Évaluation d'options sur fonds cotés en bourse à levier. Simon du Tremblay. HEC Montréal. par. Science de la gestion Finance

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2 HEC Montréal Évaluation d'options sur fonds cotés en bourse à levier par Simon du Tremblay Science de la gestion Finance Mémoire présenté en vue de l'obtention du grade de maîtrise ès science de la gestion M.Sc. 15 Août 2011 c Simon du Tremblay, 2011

3 i Sommaire Le but de cette recherche est de développer une méthode de tarication d'options d'achat sur les fonds cotés en bourse à levier. Les fonds cotés en bourse à levier sont des nouveaux produits dans le monde de l'investissement. Leur construction amène une dynamique particulière de leurs rendements. Cette dernière n'a pas été bien comprise par les investisseurs et a causé une controverse sur le produit. Alors que des options sont émises sur ces produits à dynamique complexe, il est justié de se questionner sur la tarication de ces dérivés sur fonds à levier. Nous développons une méthode exible tenant compte des caractéristiques de la structure du produit. En eet, pour y arriver, nous choisissons d'utiliser l'indice le plus liquide avec le plus d'options disponibles, le S&P500. Par la suite, nous utilisons deux techniques principales pour modéliser la dynamique des rendements de l'indice sans levier : l'inférence des distributions risque neutre des prix à l'échéance sur l'indice ainsi que l'ajustement, la transformation et la simulation de fonctions NIG. L'application de cette méthode pour modéliser les rendements quotidiens de l'indice sans levier est l'innovation de ce mémoire. Par la suite, ces rendements sont transformés pour l'évaluation des options sur les fonds à levier. Nous trouvons que la méthode permet une modélisation précise et exible de la dynamique du sous-jacent. De plus, un biais est induit dans le modèle, mais nous sommes en mesure d'estimer le niveau et la direction de ce dernier. Par la suite en comparant les données empiriques avec celles du modèle sur les options sur fonds à levier, nous constatons qu'il existe une divergence entre les prix du marché et ceux du modèle dans l'évaluation des zones hors de la monnaie pour le fonds à levier positif et négatif. Alors que ce type de produit complexe est en pleine expansion, les résultats empiriques trouvés proposent que les prix du marché des options sur fonds à levier ne soient pas cohérents avec l'information sur le S&P500.

4 ii Table des matières Sommaire Table des matières Table des gures Liste des tableaux Remerciements i ii iii iii iv 1 Problématique 1 2 Présentation du produit Levier du sous-jacent Volatility drag et dépendance à la trajectoire Dépendance à la trajectoire évidence empirique Frais de gestion, dividendes discrets et erreur de réplication Revue de littérature Fonds cotés en bourse à levier Dynamique et charactéristiques Modèles paramétriques Méthodes d'inférence de la densité risque neutre du sous-jacent Marché complet Implications d'un marché incomplet Méthodes paramétriques Méthodes non paramétriques Décomposition d'une distribution en distributions journalières Adaptation du modèle d'évaluation d'options Options américaines avec un sous-jacent sans dividende Options américaines avec un sous-jacent détachant des dividendes discrets

5 iii 4 Analyse des données de marché Choix des données et caractéristiques Épuration des données Description et implantion du modèle d'évaluation Inférence de la densité risque neutre des rendements de l'indice à l'aide des prix d'options Transformation en volatilité implicite, lissage et spline Inférence de la fonction de densité risque neutre Ajout des queues de distribution Transformation de la densité des prix en densité de rendements Ajustement d'une fonction NIG et détermination des densités de probabilité quotidiennes des rendements Méthode des moindres carrés Détermination des densités de probabilité quotidiennes des rendements Interpolation des distributions à des échéances intermédiaires Simulation des rendements quotidiens Simulation des incréments indépendants des rendements Détermination de la densité de prix - Indice sans levier Détermination de la densité de prix - fonds cotés en bourse à levier Détermination des prix d'options Options européennes avec un sous-jacent sans dividendes Options américaines avec un sous-jacent sans dividendes Options américaines avec un sous-jacent détachant des dividendes discrets Simulation de Monte-Carlo Sommaire des étapes pour l'évaluation Évaluation du modèle 41

