Segmentation d'image : Contours
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- Victor Paquin
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1 Segmentation d'image : Contours Philippe Montesinos EMA/LGI2P Parc Scientifique G.Besse Nîmes montesin@site-eerie.ema.fr 1
2 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel... Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 2
3 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel... Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 3
4 Rappels : Signal Echantillonnage et quantification 1D : Signal réel quantification échantillonnage x, y, t,... 4
5 Rappels : Images Niveau de Gris échantillonnage en Y I(153,203) = ici quantification sur 256 teintes de gris codage entier : 1 octet par pixel 256 échantillonnage en X 5
6 Rappels : Images Niveau de Gris I(x,y) Exemple : contours = transition entre 2 régions ~ homogènes 6
7 Rappels : Images Couleur - Image couleur : Plan Rouge 3 images niveau de gris Plan Vert Plan Bleu 7
8 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel... Opérateur Gradient, orientation du gradient Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 8
9 Rappels : Filtrage - Transformée de Fourier : - Transformée de Fourier inverse: 9
10 Rappels : Filtrage - Transformée de Fourier 2D : Coordonnées fréquentielles Coordonnées spatiales - Transformée de Fourier 2D inverse: 10
11 Transformée de fourier Domaine transformée Module de la TF TF Domaine image 11
12 Transformée de fourier Domaine transformée TF Domaine image 12
13 Transformée de fourier Domaine transformée TF Domaine image 13
14 Rappels : Filtrage - Convolution 1D : cas de fonctions continues Retournement d'une des deux fonctions 14
15 Convolution et Filtrage par Transformée FFT -1 * X = = Filtrage spatial : Convolution FFT Filtrage fréquentiel : Transformée - Filtrage linéaire cas général : 15
16 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel... Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 16
17 Filtrage fréquentiel Domaine transformée TF Domaine image 17
18 Filtrage fréquentiel Domaine fréquentiel image complexe : Affichage : 18
19 Filtrage fréquentiel (0,0) (-1,0) (0,-1) (-1,-1) FFT Filtre fréquentiel Filtre spatial 19
20 Filtrage fréquentiel (0,0) (-1,0) (0,-1) (-1,-1) FFT Filtre fréquentiel Filtre spatial : Inversion des blocs 20
21 Filtrage fréquentiel FFT Filtre fréquentiel Filtre spatial : réponse impulsionnelle 21
22 Filtrage fréquentiel Domaine transformée TF Domaine image 22 Ondulations (filtre avec maxima secondaires)
23 Filtrage fréquentiel Domaine transformée TF Domaine image 23
24 Filtrage fréquentiel Domaine transformée TF Domaine image 24
25 Filtrage fréquentiel Domaine transformée TF Domaine image 25
26 Filtre Gaussien : Implémentation par FFT 26
27 Produit dans l espace des fréquences X TF d'une gaussienne est une gaussienne Parties réelles et imaginaires 27
28 FFT inverse domaine spatial Image initiale Image filtrée 28
29 Autre exemple : Suppression de trames Image initiale 29
30 Autre exemple : Suppression de trames FFT Filtre fréquentiel 30
31 Autre exemple : Suppression de trames Image initiale Image filtrée 31
32 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel... Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 32
33 Retournement d'une des deux fonctions Rappels : Filtrage - Convolution 1D : cas de fonctions discrètes 33
34 Rappels : Filtrage - Convolution 2D : Image résultat Image en entrée Image filtre = masque de convolution 34
35 Convolution et Filtrage par Transformée FFT Image initiale FFT -1 * X = = Masque de convolution Filtrage fréquentiel : Transformée Filtrage spatial : Convolution Image résultat 35
36 Domaine spatial : convolution Masque de convolution : x x y y Image initiale Image résultat 36
37 Domaine spatial : convolution filtre de lissage Filtre Moyenne : exemple filtre de taille 5x5 coefficient de normalisation 37
