LES OPTIONS ET LE DIVIDENDE. Makram BELLALAH et Armand DERHY

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1 LES OPTIONS ET LE DIVIDENDE Makram BELLALAH et Armand DERHY Résumé Nous présentons dans cet article les concepts d'une évaluation rationnelle des options et nous développons les principaux modèles en présence de distribution de dividendes sur l'actif support. L'évaluation des options est fondée sur les principes d'évaluation des warrants. Plusieurs auteurs ont établi des formules analytiques comportant un ou plusieurs termes arbitraires, sans pour autant aboutir à une formule finale satisfaisante. De fait, il a fallu attendre l'année 1973, pour qu'une formule analytique soit mise en oeuvre par Black et Scholes. Un résultat identique a été avancé par Merton (1973) dans un contexte plus général, où le taux d'intérêt fluctue d'une façon aléatoire. Des résultats équivalents en temps discret sont proposés par Cox, Ross et Rubinstein (1979). L'équivalence entre ces résultats et la convergence des prix des options des modèles en temps discret vers les modèles en temps continu est vérifiée par plusieurs auteurs. Dès lors, nous avons assisté à un foisonnement des recherches sur l'évaluation d'autres actifs contingents comme les options exotiques et de seconde génération en conservant à l'esprit la difficulté de prendre en considération les dividendes. La question du dividende est considérablement simplifiée lorsqu'on considère un taux de rendement à la place d'un montant donné lors de la procédure de calcul du prix de l'option. Mais, cette solution n'est pas appropriée lors de l'évaluation d'une option américaine sur action. Le problème fondamental dans l'évaluation des options sur action émane du profil exact de détachement des dividendes dans le temps, de sa fréquence et de son montant. La connaissance de ce profil n'est pas sans effet sur la probabilité d'un exercice prématuré d'une option et par conséquent sur son prix. Au fond, l'une de ses conséquences immédiates est que le paiement de l'option et la probabilité d'un exercice prématuré sont affectés. L'absence d'un théorème de parité entre les options d'achat et de vente pour les options américaines, analogue à celui des options européennes, conduit à une étude spécifique pour chaque type d'option. L'analyse exige dans chaque situation une étude des motivations du porteur de l'option et son attitude face à l'exercice de son option. Étant donné l'effet du dividende sur les prix des options, cet article analyse les points importants et suggère les solutions appropriées pour les options européennes et américaines. Alors que l'effet du dividende sur les prix des options européennes peut être négligé, tel n'est pas le cas pour les options américaines. Pour ces options, l'auteur conclut à la préférence vers les modèles en temps discret lorsque la contrainte concernant le temps de calcul est

2 surmontée. Toutefois, il est honnête d'avouer que les modèles en temps continu répondent beaucoup plus aux besoins des opérateurs qui gèrent des positions importantes en temps réel sur les marchés. I. INTRODUCTION Nous analysons dans cet article les concepts d'une évaluation rationnelle des options européennes et américaines en présence de détachement de dividendes. Ces concepts sont mis en oeuvre dans les travaux pionniers de Black et Scholes (1973) et Merton (1973) pour les modèles en temps continu et l'article de Cox, Ross et Rubinstein (1979) pour les modèles en temps discret. La connaissance de ces concepts est fondamentale pour calculer les prix des options et pour comprendre les fondements de l'approche moderne d'évaluation des actifs contingents. Ces concepts couvrent essentiellement les notions de portefeuilles de couverture, d'arbitrage et de duplication. La plupart des options négociables sur actions, sinon la majorité, sont américaines, détachent des dividendes et sont exercées avant la date d'échéance. Plus précisémment, les options européennes portent sur des échéances relativement longues et sont très rarement négociées. Dès lors, il s'impose de prendre en considération ces deux caractéristiques dans l'évaluation des options. Alors qu'une partie du travail nécessaire est facilement effectuée dans le cadre des modèles en temps discret, la tâche est plus fastidieuse pour les modèles en temps continu. En effet, en l'absence de versement de dividendes, le modèle de Black et Scholes s'applique à l'évaluation des options sur action puisqu'il n'existe aucune motivation à exercer une option d'achat d'une façon prématurée. Dans ce contexte, la valeur d'une option européenne est équivalente à celle d'une option américaine. Tel est également le cas pour les options européennes avec et sans les dividendes puisque le porteur de l'option ne dispose pas de la possibilité de l'exercer avant sa date d'échéance. En présence d'un détachement de dividendes en continu, une légère modification est opérée dans la formule analytique d'évaluation des options européennes pour calculer le prix de l'option. Cette approximation n'est pas toujours appropriée lorsque le dividende est inéquitablement réparti au cours du temps. Pour les options américaines, il s'impose d'étudier séparemment l'effet du dividende sur l'option d'achat et l'option de vente. Cette nécessité est dictée