6 iv 6.1 Problèmes dans les intrants Évaluation du biais de réplication du S&P Analyse du modèle Figlewski Analyse du l'ajustement de la fonction NIG et de la simulation des rendements Analyse du biais combiné de modélisation du S&P Analyse de la transformation des rendements quotidiens pour des fonds cotés en bourse à levier Évaluation des données empiriques sur les options sur des fonds cotés à levier Anticipation de l'erreur sur les options des fonds cotés à levier Analyse de l'erreur totale des données empiriques sur les options des fonds cotés à levier Conclusion 60 A Transformation de la densité des prix en densité de rendements 64 B Relation entre les options bull et bear 65 Références 68

7 v Table des gures 1 Indice normalisé du S&P500 et des fonds cotés en bourse à levier (SSO et SDS) Lissage des volatilités implicites des options sur le S&P Fonction de densité risque neutre et fonctions GEV optimisées Fonction de densité risque neutre inférée (Figlewski (2008)) et fonction NIG ajustée Évolution des paramètres NIG selon les diérentes échéances Fonction de densité risque neutre inférée(figlewski (2008)) et fonction de densité risque neutre simulée Distribution risque neutre - exemple avec un levier de Distribution risque neutre - exemple avec un levier de Liste des tableaux 1 Information sur les indices sous-jacents Statistiques descriptives des rendements des indices sous-jacents Information sur les options RMSE de l'inférence des RNDs des options sur le S&P500 selon les dates d'échéance RMSE de l'inférence des RNDs des options sur le S&P500 selon le degré d'enjeu RMSE des simulations des fonctions NIG des options sur le S&P500 selon les dates d'échéance RMSE des simulations des fonctions NIG des options sur le S&P500 selon le degré d'enjeu RMSE Totale des options sur le S&P500 selon les dates d'échéance 51 9 RMSE Totale des options sur le S&P500 selon le degré d'enjeu Prédictions de l'erreur(rmse) des options d'achat sur fonds cotés à levier selon le degré d'enjeu et le niveau de levier k

8 vi 11 RMSE des options d'achat sur fonds cotés à levier selon les dates d'échéance et le niveau de levier k RMSE des options de vente sur fonds cotés à levier selon le degré d'enjeu et le niveau de levier k

9 vii Remerciements En préambule de ce mémoire, je tiens à adresser mes remerciements les plus sincères aux personnes qui m'ont soutenu et qui ont contribué au développement de cette recherche. Je souhaite d'abord à remercier mes directeurs de mémoire : M. Nicolas Papageorgiou et M. Pascal François. Leurs contributions ont permis d'enrichir la qualité de cette recherche. En eet, leurs disponibilités, leurs expériences, leurs conseils ainsi que l'inspiration qu'ils m'ont partagée ont permis à ce mémoire de voir le jour. En outre, mes remerciements s'adressent aux organismes qui ont supporté - nancièrement l'étude. Je m'adresse plus précisément ici au support du CRSH ainsi qu'à celui de l'ifm2. J'exprime également ma reconnaissance envers HEC Montréal ainsi que Jean Turmel et le comité de sélection de la bourse de recherche d'excellence pour les appuis exceptionnels supplémentaires. Le soutien nancier permet de faciliter considérablement la poursuite des études au cycle supérieur et il permet l'avancement de la recherche. Je n'oublie pas tous les gens de mon entourage qui ont contribué et m'ont supporté. Merci à ma famille, mes collègues et mes amis. Je tiens à souligner la contribution exceptionnelle de Mademoiselle Siyang Wu tant au niveau de la programmation que pour son support inconditionnel, son écoute et ses judicieux conseils.

