Simulation numérique du refroidissement d une plaque plane par un jet plan impactant

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1 Simulation numérique du reroidiement d une plaque plane par un jet plan impactant Stéphane ABIDE 1*, Stéphane VIAZZO 2, Camille SOLLIEC 3 1 LAMPS-GME, Univerité de Perpignan, 52 Avenue Paul Alduy, Perpignan 2 M2P2, Aix-Mareille Univerité, 38 rue F. Joliot-Curie, Mareille cedex 20 3 DSEE/GEPEA, Ecole de Mine de Nante, 4 rue Alred Katler, Nante * tephane.abide@univ-perp.r Réumé - Cette communication préente une méthode de décompoition de domaine appliquée à la imulation du reroidiement d une lamelle olide par un jet plan en impact. Cette technique repoe ur l utiliation d une matrice d inluence pour aurer la continuité de la température et de la denité de lux à l interace luide/olide tout en conervant une préciion d ordre élevé (quatrième ordre compact). L algorithme et validé ur une étude de la cavité diérentiellement chauée, pui il et utilié pour calculer la température de urace lor du reroidiement d une lamelle olide à aible nombre de Reynold. Nomenclature Re Nombre de Reynold Pr Nombre de Prandlt u champ de vitee p champ de preion T température, K Symbole grec champ de température conductivité thermique rapport de conductivité thermique Indice et expoant olide luide,t dérivée temporelle c température roide h température chaude 1. Introduction Le procédé de traitement thermique de urace ont d une grande importance dan l indutrie. On citera, parmi de nombreux exemple, le reroidiement thermique de denrée alimentaire, ou la trempe de verre par jet d air plan. De part ce propriété cinématique, le jet d air plan impactant, augmente le tranert thermique ur la zone d impact. Il ont donc naturellement exploité ain d améliorer l eicacité énergétique du traitement thermique. Dan le approche de type imulation numérique, il et d uage de traiter le tranert thermique pariétaux en conidérant la paroi comme une rontière du domaine. Cela implique d impoer de condition aux limite ur la température et/ou la denité de lux à la paroi. Touteoi, lorque l on étudie la dynamique du reroidiement (ou réchauement) dan le matériau, il et néceaire d introduire la notion du couplage de tranert thermique entre le olide et le luide. Dan ce travail, le couplage de tranert thermique pariétaux et auré par une méthode directe de décompoition de domaine. Cette méthodologie permet de conerver le quatrième ordre de la préciion patiale employée : chéma compact ur maillage décalé. Dan une première ection, la méthode numérique de décompoition de domaine et préentée. Le apect lié à la réolution numérique du couplage thermique luide/olide y eront développé. On montrera, en particulier, comment la méthode de décompoition de domaine par matrice d inluence, développée initialement dan le cadre de méthode pectrale, et également adaptée aux chéma compact. Une deuxième ection et conacrée à la préentation de réultat. Dan un premier temp, on préente brièvement le tet de validation de l algorithme ur un écoulement de cavité diérentiellement chauée en préence de lamelle olide conductrice. Pui, nou préenteron le réultat concernant le

2 reroidiement d un olide par un jet d air plan bidimenionnel. Cette étude, du reroidiement et caractériable par le nombre de Reynold baé ur la vitee moyenne en ortie de bue et la ection de la bue, aini que le rapport de conductivité thermique luide/olide. L étude propoée préente le réultat pou de nombre de Reynold de 100, 300 et 500, et de rapport de conductivité thermique compri entre 1 et Sur cette gamme de paramètre, on montera l impact de la topologie de l écoulement ur le tranert thermique pariétaux. 