3 par l'absence d'un théorème de parité entre les options américaines, analogue à celui des options européennes. En règle général, il n'est pas optimal d'exercer une option américaine d'achat pour laquelle le support ne verse pas de dividendes. En effet, dans ce cas, l'option américaine d'achat montre plusieurs similarités avec l'option européenne d'achat. En particulier, il est dans l'intérêt du porteur de conserver son option jusqu'à sa date d'échéance pour profiter des variations probables de la valeur du support. Cette règle n'est pas vérifiée pour les options de vente "en jeu" puisque ces options subissent en outre l'effet de la variation des taux d'intérêt. En effet, l'exercice d'une option américaine de vente n'est pas uniquement fonction du profil de dividendes, mais également des effets des taux d'intérêt sur le prix de l'option. Lorsque l'actif support détache un dividende, l'option d'achat doit être exercée juste avant la date de détachement et l'option de vente juste après cette date. L'exercice de l'option d'achat est compréhensible puisque le dividende conduit à une baisse du prix du support et par conséquent à un prix plus faible de l'option. Dans ce cas, il est préférable d'exercer cette option juste avant la date de détachement de dividendes pour éviter la baisse de son prix en présence d'une seule date de dividende. S'il existe plusieurs dates de dividendes, il convient de conserver l'option jusqu'à la dernière date de détachement pour profiter des variations des cours. La baisse du prix du support consécutive au détachement du dividende augmente le prix de l'option de vente. En effet, la valeur d'une option de vente est donnée par la différence espérée actualisée entre le prix d'exercice et le prix du support. Plus la valeur du support est faible, plus le prix de l'option est élevé. Dans la mesure où le prix de cette option est plus important après le détachement du dividende, il est naturel de choisir de l'exercer après la date de détachement. Cet article répond à ces différentes préoccupations et s'organise de la façon suivante. Dans la section II nous présentons le modèle en temps continu de Black et Scholes (1973), ci-après BS, avec et sans les dividendes. La section III développe les extensions du modèle de BS (1973) pour évaluer des options européennes et américaines d'achat et de vente sur actions en présence d'un ou de plusieurs dividendes. D'abord, la problématique du dividende est analysée et les résultats des principaux modèles sont proposés pour les options américaines d'achat. Ensuite, une étude similaire est effectuée pour les options américaines de vente. La section IV illustre le modèle discret de Cox, Ross et Rubinstein (1979), CRR. Dans un premier temps, nous proposons les extensions du modèle pour l'évaluation des options européennes et américaines sur actions en l'absence de distribution de dividendes. Dans un deuxième temps, nous analysons l'effet de dividende sur les prix des options.

4 La section V est réservée aux conclusions. Par souci pédagogique, l'annexe 1 reprend les principales limites du prix d'une option en présence de dividendes; ce qui permet au lecteur de comprendre sans difficulté particulières les principaux développements ultérieurs. L'annexe 2 propose une approximation de la fonction de répartition de la loi normale pour permettre aux lecteurs de programmer les principaux résultats dans cet article. II. LE MODELE DE BLACK ET SCHOLES ET LES DIVIDENDES Ce modèle conçu au départ pour l'évaluation des options européennes sur action présente des formules analytiques simples et attrayantes. Le modèle de BS (1973) et le modèle binomial de CRR (1979) sont fondés sur les cinq hypothèses suivantes : - il n'y a pas d'impôt, ni de coût de transaction, - les opérations de prêt et d'emprunt s'effectuent au taux d'intérêt sans risque, - les ventes à découvert sont autorisées dans la mesure où un investisseur peut vendre un actif qu'il ne détient pas dans son portefeuille, - l'actif support de l'option ne verse pas de dividendes et les prix suivent une distribution log-normale, - l'option est de type européen. En utilisant les notations suivantes, nous développons d'abord le modèle de BS en l'absence de dividendes et nous présentons ensuite les ajustements nécessaires pour les dividendes : S : le prix de l'actif support, c : le prix d'une option européenne d'achat, C : le prix d'une option américaine d'achat, p : le prix d'une option européenne de vente, P : le prix d'une option américaine de vente, K : le prix d'exercice de l'option européenne ou américaine, r : le taux d'intérêt sans risque, σ : la volatilité de l'actif support, T : la date d'échéance de l'option, N(.) : la fonction de répartition de la loi normale. La dérivation du modèle : L'évolution du prix de l'action dans ce modèle est donnée par le processus de diffusion : ds/s = µ dt + σ dz (1) où µ indique la tendance du mouvement du titre et dz correspond à un processus de Wiener standard.

5 Dans ce contexte, il est possible de créer une position couverte en achetant des actions et en vendant des options. L'ajustement de ce portefeuille s'effectue sur chaque intervalle de temps suite aux variations consécutives du prix du support. Le nombre d'actions à vendre dans une position couverte est donné par l'inverse de la dérivée du prix de l'option par référence à son premier argument, S, que l'on note simplement, c s (S,t). La variation de la valeur de l'actif support d'un faible montant S génère une variation de l'option de c s (S,t) S et un changement dans le nombre d'options dans la position couverte égal à (1/c s (S,t)) S. La variation qui en résulte pour la position en actions pourrait être couverte par la quantité (1/c s (S,t)) options. À la limite, cette approximation pourrait devenir exacte et le rendement sur la position aurait tendance à se comporter indépendamment du changement de la position en actions. Ce raisonnement conduit à l'équation fondamentale suivante pour l'évaluation des options d'achat et de vente : 1/2σ 2 S 2 ( 2 c/ S 2 ) - r S( c/ S) + rc - ( c/ t ) = 0, (2) Le terme σ 2 S 2 provient de l'utilisation des propriétés de la table des intégrales stochastiques d'itô appliquée au calcul du carré de l'équation de diffusion (1). La valeur d'une option d'achat est déterminée en utilisant la condition suivante qui correspond à sa valeur à la date d'échéance : c(s,t) = Max[0, S T - K ] (3) En utilisant un changement de variables de la forme c(s,t) = f(t) y(u 1,u 2 ) où f(t) et y(u 1,u 2 ) sont des fonctions inconnues à déterminer, l'équation (2) devient : y/ u 2 = 2 y/ u 2 1 (4) C'est l'équation de diffusion de la chaleur sous sa forme la plus simple, qu'il s impose de résoudre pour obtenir le prix de l'option. La transformation du problème d'évaluation de l'option en un problème plus simple de résolution de l'équation de la chaleur, provient des propriétés du processus de diffusion suivi par le cours de l'actif support de l'option. Comme le cours suit une diffusion, le changement de variables utilisé conduit à une équation de diffusion de la chaleur. Une démonstration détaillée des étapes de résolution de cette équation figure dans Bellalah, Bryis et Mai (1997). Dans le contexte de ces hypothèses, la solution pour le prix d'une option d'achat s'écrit : c = SN(d 1 ) - K exp(-rt) N(d 2 ) avec :