10 1 1 Problématique L'évolution des marchés nanciers et le développement des méthodes quantitatives ont permis le développement d'une multitude de nouveaux produits. Les fonds indiciels cotés en bourse sont une catégorie de produits qui a connu une expansion rapide dans les dernières années. En permettant de répliquer le rendement d'un indice de marché, cette nouvelle classe de produit a permis d'orir un nouvel outil de gestion indicielle accessible, liquide et à faibles coûts. Par la suite, de nombreux fonds spécialisés cotés en bourse se sont ajoutés, tels que les fonds cotés en bourse à levier. Ces derniers répliquent deux ou trois fois le rendement d'un indice du marché pour un fonds coté en bourse à levier de type bull. À l'inverse, le type bear permet de répliquer deux ou trois fois l'inverse du rendement de l'indice sous-jacent. De surcroît, puisque les rendements sont composés de manière discrète non pas continue quotidiennement, ces indices dérivés ont la particularité d'avoir un rendement terminal de long terme qui dépend de la trajectoire des rendements quotidiens. En eet, le rendement terminal sera bien diérent d'un simple multiple du rendement terminal de l'indice sous-jacent. Nous remarquons dans la plupart des cas une tendance à la baisse sur ces indices à levier dans la période récente. Cette caractéristique, appelée volatility drag, a mis le produit au centre d'une controverse face à l'incompréhension des investisseurs. Une courte littérature sur la dynamique du produit s'est donc développée pour expliquer la pression à la baisse sur le rendement pour une augmentation de la volatilité. Au même moment, des options traditionnelles sur ces produits se sont développées. Il s'agit donc de produits dérivés sur un sous-jacent qui est lui-même un produit dérivé. Ces produits sont aujourd'hui accessibles sur le marché ce qui amène l'émergence d'une incertitude face à leur évaluation. En eet, la complexité, l'utilisation comme véhicule de négociation par les day traders et la nouveauté du produit justient le questionnement. La dynamique non traditionnelle du sous-jacent rend les modèles traditionnels d'évaluation d'options inadéquats.

11 2 Plus précisément, une hausse de volatilité pour une option d'achat traditionnelle sur un sous-jacent normal augmente le prix de l'option. Or, dans le cas présent, un deuxième eet s'ajoute : le volatility drag. Cet eet réduit l'espérance de rendement du sous-jacent à levier plus la volatilité augmente. Par conséquent, la valeur des options d'achat est réduite et celle des options de vente est augmentée sur le sous-jacent à levier. Cet eet est caractéristique des fonds cotés en bourse à levier et exposé en détail au chapitre 2. Il faut ainsi adapter les modèles an de procéder à l'évaluation. C'est pourquoi mon travail de recherche ciblera le marché des options sur ces fonds cotés en bourse à levier. Comment évaluer de manière ecace les options sur les fonds cotés en bourse à levier? Cette interrogation constitue l'objectif général de l'étude. Une attention particulière sera mise an d'éviter au maximum des hypothèses imposées pour un certain modèle paramétrique. Ainsi, cette recherche tente d'inférer le plus d'information des données empiriques avant d'utiliser un cadre paramétrique. L'objectif secondaire est de proposer une méthode d'évaluation comparative originale : à l'aide de l'information sur l'indice S&P500 et ses options, nous allons déterminer le prix théorique selon notre méthode pour les options sur les fonds cotés en bourse à levier et le vérier avec leur prix empirique. La tarication de ces derniers produits dérivés est un sujet intéressant parce qu'il s'agit d'un produit de plus en plus utilisé et qu'à nos connaissances la littérature existante sur ce sujet est encore pauvre. De plus, les options sur les fonds cotés en bourse à levier peuvent être comparées à l'évaluation d'une option exotique. En eet, une option traditionnelle sur un sous-jacent à levier correspond à une option exotique sur un sous-jacent traditionnel. Ce marché est d'autant plus intéressant puisqu'il s'agit d'options exotiques échangées sur un marché liquide. Il est donc pertinent de se questionner sur la méthode la plus cohérente d'évaluation ainsi que la méthode dont le marché fait l'évaluation de ces options. En outre, cette recherche tente d'innover en proposant une méthode originale d'évaluation

12 3 d'option comparative. Mon travail éclaircira de manière concrète les possibilités présentes sur les marchés et les gains pouvant leur être associés. Quelques auteurs sont beaucoup plus employés dans cette recherche. Tout d'abord, une très courte revue de littérature s'est développée sur le sous-jacent. Les auteurs se sont intéressés à la compréhension du produit : leur dépendance à la trajectoire selon l'eet du levier. Cooper (2010) présente l'information ecacement dans sa récente publication. Au sujet de l'inférence de distribution risque neutre (RND), Figlewski (2008) propose une méthode exible capturant les queues épaisses de distribution ce qui justie son utilisation dans cette recherche. Et pour terminer, Glasserman (2003), dans son livre sur les simulations, présente le procédé complet des caractéristiques et des simulations pour une loi normale inverse gaussienne, ici utilisée. Le présent mémoire est divisé comme suit : le chapitre 2 débute par exposer les caractéristiques spéciques du produit à l'étude. Le chapitre 3 poursuit en présentant une revue de la littérature principale sur les fonds cotés en bourse à levier, sur les techniques d'inférence des distributions risques neutres, sur les distributions Levy décomposables et sur l'évaluation d'options. Ensuite, le chapitre 4 explique les caractéristiques des données provenant du Chicago Board Options Exchange (CBOE). Le chapitre 5, quant à lui, présente en détail la méthodologie. Par la suite, le chapitre 6 évalue la méthode et analyse l'erreur du modèle avec les données empiriques. Le chapitre 7 présente la suite des résultats alors que la cohérence du marché des options sur fonds cotés en bourse à levier est évaluée. Enn, le chapitre 8 conclut. Les sections suivantes présentent les annexes et les références.

