondantes dans la formule. b b Donc, x 4ac, où a, b 3 et c 4. a x x x 3 3 4()( 4) () Simplifie. Simplifie. Calcule. Il est à noter que le discriminant b 4ac 41 > 0. Donc, les deux zéros seront réels et distincts. Alors, 3 6, ,403 x 4 et x 4 x 0,851 x,351 Les deux zéros réels et distincts de la fonction y x 3x 4 sont approximativement 0,851 et,351. Tu peux vérifier les zéros de cette fonction en les représentant graphiquement à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Pour déterminer la valeur exacte des zéros, utilise la fonction i sur la calculatrice à affichage graphique, choisis l option zéro et suis les instructions. Il est à noter qu on demande parfois les valeurs exactes d une solution. Il ne faut pas déterminer la valeur de la racine carrée. Il s agit tout simplement de la réduire à sa plus simple expression. Ici, les réponses exactes de la solution sont et. 4 4 Le maximum ou le minimum d une parabole On peut identifier les coordonnées du sommet en regardant le graphique d une fonction du second degré. Toutefois, il est parfois difficile de déterminer les coordonnées exactes du sommet à partir du graphique, car celui-ci ne fournit pas toujours des valeurs précises. Une méthode algébrique fournira toujours des valeurs exactes. Pour déterminer les valeurs exactes du sommet d une parabole, on applique la méthode de la complétion du carré. 1.5 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 53

55 En complétant le carré d une fonction de la forme y ax bx c, on obtient une équation de la forme y a(x h) k. Lorsque l équation de la fonction du second degré est de la forme y a(x h) k, on peut définir plusieurs propriétés de la parabole. L équation de la fonction du second degré sous la forme y a(x h) k nous indique que: les coordonnées du sommet sont (h, k). si a > 0, la parabole est ouverte vers le haut et y est une valeur minimale, k, lorsque x h. si a < 0, la parabole est ouverte vers le bas et y est une valeur maximale, k, lorsque x h. Dans l exemple de la méthode de la complétion du carré, l équation y 3x 6x 9 a été transformée en y 3(x 1) 6. On peut donc conclure que la parabole est ouverte vers le haut, puisque la valeur de a, 3, est positive, et que, si x 1, on obtient une valeur minimale de 6 pour y. Les coordonnées du sommet sont (1, 6). Exemple 1 Déterminer l équation d une parabole à partir de son graphique Lorsque certaines coordonnées d une parabole sont identifiables à partir de son graphique, par exemple les coordonnées du sommet, il est facile de déterminer son équation. Il suffit d identifier les coordonnées du sommet et un autre point situé sur la parabole. Détermine l équation sous la forme y ax bx c de la parabole représentée dans le graphique suivant y 1 3 x Solution D après le graphique, tu peux déterminer que les coordonnées du sommet sont (, 16). Tu sais donc que h et que k 16. De plus, puisque la parabole est orientée vers le haut, tu sais que a > 0 dans l équation y a(x h) k. 54 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

56 Donc, l équation y a(x h) k devient y a[x ( )] ( 16) Simplifie. y a(x ) 16 Pour déterminer la valeur de a, choisis un point (x, y) sur la courbe, autre que le sommet, et remplace x et y dans l équation par les valeurs correspondantes. Il est évident que l un des zéros sur la parabole est. Le point correspondant est donc (, 0). y a(x ) 16 Remplace x par et y par 0. 0 a( ) 16 Simplifie. 0 a(4) 16 Isole a a 16 a 16 a 1 Sous la forme y a(x h) k, l équation est donc y (x ) 16. Pour présenter l équation sous la forme y ax bx c, il suffit de développer l équation y (x ) 16. Vérification : Les zéros y (x ) 16 y (x )(x ) 16 Développe par distributivité. y x x x 4 16 Regroupe les termes semblables. y x 4x 1 Tu peux vérifier cette équation en comparant ses zéros avec celles du graphique. Détermine les zéros par la méthode de factorisation. L équation y x 4x 1 est égale à l équation y (x )(x 6), puisque ( )(6) 1 et que 6 4. Pour déterminer les zéros, on pose y 0. 0 (x )(x 6) alors x 0 ou x 6 0 x x 6 Puisque le graphique coupe l axe des x en x et en x 6, ces zéros sont valides. Les coordonnées du sommet Tu dois aussi vérifier les coordonnées du sommet. Les coordonnées du sommet sont (, 16). 1.5 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 55

57 Donc, y x 4x 1 M.G. y M.D. x 4x 1 16 ( ) 4( ) M.G. M.D. Les coordonnées du sommet sont valides. En effet, l équation de la parabole représentée dans le graphique est y x 4x 1. Exemple Déterminer les zéros d une fonction du second degré par la méthode de factorisation Détermine les zéros de la fonction définie par l équation y 9x 1x 4 par la méthode de factorisation. Solution Comme la factorisation d un trinôme n est pas toujours possible, tu peux vérifier la nature des zéros afin de déterminer si la factorisation est une bonne méthode de résolution de l équation. Si les zéros sont complexes, il vaut mieux ne pas recourir à la factorisation. En outre, même si les zéros sont réels, la factorisation peut être difficile à appliquer surtout si le discriminant b 4ac n est pas un carré parfait. Vérification de la nature des zéros. Soit le discriminant b 4ac, où a 9, b 1 et c 4. Donc, b 4ac 1 4(9)(4) Les deux zéros sont réels et identiques. La factorisation est facilement applicable. Puisque les deux zéros sont identiques, tu peux conclure que la fonction définie par l équation y 9x 1x 4 est un trinôme carré parfait. Pour factoriser l équation y 9x 1x 4, tu dois pouvoir répondre à la question suivante. Quels sont les deux nombres, et, qui satisfont aux conditions suivantes: et 1? Ces deux nombres sont 6 et 6. Puisque a 9 (a 1), il faut remplacer le terme du milieu, 1x, par 6x 6x. Donc, y 9x 1x 4 devient y 9x 6x 6x CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

58 Regroupe les deux premiers termes et les deux derniers termes. y (9x 6x) (6x 4) y 3x(3x ) (3x ) y (3x )(3x ) y (3x ) Mets les pgfc 3x et en évidence. Mets le pgfc 3x en évidence. En remplaçant y par 0, tu peux déterminer les zéros de la fonction. Soit 0 (3x ) Donc, 0 (3x )(3x ) 3x 0 ou 3x 0 3x 3x x 3 x 3 Le seul zéro est 3. Puisque les deux zéros sont identiques, tu peux conclure que la parabole touche 3 est le sommet de la parabole. l axe des x en un seul point. Le point,0 Tu peux aussi vérifier ce seul zéro en représentant graphiquement la fonction du second degré à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Pour déterminer la valeur exacte du zéro, utilise la fonction i sur la calculatrice à affichage graphique, choisis l option zéro et suis les instructions. 1.5 Exercices (série 1) A 1. Détermine les zéros des fonctions ci-dessous par la méthode de factorisation. Vérifie tes réponses algébriquement. a) y x x 15 b) y x 3x c) y 6x x d) y x 8x 1 e) y x 5x 3 f) y 3x 17x 10. Détermine les zéros des fonctions ci-dessous par la méthode de la complétion du carré. S il y a lieu, arrondis tes réponses au centième près. a) y x 0x 96 b) y x 4x 1 c) y x 6x 18 d) y 3x 1x 15 e) y x 1x 1 f) y 3x 8x 4 3. Détermine les valeurs exactes et, s il y a lieu, les valeurs approximatives au centième près, des zéros des fonctions ci-dessous à l aide de la formule du second degré. a) y x 5x 3 b) y 4x 4x 1 c) y 0,5x 3x d) y x 4x 13 e) y x 6x 1 f) y 5x 5x 1.5 LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 57

