Chapitre 1. Droites. Nos objectifs. Activités et applications. Chapitre Équations de droites. 1. Coefficient directeur

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1 hapitre Droites Nos objectifs Beaucoup d élèves ont des difficultés avec les droites et la résolution de sstèmes d équations linéres est pourquoi nous avons choisi de regrouper dans un chapitre «à part» les connssances indispensables insi, l enseignant pourra, s il le désire, trter le chapitre en début d année ou l utiliser au fur et à mesure des besoins L élève pourra retrouver facilement les notions ou méthodes utiles ctivités et applications oefficient directeur ctivité a), B et ont pour ordonnées respectives, 0,5 et,5 b) a), B et ont pour ordonnées respectives, 0 et b) B B ' B' ' B' = = ' B' ' B' pplication Les droites D, D et D ont pour coefficients directeurs respectifs ; 0,5 et 0 pplication = B B =,5 = ' ' ' ' = Équations de droites hapitre ctivité a) = 0 + = et B = + = Vérification graphique immédiate b) Le coefficient directeur de D est B = B Les ordonnées des points de D sont égales à Les abscisses des points de D sont égales à pplication (B) : = (B) : = 5 () : = 4 pplication Droites et sstèmes d équations linéres ctivité La somme dépensée par ln est : cette somme est 45, donc = 45 La somme dépensée par Bernard est : cette somme est 45, donc = =45 n a donc, 9 +9 =45 5 = 5 +45, 9 = soit = +9 = +5 5

2 hapitre Δ 4 5 D Δ Le point d intersection de Δ et Δ a pour abscisse et pour ordonnée Le pri d un D est donc, le pri d un DVD est 5 +5 =45 n vérifie que 9 +9 =45 pplication = =0 s écrit 4 +6 =7 = Pas de couple solution Un couple solution = 7 s écrit = 7 Une infinité de couples solutions Eercices d entraînement indique que l eercice est corrigé dans le livre élève oefficients directeurs de Δ : ; Δ :; Δ :0 7 =4 +4 = 8 oefficients directeurs de D : ; D :; D : 4 0 =5 = s écrit 0 + =7 = D et D 4 «montent», donc elles ont un coefficient directeur positif D «descend», donc elle a un coefficient directeur négatif D est parallèle à l ae des abscisses, donc son coefficient directeur est nul 8 9 K 0, M D 4 D 4 D Δ 6

3 hapitre 0 Les coefficients directeurs de (B) et (D) sont respectivement es deu nombres sont différents, donc (B) n est pas parallèle à (D) Les coefficients directeurs de (EF) et (G) sont respectivement Les droites ont le même coefficient directeur, donc elles sont parallèles 4 Eercice résolu dans le livre élève 4,4 + 4,6 = ; les coordonnées de vérifient l équation de D, donc (,4 ; ) D 4,5 + 4,6 = 9,4 9,6 ; les coordonnées de B ne vérifient pas l équation de D, donc B(,5 ; 9,6) D 4 5,7 + 4,6 = 8, ; les coordonnées de vérifient l équation de D, donc (5,7 ; 8,) D La droite (KL) a pour équation =,5,75 La droite (MN) a pour équation = La droite (RS) a pour équation = 0, + () a pour équation = 0,5 (B) a pour équation = (B) a pour équation = Δ = = et,5 et 5 8+ = 8 = 5 4 La droite Δ passe par les points ( ; ) et B(7 ; 0) La droite Δ passe par les points E( ; 4) et F( ; 7) 4 5 La droite a pour coefficient directeur et pour ordonnée à l origine 0 6 La droite a pour coefficient directeur 0 et pour ordonnée à l origine 7 La droite a pour coefficient directeur et 6 pour ordonnée à l origine D D D D 4 oefficient directeur 0 rdonnée à l origine ( ) a pour équation = Une solution : Pas de solution Une infinité de couples solutions Eercice résolu dans le livre élève Une solution : (0 ; ) Une solution : ( ; 0,5) Une solution : (4 ; ) Une solution : (50 ; 40) Une solution : (,5 ; ) Une solution : ;0 ; 7