13 4 2 Présentation du produit Avant de commencer cette étude, il est essentiel de comprendre la construction et les caractéristiques des options sur fonds cotés en bourse à levier. Tout d'abord, le produit est composé d'une option américaine standard sur un sous-jacent à levier. La construction de l'option n'est donc pas diérente. Toutefois, le sous-jacent à levier est lui-même un produit dérivé sur un indice qui a une dynamique spéci- que. Pour arriver à bien comprendre les options sur ces fonds cotés à levier, il faut ainsi commencer par comprendre la dynamique et les caractéristiques du sousjacent. Ce chapitre va permettre de faire la lumière sur les éléments d'importance à ce sujet. 2.1 Levier du sous-jacent Par dénition, les fonds cotés en bourse à levier orent k fois le rendement quotidien de leur sous-jacent. Prenons par exemple un fonds cotés à levier bull(levier=2), un rendement quotidien de l'indice de 1% va permettre d'obtenir un rendement quotidien de 2%. L'élément important de la dénition du levier est que la capitalisation des rendements est discrète et quotidienne mais non pas continue et annuelle. La dynamique sur une longue période est plus compliquée qu'un simple multiple de levier sur le rendement. Cette caractéristique clef du produit est celle qui a causée le plus de confusion chez les investisseurs. 2.2 Volatility drag et dépendance à la trajectoire La capitalisation en temps discret amène un eet de volatility drag, soit une réduction de l'espérance de rendement lorsque nous augmentons la volatilité. Par exemple, le rendement du premier jour est de z et le rendement du deuxième jour est de z. Nous obtenons alors un rendement nal de z 2. (1 + z)(1 z) = 1 z 2 (2.1)

14 5 Pour un z correspondant à 10%, nous obtenons un eet de réduction du rendement de 1%. Cet eet est déni dans cette recherche comme la volatilty drag. Puisque que z 2 est toujours positif, l'eet amène une réduction de rendement lors d'une période de forte volatilité. Ce dernier est d'autant plus fort que le rendement (z) est élevé, soit une volatilité forte. Le cas précédant s'applique à un cas sans levier(ou levier de 1). Nous observons donc que le volatility drag s'applique également à des fonds cotés en bourse avec un levier de 1. Pour le cas d'un levier de k, l'équation précédente est transformée de la manière suivante. (1 + kz)(1 kz) = 1 k 2 z 2 (2.2) Nous observons donc que l'eet de volatity drag est amplié de k 2. Pour un rendement z de 10% et pour un levier k de 2, nous obtenons un eet de réduction du rendement de 4%. L'augmentation du levier amplie donc l'eet de volatility drag. Cette composition des rendements implique également le caractère de dépendance à la trajectoire des fonds cotés en bourse à levier. Prenons un nouvel exemple pour illustrer cette caractéristique du fonds, soit 2 trajectoires de 3 jours de rendements. Tout d'abord, la trajectoire 1 à des rendements de 10%, -10% et 10% avec un levier de 1, nous allons obtenir (1+10%)(1-10%)(1+10%) =1,089. Ce qui correspond à un rendement de 8,9%. Pour un levier de 2, nous allons obtenir (1+20%)(1-20%)(1+20%) =1,152. Ce qui correspond à un rendement de 15,2%. Le rendement avec levier de 2 est ainsi égal à 1,7 fois le rendement avec levier de 1. Nous n'avons pas obtenu 2 fois le rendement malgré le levier de 2 à cause du phénomène de volatility drag. Ensuite, la deuxième trajectoire a des rendements de 2,88% sur les 3 jours. Pour un levier de 1, nous allons obtenir (1+2,88%)(1+2,88%)(1+2,88%) =1,089. Ce qui correspond encore une fois à un rendement de 8,9%. Pour un levier de 2, nous allons obtenir (1+5,76%)(1+5,76%)(1+5,76%) =1,183. Ce qui correspond à un rendement de 18,3%. Le rendement avec levier de 2 est ainsi égal à 2,06