59 B 4. Détermine la nature des zéros des fonctions ci-dessous, puis détermine les zéros en utilisant la méthode de ton choix. S il y a lieu, arrondis tes réponses au centième près. Vérifie la validité de tes réponses à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) y 4x 6x,5 b) y 0x 7x 3 c) y x 6x 10 d) y x 3x 6 e) y 9x 4x 16 f) y x 3 5. Détermine algébriquement les coordonnées du sommet des fonctions ci-dessous et indique s il s agit d un maximum ou d un minimum. Justifie tes réponses. Vérifie tes solutions en représentant graphiquement les fonctions à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) y x 6x 8 b) y x 8x 1 c) y x 4x 5 d) y 4x 8x 3 e) y x x f) y x x Détermine l équation de chaque parabole ci-dessous sous la forme y ax bx c. a) y b) x x y Exercices (série ) A 1. Factorise les fonctions ci-dessous afin de déterminer les zéros. Vérifie tes réponses à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) y 5x 16x 3 b) y 3x 3x 6 c) y x 5x 3 d) y x 3x 1 e) y 10x x 4 f) y 4x 0x 5. Complète le carré des fonctions ci-dessous afin de déterminer les zéros. S il y a lieu, arrondis tes réponses au centième près. Vérifie la validité de tes réponses à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) y x 1x 10 b) y 3x 6x 4 c) y x 16x 19 d) y 5x x 1 e) y 4x 4x 1 f) y 4x x CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

60 A 3. Utilise la formule du second degré afin de déterminer les zéros des fonctions ci-dessous. S il y a lieu, arrondis tes réponses au centième près. Vérifie tes réponses à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) y 4x x 3 b) y x 6x 9 c) y x x 5 d) y 16x 9 e) y 0,x 1,3x,9 f) 1 y x 3 x Détermine la nature des zéros des fonctions ci-dessous, puis détermine les zéros en utilisant la méthode de ton choix. S il y a lieu, arrondis tes réponses au centième près. Vérifie la validité de tes réponses à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) y 9x 1x 4 b) y x 3,9x 1,6 c) y x x d) y 8x 10x 3 e) y x 3 f) y 5x 0x 0 5. Détermine algébriquement la valeur maximale ou minimale des fonctions ci-dessous et indique la valeur de x correspondante. Ensuite, détermine les intervalles de croissance et de décroissance pour chacune des fonctions. Vérifie tes réponses à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) y x x 7 b) y x 1x 19 c) y x 10x d) y x 14x 49 e) y 3x x f) 1 y x 4 x Détermine l équation de chaque parabole ci-dessous sous la forme y ax bx c. a) y b) y x x LES CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 59

61 1.6 Les applications des fonctions du second degré Interpréter les caractéristiques d une fonction du second degré dans une situation. APERÇU Plusieurs phénomènes peuvent être modélisés par une fonction du second degré. Dans la situation de la section 1.5, Lancer un caillou, un caillou monte dans les airs, redescend graduellement et tombe dans l eau. Le graphique de la hauteur de ce caillou en fonction du temps prend la forme d une parabole. Lorsqu on modélise mathématiquement une telle situation, on peut analyser le problème et tirer des conclusions. Reprenons la situation de la section 1.5, Lancer un caillou. On lance un caillou dans les airs à partir d un pont qui se trouve à 15 m au-dessus de l eau. Le caillou effectuant un déplacement ascendant et descendant, la hauteur qu il atteint au-dessus de l eau se définit en fonction du temps écoulé depuis qu il a été lancé. Au temps t, exprimé en secondes, la hauteur du caillou au-dessus de l eau, en mètres, peut être représentée par la fonction définie par l équation h(t) 4,9t 1t 15. À quel moment le caillou atteint-il sa hauteur maximale? Quelle est la hauteur maximale? Combien de temps s écoule avant que le caillou pénètre dans l eau? En examinant le graphique de cette équation, détermine le point maximal de la parabole. Quelle variable représente la hauteur du caillou? Comment peut-on déterminer la hauteur maximale du caillou? Quelle variable représente le temps écoulé? Cette variable peut-elle prendre des valeurs négatives? Tu as les outils nécessaires pour répondre à ces questions. Les connaissances acquises dans la section 1.5 te permettront d analyser des situations modélisées par une fonction du second degré. Dans cette section, tu exploreras les applications des fonctions du second degré. 60 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

62 ÉTUDIE LE CONCEPT Analyser une situation modélisée par une fonction du second degré Avant d explorer la résolution algébrique d une situation modélisée par une fonction du second degré, examinons les caractéristiques de ces fonctions et voyons comment elles peuvent être interprétées dans une situation réelle. Regardons le graphique de la fonction définie par l équation h(t) 4,9t 1t 15 représentant la hauteur h, du caillou, en mètres, en fonction du temps t, en secondes. Hauteur du caillou en fonction du temps Hauteur en mètres h(t) h(t) = 4,9t + 1t Temps en secondes t La valeur de y au sommet de la parabole représente la hauteur maximale atteinte par le caillou. La valeur de x à ce point représente le temps nécessaire pour que le caillou atteigne cette hauteur maximale. D après le graphique, on peut estimer que le caillou atteint une hauteur maximale d environ,5 mètres après 1, seconde. De plus, le zéro, t 3,4, représente le temps que prend le caillou avant de tomber dans l eau. À ce moment, la hauteur h(t) 0 m. Le caillou entre donc dans l eau après 3,4 secondes. On remarque que l un des zéros n est pas visible parce que le graphique ne se continue pas pour les valeurs négatives de t. La variable t représente le temps et il est illogique de donner une valeur négative au temps. On ne considère donc pas cet autre zéro dans le contexte du problème. La valeur de l ordonnée à l origine, h(0) 15, représente la hauteur initiale, c est-à-dire la hauteur avant que le caillou soit lancé (t 0). Le caillou est lancé d un pont qui se trouve à 15 m au-dessus de l eau. Rappel: Il est parfois difficile de déterminer de façon précise certaines données, telles que les coordonnées du sommet et les zéros, à partir du graphique. Il est alors plus avantageux de déterminer algébriquement les zéros et le sommet. Dans la section 1.5, tu as appris comment déterminer algébriquement ces valeurs. Il s agit maintenant de les appliquer en considérant les variables utilisées dans la situation et d interpréter les résultats. La résolution algébrique Pour déterminer les coordonnées du sommet et les zéros, on utilisera la méthode de la complétion du carré. 1.6 LES APPLICATIONS DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 61

63 Prenons l équation h(t) 4,9t 1t 15. h(t) 4,9t 1t 15 h(t) ( 4,9t 1t) 15 h(t) 4,9(t,449t) 15 Regroupe les deux premiers termes. Factorise les deux premiers termes par la mise en évidence du coefficient numérique du premier terme. Ajoute et soustrais dans les parenthèses le carré de la moitié du coefficient de t.,449 1,499 h(t) 4,9(t,449t 1,499 1,499) 15 Sors 1,499 des parenthèses en le multipliant par 4,9. h(t) 4,9(t,449t 1,499) 7, Regroupe les derniers termes. h(t) 4,9(t,449t 1,499),345 h(t) 4,9(t 1,4),345 Factorise le trinôme carré parfait afin de le représenter sous la forme du carré d un binôme. Pour distinguer rapidement le carré d un binôme d un trinôme carré parfait de la forme x bx c, divise la valeur de b par. Ensuite, écris le carré du b binôme sous la forme (x ). Dans le cas du trinôme t,449t 1,499,,449 b 1,4. Tu obtiens donc (t 1,4). L équation est maintenant sous la forme y a(x h) k. Tu peux donc tirer des conclusions d après le résultat obtenu. Puisque la valeur de a, 4,9, est négative, la parabole est ouverte vers le bas et le sommet représente un point maximal. Le graphique le montre clairement. De plus, tu peux conclure que le caillou atteint une hauteur maximale d environ,3 mètres après 1, seconde. En effet, h(t) prend la valeur maximale de,345 lorsque t 1,4, puisque les coordonnées du sommet sont (1,4,,345). Pour déterminer les zéros de la parabole, il suffit de poser h(t) 0 et d isoler la variable t. Donc, 0 4,9(t 1,4),345 Isole t.,345 (t 1,4) 4,9 Calcule. 4,56 (t 1,4) Extrait la racine carrée de 4,56 t 1,4 1,4,135 t chaque membre. Donc, t 1,4,135 ou t 1,4,135 t 3,359 ou t 0,911 6 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