38 Couleur : filtrage marginal Moyenne 3x3 sur chaque plan 38
39 Couleur : filtrage marginal Moyenne 9x9 sur chaque plan 39
40 Couleur : filtrage marginal Moyenne 25x25 sur chaque plan ~ dirac Réponse impulsionnelle du filtre 40
41 Domaine spatial : convolution filtre gaussien Continu : Discret: Coefficient calculé numériquement 41
42 Domaine spatial : convolution filtre gaussien Filtrage linéaire : convolution x x y y filtre gaussien : moyenne pondérée : les pixels du centre comptent + 42
43 Domaine spatial : convolution filtre gaussien 2D propriété d'isotropie avec : en coordonnées polaires 43
44 Couleur : filtrage marginal (filtre isotrope) Gaussien (25x25) filtre isotrope Lissage dans toutes les directions de manière équivalente 44
45 Surface image : régularisation Image : cercle + bruit blanc Visualisation de la Surface image 45
46 Surface image : régularisation Régularisation : lissage gaussien 46
47 Surface image : régularisation Surface image : lissage gaussien 47
48 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel... Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 48
49 Complexité Masque de convolution : pour un masque de taille (2N+1)x(2M+1) : (2N+1) x (2M+1) opérations/pixel. x y x y 49
50 Implémentation : séparabilité des filtres Ex : moyenne 5x5. 50
51 Domaine spatial : convolution filtre moyenne séparable Filtrage linéaire : convolution séparable y x x x y y 51
52 Domaine spatial : convolution filtre moyenne séparable x x y y x y Masque de convolution séparable : pour un masque de taille (2N+1)x(2M+1) séparable : (2N+1) + (2M+1) opérations/pixel. 52
53 Domaine spatial : convolution filtre gaussien séparable Convolution en X suivie d'une convolution en Y 53
54 Domaine spatial : convolution filtre gaussien séparable =1 Filtre gaussien (en Y): x y y Ici : masque 1x11, mais un masque de taille : 1x(+- 3 ) = 1x7 suffisant erreur ~ 54
55 Domaine spatial : convolution filtres récursifs Exemple : filtre moyenne (fonction porte) 1 -a 0 a 55
56 Domaine spatial : convolution filtres récursifs On définit : 56
57 Domaine spatial : convolution filtres récursifs Exemple : filtre moyenne (fonction porte) 1 -a 0 a 1 1 -a a 57
58 Rappels : Transformée en Z Transformée en Z d'une fonction discrète : 58
59 Domaine spatial : convolution filtres récursifs 59
60 Domaine spatial : convolution filtres récursifs sortie entrée filtre Si : alors par TZ domaine spatial : convolution domaine fréquentiel : multiplication 60
61 Domaine spatial : convolution filtres récursifs donc: Equation de récurrence (sens positif) 61
62 Domaine spatial : convolution filtres récursifs X k a k Y + k-a k k+1 62
63 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel... Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 63
64 Domaine spatial : convolution filtre de lissage signal constant en entrée lissage signal de sortie doit être identique lissage : pas de modification de l'énergie du signal sortie : signal constant avec filtre signal constant 64
65 Domaine spatial : convolution filtre de lissage normalisation des filtres : somme des coefficients du filtre : 1 détermination du coefficient de normalisation 65
66 Domaine spatial : normalisation filtre gaussien 2D 66
67 Domaine spatial : normalisation filtre gaussien En pratique : noyau de convolution de taille N dépend de (2N+1)x(2N+1) ( pour une gaussienne N ~ 3 ) 67
68 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 68
69 Modèle de contour (1D) Step edge : fonction de Heaviside I(x) 1 x 69
70 Modèle de contour (1D) x Step edge 70
71 Modèle de contour (1D) Step edge Lissage 71
72 Modèle de contour (1D) Maximum dérivée première x Point de contour Dérivation 72
73 Modèle de contour (1D) Passage par zéro dérivée seconde x Point de contour Dérivation 73
74 Opérateurs différentiels (2D) Image initiale Lissage gaussien : Courbes de niveau 74
75 Gradient 2D 2 dérivées : dérivée en X et en Y Vecteur gradient : notation 75