15 6 fois le rendement avec levier de 1. Nous pouvons constater que les rendements naux des 2 trajectoire sont équivalentes pour levier de 1. Toutefois, le résultat est bien diérent lorsque nous ajoutons du levier. En somme, cette section détaille le caractère de dépendance à la trajectoire des fonds cotés en bourse à levier. Cette dépendance à la trajectoire peut être expliquée par l'eet de volatility drag. En eet, plus les rendements sont volatils et plus le levier est élevé, plus l'eet de réduction des rendements de long terme sera important. Cette caractéristique est spécique à ce type de produit et devra être considérée pour l'évaluation des options sur les fonds cotés en bourse à levier. Pour l'évaluation des options, il est donc nécessaire d'utiliser les rendements quotidiens de l'indice. Cela permet de capturer l'eet de volatility drag et de dépendance à la trajectoire des fonds cotés en bourse à levier. 2.3 Dépendance à la trajectoire évidence empirique Comment l'eet décrit à la section précédente se traduit-il dans les rendements des indices actuellement négociés en bourse? Cette interrogation est importante pour comprendre l'importance et l'ampleur de cet impact sur les rendements de long terme. Prenons l'exemple du S&P500 de l'indices à levier 2 fois (ProShares Ultra S&P500, ou SSO) et de l'indices à levier -2 fois (ProShares UltraShort S&P500, SDS). Les données empiriques sont représentées selon un indice normalisé dans la gure 1. Nous pouvons ainsi constater que, sur la période du 2 janvier 2007 au 5 novembre 2010, le rendement du S&P500 a été de -13,47%. L'indice à levier positif 2 fois, le SSO, a, quant à lui, eu un rendement de -42,45%. L'impact du levier de 2 a donc été de 3,15 fois le rendement de l'indice. Pour ce qui est de l'indice levier négatif -2 fois, le SDS, il a eu un rendement de -44,84%. L'impact du levier de -2 a donc été de 3,33 fois les rendements de l'indice malgré le levier négatif. Nous pouvons donc constater qu'empiriquement l'eet de dépendance à la trajectoire a un fort impact sur le rendement de long terme. Il est donc essentiel d'en tenir compte pour l'évaluation d'option sur les fonds cotés en bourse à levier.

16 7 Figure 1 Indice normalisé du S&P500 et des fonds cotés en bourse à levier(sso et SDS) Source : yahoo nance, Date initiale : 03-Jan-2007, Date nale : 05-Nov Frais de gestion, dividendes discrets et erreur de réplication L'eet de dépendance à la trajectoire est l'élément le plus important à considérer pour modéliser les fonds cotés en bourse à levier. À ce facteur, il faut ajouter des frais de gestion xes répartis sur l'ensemble des journées de négociation du produit. Ces frais sont donc un autre élément qui réduit quotidiennement les rendements de quelques points de base. En outre, certains fonds cotés en bourse à levier remettent des dividendes aux actionnaires. Il s'agit donc d'une réduction ponctuelle du rendement de la journée ex-dividende. Finalement, l'erreur dans la réplication des rendements quotidiens est possible mais généralement faible. Ce facteur ne sera donc pas considéré dans cette recherche.