2. Modéliation 2.1. Modéliation de tranert dan le domaine luide L'objecti de ce travail et de qualiier le tranert thermique d'un jet plan impactant (oulé à une température T c ) durant le reroidiement oudain d'une ine lamelle (initialement à une température T h ) d'un matériau de conductivité thermique connue. Le phénomène phyique mi en jeu ont la dynamique du jet impactant, le tranert thermique au ein de la zone luide et dan la ine lamelle olide. La coniguration géométrique de cette étude et chématiée ur la igure 1. Elle comprend un canal précureur du jet (bue) de largeur e et de hauteur L b =4e. Le jet débouche dan un canal de coninement de longueur L c =40e et de hauteur d'impact H=10e. Le domaine d'étude de tranert thermique comprend le domaine luide explicité précédemment, et une ine lamelle d'épaieur L =e accolée à la paroi inérieure. Figure 1 : Repréentation du domaine de calcul de la imulation du couplage thermique luide/olide. En entrée du canal précureur, on impoe un proil de vitee laminaire, avec maximum de vitee noté U m. La dynamique du jet et décrite par le équation de Navier-Stoke en luide incompreible. Ce ytème d'équation et exprimé ou orme adimenionné, en introduiant le nombre de Reynold baé ur la vitee caractéritique U m et la longueur caractéritique e. Le tranert thermique ont gouverné par l'équation de l'énergie exprimée ou orme adimenionnée (θ= (T -T c )/(T h -T c )). Le ytème d'équation à réoudre dan le domaine luide Ω et alor :. u 0 2 ut u. u p u 1 Re Pr 1 Re 2 t u. (1.1) Ce ytème et déini dan le domaine luide Ω. Le condition aux limite pour le domaine luide ont de type convecti pour la quantité de mouvement et pour la température.

3 Le rontière extérieure du domaine olide ont oumie à de condition de type adiabatique. L interace et oumie à la continuité de la température et de la denité de lux. Ce dernier point et abordé dan la ection uivante Modéliation du couplage de tranert thermique luide/olide Le couplage de tranert thermique et eecti ur la paroi inérieure de la cavité, où il et uppoé un contact parait entre le luide et le olide : la température et la denité de lux ont continue à l interace luide/olide. Le tranert thermique dan la lamelle olide ont gouverné par imple diuion. La diuion thermique et le couplage de tranert thermique ont gouverné par le équation uivante : 2 2 / ur 2 2 t C / C x y ur n n ur (1.2) Le condition aux limite à l interace ont impoée imultanément dan le domaine luide et olide. L algorithme préenté ci-aprè permet de atiaire cette condition. 3. Méthode numérique 3.1. Dicrétiation de équation de Navier-Stoke Le ytème (1) et dicrétié temporellement par une méthode à pa ractionnaire emiimplicite. Le terme convecti de l équation de quantité de mouvement et de l énergie, ont dicrétié par la méthode explicite d Adam Bahorth. Le terme diui ont avancé en temp par la méthode implicite de Crank Nicolon. Le découplage vitee/preion et auré par l algorithme de projection de Kim et Moin [1]. Ce dernier e décompoe en troi étape. Premièrement, une vitee intermédiaire et déduite de l équation implicite de quantité de mouvement. Enuite le champ de preion et déterminé par réolution de l équation de preion. La dernière étape conite à projeter le champ de vitee intermédiaire ur un champ de vitee à divergence nulle [1]. Bien que commettant une erreur de gliement par rapport aux condition d adhérence, cet algorithme aure une préciion temporelle d ordre 2 ur le variable de vitee et de température et d ordre 1 ur la preion. Le inconnue de vitee et de preion ont dipoée ur un maillage entrelacé [2]. La dicrétiation patiale aociée à ce maillage et baée ur le chéma compact d ordre 4 [3]. Ce péciicité aurent un couplage vitee/preion (abence d ocillation ur le champ de preion), et une conervation de l énergie cinétique lorque que la ormulation «kew-ymmetric» de terme convecti et adoptée [4]. Le terme implicite de diuion dan le domaine luide et olide