76 Gradient Direction de la pente donnée par le vecteur gradient Tangente Courbes de niveau 76
77 Gradient + - Coupe suivant X 77
78 Gradient Ix Iy 78
79 Gradient Vecteur gradient : Norme du gradient : c'est la pente dans la direction de la pente maximale Orientation / axe des X de la pente maximale 79
80 Gradient 80
81 Détection de contours : marionnette (dérivées gaussiennes) Ix Iy 81
82 Détection de contours Norme Angle 82
83 Détection de contours (vecteurs unitaires d'orientation) 83
84 Laplacien Laplacien = somme des dérivées secondes scalaire 84
85 Laplacien 85
86 Laplacien - passage par zéro + 86
87 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel, dérivée seconde... Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 87
88 Filtrage dérivatif Filtrage dérivatif par convolution 88
89 Filtrage dérivatif Filtrage dérivatif : Cas discret : 89
90 Filtrage dérivatif f(n+1) -1 1 signal filtre problème coordonnées entières décalage ½ pixel... f '(n) dérivée f(n) Filtrage dérivatif, dérivée discrète : 90
91 Filtrage dérivatif Filtrage dérivatif, on préférera : dans le cas discret : c'est la moyenne des dérivées à droite et à gauche encore un filtre moyenne... 91
92 f(n) -1 1 f(n+1) f(n-1) Filtrage dérivatif signal filtre f(n+1)-f(n) f(n)-f(n-1) dérivée Moyenne dérivée à droite et dérivée à gauche 92
93 Filtrage dérivatif f(n-1) f(n) f(n+1) Filtrage dérivatif, dérivée discrète centrée : ½ signal filtre f '(n) dérivée 93
94 Filtrage dérivatif filtrage dérivatif général : lissage + dérivation lissage (suppression du bruit) puis dérivation Dérivée du filtre de lissage convolution de l'image avec la dérivée du filtre de lissage 94
95 Filtrage dérivatif Normalisation : filtrage dérivatif général (ordre 1): soit : terme nul car g(n) est anti-symétrique (filtre dérivée 1ère) Condition de normalisation 95
96 Filtrage dérivatif Normalisation : filtrage dérivatif général (ordre 1): soit : terme nul car g(n) est anti-symétrique (filtre dérivée 1ère) Condition de normalisation 96
97 Filtrage dérivatif Normalisation filtrage dérivatif général : dérivées exactes pour des polynômes si alors on doit avoir : 97
98 f(n+1) f(n) f(n-1) Filtrage dérivatif : dérivées secondes -1 1 On applique 2 fois une dérivée première -1 1 f(n+1)- 2 f(n)+f(n-1) 98
99 Filtrage dérivatif : dérivées secondes Masques de convolution : 99
100 Filtrage dérivatif : double filtrage passe bas Lissage fort Lissage faible 100
101 Filtrage dérivatif : double filtrage passe bas Passage par zéro Approximation dérivée seconde 101
102 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel, laplacien,... Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 102
103 Détection de contours Filtrage dérivatif : filtres de Prewitt 103
104 Détection de contours Filtrage dérivatif : filtres de Sobel 104
105 Détection de contours : filtres de Prewitt Ix Iy 105
106 Détection de contours : filtres de Sobel Ix Iy 106
107 Détection de contours Prewitt : filtre moyenne non normalisé pas de coefficient (1/3) Filtres de Prewitt et Sobel : Moyenne des dérivées droite et gauche non normalisée (manque coefficient ½) Sobel: filtre triangle non normalisé pas de coefficient (1/4), dérivation en X (lissage en X + lissage en Y) dérivation en Y (lissage en X + lissage en Y) Mêmes problèmes en Y 107
108 Détection de contours Filtres de Prewitt et Sobel non normalisés : manque : coefficient 1/6 pour Prewitt manque : coefficient 1/8 pour Sobel 108
109 Détection de contours : filtres de Prewitt Norme Angle Résultat assez bruité visible sur l'angle du gradient 109
110 Détection de contours : filtres de Sobel Norme Angle Résultat assez bruité visible sur l'angle du gradient 110
111 Détection de contours Dérivée première d'autres méthodes : masques de Roberts masques de Kirsch 111
112 Détection de contours Filtres de Roberts: dérivées à 45 degrés 112