6 d 1 = (Ln(S/K) + (r σ 2 )T )/ σ T (5) d 2 = d 1 - σ T où N(.) désigne la fonction de répartition de la loi normale. En utilisant l'équation (2) et la condition suivante pour la valeur de l'option de vente à sa date d'échéance: p(s,t) = Max[0, K - S T ] (6) le prix d'une option de vente s'écrit : p = - SN (-d 1 ) + K exp(-rt) N(-d 2 ) avec : d 1 = (Ln(S/K) + (r σ 2 )T )/ σ T (7) d 2 = d 1 - σ T Les deux formules (5) et (7) concernent les valeurs des options d'achat et de vente en l'absence de dividendes dans le contexte des hypothèses énumérées ci-dessus. Dans la mesure où une option européenne présente la même valeur qu'une option américaine en l'absence de possibilités d'exercice prématuré, le modèle de BS s'applique également pour évaluer ces options. Cette situation est vérifiée en l'absence d'un détachement de dividendes. En réalité, la valeur d'une option américaine est égale à la valeur d'une option européenne augmentée du droit d'un exercice anticipé accordé au porteur de l'option. Lorsqu'il n'existe pas de facteurs conduisant à un exercice anticipé, comme le dividende pour une option d'achat, la valeur du privilège d'exercer à chaque moment avant la date d'échéance est nulle. Dans ce cas, le prix d'une option européenne est égal au prix d'une option américaine sur le même support. Par souci pédagogique, nous résumons dans l'annexe 1 les conditions d'exercice et les limites des prix des options pour permettre au lecteur de suivre sans difficulté particulière les développements ultérieurs. Comme le modèle de BS exige des conditions assez restrictives et s'applique fondamentalement aux options européennes en l'absence de dividendes, la question se pose de savoir si ce modèle peut être prolongé pour prendre en compte les dividendes lors de l'évaluation des options européennes et américaines. L'ajustement du modèle pour les dividendes Le modèle de BS peut être ajusté pour la prise en compte d'un détachement de dividendes lors de l'évaluation des options européennes sur actions. En effet, l'ajustement s'effectue en amputant la valeur du support S, de la valeur actualisée des dividendes qui se détachent au cours de la vie de l'option. Cet ajustement s'applique uniquement lorsque l'option est européenne, le montant et la date du

7 dividende sont connus avec certitude. Lorsque l'option est américaine, des modèles plus appropriés sont utilisés pour étudier l'impact du dividende sur la probabilité d'un exercice prématuré. En effet, cet ajustement simplifié ignore la possibilité d'un exercice anticipé et répond uniquement aux besoins des opérateurs sur les marchés qui désirent utiliser une formule analytique simple et attrayante, indépendamment de son degré de précision. L'exemple suivant illustre l'application du modèle de BS dans ce contexte. Exemple : Considérons les données suivantes : S = 18, K = 15, r = 10%, T = 0,25, σ = 15%. Supposons qu'un dividende de 0,2 soit versé dans 45 jours. Dans ce cas, la valeur actualisée du dividende est 0,197, soit : 0,2 exp(-0,1(0,125)). Ainsi, ce montant doit être retranché de la valeur du support S, pour obtenir une nouvelle valeur S*. Cette valeur du support sans les dividendes est calculée de la façon suivante : S* = S - Dexp(-rT ) = 18-0,197 = 17,8 Lorsque cette valeur est remplacée dans la formule (5), il vient : d 1 = 2,6528, d 2 = 2,5778, c = 17,8 N(2,6528) - 14,6296 N(2,5778), ce qui donne un prix de 3,18 pour l'option d'achat, soit : c = 17,8 (0,996) - 14,6296 (0,994) = 3,18 Ce calcul est effectué d'une façon manuelle en utilisant l'approximation de la loi normale proposée en annexe 2. Comme le prix de l'option dans le cas d'un dividende nul est 3,3659, il est clair que la présence d'un dividende réduit sigificativement la valeur d'une option d'achat. Si le montant du dividende est plus important et la valeur du support est inférieure au prix d'exercice, le prix de l'option peut tendre vers zéro. En revanche, si le dividende est important et le prix du support dépasse largement le prix d'exercice, la valeur d'une option de vente peut tendre vers zéro. D'où l'importance du motant du dividende et de sa date d'apparition sur le calcul du prix d'une option. III. LES EXTENSIONS DU MODÈLE ET LES DIVIDENDES Dans cette section, nous étudions les caractéristiques du problème d'évaluation d'une option américaine d'achat (de vente) sur actions en relation avec la possibilité d'un exercice anticipé et présentons les récents développements concernant cette question. Nos contributions concernent essentiellement la définition de la nature exacte du problème et la sensibilisation des lecteurs aux directions de recherches futures. La problématique pour l'option américaine d'achat et le dividende

8 Lors de l'ajustement du modèle de BS, le prix du titre est réduit du montant du dividende actualisé. Le prix d'une option européenne d'achat tend vers la quantité (S - D exp(-rt) ) - K exp(-rt). Si le montant du dividende est important, cette quantité est inférieure à (S - K), qui représente la valeur d'un exercice immédiat. Ainsi, il est clair qu'une option américaine doit valoir plus chère qu'une option européenne ayant les mêmes caractéristiques, en raison de la possibilité d'un exercice anticipé. Lorsqu'une option européenne d'achat est "en jeu" et en présence d'un versement de dividendes, il s'impose de l'exercer juste avant la date de détachement. D'une façon plus générale, en présence de plusieurs dates de versement de dividendes, l'exercice d'une option américaine d'achat apparaît juste avant le détachement du dernier dividende. En revanche, le détachement d'un dividende augmente la valeur de la possibilité offerte au porteur d'exercer son option américaine de vente puisqu'il réduit la valeur du support et augmente le prix de l'option. Lorsque le montant du dividende par action Dj versé à plusieurs instants τj, pour j = 1 à n, est connu et le taux d'intérêt est constant, une condition suffisante de non exercice de l'option d'achat est : τ K > D(t)B( τ -t ) / [1 - B(τ)]. (8) t=0 où B(τ) désigne le prix d'une obligation sans coupons payant 1 dollar dans τ années. Lorsque le montant du dividende par action est D(S,t), l'équation (2) est légèrement modifiée pour obtenir l'équation de Merton (1973) : 1/2σ 2 S 2 ( 2 C/ S 2 ) + ( r S - D) ( C/ S) - r C - ( C/ t ) = 0 (9) où C(S, τ, K) est le prix de l'option américaine d'achat. Cette équation doit être résolue sous les conditions suivantes : C(0, τ, K) = 0 (10) C(S, 0, K ) = max[0, S - K] (11) C(S, τ, K) max[0, S - K] (12) La condition (10) montre que le prix de l'option s'annule lorsque la valeur du support est zéro. La condition (11) donne le prix de l'option à la date d'échéance. La condition (12) montre que le prix de l'option américaine doit être supérieur à chaque instant à sa valeur intrinsèque. Elle indique à chaque instant τ, la présence d'une probabilité d'un exercice anticipé et un niveau de l'action I(τ) pour lequel pour chaque valeur de l'actif support, S > I(τ), il est préférable d'exercer l'option.