64 Puisque le temps t ne peut pas prendre une valeur négative, le seul zéro qui existe dans cette situation est t 3,359. Cette valeur représente le temps où le caillou est à une hauteur de 0 mètre au-dessus de l eau. Donc, le caillou entre dans l eau après environ 3,4 secondes. Exemple 1 Résoudre un problème modélisé par une équation du second degré L aire d un triangle est de 170 cm. Sa base mesure 3 cm de plus que sa hauteur. Détermine la longueur de sa base. Solution b h Pour calculer l aire d un triangle, on utilise la formule A. D après l information fournie dans la question, on sait que: A 170 cm et que b (h 3) cm. b h En substituant ces données dans la formule A, on obtient (h 3) h 170 Développe et multiplie chaque membre par. 340 h 3h Écris l équation sous la forme 0 h 3h 340 ax bx c 0. Il faut maintenant déterminer les valeurs de h qui satisfont à l équation. Puisque l équation est égale à 0, les valeurs de h correspondent aux racines de cette équation. Essayons donc la méthode de factorisation. Quels sont les deux nombres, et, qui satisfont aux deux conditions suivantes: 340 et 3? Ces deux nombres sont 0 et 17. Donc, 0 h 3h (h 0)(h 17) 0 h 0 ou 0 h 17 h 0 ou h 17 Puisque la hauteur du triangle ne peut pas avoir une valeur négative, le triangle a donc une hauteur de 17 cm. La longueur de sa base mesure cm. 1.6 LES APPLICATIONS DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 63

65 Vérification : b h A cm La solution est vérifiée. Exemple Résoudre un problème modélisé par une fonction du second degré Un ballon de football est botté dans les airs selon la fonction définie par l équation h(t) 5t 0t, où h représente la hauteur du ballon, en mètres, en fonction du temps écoulé t, en secondes, depuis qu il a été botté. Ce ballon touche le sol avant d être ramassé par un joueur. a) De quelle hauteur le ballon est-il botté? b) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon? Combien de temps s écoule avant que le ballon atteigne cette hauteur maximale? c) Pendant combien de temps le ballon reste-t-il dans les airs? Solution a) Puisque t représente le temps écoulé depuis le moment où le ballon a été botté, on peut conclure qu au moment où il est botté, t 0. Pour déterminer la hauteur du ballon à ce moment, il faut déterminer h(0). Soit h(0) 5(0) 0(0) 0 Donc, au temps initial, le ballon a été botté du sol. b) Les coordonnées du sommet représentent la hauteur maximale du ballon et le temps nécessaire pour atteindre cette hauteur. Pour déterminer les coordonnées du sommet, il faut utiliser la méthode de la complétion du carré. Donc, h(t) 5t 0t h(t) 5(t 4t) Puisqu il n y a que deux termes, mets en évidence le coefficient numérique du premier terme. Ajoute et soustrais dans les parenthèses le carré de la moitié du coefficient de t. 64 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

66 h(t) 5(t 4t 4 4) h(t) 5(t 4t 4) 0 h(t) 5(t ) 0 Sors le dernier terme des parenthèses en le multipliant par 5. Factorise le trinôme carré parfait. Les coordonnées du sommet sont (, 0) et représentent un point maximal, puisque la valeur de a, 5, est négative. On peut conclure que le ballon atteint une hauteur maximale de 0 mètres après secondes. c) Il faut déterminer les zéros de l équation. Donc, 0 5t 0t Factorise l équation en 0 5t(t 4) Donc, 5t 0 ou t 4 0 Isole t. t 0 ou t 4 mettant en évidence le plus grand facteur commun. Le temps t 0 représente le moment où le ballon a été botté, tandis que t 4 représente le temps où le ballon tombe au sol. On peut donc conclure que le ballon reste dans les airs pendant 4 secondes. Exemple 3 Modéliser et résoudre un problème à l aide d une fonction du second degré Détermine le plus petit produit possible de deux nombres dont la différence est 14. Quels sont ces deux nombres? Solution Soit x: un des deux nombres x 14 : l autre nombre (puisque leur différence est de 14) et y: le produit des deux nombres. On obtient y x(x 14) y x 14x Puisque l équation est une fonction du second degré, tu sais que la valeur minimale de y se trouve au sommet. Par la méthode de la complétion du carré, tu peux déterminer les coordonnées du sommet et, par conséquent, les valeurs correspondantes pour x et y. 1.6 LES APPLICATIONS DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 65

67 y x 14x y x 14x y (x 14x 49) 49 y (x 7) 49 Ajoute et soustrais le carré de la moitié du coefficient de x. Regroupe le trinôme carré parfait. Factorise le trinôme carré parfait. Les coordonnées du sommet sont (7, 49) et représentent un point minimal, puisque la valeur de a, 1, est positive. On peut conclure que le plus petit produit possible de deux nombres dont la différence est de 14 est 49. Ces deux nombres sont 7 et 7 (7 14). 1.6 Exercices (série 1) A 1. La somme d un nombre entier positif et de son carré égale 13. Quel est ce nombre?. La longueur d un rectangle mesure 3 m de plus que sa largeur. Si l aire du rectangle est de 108 m, quelles sont les dimensions de ce rectangle? 3. On lance une fusée de détresse du haut d une colline située au bord de l océan. Sa hauteur au-dessus du niveau de la mer, en mètres, au temps t, exprimé en secondes, est représentée par la fonction h(t) 4,9t 16t 00. a) Quelle est la hauteur de la fusée au moment du lancement? b) À quelle hauteur se trouve-t-elle après 7 secondes? c) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la fusée? d) À quel moment atteint-elle sa hauteur maximale? e) À quel moment la fusée de détresse touche-t-elle l eau? Vérifie tes réponses en représentant graphiquement la fonction à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. B 4. Détermine le plus petit produit de deux nombres dont la différence est 18. Quels sont ces deux nombres? 5. Charlotte veut clôturer une section rectangulaire de sa cour pour cultiver un jardin. Détermine l aire maximale que peut avoir son jardin si elle dispose de 30 m de clôture? 6. Nolan veut encadrer la photo de son amie. La photo mesure 8 cm de large sur 10 cm de long. Si l aire de la photo incluant le cadre est de 143 cm, quelle est la largeur du cadre de bois? Vérifie ta solution. 66 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

68 1.6 Exercices (série ) A B 1. Le saut d un dauphin est représenté par la fonction définie par l équation 1 d(t) t 6t 1, où d représente la distance du dauphin, en mètres, de la surface de l eau, en fonction du temps t, en secondes, depuis le début de son élan. La variable d prend des valeurs négatives lorsque le dauphin est sous la surface de l eau et des valeurs positives lorsqu il est au-dessus de la surface de l eau. a) Détermine la hauteur maximale atteinte par le dauphin et le moment où cette hauteur est atteinte. b) Pendant combien de temps le dauphin se trouve-t-il au-dessus de l eau? c) À quelle distance de la surface de l eau le dauphin commence-t-il son élan? d) Combien de temps s est écoulé entre le début de son élan et le moment où il sort de l eau?. Soit deux nombres naturels dont la différence est 4. Si la somme de leur carré est égale à 50, quels sont ces deux nombres? 3. Soit deux nombres dont la somme égale et le produit, 11. Quels sont ces deux nombres? 4. La trajectoire d un ballon lancé au basketball est représentée par l équation h(d) 0,175d,8, où h représente la hauteur du ballon, en mètres, et d, la distance horizontale, en mètres, entre le ballon et la personne qui l a lancé. a) Quelle est la hauteur maximale atteinte par ce ballon? b) Détermine la distance horizontale entre le ballon et la personne qui l a lancé lorsque le ballon atteint sa hauteur maximale. c) À quelle hauteur du sol le ballon se trouve-t-il au moment où il est lancé? d) Supposons que le ballon touche le sol avant d être attrapé. Détermine la distance horizontale entre le ballon et la personne qui l a lancé. Vérifie tes réponses en représentant graphiquement la fonction à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. 5. L équation ci-dessous représente la descente d un oiseau vers la surface de l eau pour attraper un poisson. d(t) 4t 1t 9 (t 3), où d représente la distance, en mètres, entre l oiseau et la surface de l eau, et t représente le temps écoulé, en secondes, depuis le début de sa descente. a) Quel est le domaine de la situation ci-dessus? b) Combien de temps faut-il à l oiseau pour attraper le poisson s il l attrape dès qu il touche l eau? c) À quelle hauteur l oiseau se trouvait-il lorsqu il a vu le poisson? 1.6 LES APPLICATIONS DES FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ 67