113 Détection de contours Masques de Kirsch : autres masques se déduisant par rotation gradient = max des 8 réponses angle = angle correspondant à la réponse max 113
114 Détection de contours : filtre laplacien laplacien différences finies : 114
115 Détection de contours : filtre laplacien Passages par zéro : résultat très bruité 115
116 Détection de contours : filtre laplacien laplacien par double filtrage passe bas moyennes 3x3-1x1 : Filtre non normalisé suffit pour déterminer des passages par zéro 116
117 Détection de contours : filtre laplacien laplacien par double filtrage passe bas moyennes 3x3-1x1 117
118 Détection de contours : filtre laplacien Passages par zéro : résultat très bruité laplacien différences finies : laplacien par double filtrage passe bas moyennes 3x3-1x1 118
119 Détection de contours : filtre laplacien laplacien par double filtrage passe bas : moyennes 5x5-3x3 : 119
120 Détection de contours : filtre laplacien laplacien par double filtrage passe bas moyennes 5x5-3x3 120
121 Détection de contours : filtre laplacien laplacien par double filtrage passe bas moyennes 5x5-3x3 121
122 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 122
123 Détection de contours : Filtrage Optimal Travaux de Canny (83) Contour Idéal: Step-edge + bruit blanc gaussien (1D) 123
124 Détection de contours : Filtrage Optimal Dérivée par différences finies 124
125 Détection de contours : Filtrage Optimal - Contour Idéal: Step-edge + bruit blanc gaussien (1D) - Filtres optimaux en détection de contour : 3 critères rapport signal sur bruit, localisation, réponse unique à un contour unique 125
126 Détection de contours : Filtrage Optimal Accentuation du contour par un opérateur de convolution: recherche d'un filtre de type dérivée première réponse signal Filtre de convolution 126
127 Détection de contours : Filtrage Optimal Rapport signal / bruit : 127
128 Détection de contours : Filtrage Optimal Localisation : écart quadratique moyen entre le contour détecté et le vrai contour 128
129 Détection de contours : Filtrage Optimal Contrainte : un seul maxima local pour un seul contour (densité de passages par zéro de la dérivée seconde) Valeur constante 129
130 Détection de contours : Filtrage Optimal Maximisation (Euler-Lagrange) : Avec contrainte de réponse unique 130
131 Détection de contours : Filtrage Optimal Solution EL: équation différentielle du 4ième degré Solution de la forme Contraintes aux bords : filtre anti-symétrique de type dérivée première s'annule aux extrémités du masque 131
132 Détection de contours : Filtrage Optimal t Masque de convolution 132
133 Détection de contours : Filtrage Optimal Canny : C(t) : approximée par la dérivée première d'une gaussienne 133
134 Détection de contours : Filtrage Optimal Canny Dérivée par différences finies dérivée première de la gaussienne Dérivée gaussienne =
135 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 135
136 Détection de contours : Filtrage récursif Deriche (86) filtre exponentiel (solution particulière de Canny) Si la TZ d un filtre est une fraction rationnelle: alors le filtre peut être implémenté de manière récursive (cf. filtre moyenne) - filtre Gaussien (séparable mais non récursif) - filtre exponentiel (séparable et récursif) 136
137 Détection de contours : Filtrage récursif Deriche (86) Solution particulière de Canny la taille du masque augmente 137
138 Détection de contours : Filtrage récursif Filtre de Deriche : dérivation : Intégration lissage : 138
139 Détection de contours : Filtrage récursif Coefficients de normalisation : 139
140 Détection de contours : Filtrage récursif Filtre de Deriche : TZ fraction rationnelle filtres récursifs pour la dérivée première : 140
141 Détection de contours : Filtrage récursif avec 141
142 Détection de contours : Filtrage récursif pour le filtre de lissage : 142
143 Détection de contours : Filtrage récursif avec 143