9 Comme la valeur d'un exercice immédiat est ( S - K), pour que ce problème soit bien posé, la condition supplémentaire suivante doit être vérifiée : C(I(τ), τ, K) = I(τ) - K = h (13) où C(I(τ), τ, K) vérifie l'équation (9) pour 0 S I(τ) Comme I(τ) est une fonction inconnue du temps, ce problème devient complexe puisque les conditions limites dépendent du temps et du comportement du porteur de l'option vis à vis de l'exercice. Merton (1973, 1992) montre que I(τ) doit être déterminée par référence au comportement du porteur de l'option, en ajoutant une condition de régularité. Pour expliquer ce point, considérons une fonction f(s,τ; K, I(τ)), solution du problème pour un I(τ) donné, avec: C(S, τ, K) = max {I} f(s, τ; K, I) (14) La valeur optimale I(τ) est indépendante du prix du support et la condition suivante, appelée " high contact" doit être vérifiée : C(I(τ), τ, K)/ S = 1 (15) La condition (15) montre que la dérivée du prix de l'option par rapport au support est égale à l'unité. La démonstration de ce résultat est simple. En effet, pour une fonction f(x,i), ( dérivable et concave ), la dérivée par rapport à I tout au long de la frontière d'exercice x = I est : df/di = dh/di = f 1 (I,I) + f 2 (I,I). Cette fonction admet un maximum pour I = I*, f 2 (x, I*) = 0. Comme, df/di = dh/di = f 1 (I*,I*) et h = I - K, alors f 1 (I*,I*) = dh/di =1. Ce qui achève la démonstration. La solution à ce problème donne le prix de l'option en présence de dividendes. McKean (1965, 1969) et Merton (1973) n'ont pas proposé une solution analytique à ce problème. En revanche, lorsque l'échéance de l'option d'achat est infinie, la solution est donnée par l'équation (46) de Merton (p 172). Depuis, plusieurs approximations sont proposées dans la littérature. Ces modèles incluent Roll (1977), Geske (1977, 1978, 1979), Whaley (1981), Bellalah (1990)... Cette problématique témoigne de la difficulté rencontrée par les chercheurs lors de la résolution de la question d'évaluation de l'option américaine d'achat en présence d'un dividende. En effet, la difficulté n'est pas d'ordre financier, mais plutôt mathématique puisqu'on ne sait pas encore résoudre correctement cette famille d'équations aux dérivées partielles. Pour s'en rendre compte des difficultés, nous présentons les modèles et les résultats de quelques travaux qui ont essayé de surmonter les problèmes soulevées.

10 Les modèles et les résultats Avant d'avancer la solution la plus "appropriée" pour la fonction prix d'une option, il n'est pas inutile de présenter les principales formules utilisées dans la théorie financière et les professions bancaire et boursière lors de l'étude de la question du dividende. Cette analyse permet de justifier les avantages et les inconvénients de chaque formule. Le modèle pseudo-américain de Black Black (1975) propose une simple approximation pour l'ajustement du modèle de BS. L'ajustement consiste d'abord à supposer un exercice de l'option uniquement à la date d'échéance, en déduisant du prix du support la valeur actualisée des dividendes à verser jusqu'à la date d'échéance de l'option. Ensuite, on suppose que l'option est exercée juste avant le détachement du dividende. La valeur de l'option est calculée avec la valeur du support sans les dividendes et la date d'échéance à maturité est diminuée du temps allant jusqu'à la date du dividende. Le prix d'exercice est diminué également du montant des dividendes. En fait, comme le dividende est payable peu de temps après la date du détachement, le dividende doit être actualisé entre l'instant où il est versé et l'instant où il est reçu. En utilisant ces différents ajustements, il est possible d'appliquer le modèle de B-S à l'évaluation des options américaines. La valeur de l'option dans ce modèle n'est pas très différente de la juste valeur d'une option américaine d'achat. Quoi qu'il est utilisable, ce modèle est moins précis que d'autres modèles comme le modèle binomial ou la version en temps continu de Roll, Geske et Whaley. L'approximation proposée peut être raisonnable lorsque le support dépasse largement le prix d'exercice et la date d'échéance de l'option est éloignée. L'ajustement de Roll et de Geske Lors de la dérivation d'une formule d'évaluation d'une option d'achat, Roll (1977) a cherché à surmonter un problème de discontinuité des cours des actions consécutif à un versement de dividendes. Son idée était de soustraire la valeur actualisée des dividendes et de construire un portefeuille hypothétique groupant trois options dénommées respectivement, (a), (b) et (c). Alors que les options (a) et (b) sont évaluées en utilisant la formule de BS, la valeur de l'option (c) est calculée à partir de l'approche de l'option composée de Geske. Toutefois, deux remarques s'imposent sur le travail de Roll (1977): d'abord la formule ne prend en considération qu'un seul versement de dividendes. Ensuite, elle ne constitue qu'une simple approximation de la question du dividende puisqu'elle ignore le fait que le processus de diffusion est susceptible d'être affecté par le niveau du titre support. De plus, pour l'option désignée par (b), le prix d'exercice devrait