ont inveré par une méthode de diagonaliation complète. On notera, que le pectre de opérateur de l équation de preion admettent une valeur propre nulle pour chaque direction [5] Le couplage de tranert thermique luide/olide La méthode propoée pour aurer la continuité de la température et de la denité de lux à l interace, repoe ur une technique de matrice d inluence. Cette méthode a été développée entre autre par I. Rapo [6] dan le cadre d une ormulation ligne de courant/vorticité et par S. Abide et S. Viazzo [5] dan le cadre d une ormulation vitee/preion de équation de

4 Navier-Stoke. L idée directrice de cette technique et d utilier la propriété de linéarité de l opérateur de diuion, pour contruire une matrice d inluence traduiant le condition de continuité de la olution. L inverion du ytème linéaire aocié à cette matrice d inluence permet de déterminer le valeur à impoer à l interace pour aurer la régularité de la olution. Cet algorithme et détaillé dan [5] et [6]. L intérêt de cette technique, par rapport à la plupart de méthode itérative, et de conerver la préciion patiale de chéma compact. 4. Préentation de réultat 4.1. Convection naturelle avec couplage luide/olide de tranert thermique Dan cette partie et préentée une validation de l algorithme de couplage multi-domaine. Cette validation porte ur une coniguration dérivée de la cavité diérentiellement chauée : on conidère le couplage de tranert thermique luide/olide ur le paroi horizontale (c ig. 2) à la place de condition aux limite adiabatique uuelle. Le nombre de Rayleigh retenu et Ra=10 5. Le rapport de conductivité thermique entre le olide et le luide étudié ont 1, 10-1, 10-2 et Cela revient à prendre un matériau de plu en plu iolant ur le paroi horizontale. Ain de valider la procédure de couplage olide/luide, on e ocalie ur le tranert thermique pariétaux : le proil du nombre de Nuelt, aini que e valeur minimum et maximum qui ont tracée en onction du rapport de conductivité thermique (igure 2). (a) (b) Figure 2 : Inluence du rapport de conductivité thermique ur le nombre de Nuelt (a) Géométrie et coniguration, (b) Nuelt local ur la paroi chaude La igure 2 (b) montre que lorque le rapport de conductivité thermique diminue le tranert thermique pariétaux tendent ver une aymptote. Cette olution limite correpond à celle de la convection naturelle en cavité 2d avec de paroi horizontale adiabatique. En eet, le valeur du nombre de Nuelt minimum et maximum de la paroi chaude pour le rapport le plu aible ont repectivement 7,72 et 0,73. Ce valeur ont proche de olution de réérence (paroi adiabatique) préentée dan [7], [8], [9] et [10] Jet plan en impact : dynamique L écoulement bidimenionnel du jet plan en impact a été étudié pour troi nombre de Reynold Re=100, Re=300 et Re=500. Au nombre de Reynold Re=100, un écoulement tationnaire et obervé. Pour le nombre de Reynold Re=300 et Re=500, une olution

5 intationnaire et obervée, avec touteoi de diérence. En particulier, l écoulement au nombre de Reynold Re=300 montre un léger battement du jet dan la zone d impact, tandi que l écoulement pour Re=500, montre une orte modiication de la tructure du jet bidimenionnel (c. igure 3). Re=100 Re=300 Re=500 Figure 3 : Topologie du jet plan bidimenionnel De haut en ba : iovaleur de compoante horizontale et verticale et de ligne de courant 4.3. Jet plan en impact : caractériation de la température de urace Nou préenton ici l évolution temporelle de la température de urace au point de tagnation du jet (milieu du canal) pour le troi nombre de Reynold Re=100, Re=300 et Re=500, et pour chaque rapport de conductivité thermique. Cette analye porte ur la phae de reroidiement du olide, i.e. qu à l intant t=0 le bloc olide et oumi à une température initiale adimenionnelle de 1. Le igure 4 (a-c) préentent donc l évolution