69 6. Un rapport sur l environnement indique que les pluies acides modifient les conditions naturelles d un lac. La population de poissons exprimée en centaines est représentée par la fonction f(t) t 15t, où t représente le nombre d années écoulées depuis a) Quelle était la population de poissons en 1990? b) À quel moment la population de poissons était-elle à son maximum? Quel était ce maximum? c) Si aucune mesure n est prise pour améliorer l environnement, à quel moment la population de poissons sera-t-elle nulle? Vérifie tes réponses en représentant graphiquement la fonction à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. 68 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

70 1.7 La résolution d un système d équations du premier et du second degré Résoudre des systèmes d équations du premier et du second degré dont les représentations graphiques comportent des intersections. APERÇU La plupart des problèmes qui sont modélisés par une fonction du second degré sont des problèmes de distance en fonction du temps. Par exemple, un objet est lancé vers le haut et redescend graduellement vers le sol. De nombreux problèmes de calcul différentiel et de physique portent sur le changement de vitesse des objets lancés. La vitesse d un objet dont le trajet est représenté par une fonction du second degré change selon le temps, alors que la vitesse d un objet dont le trajet est représenté par une fonction du premier degré demeure constante. En comparant ces deux types de fonctions, il est possible de tirer des conclusions sur le changement de vitesse. Pour comparer une fonction du second degré avec une fonction du premier degré, il faut former un système d équations. On peut ensuite déterminer graphiquement ou algébriquement le ou les points d intersection et tirer des conclusions relativement à la situation modélisée par ce système d équations. On peut aussi modéliser une situation par un système d équations comportant deux équations du second degré. Peu importe les équations du système, l ensemble-solution (ou le ou les points d intersection) fournit des renseignements pertinents sur la situation modélisée par le système d équations. Situation Les colis largués Il est parfois nécessaire d envoyer des médicaments et de la nourriture dans des pays en voie de développement. On transporte les marchandises par avion et on largue les colis attachés à un parachute. Une fois largué, le colis tombe en chute libre pendant quelques secondes jusqu à ce qu un mécanisme ouvre le parachute. La hauteur, h, du colis, en mètres, au-dessus du sol au temps, t, en secondes, est définie par les équations suivantes. h(t) 4,9t avant l ouverture du parachute et par h(t) 4t après l ouverture du parachute a) Pendant combien de temps le colis reste-t-il en chute libre? b) À quelle hauteur du sol le colis se trouve-t-il lorsque le parachute s ouvre? 1.7 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ 69

71 Lorsque tu auras appris à résoudre un système d équations composé de fonctions du premier et du second degré, tu pourras répondre à cette question. D ailleurs, la réponse sera analysée dans la section 1.8 lorsque tu étudieras les applications des systèmes d équations du premier et du second degré. ÉTUDIE LE CONCEPT L analyse et la résolution d un système d équations du premier et du second degré L analyse des résultats possibles On sait qu une fonction du premier degré représente graphiquement une droite et qu une fonction du second degré représente une parabole. Une droite peut couper la parabole de différentes façons. 1. Aucun point d intersection y Il n y a aucun point commun. La résolution du système d équations donnera donc des nombres complexes. x. Un point d intersection y Il y a un seul point commun. Il y aura donc une seule solution. La droite qui coupe une courbe en un seul point s appelle une tangente. x 3. Deux points d intersection y Il y a deux points communs. Il y aura donc deux solutions. La droite qui coupe une courbe en deux points s appelle une sécante. x 70 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

72 Il est à noter que deux fonctions du second degré peuvent n avoir aucun point d intersection, un point d intersection ou deux points d intersection. La résolution d un système d équations du premier et du second degré Soit le système d équations suivant: 1 y 3x 4x 3 y 3x 15 A) Résolution graphique On peut toujours se fier au graphique des équations pour estimer leurs points d intersection. y x 5 10 y = 3x + 15 y = 3x + 4x 3 D après ce graphique, on peut estimer que les points d intersection sont 1 environ (13, 10) et (7 3, 8). On peut vérifier l exactitude de ces valeurs à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent, ou par la résolution algébrique. B) Résolution algébrique Par la résolution algébrique, on obtient une réponse exacte. 1 y 3x 4x 3 y 3x 15 Aux points d intersection, les valeurs de x et de y sont les mêmes pour les deux équations. Puisque la valeur de y est isolée dans les deux équations, on peut utiliser la méthode de comparaison. 3x 4x 3 3x 15 3x 4x 3x x 7x 38 0 Fais passer les termes du membre de droite au membre de gauche. Regroupe les termes semblables. Détermine les valeurs de x qui satisfont à l équation, c est-à-dire les racines de l équation. Les racines de cette équation représentent les valeurs des abscisses aux points où la parabole coupe la droite. 1.7 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ 71

73 Utilise la formule du second degré pour déterminer les racines de l équation. Pour une équation du second degré de la forme ax bx c 0, où a 0, les racines, x, peuvent être calculées à l aide de la formule du second degré. b b x 4ac a Pour l équation 3x 7x 38 0, on obtient donc x x x 7 7 4( 3)( 38) ( 3) Simplifie. Simplifie. Calcule. x 7 16,53 6 Calcule. Les racines sont 7 16, ,53 x ou x 6 6 x 1,746 ou x 7,54 Les valeurs de x aux points d intersection de la parabole et de la droite sont environ 1,746 et 7,54. Déterminons les valeurs de y correspondantes en substituant ces valeurs de x dans l une des deux équations du système. Soit l équation y 3x 15. x 1,746 ou x 7,54 y 3(1,746) 15 y 3(7,54) 15 y 9,76 y 6,76 Les points d intersection de la droite et de la parabole sont (1,746, 9,76) et (7,54, 6,76). La résolution d un système de deux équations du second degré se ferait de la même façon. Exemple 1 Déterminer le point d intersection d une tangente et d une parabole 8 Soit la parabole définie par l équation y x x et sa tangente, définie par l équation y 3 x 3. 7 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

74 Solution Le système d équations devient 8 1 y x x y 3 x 3 En comparant ces deux équations, tu obtiens 8 x x x Multiplie chaque terme par x 80x 18 4x 30 8x 80x 4x x 56x 98 0 Fais passer les termes du membre de droite au membre de gauche. Regroupe les termes semblables. Il faut maintenant déterminer les racines de cette équation à l aide de la formule du second degré. x x x x ( 56) ( 56) 4(8)(98) (8) Simplifie. Simplifie. Calcule. Calcule. x 3,5 Il y a une seule valeur de x, puisque la tangente coupe la parabole en un seul point. La valeur de x est de 3,5. Détermine la valeur de y. Substitue la valeur de x dans l une des deux équations du système. Soit l équation 8 10 y 3 x 3. Donc, 8 10 y 3 x 3 Calcule y 3 (3,5) 3 y 6 Le point d intersection de la parabole et de la tangente est donc (3,5, 6). 1.7 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ 73