11 être de S*t et non pas de S*t + D. Ce dernier point fut avancé par Whaley (1981), qui a montré que la formule de Roll était mal spécifiée. Lorsque nous ignorons cette critique, nous pouvons généraliser la formule d'évaluation pour prendre en considération plusieurs versements de dividendes. Cependant, la difficulté d'évaluer N options sur N options constitue un obstacle à la généralisation de la formule. Il n'empêche que l'essai de Geske, pour améliorer la formule de Roll, a permis une simplification intéressante de la formule d'évaluation. Là encore, la simplification opérée n'a pas générée une formule sans ambiguïtés. En effet, la formule de Geske (1977, 1979) a été également mal explicitée, puisqu'elle comporte une confusion au niveau du calcul du coefficient de corrélation. Le modèle de Roll, Geske et Whaley Ce modèle s'applique aux options américaines négociables sur des actifs détachant des dividendes. Il a été développé dans une série d'articles proposés par Roll (1977), Geske (1979) et Whaley (1981). Le modèle est fondé sur l'idée suivante: une option américaine peut être identifiée comme étant un portefeuille d'options. La définition de ce portefeuille permet d'évaluer une option américaine d'achat. Pour s'en rendre compte, considérons les trois portefeuilles suivants : a) l'achat d'une option européenne de prix d'exercice K et d'échéance T, b) l'achat d'une option européenne d'achat de prix d'exercice, S cr et d'échéance t ε(ε > 0, ε 0), où S cr désigne le prix critique du support qui conduit à l'exercice et t indique la date du dividende. c) la vente d'une option européenne d'achat sur le portefeuille a) avec un prix d'exercice S cr + D - K et une échéance t ε. Nous pouvons montrer que la valeur de ces portefeuilles est équivalente à celle d'une option américaine d'achat détachant un dividende. Dans ce contexte, l'application des formules de BS(1973) pour l'option a) et b) et de Geske (1979) pour l'option c), donne la formule proposée par Whaley (1981). Call américain = Call a) + Call b) - Call c) (16) = C a + C b - C c avec: C a = S N(a 1 )- K exp(-rt) N(a 2 ) C b = S N(d 1 )- (S cr + D)exp(-r t) N(d 2 ) C c = S N(a 1, b 1, t/t) - K exp(-rt) N(a 2, b 2, t/t)(-s cr + D - K)exp(-rt) N(b 2 ) et : a 1 = [ ln(s/k) + (r + 1/2 σ 2 )T ]/ σ T a 2 = a 1 - σ T

12 b 1 = [ ln(s/s cr ) + (r + 1/2 σ 2 )t ]/ σ t b 2 = b 1 - σ t d 1 = [ ln(s/s cr + D) + (r + 1/2 σ 2 )t ]/ σ t d 2 = d 1 - σ t où N(a, b, ρ) désigne la fonction de répartition de la loi normale bivariée avec a et b les bornes d'intégration et ρ le coefficient de corrélation. En utilisant la propriété suivante de la loi normale bivariée : N(a,-b,-ρ) = N(a) - N(a,b,ρ) et en rassemblant les termes en S et K, la formule d'évaluation (16) devient : C(S,T,K) = S [N( b 1 )+ N(a 1, b 1, t/t) ] (17) - Kexp(-rT) [N( b 2 ) exp(r(t- t) ) + N(a 2, - b 2, - t/t) ] + Dexp(-rt) N(b 2 ) Le niveau critique du prix du support correspondant à un exercice prématuré de l'option, S cr, est calculé par une procédure numérique itérative à partir de l'équation suivante : C(S cr, T, K) = S cr + D - K (18) Dans ce contexte, l'utilisation d'un algorithme de recherche par dichotomie ou de la méthode de Newton-Raphson suffisent pour la recherche du prix critique. Les simulations Les simulations effectuées par l'auteur dans les cas précédents (pour l'ajustement de Black et les modèles de Roll et Geske) montrent que l'erreur d'évaluation peut atteindre dans certains cas plus que 30 % du prix de l'option par comparaison à un modèle en temps discret. Tel est spécifiquement le cas lorsque l'échéance s'approche et le motant du dividende est important. En revanche, le modèle de Roll, Geske et Whaley (1981) semble offrir des résultats plus raisonnables par rapport aux modèles précédents. La base de comparaison étant les modèles en temps discret. Les formules (16, 17) et (18) sont utilisées pour calculer les prix des options pour différents niveaux du support en présence des paramètres suivants : Le prix d'exercice : K = 100, La date de détachement du dividende : t = 6 mois, L'échéance de l'option : T = 1 an, Le taux d'intérêt semestriel : r = 0,04, La volatilité ( semestrielle) de l'action σ = 0,2, Le montant du dividende, D = 5. Tableau 1

13 Les simulations des prix de l'option américaine d'achat en présence d'un dividende et la détermination du prix critique du support dans le contexte du modèle de Roll, Geske et Whaley (1981). Les paramètres utilisés sont : K = 100, t = 0,5 années, T = 1 année, r = 0,04, σ = 0,2, et D = 5. La première colonne contient les différents niveaux du prix du support S. La deuxième colonne indique le prix du support avec le dividende détaché. La troisième colonne donne le prix citique calculé par une procédure itérative. La dernière colonne indique le prix de l'option dans ce modèle. S S ex-dividende S cr C(S,T) 82 77, ,5818 3, , ,5818 4, , ,5818 5, , ,5818 6, , ,5818 7, , ,5818 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0255 Ce tableau montre pour différentes valeurs du support S allant de 82 jusqu'à 125 les prix des options américaines d'achat dans le contexte du modèle de Roll, Geske et Whaley. La deuxième colonne donne la valeur du support avec le dividende détaché qui varie de 77,196 à 120,196. La troisième colonne montre un prix critique du support de 123,5818, correspondant à un exercice prématuré optimal de l'option. Ce prix est calculé avec une précision de l'ordre de La dernière colonne donne les prix des options américaines d'achat dans ce contexte à partir de la formule (16). Ces prix montrent que le prix de l'option est une fonction croissante du support. Ils révèlent aussi que le prix critique est constant indépendemment du prix du support puisqu'il n'existe qu'un seul prix correspondant à un exercice prématuré optimal dans le contexte des paramètres utilisés. Dans le cas particulier d'un rendement de dividende, les difficultés précédentes sont éliminées en utilisant le modèle de Barone-Adesi et Whaley (1987), BAW. Toutefois, il est honnête d'avouer que le rendement de