17 8 3 Revue de littérature 3.1 Fonds cotés en bourse à levier Dynamique et charactéristiques Tel qu'expliqué à la section précédente les fonds cotés en bourse à levier ont des caractéristiques spéciques. La mauvaise compréhension des investisseurs a amené des controverses impliquant ces produits (la SEC à même émise une alerte en 2009). Une courte revue de littérature académique s'est développée alors que les chercheurs se sont intéressés à clarier le comportement de ces produits. Cette section s'attardera aux articles ayant permis de clarier la dynamique de ces produits. Tout d'abord, Cooper (2010) montre que le rendement quotidien moyen sur une longue période correspond à une moyenne géométrique des rendements quotidiens. Cette moyenne du fonds coté en bourse à levier ne correspond pas à k fois la moyenne géométrique des rendements du sous-jacent. À cette dynamique s'ajoute un frais quotidien de gestion. Ces frais permettent de couvrir les frais de rebalancement quotidien et de nancement du levier. Cette structure de rendement et de frais est également présentée dans le prospectus de fonds cotés en bourse à levier. À cette structure s'ajoute une erreur de suivi possible. Avellaneda & Zhang (2009) débutent leur étude en observant empiriquement l'erreur de suivi de l'indice. Ils montrent que les fonds cotés en bourse à levier peuvent diverger légèrement de ce qui est indiqué dans le prospectus : il s'agit de l'erreur de suivi de leur sous-jacent. Puisque cette dernière est faible, elle sera ignorée dans la présente recherche. Cette construction du produit à levier entraîne une caractéristique qui a été source d'incompréhension sur les marchés : la dépendance à la trajectoire des rendements à long terme. Tel qu'exposé au chapitre 2, il y a présence d'une réduction des rendements long terme suite au volatility drag et aux frais de gestion.

18 9 Ce caractère spécique du produit a été exposé par plusieurs auteurs. En eet, Hill & Foster (2009) présente une étude empirique montrant que les rendements quotidiens sont répliqués de manière assez exacte. Toutefois, pour un horizon plus élevé, ils montrent que lorsque la volatilité s'accroît la probabilité d'obtenir un rendement similaire à k fois le rendement du sous-jacent sur la période se réduit. Cette dépendance amène la nécessité de modéliser des rendements quotidiens sur le sous-jacent pour déterminer les rendements de long terme sur le fonds à levier. Pour y arriver, certains auteurs ont développé des formes paramétriques du processus en temps discret et continu Modèles paramétriques Nous distinguons les modèles paramétriques en deux grandes familles selon la méthode de capitalisation des rendements : les modèles en temps discret et les modèles en temps continu. Temps discret Avellaneda & Zhang (2009) se distinguent en proposant le premier modèle en temps discret pour modéliser les fonds cotés en bourse à levier. En utilisant des expansions de Taylor, les auteurs dérivent une équation originale. Avec cette dernière, il est possible de déterminer les rendements utilisant la variance et le coût de nancement réalisé sur la période de temps. Cooper (2010) utilise une démonstration avec des expansions de Taylor pour un modèle en temps discret. Son apport quant à lui est la présentation d'une équation déterminant le levier optimal en fonction du rendement et de la volatilité. Ces modèles ont l'avantage de ne pas supposer une distribution particulière des rendements. En eet, l'expansion de Taylor permet de considérer le niveau désiré de moment de distribution. Toutefois, l'utilisation de ces méthodes nécessite l'utilisation des moments de distribution réalisée. Dans un cadre de prévision,

19 10 tel que nécessaire pour l'évaluation d'options, il est donc nécessaire d'estimer ces moments. Cela consiste donc à utiliser les données historiques et ainsi de faire l'hypothèse forte que la dynamique du passé se répèra dans le futur. Bien que ces modèles présentent la exibilité recherchée au niveau de la distribution des rendements, ils sont moins intéressant pour l'étude puisqu'il faut estimer les moments de distribution historique. Plus précisément, nous tentons d'éviter de poser une hypothèse aussi restreignante sur la structure d'évolution des rendements. Temps continu Dans un contexte de temps continu, il faut tout d'abord comprendre que nous nous éloignons de la dynamique réelle du produit qui a un caractère discret par construction. Toutefois, l'utilisation de ce modèle a l'avantage de permettre de situer la dynamique par rapport au modèle traditionnel d'évaluation d'option, tel que Black & Scholes (1973). Avellaneda & Zhang (2009) sont encore une fois les premiers à exposer en détail la dynamique en temps continu des fonds cotés en bourse à levier. De plus, ils introduisent les frais de gestion ainsi qu'une étude empirique conrmant les équations dérivées. Jarrow (2010), quant à lui, pousse l'analyse avec des dérivations diérentes, mais équivalentes. Il montre ainsi qu'un fonds coté en bourse à levier représente une position dynamique dans l'indice ainsi qu'une dans un compte de marché monétaire. Dans ce modèle, l'auteur peut ainsi caractériser le rendement du fonds coté en bourse à levier sur n'importe quel horizon. La recherche met ainsi en évidence que le rendement sur un horizon [0, t] d'un fonds coté en bourse avec un levier k n'égale pas k fois le rendement. En eet, il existe un eet à la baisse causé par les frais de nancement et l'eet de la fonction de volatilité. Par la suite, l'équation de simulation d'un mouvement brownien est déduite. Il est donc possible d'utiliser ce modèle pour simuler les fonds à levier selon les hypothèses d'un mouvement brownien géométrique. Les modèles de Avellaneda & Zhang (2009) et Jarrow (2010) sont équivalents.