75 Vérification : Équation 1 Équation M.G. y M.G. y M.D. x x M.D. x (3,5) (3,5) (3,5) M.G. M.D. La solution est vérifiée. M.G. M.D. La solution est vérifiée. Tu peux aussi vérifier ce point d intersection en représentant graphiquement le système à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent Exemple Déterminer l équation de la tangente qui coupe une parabole en son sommet Détermine l équation de la tangente qui coupe la parabole y x 8x 10 en son sommet. Solution Détermine le sommet de cette parabole par la méthode de la complétion du carré. y x 8x 10 y (x 8x) 10 y (x 8x 16 16) 10 y (x 8x 16) y (x 8x 16) 6 y (x 4) 6 Regroupe les deux premiers termes. Ajoute et soustrais dans les parenthèses le carré de la moitié du coefficient de x. Sors le dernier terme des parenthèses. Regroupe les deux derniers termes. Factorise le trinôme carré parfait. Le sommet de cette parabole est au point (4, 6) et représente un point minimal, car la valeur de a, 1, est positive. 74 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

76 Les caractéristiques d une tangente au sommet d une parabole 1. Une parabole orientée vers le bas. Une parabole orientée vers le haut y y x x La pente de la tangente est positive jusqu au sommet. Ensuite, elle est négative. Au sommet, la pente de la tangente est nulle, puisque la tangente est une droite horizontale. La pente de la tangente est négative jusqu au sommet. Ensuite, elle est positive. Au sommet, la pente de la tangente est nulle, puisque la tangente est une droite horizontale. Peu importe la parabole, la pente de la tangente qui coupe la parabole au sommet est toujours nulle. L équation de cette tangente est de la forme y b. Puisque m 0, l équation générale de la droite y mx b devient y b. Puisque la valeur de y au sommet est la même pour la tangente, on peut conclure que 6 b. L équation de la tangente au sommet de la parabole y x 8x 10 est donc y 6. Tu peux vérifier ce résultat en représentant graphiquement des équations à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Exemple 3 Déterminer le point d intersection et l équation d une tangente d une parabole à partir de la pente de la tangente Soit la parabole y 6x x 30. La pente de la tangente est 8. Détermine l équation de cette tangente et le point d intersection. Solution Comme la pente de la tangente est 8, tu sais que l équation de cette droite sera y 8x b. 1.7 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ 75

77 Pour déterminer la valeur de b, résous le système d équations suivant: 1 y 8x b y 6x x 30 Puisque la variable y est isolée dans les deux équations, utilise la méthode de comparaison. 8x b 6x x 30 Isole b. b 6x 6x 30 Puisque a dans l équation de la parabole y ax bx c est 6, une valeur positive, tu peux conclure que la parabole est ouverte vers le haut et le sommet représente un point minimal. Tu veux descendre la droite jusqu à ce qu elle coupe la parabole en un seul point. Lorsqu elle coupe la parabole en un point, tu peux dire qu elle est tangente à la parabole. Pour descendre la droite, il faut chercher la valeur minimale de b qui satisfait à l équation ci-dessus. Tu peux le faire en ayant recours à la méthode de la complétion du carré pour résoudre l équation ci-dessus. Donc, b 6x 6x 30 Regroupe les deux premiers b (6x 6x) 30 b 6(x x) 30 termes du membre de droite. Mets en évidence le coefficient numérique du premier terme, a, comme facteur commun. Ajoute et soustrais le carré de la moitié du coefficient de x. b 6(x 1 1 x ) 30 Sors le dernier terme des 4 4 parenthèses en le multipliant par 6. b 6(x x ) 4 30 Regroupe les derniers termes. b 6(x x ) Factorise le trinôme carré b 6(x 1 ) 63 parfait. 63 La valeur minimale de b est ou 31,5. L équation de la tangente est donc y 8x 31,5. 1 De plus, la valeur de b est minimale lorsque x ou 0,5, soit l abscisse du point d intersection. Pour déterminer la valeur de y au point d intersection, remplace x par 0,5 dans l une des deux équations du système. 76 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

78 Soit l équation de la parabole, y 6x 1 x 30 Remplace x par 0,5 ou. y 6(0,5) (0,5) 30 y 1, Calcule. Calcule. y 7,5 Le point d intersection de la tangente et de la parabole est donc (0,5, 7,5). Tu peux vérifier ces résultats à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. 1.7 Exercices (série 1) A B 1. Représente graphiquement chaque système d équations à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Estime les points d intersection, puis détermine-les à l aide de l outil technologique que tu as utilisé. a) 1 y 0,5x x 9 b) 1 y 5x 4x 8 y 0,5x y 6x 13 c) 1 y x x 9 y 4x 5x 3. Détermine algébriquement les points d intersection de chacun des systèmes d équations ci-dessous. Ensuite, détermine si la droite est tangente, sécante ou ni l une ni l autre. Justifie ta réponse. Vérifie tes résultats à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) 1 y 8x x 5 b) 1 y x 4x 6 y 4x 3 y 8x 4 c) 1 y x 10x 1 d) 1 y x 4x 11 y 4 y 4 e) 1 y x x 3 f) 1 y 4x 8x 10 y x 4 y 3x 3. Détermine algébriquement les points d intersection des systèmes d équations ci-dessous. Vérifie tes résultats à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) 1 y x 6x 5 b) 1 y 10x 3x 1 y 3x x 5 y 10x 3x 1 c) 1 y 1,5x x 1,75 9 d) 1 y x x 8 y 5,5x,75 4 y x x 1.7 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ 77

79 4. Détermine l équation de la tangente qui coupe chacune des paraboles en son sommet. a) y 3x 1x 6 b) y 0,5x 4x Soit la parabole y x 3x 1. Détermine l équation de la tangente de la parabole et le point d intersection si la pente de la tangente est 3. Vérifie tes résultats à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. 6. L équation d un cercle de centre (0, 0) est définie par x y r, où les coordonnées (x, y) se trouvent sur le cercle et où r est le rayon. Cette équation est une équation du second degré. Détermine les points où la droite définie par l équation y x 3 coupe le cercle de centre (0, 0) et de rayon Exercices (série ) A 1. Représente graphiquement des systèmes d équations à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. Estime les points d intersection, puis détermine-les à l aide de l outil technologique que tu as utilisé. a) 1 y 5x x 3 b) 1 y 6x x 1 y x 17 y 3x 18 c) 1 y 0,5x 3 y x x 1. Détermine algébriquement les points d intersection de chacun des systèmes d équations ci-dessous. Ensuite, détermine si la droite est tangente, sécante ou ni l une ni l autre. Justifie ta réponse. Vérifie tes résultats à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) 1 y 3,5x 0,5x b) 1 y 6x x 1 y 3x 9 y 10x 5 c) 1 y x 5x d) 1 y 3x 6x 5 y 3x 5 y 1x B 3. Détermine algébriquement les points d intersection des systèmes d équations ci-dessous. Vérifie tes résultats à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. a) 1 y 16x 4 b) 1 y 4x 7x y 48x 4 y 15x 6 c) 1 y 4x 4x 3 d) 1 y 3,5x 0,75x 3 y x 1 y 5x 3 78 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

80 4. Détermine l équation de la tangente qui coupe chacune des paraboles en son sommet. a) y x 8x 1 b) y 0,5x x Soit la parabole y x 5x 1. Détermine l équation de la tangente de la parabole et le point d intersection si la pente de la tangente est 1. Vérifie tes résultats à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. 6. Détermine si la droite définie par l équation x y 5 0 est sécante, tangente ou ni l une ni l autre au cercle défini par l équation x y 5. Explique ton raisonnement. 1.7 LA RÉSOLUTION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ 79