14 dividendes est une hypothèse assez restrictive qui s'applique beaucoup plus à un indice d'actions qu'à une action individuelle. En effet, alors qu'une action peut détacher entre un et quatre dividendes par an, un indice boursier comme le CAC 40 détache 40 dividendes par an. D'où la simplification exagérée par l'utilisation d'un rendement de dividendes pour une option sur action. Cette hypothèse est néanmoins préférée à celle de l'absence de dividendes et elle admise dans le monde professionnel. Le modèle de Barone-Adesi et Whaley Jusqu'à présent, il n'existe pas de solutions exactes permettant d'évaluer des options américaines sur un actif payant un dividende en continu. Il existe, toutefois, des solutions approximatives. La formule proposée par BAW (1987) constitue l'une de ces approximations. Elle permet d'évaluer les prix d'une option d'achat et d'une option de vente en présence d'un détachement de dividendes en continu. En utilisant une extension de la formule proposée par BS, BAW (1987) ont présenté un modèle général pour évaluer les "commodity options" sur un actif au comptant ou un contrat à terme. Les spécificités du modèle sont facilement adaptées à plusieurs catégories d'options par une définition précise du coût de portage b. Par exemple, ce coût est égal à (r - d) où d désigne le taux proportionnel de distribution de dividendes pour une option sur action ou une option sur indices. Il est égal à ( r - r*) pour une option de change où r indique le taux d'intérêt domestique et r* le taux d'intérêt étranger... Dans ce modèle, le prix d'une option européenne d'achat en présence d'un dividende continu est : c = S exp(b-r) T N(d 1 ) - K exp(-rt) N(d 2 ) (19) avec : d 1 = [Ln(S /K) + (b + 1/2 σ 2 )Τ]/ σ T d 2 = d 1 - σ T où les différents paramètres ont la même signification que précédemment. Dans le même contexte, le prix d'une option américaine d'achat en présence d'un dividende continu est : C(S,T) = c(s,t) + A 2 (S/S cr )q2 C(S,T) = S - K si S < S cr si S S cr (20) avec : A 2 = ( S cr /q 2 ) { 1 - exp(b - r)t N(d 1 (S cr ))} q 2 = [ - (N - 1) + (N -1 ) M/k]/2 M = 2r/σ 2 N = 2b/σ 2 k = 1 - exp(-rt)

15 La formule (20) montre que le prix d'une option américaine, C(S,T), est égal au prix d'une option européenne donné par (19), augmentée d'un certain terme, A 2 (S/S cr )q2. Ce dernier évalue la possibilité offerte au porteur d'exercer son option avant la date d'échéance. Il s'agit de la prime d'un exercice prématuré attachée aux options américaines. La validité de cette décomposition et les théorèmes d'existence et d'unicité de la solution sont démontrés dans des revues de mathématiques et de probabilité par Jacka (1991), Karatzas (1988), Myneni (1992), Carr, Jarrow et Myneni (1992), parmi d'autres. La formule (20) indique la présence d'un certain prix de l'actif support, S, appelé S cr, au dessus duquel l'option est exercée. Ce prix critique est calculé par une procédure itérative à partir de l'égalité suivante: S cr - K = c(s cr,t) + { 1 - exp(b - r)t N(d 1 (S cr ))}S cr /q 2 (21) Lorsque le prix du support est inférieur à ce prix critique, le prix d'une option américaine est donné par le prix de B-S augmenté de la prime d'exercice anticipé. Lorsque le prix du support est supérieur au prix critique, l'option est exercée et elle vaut juste sa valeur intrinsèque, (S - K). La détermination de S cr s'effectue également par référence à d'autres approches algorithmiques proposées par Jaillet, Lamberton et Lapeyre (1990), Lamberton (1993),...etc. Le tableau suivant donne les prix des options européennes et américaines d'achat en fonction de différents prix de l'actif support en utilisant les formules (19) à (21) dans le contexte du modèle de Barone-Adesi et Whaley (1987). Tableau 2 Simulations des prix des options européennes, c, et américaines, C, d'achat dans le contexte du modèle de Barone-Adesi et Whaley (1987) pour les paramètres suivants : K = 100 r = 0.08, T= 0.25, b = 0.04, σ = 0.2 S N(d 1 ) N(d 2 ) c C S cr 90 0,2090 0,1730 1,110 1, , ,4718 0,4160 4,463 4, , , ,175 10, , , ,890 20, ,35 La première colonne donne les prix de l'actif support qui varient de 90 à 120. La deuxième et la troisième colonne présentent les valeurs des probabilités qui affectent respectivement le prix du support et le prix d'exercice. La quatrième colonne donne le prix de l'option européenne d'achat sur actions. La cinquième colonne indique le prix de l'option américaine dans le même contexte. La dernière colonne présente le prix critique du support calculé par la procédure itérative à partir de l'équation (21). Le lecteur peut observer que dans les deux cas, le prix de l'option est une fonction croissante du prix du support. La différence de prix entre l'option européenne et l'option américaine correspond au montant de la prime d'un exercice anticipé. La prime d'un exercice anticipé est faible pour un niveau du support inférieur au prix d'exercice. Elle devient de plus en plus importante lorsque le prix du support dépasse le prix d'exercice. Les résultats des tests empiriques des modèles proposés :