20 11 Ils sont intéressants puisqu'il est possible de comprendre le contraste avec les modèles traditionnels en temps continu d'évaluation d'option. Toutefois, en plus de ne pas modéliser le caractère discret du sous-jacent, des hypothèses fortes sont eectuées : soit des rendements indépendants et identiquement distribués (i.i.d.) selon une loi normale. Encore une fois, ces modèles ne sont pas intéressants pour l'étude. Cette fois-ci, il s'agit de l'hypothèse de normalité des rendements qui est trop contraignante pour la exibilité recherchée. 3.2 Méthodes d'inférence de la densité risque neutre du sous-jacent Face à des fonds cotés en bourse à levier qui sont dépendants de la trajectoire de leur sous-jacent, il est impératif de déterminer les rendements quotidiens. En outre, en voulant éviter d'imposer une distribution normale aux rendements et de prendre une distribution provenant des données historiques, l'inférence de la densité risque neutre des prix du sous-jacent amène une solution permettant de conserver une exibilité dans la modélisation. L'accent de cette portion de la revue est porté sur ces méthodes. Cette section propose donc une alternative aux modèles ayant des hypothèses spéciques à propos de l'évolution des prix des actifs sous-jacents. En eet, le modèle de Black & Scholes (1973) où le mouvement brownien géométrique tel que construit ne permet pas de capturer l'ensemble des processus et des distributions du marché réel. Rubinstein (1985) y a découvert les violations des modèles théoriques sur une grande variété d'options liquides. En eet, il a montré la présence de formes de smile de volatilité qui allait à l'encontre du paramètre de volatilité unique tel que déni dans le modèle. Par la suite, une vaste littérature s'est développée an de proposer de méthodes alternatives modélisation.

21 12 C'est dans cette période que la littérature sur l'inférence et sur l'interprétation de la densité risque neutre à partir des prix d'options du marché s'est développée. La majorité des études s'est intéressée à l'implication sur l'aversion au risque des investisseurs des diérentes fonctions de densités risque neutre. Peu d'auteurs se sont intéressés à la modélisation des rendements. Quelques recherches qui se sont intéressées à la volatilité implicite sont pertinentes à considérer au niveau de l'inférence de la fonction de densité risque neutre. Cette section se limite donc ici essentiellement à la littérature s'intéressant directement sur l'inférence de la densité risque neutre des prix. L'anticipation des investisseurs est présente en tant qu'information sur la distribution des prix à l'échéance d'un marché d'options. Ces donnés peuvent être utilisées pour évaluer des options exotiques Marché complet Il faut tout d'abord comprendre que ce type d'inférence doit se faire dans un marché complet sans arbitrage. Un marché complet est un marché où il y a autant de titres que d'états de la nature. Dans un marché complet sans arbitrage, il est possible d'établir la fonction de densité risque neutre de l'actif sous-jacent. Ross (1976) a été un des premiers chercheurs à s'intéresser à la question. Il a abordé un cas spécique d'options européennes avec un titre pour chaque état. Par la suite, Breeden & Litzenberger (1978) ont présenté des résultats sur un cas continu d'options d'achats. Ils ont ainsi montré que les prix d'options peuvent être exprimés comme une fonction du prix d'exercice. Leur apport est important puisqu'ils ont dérivé la formule exacte qui expose le prix aujourd'hui comme une fonction de prix futurs. Banz & Miller (1978) ont proposé un cas similaire provenant d'un cas hypothétique de prix d'options Black & Scholes (1973) et ont montré la fonction de densité log-normale des prix de l'actif sous-jacent qui leur était associé.