81 1.8 Les applications des systèmes d équations du premier et du second degré Interpréter, dans des situations, la solution d un système comportant des équations du premier et du second degré. APERÇU Maintenant que tu sais comment résoudre un système d équations du premier et du second degré, tu peux utiliser tes connaissances pour interpréter des systèmes. Dans la section 1.7, on a présenté la situation suivante: Il est parfois nécessaire d envoyer des médicaments et de la nourriture dans des pays en voie de développement. On transporte les marchandises par avion et on largue les colis attachés à un parachute. Une fois largué, le colis tombe en chute libre pendant quelques secondes jusqu à ce qu un mécanisme ouvre le parachute. La hauteur, h, du colis, en mètres, au-dessus du sol au temps, t, en secondes, est définie par les équations suivantes. h(t) 4,9t avant l ouverture du parachute et par h(t) 4t après l ouverture du parachute a) Pendant combien de temps le colis reste-t-il en chute libre? b) À quelle hauteur du sol le colis se trouve-t-il lorsque le parachute s ouvre? Qu est-ce que ces deux trajets ont en commun? Quelles sont leurs différences? Comment peut-on les comparer? Dans cette section, tu apprendras à analyser la solution d un système d équations du premier et du second degré dans des situations. Les réponses obtenues par la résolution algébrique fournissent des renseignements précis liés à la situation et te permettent de répondre à des questions semblables à celles posées dans cette situation. ÉTUDIE LE CONCEPT La résolution d un problème modélisé par un système d équations du premier et du second degré Il est à noter que les unités de mesure de la hauteur et du temps sont les mêmes pour les deux équations. On dit que les variables sont compatibles. Les équations peuvent donc former un système d équations. Les deux équations peuvent être représentées dans le même plan cartésien. 80 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

82 L analyse du graphique Examinons le graphique de ce système afin de comparer les équations. Hauteur en mètres Hauteur d un paquet en fonction du temps h(t) h(t) = 4,9t h(t) = 4t t Temps en secondes D après les équations et le graphique, il est évident que, lorsque le parachute s ouvre, le colis descend à une vitesse constante de 4 m/s (la pente de la droite), alors qu en chute libre, sa vitesse change en fonction du temps. De plus, au temps initial t 0, le paquet se trouve à m du sol puisqu il est en chute libre. En réalité, la droite coupe la parabole à deux endroits, mais puisque la valeur de t au premier point d intersection est négative et que le temps commence à 0, cette valeur n est pas valide. Le deuxième point d intersection se trouve à t égale environ 15. On peut donc conclure qu après environ 15 secondes, le parachute s ouvre. Il est alors à un peu moins de m du sol. La résolution algébrique D après le graphique, les coordonnées des points d intersection ne sont pas toujours claires. Il est donc essentiel de déterminer algébriquement les points d intersection du système d équations. Dans la section 1.7, tu as appris comment déterminer ces valeurs. Il faut résoudre le système d équations. Soit le système 1 h(t) 4,9t h(t) 4t Puisque h(t) prend la même valeur pour les deux équations, on peut dire que: 4,9t t ,9t 4t ,9t 4t Fais passer les termes du membre de droite au membre de gauche. Simplifie. Résous à l aide de la formule du second degré. t t 4 4 4( 4,9)(1 000) ( 4,9) 4 140,057 9,8 Calcule. Calcule. 1.8 LES APPLICATIONS DES SYSTÈMES D ÉQUATIONS DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ 81

83 Donc, 4 140, ,057 t ou t 9,8 9,8 t 13,88 ou t 14,7 Puisqu on ne peut pas avoir un temps négatif, t 14,7. Le paquet reste environ 14,7 secondes en chute libre. C est à ce moment que le parachute s ouvre. Remplace t 14,7 dans l équation 1 ou pour calculer la valeur de h. h(14,7) 4(14,7) h(14,7) 4 941, Le paquet se trouve à une hauteur d environ 4 941, m du sol lorsque le parachute s ouvre. Il est à noter qu une droite qui coupe une courbe en deux points s appelle une sécante. Le changement dans une droite demeure constant, alors que dans une courbe, il varie. On peut dire que la sécante décrit un changement moyen entre deux points sur une courbe. En d autres mots, elle indique le taux moyen entre deux valeurs. Lorsqu on parle de vitesse, elle représente la vitesse moyenne entre deux temps. Une droite qui coupe une courbe en un seul point s appelle une tangente. Elle indique le taux instantané au moment où elle coupe la courbe. Lorsqu on parle de vitesse, elle représente la vitesse instantanée à un certain temps. De plus, une vitesse négative signifie que quelque chose s approche d un certain point alors qu une vitesse positive signifie que quelque chose s éloigne d un point. Dans cet exemple, lorsque le parachute s ouvre, la vitesse du paquet est de 4 m/s. Cela signifie qu il s approche du sol. Exemple 1 Résoudre un problème modélisé par un système d équations du premier et du second degré Zacharie lance des miettes de pain au bord d un lac pour nourrir les oiseaux. Le trajet d un morceau de pain lancé du pont situé à 4 m au-dessus de la surface de l eau est représenté par l équation d(t) 4,9t 8t 4, où d(t) représente la distance du pain, en mètres, au-dessus de la surface de l eau en fonction du temps t, en secondes. Dès que le pain est lancé, un oiseau se dirige vers l eau en suivant le trajet décrit par l équation d(t) t 7, où d(t) représente la distance de l oiseau, en mètres, au-dessus de la surface de l eau en fonction du temps t, en secondes. Que peux-tu dire au sujet des moments où l oiseau peut attraper le pain? Solution L oiseau peut attraper le pain lorsque son trajet croise celui du pain. Pour déterminer les valeurs précises des points d intersection, on peut résoudre ce système algébriquement. 8 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

84 Soit le système 1 d(t) 4,9t 8t 4 d(t) t 7 Tente de résoudre le système d équations en utilisant la méthode de comparaison. Aux points d intersection, les valeurs de d(t) sont les mêmes pour les deux équations. 4,9t 8t 4 t 7 4,9t 8t 4 t 7 0 4,9t 9t 3 0 t t b b 4ac a 9 9 4( 4,9)( 3) ( 4,9) Fais passer les termes du membre de droite au membre de gauche. Regroupe les termes semblables., où a 4,9, b 9 et c 3 t ,8 9,8 Simplifie. 9, t 9,8 Donc, 9 4,7 9 4,7 t ou t 9,8 9,8 t 0,4 ou t 1,4 Remplace ces valeurs dans l équation 1 ou pour calculer la valeur de d. d(0,4) (0,4) 7 et d(1,4) (1,4) 7 d(0,4) 6,6 et d(1,4) 5,6 Les coordonnées des points d intersection sont environ (0,4, 6,6) et (1,4, 5,6). L oiseau peut attraper le pain 0,4 s après qu il a été lancé, à une hauteur de 6 m au-dessus de la surface de l eau ou, après 1,4 s, lorsqu il redescend à une hauteur de 5,6 m au-dessus de l eau. Exemple Déterminer le temps total et le temps en fonction d une vitesse instantanée À Acapulco, au Mexique, un plongeur saute d une falaise de 17 m. La fonction définie par l équation f(t) 4,9t 1,5t 17 représente la hauteur, en mètres, du plongeur au-dessus de l eau au temps t, en secondes. a) Quelle est la durée du saut? b) À quel moment la vitesse instantanée du plongeur est-elle de 8,3 m/s? c) À quelle hauteur le plongeur se trouve-t-il lorsque sa vitesse est de 8,3 m/s? 1.8 LES APPLICATIONS DES SYSTÈMES D ÉQUATIONS DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ 83