4 hapitre Une solution : ( ; 4) oordonnées du point d intersection : ( ; ) 46 oordonnées du point d intersection : (,4 ; 4,6) 47 oordonnées du point d intersection : 4 ; 8 48 Les droites ont pour équations : = + et = Le sstème a une solution : ( ; ) Je fs le point Savez-vous déterminer le coefficient directeur d une droite donnée graphiquement? Énoncé Remarque initiale : la droite «monte», donc son coefficient directeur est positif La droite Δ passe par les points ( ; ) et B(4 ; 0), donc son coefficient directeur est B = 0 ( ) = B 4 Énoncé Le coefficient directeur de Δ est 0,5 Savez-vous tracer une droite dont on connaît un point et le coefficient directeur? Énoncé Remarque initiale : le coefficient directeur est positif, donc la droite «monte» n place le point À partir de, on se déplace de vers la droite et on monte de,5 n obtient nsi un point noté B La droite Δ est la droite (B) Énoncé Savez-vous déterminer l équation réduite d une droite définie par deu de ses points? Énoncé Δ n ft une figure et on constate : que le coefficient directeur est négatif puisque la droite «descend» ; que l ordonnée à l origine semble proche de 0,8 Le coefficient directeur de la droite (B) est : B =,5 0 B ( ) =,5 = 0,75 L équation réduite de (B) est donc de la forme = 0,75 + p Le point ( ; 0) appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l équation de la droite n obtient successivement 0 = 0,75 ( ) + p, 0 = 0,75 + p, soit p = 0,75 L équation réduite de (B) est = 0,75 0,75 Énoncé 4 () a pour équation = B 8

5 hapitre Savez-vous tracer une droite dont on connaît l équation réduite? Énoncé L ordonnée à l origine de la droite D est égale à,5, donc D passe par le point (0 ;,5) Son coefficient directeur est égal à : en partant de, on se déplace de vers la droite et on monte de n obtient nsi le point B La droite D est la droite (B) Énoncé La droite D passe par les points (0 ; ) et B( ; ) Savez-vous déterminer le nombre de couples solutions d un sstème de deu équations linéres à deu inconnues? Énoncé Le sstème (S ) s écrit =,5 + =,5 0,5 = 5 +, 6 = 5 Les droites d équations =,5 + et =,5 0,5 ont le même coefficient directeur (égal à,5), donc elles sont parallèles ; elles n ont pas la même ordonnée à l origine, donc elles sont strictement parallèles onclusion : le sstème n a pas de couple solution 9 = + Le sstème (S ) s écrit, = 9 = 9 B = 9 D Les droites d équations = 9 et = 9 ont des coefficients directeurs différents, donc elles sont sécantes onclusion : le sstème a un seul couple solution Énoncé = 5 (S ) équivaut à, donc le sstème a une = 5 infinité de couples solutions ; (S ) équivaut à =, donc le sstème a un seul couple =,5 + solution Savez-vous résoudre un sstème de deu équations à deu inconnues par substitution? Énoncé n écrit en fonction de dans l équation + =, on obtient = En remplaçant par dans l équation 7 + = 4, on obtient 7 + ( ) = 4 ette équation s écrit = 6, = En remplaçant par dans l équation =, on obtient = 5 onclusion : le sstème a pour couple solution : ( ; 5) Énoncé Le sstème a un couple solution : ctivités guidées 49 G 5 ; 4 5 Préliminre : le coefficient directeur de D est négatif, donc la droite «descend» Il s agit de fre utiliser à l élève les tableau de fonctions (Table Setup et Table ou Table Range et Table) 50 G Préliminre : le coefficient directeur de Δ est négatif, donc la droite «descend» Le point d intersection de Δ et de l ae des ordonnées a pour coordonnées (0 ;,4) 9

6 hapitre Le point d abscisse 7 a pour ordonnée, qui est négatif 4 Il s agit de donner une eplication orale, l objectif étant que l élève sache si ce qu il a trouvé précédemment est eact 5 Il s agit de fre utiliser la fenêtre graphique (window) 5 L ordonnée à l origine de m est égale à 8 ; ce qui correspond à la population initiale de bactéries, 8 diznes de milliers a) Tracé sur l écran de la calculatrice b) Pour m = 0,5, m coupe et est située au-dessous de pour > 6 ; le médicament n est donc pas considérée comme efficace c) Pour m =, m coupe et est située au-dessus de pour < 6 ; le médicament est donc considéré comme efficace Graphiquement, on trouve : m = 0,7 4 n résout l inéquation d inconnue m : 6m + 8 < 4, équivalente à m > La plus petite valeur de m pour que le médicament soit efficace est 5 a) z = + b) L équation () s écrit ( + ) = 4, 4 = 4, soit = L équation () s écrit + ( + ) =, = = c) n obtient le sstème, 8 +5 = = = d) n remplace par et par dans l équation () n obtient z = ( ) + = e) La solution du sstème est ( ; ; ) Le sstème a une solution : (0 ; 5 ; 0) Problèmes 5 G G4 Le point d intersection H a pour coordonnées ( ; ) La parallèle à la droite d équation = et passant par H a pour équation = 9 54 Le point I a pour coordonnées ( ; ) 4, + 7, =, ; les coordonnées de I ne vérifient pas l équation de Δ, donc I( ; ) Δ 55 Réponse a) Réponse b) Réponse a) 56 La droite () a pour coefficient directeur Δ a pour équation = + 8 () a pour équation = 0 Le point d intersection I de Δ et () a pour coordonnées (,6 ;,8) 57 B I a) et b) Voir graphique page suivante c) Intersection de Δ et : on résout l équation 4t = n obtient t 7,6 arrondi à 0,, soit le point de coordonnées (7,6 ; 9 600) Intersection de Δ et : on résout l équation 4t = 9 00 n obtient t 6 arrondi à 0,, soit le point de coordonnées (6 ; 9 00) Graphiquement, on lit les abscisses des points d intersection respectifs de Δ et et de Δ et, ce qui confirme les résultats précédents a) Pour t = 0, on a = 960, soit 960 germes par ml b) Pour t = 6, on a = = 7 8, soit 7 8 germes par ml c) Vr, car pour t = 9, Δ est située au-dessus de Fau, car pour t = 7, Δ est située au-dessous de Vr, car pour t = 7, Δ est située au-dessus de Δ 0