de la température de urace durant la phae de reroidiement, pour un temp de imulation adimenionnel compri entre 0 et 150. Au nombre de Reynold Re=100 igure (4-a), on contate que la température de tagnation dépend ortement du rapport de conductivité thermique. Au temp adimenionné t=150 la température de tagnation et de 0,87 pour le rapport Λ=1, alor qu'elle atteint 0,997 pour Λ =10 4. La igure (4-b) préente l'évolution de la température de urace durant le reroidiement pour le régime d'écoulement quai-périodique i.e. Re=300. Comme pour le régime tationnaire, on contate une orte dépendance de la température de urace au rapport de conductivité thermique. On contate aui que le caractère quai-périodique de l'écoulement e maniete ortement pour le rapport unité alor qu'il emble atténué, voire même inhibé pour le rapport plu élevé. De plu, on retrouve une orte diperion de valeur de la température de tagnation pour le deux valeur extrême de rapport de conductivité thermique. L'évolution temporelle de la température de tagnation pour le nombre Re=500 (c. igure (4-c)) montre le caractère ortement intationnaire de la température de tagnation pour le rapport unité de conductivité thermique. A l intar de la imulation au nombre de Reynold Re=300, le rapport de conductivité important inhibent l intationnarité de la température au point de tagnation.

6 (a) Re=100 (b) Re=300 (c) Re=500 Figure 4 : Evolution de la température de urace au point d arrêt. 5. Concluion Lor de ce travail, le couplage de tranert thermique luide/olide a été abordé à l aide d une méthode de décompoition de domaine et ur la bae d un olveur Navier-Stoke d ordre élevé. Cette méthodologie numérique a été tetée ur un ca de réérence : la cavité diérentiellement chauée en préence de lamelle olide conductrice. Cette méthodologie a enuite été appliquée à l étude du reroidiement d une lamelle olide par un jet bidimenionnel plan. Cette première approche met en évidence une orte corrélation entre le caractère intationnaire de l écoulement, celui de la température de tagnation et le rapport de conductivité thermique. Réérence [1] J. Kim, P. Moin, Application o a ractional-tep method to incompreible Navier-Stoke equation, Journal o Computational Phyic, Vol. 59, pp , [2] Welch, Harlow, Shannon, and Daly, The MAC method, a computing technique or olving vicou, incompreible, tranient luid low problem involving ree urace. Lo alamo cientic laboratory report la3425, uc32, math. and comput. tid4500, Univerity o Caliornia, [3] S. K. Lele, Compact inite dierence cheme with pectral-like reolution. Journal o Computational Phyic, Vol. 103, pp16-42, [4] R. Schietel, S. Viazzo, A Hermitian-Fourier numerical method or olving the incompreible Navier-Stoke equation, Computer and Fluid, Vol. 24, pp , [5] S. Abide and S. Viazzo, A 2d compact ourth-order projection decompoition method, Journal o Computational Phyic, Vol. 206, pp , [6] I. Rapo, A direct pectral domain decompoition method or the computation o rotating low in a T-hape geometry, Computer & Fluid, Vol. 32, pp , [7] D. De Vahl Davi and I. Jone, Natural convection o air in a quare cavity : A benchmark olution, International Journal or Numerical Method in Fluid, Vol. 3, pp , [8] M. T. Manzari An explicit inite element algorithm or convective heat traner problem, International Journal or Numerical Method or Heat & Fluid Flow, Vol. 9, pp , [9] D. A. Mayne, A. S. Umani, and M. Crapper, h-adaptive inite element olution o high rayleigh number thermally driven cavity problem. International Journal or Numerical Method or Heat & Fluid Flow, Vol. 10, pp , (2000). [10] D. C. Wan, B. S. V. Patnaik and G. W. Wei, A new benchmarck quality olution or the buoyancy driven cavity by dicrete ingular convolution, Numerical Heat Traner : Part B : Fundamental, Vol. 40, pp , (2001).