85 Solution a) Pour déterminer le temps total du saut, c est-à-dire le moment où le plongeur rejoint la surface de l eau, il faut déterminer les zéros de l équation f(t) 4,9t 1,5t 17. Utilise la formule du second degré. b b Donc, t 4ac où a 4,9, b 1,5 et c 17. a t t t t (1,5) (1,5) 4( 4,9)(17) ( 4,9) 1,5,5 333, 9,8 1,5 335,45 9,8 1,5 18,315 9,8 1,5 18,315 1,5 18,315 Donc, t ou t 9,8 9,8 16,815 19,815 t ou t 9,8 9,8 t 1,716 ou t,0 Puisque la valeur 1,716 ne peut être appliquée au temps, on peut conclure que la durée du saut est d environ,0 secondes. b) Au début de cette section, on a dit qu une vitesse négative signifie qu un objet s approche d un point. Puisque la distance définie par l équation du second degré dans cet exemple est entre la surface de l eau et le plongeur et que le plongeur s approche de la surface de l eau en fonction du temps, on peut conclure que la vitesse instantanée de 8,3 m/s peut être représentée par 8,3 m/s. De plus, au début de la section 1.7, on a dit que la pente d une tangente à une courbe représente un taux instantané au moment où la tangente coupe la courbe. Donc, la tangente de la parabole définie par l équation f(t) 4,9t 1,5t 17 lorsque le plongeur descend à une vitesse de 8,3 m/s peut être définie par l équation f(t) 8,3t b. Il faut utiliser les mêmes variables dans l équation de la tangente que celles utilisées dans l équation de la parabole. Il faut donc déterminer la valeur de b. On suit les étapes présentées dans l exemple 3 de la section 1.7. Commence par établir le système d équations suivant. 1 f(t) 4,9t 1,5t 17 f(t) 8,3t b Tente de résoudre le système d équations en utilisant la méthode de comparaison. Soit 4,9t 1,5t 17 8,3t b Isole b. 4,9t 9,8t 17 b 84 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

86 Puisque la variable a, 4,9, est négative, la parabole est orientée vers le bas. Il faut chercher à maximiser b afin que la droite de pente 8,3 soit tangente à la parabole. En d autres mots, on veut monter la droite définie par l équation f(t) 8,3t b jusqu à ce qu elle touche la parabole en un seul point. Pour y arriver, il faut appliquer la méthode de la complétion du carré. 4,9t 9,8t 17 b ( 4,9t 9,8t) 17 b 4,9(t t) 17 b 4,9(t t 1 1) 17 b 4,9(t t 1) 4,9 17 b Regroupe les deux premiers termes du membre de gauche. Mets en évidence le coefficient numérique du premier terme, a, comme facteur commun. Ajoute et soustrais le carré de la moitié du coefficient de t. Sors le dernier terme des parenthèses en le multipliant par 4,9. Factorise le trinôme carré parfait et regroupe les derniers termes. 4,9(t 1) 1,9 b La valeur maximale pour b est 1,9. L équation de la tangente à la parabole est donc f(t) 8,3t 1,9. Elle coupe la parabole au point dont l abscisse est 1. On peut donc conclure qu après une seconde, la vitesse du plongeur est de 8,3 m/s. c) Pour déterminer la hauteur du plongeur lorsqu il descend à une vitesse de 8,3 m/s, il faut remplacer t par 1 dans l équation de la parabole, puisque c est après une seconde que le plongeur descend à cette vitesse. Donc, f(t) 4,9t 1,5t 17 Remplace t par 1. f(1) 4,9(1) 1,5(1) 17 f(1) 4,9 1,5 17 f(1) 13,6 Calcule. Calcule. Lorsqu il descend à une vitesse de 8,3 m/s, le plongeur est à 13,6 m au-dessus de la surface de l eau. Tu peux vérifier les résultats de cet exemple à l aide d une calculatrice à affichage graphique ou d un logiciel équivalent. 1.8 Exercices (série 1) A 1. Tyler et son frère André jouent dans la cour. Tyler fait remarquer à son frère que sa fusée est plus rapide que son camion téléguidé. Pour vérifier cette affirmation, André suggère de tester les deux jouets. Tyler laisse le camion de son frère atteindre une vitesse maximale avant de lancer sa fusée à 1.8 LES APPLICATIONS DES SYSTÈMES D ÉQUATIONS DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ 85

87 une vitesse initiale de 55 m/s. Le trajet de chacun des jouets est défini par les équations suivantes: d f (t) 4,9t 55t, où d f est la distance, en mètres, entre la fusée et le sol en fonction du temps t, en secondes. d c (t) 5,5t, où d c est la distance parcourue, en mètres, par le camion en fonction du temps t, en secondes. a) Pendant quelle période de temps la fusée voyage-t-elle à la même vitesse moyenne que le camion? b) Détermine la hauteur maximale atteinte par la fusée. c) Détermine la distance totale parcourue par la fusée et détermine le temps écoulé depuis son départ jusqu à ce qu elle touche le sol. d) Quelle distance le camion aura-t-il parcourue lorsque la fusée touchera le sol? e) Quel jouet voyage le plus rapidement? Utilise ta calculatrice à affichage graphique ou un logiciel équivalent afin de mieux visualiser le problème. B. Julie a acheté deux yo-yo. Le mouvement de chacun des yo-yo est représenté par les équations suivantes: Yo-yo A: d(t) 0,5t t 1,5 Yo-yo B: d(t) t t 1,5 où d est la distance, en mètres, entre le yo-yo et le sol en fonction du temps t, en secondes, pour 0 < t < 3. a) Quel yo-yo se rend le plus près du sol? Justifie ta réponse. b) À quel moment les deux yo-yo sont-ils à la même hauteur du sol? c) Dans quel intervalle de temps le yo-yo A est-il plus près du sol que le yo-yo B? Utilise ta calculatrice à affichage graphique ou un logiciel équivalent afin de mieux visualiser le problème. 3. Une parachutiste saute d un avion. Avant d ouvrir son parachute, elle est en chute libre. Sa hauteur h, en mètres, au-dessus du sol en fonction du temps t, en secondes, est définie par les équations suivantes. h(t) 4,9t avant qu elle ouvre son parachute. h(t) 3,5t après qu elle a ouvert son parachute. a) À quel moment la parachutiste ouvre-t-elle son parachute? b) À quelle distance du sol se trouve-t-elle lorsqu elle ouvre son parachute? Utilise ta calculatrice à affichage graphique ou un logiciel équivalent afin de mieux visualiser le problème. 86 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

88 1.8 Exercices (série ) A B 1. Le parcours d une baleine qui monte à la surface de l océan est représenté 1 par l équation d(t) t t 3, où d représente la distance entre la 3 baleine et la surface de l eau en fonction du temps t, en secondes. Au même 1 moment, un petit poisson voyage selon l équation d(t) t 1, où d est 3 la distance entre le poisson et la surface de l eau en fonction du temps t, en secondes, pour 0 t 8. Les valeurs de d sont négatives parce qu elles représentent une distance sous la surface de l eau. Le petit poisson risque-t-il d être dévoré par la baleine? Justifie ta réponse. Utilise ta calculatrice à affichage graphique ou un logiciel équivalent afin de mieux visualiser le problème.. Élise vide l eau contenue dans une baignoire à remous. La baignoire contient litres d eau. Il faut deux heures pour la vider entièrement. Le volume d eau contenu dans la baignoire est représenté par la formule 1 V(t) (10 t), où V représente le volume, en litres, au moment t, 9 exprimé en minutes, dans l intervalle 0 t 10. Pour gagner du temps, Élise décide d utiliser une pompe. La pompe aspire 0 litres d eau par minute. a) Quelle est l équation qui décrit le volume d eau dans la baignoire en fonction du temps qu il faut pour vider l eau à l aide de la pompe? b) Détermine les points d intersection des deux équations et explique ce qu ils représentent. c) Combien de temps Élise gagne-t-elle en utilisant la pompe? Utilise ta calculatrice à affichage graphique ou un logiciel équivalent afin de mieux visualiser le problème. 3. Un caillou tombe du haut d une falaise de 180 m. La hauteur du caillou par rapport au sol est représentée par la formule h(t) 5t 5t 180, où h représente la hauteur en mètres au moment t, exprimé en secondes, à partir de l instant où le caillou a commencé à tomber. a) À quel moment le caillou tombe-t-il à une vitesse de 40 m/s? b) Quelle est la hauteur du caillou à ce moment? c) À quel moment le caillou tombe-t-il dans l eau? Utilise ta calculatrice à affichage graphique ou un logiciel équivalent afin de mieux visualiser le problème. 1.8 LES APPLICATIONS DES SYSTÈMES D ÉQUATIONS DU PREMIER ET DU SECOND DEGRÉ 87