7 Δ : = 4t : = 9 00 : = hapitre n note le pri de la boîte B et le pri de la boîte B Les données se traduisent par le sstème + 0 = 70,4, =, = 76,5 = 4, onclusion : la boîte B coûte,70 et la boîte B coûte 4,0 6 n note le nombre de bouteilles de 50 ml vendues et le nombre de bouteilles de 400 ml vendues Les données se traduisent par le sstème 7,5 + 9,6 = 4,6, = 8 + = 49 = onclusion : le pharmacien a vendu 8 bouteilles de 50 ml et bouteilles de 400 ml = 9 0,0 + 0,50 =,70 Le sstème a pour solution (6 ; ) 4 Jean a 6 pièces de 0,0 et pièces de 0,50 59 n note l âge de Danielle et celui de Lucie Danielle est l aînée, donc > Les données s écrivent + =4, =6 =0 =4 onclusion : Danielle a 0 ans et Lucie a 4 ans t n note le nombre de filles et le nombre de garçons Les données se traduisent par le sstème 0,5 + 0,4 = 95, = + = 7 = 05 onclusion : l institut compte filles et 05 garçons 6 n note l âge actuel de Loïc et celui de son père Il a deu ans, l âge de Loïc étt et celui du père étt ; on a donc = ( ) Dans quatorze ans, l âge de Loïc sera + 4 et celui de son père + 4 ; on a donc + 4 = ( + 4) Les données se traduisent par le sstème =( ) =8, +4=( + 4) =50 onclusion : Loïc a actuellement 8 ans et son père 50 ans 64 n note la note obtenue à l épreuve théorique et celle obtenue à l épreuve pratique + = 8,9 5 Les données s écrivent, + = 0, 5 =,5 = 6,5 onclusion : Louis a eu,5 à l épreuve théorique et 6,5 à l épreuve pratique 65 a) 5 + = 9 + = 00 b) Le sstème a pour solution 69 7 ; 4 7 c) Il n est pas possible que la recette soit 9, car les solutions ne sont pas entières

8 hapitre 5 + = 9 Le sstème à résoudre est, + = 00 =4 =59 La recette est de 9 pour la vente de 4 bouquets à 5 et 59 bouquets à 66 a) Équation réduite de : = 7t + 05 Équation réduite de : = 5t + 94 n a injecté 05 ml de substance S et 94 ml de substance S n résout le sstème 7t + = 05, t = 5,5 5t + = 94 = 66,5 Les quantités de ces substances présentes dans le sang sont égales au bout de 5 heures et 0 minutes 4 n résout les équations 7t + 05 = 0 et 5t + 94 = 0, respectivement t = 5 et t = 8,8 La substance S sera éliminée au bout de 5 heures et la substance S au bout de 8 heures et 48 minutes Tableur sur papier Énoncé n entre 4 dans la cellule et dans la cellule n sélectionne les cellules et, puis on utilise la poignée de remplissage vers le bas jusqu à la cellule Formule () = ( /)* + (5/) a) Les valeurs de où les décimales sont égales à 0 sont des valeurs eactes ; le bouton en question permettant d afficher davantage de décimales b) n a les points de coordonnées ( ; ) et (4 ; ) n trace dans un repère du plan la droite passant par ces deu points 4 Soit entrer 5 dans et = + dans, puis recopier jusqu à Soit entrer 5 dans, 4 dans, sélectionner et, puis recopier jusqu à Dans le tableau, on aura alors les ordonnées des points de pour les abscisses allant de 5 à 4 Énoncé a) n obtient les valeurs 5 ; 4 ; ; ; ; 0; ; ; ; 4 b) La valeur numérique de la cellule 9 est 0 c) n obtient dans la cellule la formule =0 + a) Formule () =$B$*4 + (/) b) n obtient dans la cellule B8 la formule =$B$*8 + (/) Il suffit de rentrer dans un premier temps la valeur 0, dans la cellule B, puis dans un deuième temps la valeur 50 dans la cellule B