16 En utilisant les données des options du CBOE, Whaley (1982) compare la version du modèle de Roll, Geske et Whaley (1981) aux modèles pseudoaméricain comme celui de Black et au modèle de B-S. Il constate que l'erreur moyenne d'évaluation se situe à l'intérieur de la fourchette cotée et que la version de Roll, Geske et Whaley (1981) est beaucoup plus performante que les autres versions. Ces modèles présentent une tendance systématique à surévaluer les options négociées sur des actions présentant une volatilité élevée et inversement. L'étude de Blomeyer et Klemkosky (1983) sur le CBOE montre que le modèle de BS et la version Roll, Geske et Whaley (1981) présentent des biais similaires. Geske et Roll (1984) et Sterk (1982, 1983) montrent la supériorité de la version de Roll, Geske et Whaley (1981) par rapport aux autres modèles à la BS. Les recherches empiriques témoignent de la performance et de la robustesse du modèle de Roll, Geske et Whaley (1981) lorsque les dividendes sont connus avec certitude. Les tests similaires effectués sur le marché parisien par Bellalah (1990) aboutissent à des résultats équivalents. En effet, ces tests montrent la supériorité de la version de Roll, Geske et Whaley (1981) par rapport aux modèles précités dans les sections précédentes. La problématique pour l'option américaine de vente et le dividende L'évaluation d'une option américaine d'achat est une question plus simple à analyser que celle d'une option américaine de vente avec et sans les dividendes. En effet, alors que les valeurs des options européennes et américaines d'achat sont identiques en l'absence de distributions de dividendes, ce résultat n'est pas vérifié pour les options européennes ou américaines de vente. La raison en est que la valeur d'une option de vente d'échéance infinie est nulle. Par conséquent, l'absence d'un théorème de parité pour les options américaines, analogue à celui des options européennes, implique un traitement séparée pour l'option de vente. En effet, Merton (1973) montre que l'option américaine de vente peut être exercée même en l'absence de dividendes et que son prix doit vérifier l'équation suivante : 1/2σ 2 S 2 ( 2 P/ S 2 ) + r S( P/ S) - rp - ( P/ t ) = 0, (22) sous les conditions suivantes : P(, τ, K) = 0 (23) P(S, 0, K) = max[0, K - S] (24) P(S,τ, K) max[0, K - S] (25) Là également, comme pour le cas d'une option d'achat, l'analyse montre l'absence d'une solution pour une option de vente ayant une échéance fixée. Lorsque l'échéance est infinie, le prix de l'option américaine de vente en l'absence de dividendes est donnée par Merton (1973), ( équation 52, p 174).

17 La structure de ce problème implique la présence d'un certain prix critique du support, I(τ), pour lequel l'exercice de l'option dépend du comportement de maximisation du porteur. La détermination de ce prix nécessite d'utiliser la condition suivante : P(I*, τ, K)/ t = - 1 (26) L'analyse de Merton (1973) donne le prix de l'option de vente pour une échéance infinie. Lorsque nous prenons en considération le dividende, l'option peut être exercée à chaque instant. En effet, comme le porteur de l'option de vente dispose de la possibilité de placer dans un compte le produit de l'exercice, cette condition est suffisante pour justifier l'exercice prématuré de son option. Lorsque le porteur décide de retarder l'exercice de son option, il "perds" l'intérêt sur le placement du produit de l'exercice. Le porteur doit ainsi comparer à chaque moment l'effet du dividende et du taux d'intérêt sur le prix de l'option américaine en effectuant un arbitrage. Cet arbitrage entre l'intérêt et le dividende le conduit à un dilemme. C'est la principale difficulté dans l'évaluation des options de vente. Après avoir exposé la problématique, nous présentons brièvement la portée et les limites des principaux modèles utilisés. Les modèles et les résultats Plusieurs approximations des prix de l'option américaine de vente avec et sans dividendes sont proposées dans la littérature financière et dans des revues de mathématiques. Par souci pédagogique, nous réduisons notre étude aux modèles les plus appliqués dans la profession bancaire et boursière. L'étude de Parkinson Parkinson (1977) a mis en oeuvre une solution analytique pour l'option américaine de vente en ignorant la question de dividendes. Les simulations effectuées sur sa formule, montrent des déviations importantes à la hausse par comparaison au prix du marché. Son modèle n'est pas approprié pour l'évaluation des options américaines de vente en présence de dividendes. L'étude de Geske et Johnson La formule proposée pour l'option de vente demeure subordonnée à la construction d'un portefeuille où la duplication doit être parfaite. Comme l'exercice d'une option de vente apparaît à n'importe quel instant, l'existence par moments d'une probabilité d'un exercice prématuré a permis à ces auteurs de ramener le problème en question à l'évaluation d'une séquence infinie d'options portant sur des options. La recherche d'une solution à partir d'un ensemble d'approximations sur une série infinie d'options portant sur des options peut être à l'origine de résultats non conclusifs. En effet, ce modèle est difficilement utilisable et montre sinultanément des biais de sous-évaluation et de surévaluation par rapport aux prix du marché. L'étude de Geske et Shastri

18 L'étude empirique de Geske et Shastri (1985) avance un certain nombre de remarques sur les travaux précédents : - la formule de Parkinson présente, tantôt des erreurs de sous-évaluations, tantôt des erreurs de sur-évaluations d'ampleur non négligeable; - l'approximation de Johnson est inadéquate; - les approximations de Geske et Johnson semblent aboutir à des résultats contradictoires. Le souci d'obtenir une formule analytique qui répond aux besoins des opérateurs sur les marchés en temps réel d'une part et la difficulté d'obtenir une formule satisfaisante pour évaluer les options américaines de vente d'autre part sont à l'origine de la mise en oeuvre de modèles fondés sur un rendement de dividendes. En effet, il s'est avéré impossible de concilier jusqu'à aujourd'hui le souci d'obtenir une formule analytique simple et de prendre simultanément en considération le profil réel de détachement des dividendes. Dans ce contexte, il semble approprié d'utiliser un modèle avec un rendement de dividendes pour approcher le prix d'une option de vente au lieu de recourir à un modèle qui donne des résultats "erronés". Le modèle de Barone-Adesi et Whaley répond en partie à cette exigence. L'étude de Barone-Adesi et Whaley Le modèle proposé par Barone-Adesi et Whaley, BAW (1987) permet de déterminer les prix des options européennes et américaines de vente dans le même contexte que les options d'achat. En conservant les mêmes notations, la valeur d'une option européenne de vente est : p = - S exp(b -r ) T N(- d 1 ) + K exp(-r T) N(- d 2 ) (27) avec : d 1 = [Ln(S /K) + (b + 1/2 σ 2 )Τ]/ σ T d 2 = d 1 - σ T La valeur d'une option américaine de vente est : P(S,T) = p(s,t) + A 1 ((S/S cr )q1 si S > S cr (28) P(S,T) = K - S si S < S cr A 1 = -( S cr /q 1 ){ 1 - exp((b - r)t ) N(-d 1 (S cr ))} q 1 = [-(N - 1) - (N-1)2 + 4M/k]/2 M = 2r/σ 2, N = 2b/σ 2 k = 1 - exp(-rt) Le niveau critique du support est calculé itérativement à partir de l'égalité suivante : K - S cr = p(s cr,t) - {1- exp(b-r)t N(-d 1 (S cr ))}S cr /q 1 (29) La connaissance du prix critique du support est importante car ce prix caractérise la valeur du support correspondant à un exercice prématuré optimal de l'option. Le tableau (3) simule les prix des options européennes et américaines de vente