89 Retour sur la mise en situation Le calcul des profits Pour répondre aux questions relatives à la vente de peintures, tu peux utiliser diverses stratégies. Certaines stratégies permettent de faire des prédictions plus précises. Comme tu l as vu dans ce chapitre, l ensemble-solution d un système d équations fournit des renseignements sur la situation modélisée par le système d équations. Les équations du second degré représentant les revenus et les coûts du peintre en fonction du nombre de peintures vendues forment un système d équations. Ce modèle mathématique permet d analyser la situation et de tirer des conclusions au sujet des ventes de peintures. 1. Pour mieux visualiser les revenus et les coûts du peintre, représente-les graphiquement.. Estime les points d intersection du graphique et vérifie ton estimation en déterminant algébriquement ces points. 3. Explique ce que représentent ces points d intersection. Quel conseil pourrais-tu donner à l artiste en considérant ces deux points et le graphique? Justifie ton raisonnement. 4. Pour calculer les profits, il faut considérer l équation suivante: P(n) R(n) C(n), où P(n) représente les profits, R(n), les revenus et C(n), les coûts du peintre en milliers de dollars, en fonction du nombre n de dizaines de peintures vendues. 5. Remplace les équations représentant R(n) et C(n) dans l équation du profit et détermine le profit maximal par la complétion du carré. Tu obtiendras ainsi le profit maximal et le nombre de peintures que le peintre doit vendre pour réaliser ce profit. 6. Répète l étape 5 avec la deuxième équation du revenu et détermine le nouveau profit ainsi que le nombre de peintures qu il faut vendre pour le réaliser. 88 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

90 Activité synthèse Les diagrammes ci-dessous illustrent différents profils de rampes. Imagine qu une balle descend le long d une rampe et qu elle touche le sol au point B. Pour chaque rampe, A et B représentent les mêmes positions relatives. Profils des rampes A Rampe 1 Rampe Rampe 3 A A B B B 1. Choisis des coordonnées à l origine pour les points A et B, soit A (0, ) et B (, 0), où l axe des y représente la hauteur de la balle en mètres, et l axe des x, le temps en secondes. Sur quelle rampe la balle parcourt-elle la plus grande distance? la plus petite distance? Justifie ton raisonnement.. Que peux-tu dire au sujet de la vitesse de la balle sur ces trois rampes? 3. Détermine l équation de la droite formée par la rampe, l équation de la parabole formée par la rampe 1 si les coordonnées au sommet sont au point B et l équation de la parabole formée par la rampe 3 si les coordonnées au sommet sont au point A. Rappelle-toi qu il est possible de déterminer l équation de la parabole par l équation y a(x h) k lorsqu on connaît les coordonnées du sommet et un autre point sur la parabole. Sur chacune des rampes, détermine les coordonnées du point où x représente un quart du temps de parcours, soit x 0,5. Détermine la pente de la sécante qui coupe la parabole des rampes 1 et 3 aux points (0, ) et les coordonnées du point à un quart du temps afin de déterminer la vitesse moyenne dans cet intervalle de temps. Sur laquelle des trois rampes la balle roule-t-elle le plus rapidement pendant le premier quart de temps? le moins rapidement? Justifie ta réponse. 4. Sur les rampes 1 et 3, détermine les coordonnées du point où x 1,5 et relie ce point au point B (, 0) par une sécante. Comment cette sécante peut-elle te fournir l information nécessaire pour répondre à la question suivante: sur laquelle des trois rampes la balle roule-t-elle le plus rapidement pendant le dernier quart de temps? le moins rapidement? Justifie ton raisonnement. ACTIVITÉ SYNTHÈSE 89

91 Évaluation de fin de chapitre LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS VÉRIFIE TES CONNAISSANCES 1. Quelles sont les caractéristiques d une fonction du premier degré?. Quelles sont les caractéristiques d une fonction du second degré? 3. Exprime l équation associée à chacune des droites ci-dessous sous la forme y mx b. a) La droite qui passe par les points ( 4, 8) et (, 10). b) La droite dont la pente est et qui passe par le point (0, 6). 3 c) La droite parallèle à y 4x 6 et qui passe par le point (, 6). d) La droite perpendiculaire à y 5x 3 et qui passe par le point ( 1, ). 4. Janie travaille dans un salon de beauté. Elle reçoit un salaire de base de 50 $ par semaine ainsi qu une commission de 6% sur les traitements offerts à sa clientèle. Établis une équation représentant sa paye hebdomadaire. Décris les variables utilisées dans ton équation. 5. Hayden achète une carte de membre dans un magasin où on loue des vidéocassettes. La carte coûte 15 $ pour l année. Ensuite, il faut payer 3 $ pour chaque location de film plutôt que 4,50 $ sans la carte. Combien de vidéocassettes doit-il louer avant que sa carte de membre soit avantageuse? Justifie ton raisonnement. 6. a) Détermine les premières différences de l équation y 4x 8 pour 3 x 3. b) Détermine les secondes différences de l équation y 4x 4x 1 pour 3 x Détermine algébriquement les zéros des fonctions suivantes. a) y x 5x 6 b) y 3x 9x 30 c) y 5x 4 1 d) y x 3x 9 4 e) y 0,x 0,3x 1 f) y 13x 6x 1 8. Détermine algébriquement les coordonnées du sommet et les zéros de la parabole définie par l équation y 3x 1x. 90 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS

92 9. L altitude d une fusée miniature en vol peut être représentée par la formule h(t) 4,9t 5t, où h représente la hauteur en mètres et t, le temps en secondes. a) De quelle hauteur est lancée la fusée? b) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la fusée? c) À quel moment la fusée atteint-elle sa hauteur maximale? d) À quel moment touche-t-elle le sol? 10. Détermine les points d intersection, s ils existent, des systèmes d équations suivants. a) 1 y 3x 4 b) 1 y 4x 3 c) 1 y 3x 4x 1 x y 5 y 5 8x y x Deux objets, A et B, partent en même temps et se déplacent le long d une même droite. Après un temps t, exprimé en secondes, leurs déplacements exprimés en mètres, à partir de leur position de départ, sont représentés respectivement par s(t) t 1,5t 4 et s(t) 1,75t t, où t 0. Détermine les coordonnées du point d intersection de ces deux paraboles et explique ce qu elles représentent. 1. Résous algébriquement les systèmes suivants: a) y y = 5x + 3 y = x 1 x 5 b) y 0 10 y = x + 8x + 3 y = 6x x 10 ÉVALUATION DE FIN DE CHAPITRE 91

93 Test 1. Compréhension Détermine les points d intersection du système d équations suivant. 1 y 6x x 1 y x 3. Communication Soit f(x) 3(x 4) 1. a) Décris le graphique de cette fonction sans le représenter graphiquement. b) À partir de la description faite en a), représente graphiquement f(x). 3. Mise en application Un centre d entraînement physique offre deux possibilités pour l achat d une carte de membre. Les frais de base de la carte A sont de 150 $ pour l année plus 3 $ pour chaque séance d entraînement. Les frais de base de la carte B sont de 50 $ pour l année plus $ pour chaque séance d entraînement. a) Écris une équation représentant le coût annuel de chaque carte. Décris les variables utilisées. b) Détermine algébriquement le point d intersection de ces deux équations. c) Représente graphiquement les deux droites dans le même plan cartésien. d) Explique ce que tu peux déduire au sujet des deux cartes à partir des coordonnées du point d intersection. 4. Résolution de problème Paolo veut construire une clôture autour d un édifice pour permettre aux enfants d une garderie de jouer à l extérieur. Le mur de l édifice constituera un côté du rectangle et les trois autres côtés seront clôturés. Paolo a suffisamment de matériel pour construire 88 mètres de clôture. Quelles seront les dimensions de la clôture si Paolo veut maximiser l aire de la cour? Quelle est l aire maximale du terrain? 9 CHAPITRE 1 LES SYSTÈMES D ÉQUATIONS