Comme la moyenne au devoir est plutôt faible, le professeur propose deux possibilités pour augmenter cette moyenne :

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1 Chapitre 6 : Statistiques I Premières définitions - Etablir une statistique, c est relever pour tous les individus d une population les valeurs d une grandeur X, appelée caractère ou variable statistique. - Lorsque le caractère étudié prend des valeurs numériques, le caractère est quantitatif - Sinon on dit que le caractère est qualitatif. Exemple : la taille, le nombre d habitants, le nombre de frères et sœurs sont des caractères qualitatifs. Par contre la couleur des yeux, types de voitures - Un caractère quantitatif est discret lorsqu il ne prend que des valeurs isolées. - Un caractère quantitatif est continu lorsqu il peut prendre toutes les valeurs d un intervalle. - L effectif d une valeur d un caractère est le nombre d individus de la population ayant cette valeur - La fréquence d une valeur d un caractère est : effectif dela valeur Fréquence dela valeur = effectif total II Etude d un caractère discret ) Moyenne Définition : On se donne une série statistique : Valeur de X X x 3 x k Effectif N n 3 n k La moyenne de cette série est le nombre réel noté X, tel que : x n x n x n x n X k k = où N est l effectif total. N Exemple : Voici les notes d un devoir commun des 34 élèves de secondes 8 9 ;8 ;3 ;9 ;0 ;0 ;4 ;6 ;3 ;9 ;6 ; ;8 ;6 ;8 ; ; ; ;7 ;6 ;7 ; ; ;6 ; ; ;6 ;4 ;4 ;7 ;0 ;9 ;0 ;3 Ranger ces valeurs sous forme de tableau : Note Effectif N = n + n La moyenne des notes de ce devoir est : X = = 34 nk ,4

2 ) Propriétés de la moyenne Comme la moyenne au devoir est plutôt faible, le professeur propose deux possibilités pour augmenter cette moyenne : Il décide d ajouter,5 points à chaque devoir : Que devient la moyenne? elle augmente de,5 Propriété : Soit k un réel quelconque. Si X est la moyenne des nombres x, x, x 3,, x k alors la moyenne des nombres x +k, x +k, x 3 +k,, x k +k est X + k Il décide de multiplier chaque note par, : Que devient la moyenne? elle est multipliée par, Propriété : Soit l un réel quelconque. Si X est la moyenne des nombres x, x, x 3,, x k alors la moyenne des nombres lx, lx, lx 3,, lx k est l X 3) Autres calculs de la moyenne a) A partir de la moyenne des sous groupes Dans une classe il y a 30 élèves dont 0 garçons. La moyenne des garçons est,5 sur 0. La moyenne des filles est,5 sur 0. Comment calculer la moyenne de la classe? 0 0 m =,5 +,5, Théorème : On repartit N nombres a, a, a 3,, a N en deux sous groupes disjoints l un contenant p éléments l autre contenant q élément. Si m est la moyenne du premier sous groupe et m est la moyenne du deuxième sous groupe. Alors m la moyenne des N nombres est : p q m = m + m N N Rq : Ce théorème se généralise a 3,4, k sous groupes disjoints. Exercice 9 page 88. (En AI exercice 8 p 88) b) À partir de la distribution des fréquences Théorème : Notons x la moyenne de la série statistique donne par le tableau ci contre : Alors x = f x + f x f k x k Valeur du caractère x. x k Effectif n n k Fréquence f f k

3 Exercice 4 p 88 Ajouter la question 4) Calculer les fréquences et calculer la moyenne c) Moyenne élaguée Définition : Calculer une moyenne élaguée revient à calculer une moyenne en ne prenant pas en compte certaines valeurs. Rq : En général on fait cela lorsque qu une valeur n est pas révélatrice. 4) Autres caractéristiques de positions a) Mode Définition : On appelle mode d une série discrète une valeur du caractère qui a le plus grand effectif Exemples : Pour la série suivante : Note 9 0 Effectif Ici le mode est 0 Pour la série suivante : Note 9 0 Effectif Ici il y a deux modes est 0 et b) Médiane Définition : La médiane d une série statistique partage cette série en deux parties de même effectif. Propriété : Si la série contient n valeurs rangées dans l ordre croissant : n + Si n est impair, on prend la ième valeur pour médiane. n n Si n est pair, on prend la moyenne entre la ième valeur et la + ième valeur. Exemples : Calculer la médiane des deux séries suivantes 8 ; 9 ; ; 6 ; 0 ; 7 ; 9 Tout d abord on classe les valeurs par ordre croissant : 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 0 ; 7 + Ensuite il y a 7 valeurs, donc nombre impair de valeurs, donc la médiane est ième valeur. La médiane est donc 9. ; 5 ; ; 8 ; 3 ; Tout d abord on classe les valeurs par ordre croissant : ; 5 ; 8 ; ; ; 3 Ensuite il y a 6 valeurs, donc nombre pair de valeurs, donc la médiane est la moyenne de la 6 ième 6 valeur et de la + ième valeur. 8 + La médiane est donc la moyenne de 8 et. La médiane est donc = 9, 5

4 c) L étendue Définition : On appelle étendue d une série statistique la différence entre la plus grande valeur du caractère et la plus petite. Exemple : Dans la première série vu en exemple dans la partie sur la médiane l étendue est -6=5 Dans la deuxième l étendue est 3-= Exercice, 4,8 p 86 III Etude d un caractère continu ) Représentation des séries statistiques Pour une variable statistique discrète on utilise des diagrammes à bâtons ou des diagrammes circulaires. Pour un diagramme à bâtons c est la hauteur qui est proportionnelle à l effectif (comme dans l exercice 3 page 86). Pour un diagramme circulaire c est l angle qui est proportionnelle à l effectif (comme dans l exercice 3 page 88) Pour une variable statistique continue on utilise un histogramme. Dans un histogramme chaque classe est représentée par des rectangles dont l aire est proportionnelle à l effectif. ) Etude d un exemple Tailles (en m) [,5 ;,6[ [,6 ;,7[ [,7 ;,8[ [,8 ;,9[ Effectifs n i Fréquences 0,6 0,5 0,8 0,06 Fréquences cumulées 0,6 0,66 0,94 Histogramme a) Compléter les fréquences et les fréquences cumulées b) Tracer l histogramme correspondant c) Calculer la moyenne et l étendue. d) Donner la classe de la médiane e) Tracer le graphique des effectifs croissants cumulés. Et en déduire la valeur approchée de la médiane. f) Quel le pourcentage d élèves qui mesures moins de,70 m. Quel est celui des élèves qui mesurent plus,60 m élève,5,6,7,8,9

5 Moyenne : On fait la moyenne des centres de classes 5,55 + 6,65 + 9,75 +,85 x = =,675 3 L étendue : est :,9,5= 0,4 Médiane : La classe médiane est [,6 ;,7[ Pour déterminer une valeur approchée de la médiane il faut tracer le polygone des fréquences cumulées croissantes. Polygone des fréquences cumulées croissantes 0,5 0,,6,5,7,8,9 La valeur approchée de la médiane est,67 N 9 page 87 et n 3 page 88 (ne pas faire l approximation par interpolation linéaire (b) )