19 par référence aux formules (27) à (29) en fonction de différents prix du support et des paramètres suivants. Tableau 3 Simulations des prix des options européennes, p, et américaines, P, de vente à partir du modèle de Barone-Adesi et Whaley (1987) pour les paramètres suivants : K = 100 r = 0.08, T= 0.25, b = , σ = 0.2 S N(-d 1 ) N(-d 2 ) p P S cr 90 0,8759 0, ,893 11,251 85, ,5596 0,5199 4,396 4,485 84, , ,1330 1,166 85, , ,2140 0,228 85,080 La première colonne donne les prix de l'actif support qui varient de 90 à 120. La deuxième et la troisième colonne indiquent les valeurs des probabilités qui affectent respectivement le prix du support et le prix d'exercice. La quatrième colonne donne le prix de l'option européenne de vente sur actions. La cinquième colonne indique le prix de l'option américaine de vente dans le même contexte. La dernière colonne présente le prix critique du support calculé par la procédure itérative à partir de l'équation (29). Le lecteur peut apprécier la valeur du droit d'un exercice prématuré donnée par la différence entre le prix d'une option européenne et celui d'une option américaine. Les formules analytiques mises en oeuvre sont suffisantes pour évaluer des options sur actions ou sur indices en présence de quelques détachements de dividendes ou d'un rendement de dividendes tout en présentant une certaine marge d'erreur. En revanche, en présence de plusieurs détachements de dividendes en temps discret, il est plus approprié d'utiliser le modèle binomial ou une approche numérique. Les approches numériques et en particulier les méthodes des différences finies sont très utiles pour évaluer des options sur indices en présence de différents profils de détachement de dividendes. Le lecteur peut consulter à ce sujet les travaux de Bellalah (1990 a, b) et de Bellalah et Jacquillat (1991). I V. L'ÉVALUATION DES OPTIONS ET LE MODÈLE DE CRR Contrairement aux modèles en temps continu, qui montrent le double avantage de présenter des formules analytiques et de déterminer les prix des options instantanément, les modèles binomiaux exigent des itérations et un temps de calcul relativement long pour calculer les prix des options. Toutefois, malgré l'inconvénient qu'ils montrent en terme de temps de calcul par rapport aux modèles en temps continu, les modèles binomiaux sont beaucoup plus flexibles que les modèles en temps continu. L'approche binomiale proposée initialement par CRR est pédagogique et calcule le prix de l'option sans recourir à des mathématiques compliquées. Ce modèle

20 suppose que le prix de l'actif support peut être approché par un processus binomial, c'est-à-dire sur chaque intervalle de temps, il bouge à la hausse de (u) ou à la baisse de (d). Par souci de clarté, ce modèle est présenté d'abord sous une version à une période puis dans une version à plusieurs périodes en l'absence de dividendes. Ensuite, le modèle est ajusté pour les dividendes. Le modèle en l'absence de dividendes Le point crucial de cette approche est la formation d'un portefeuille d'arbitrage sans risque en achetant l'actif support et en vendant l'option. Ce portefeuille est sans risque parce qu'à la fin de la période son prix est certain. C'est la raison pour laquelle notre exposé du modèle binomial débute par l'illustration de la notion de portefeuille d'arbitrage. La création d'un portefeuille de couverture nécessite l'achat d'une unité du support, S, et la vente d'un nombre H d'options : (S - HC). Il est possible également de créer ce portefeuille en achetant une option et en vendant 1/H titres. Le ratio de couverture H est donné par l'expression : S(u d) H = (30) C u C d Dans la mesure où à la fin de la période la valeur du portefeuille de couverture devient R (S - HC), elle doit aussi être égale à la valeur finale (us - HCu). Si ces deux valeurs ne sont pas égales, il est possible de mettre en oeuvre des portefeuilles d'arbitrage permettant de réaliser des profits sans risque en achetant le portefeuille le moins cher et en vendant l'autre. De ce fait, les deux portefeuilles présentent la même valeur, soit : R (S - HC) = (us - HCu) Dans cette expression, R désigne un plus le taux d'intérêt sans risque. En isolant la valeur de l'option C dans cette égalité, il vient : C = S( R u) + Hc u HR (31) Il suffit de remplacer le ratio de couverture par sa valeur dans (31) pour obtenir la valeur de l'option : ( R d) C = C u (u d) + C (u R) d (u d) / R (32) Cette expression correspond exactement à la formule d'évaluation d'une option européenne d'achat dans le modèle binomial à une période. Le prix de l'option dans ce modèle est donné par sa valeur espérée actualisée au taux d'intérêt sans risque sous la probabilité neutre au risque. Désignons par T la date d'échéance de l'option que l'on divise en N intervalles de longueur t. Au cours de chaque intervalle de temps, l'actif support, S, augmente d'un montant u pour prendre la valeur Su avec la probabilité p et baisse de d pour atteindre la valeur Sd avec la probabilité (1-p). Il est souvent