144 Détection de contours : Filtrage récursif Deriche (94) : Filtre gaussien approximation récursive Equation optimisée aux sens des moindres carrés. 144
145 Détection de contours : Filtrage gaussien récursif Equation de récurrence dans le sens + ( ) Equation de récurrence dans le sens - ( ) Filtrage complet 145
146 Détection de contours : Filtrage gaussien récursif Equation de récurrence dans le sens + ( ) k-3 k-2 k-1 k 146
147 Détection de contours : Filtrage gaussien récursif Equation de récurrence dans le sens - ( ) k+1 k+2 k+3 k+4 k+1 k+2 k+3 k+4 147
148 Détection de contours : Filtrage gaussien récursif Filtrage complet :
149 Détection de contours : filtre gaussien Calcul du gradient gaussien (dérivées en X et Y): Longueur Orientation 149
150 Détection de contours avec : et : où est un coefficient calculé numériquement 150
151 Détection de contours : filtre gaussien Dérivées gaussiennes : = 1 Ix Iy 151
152 Détection de contours : filtre gaussien Gradient gaussien : = 1 Norme Angle Résultat moins bruité lissage plus important 152
153 Détection de contours : filtre gaussien Dérivées gaussiennes : =2 Ix Iy 153
154 Détection de contours : filtre gaussien Gradient gaussien : = 2 Norme Angle Résultat moins bruité lissage plus important 154
155 Détection de contours : filtre gaussien Dérivées gaussiennes : =4 Ix Iy 155
156 Détection de contours : filtre gaussien Gradient gaussien : = 4 Norme Angle Résultat peu bruité lissage fort 156
157 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 157
158 Détection de contours : Extraction des contours Suppression des non maxima locaux du gradient Dans la direction du gradient Seuillage hystérésis Chainage Approximation polygonale 158
159 Suppression des non-maxima locaux du gradient pixel courant axe X gradients interpolés Θ orientation du gradient axe Y 159
160 Détection de contours : Extraction des contours = 1 = 4 = 2 160
161 Détection de contours : Extraction des contours Suppression des non maxima locaux du gradient Dans la direction du gradient Seuillage hystérésis Chainage Approximation polygonale 161
162 Détection de contours : seuillage par hystérésis On définit 2 seuils : seuil haut, seuil bas On considère les gradients seuillage avec le seuil bas Etiquetage de composantes Connexes liste de liste de pixels Tous les contours > seuil bas Tous les contours > seuil bas: (niveau de gris = numéro de région) 162
163 Détection de contours : seuillage par hystérésis Si un seul pixel (gradient > seuil haut) On garde toute la liste Gradient gaussien = 1, Seuillage par hystérésis : sb = 0.001, sh =
164 Détection de contours : Extraction des contours Suppression des non maxima locaux du gradient Dans la direction du gradient Seuillage hystérésis Chainage Approximation polygonale 164
165 Détection de contours : Chainage Chaînage : seuil de longueur = 20 pixels 165
166 Détection de contours : Extraction des contours Suppression des non maxima locaux du gradient Dans la direction du gradient Seuillage hystérésis Chainage Approximation polygonale 166
167 Détection de contours : Approximation polygonale Approximation polygonale: seuil de longueur = 10 pixels 167
168 Autre exemple Détection de Contours + Approximation Polygonale 168
169 Détection de contours : Subpixel Gradient Précision sub-pixel (Montesinos 97) 169
170 Détection de contours : Subpixel Suppression NML Précision sub-pixel 170
171 Détection de contours : Subpixel détection Précision sub-pixel 171
172 Détection de contours : Filtres anisotropes Image initiale Gradient perceptuel Contours perceptuels (Montesinos, Magnier 2010) 172
173 Détection de contours : Filtres anisotropes détection filtres anisotropes (approximation polygonale) 173 contour continu
174 Détection de contours (plan) Signal, échantillonnage, quantification, images numériques Rappels de filtrage linéaire : transformée de Fourier, convolution, cas discret Filtrage fréquentiel Filtrage spatial : filtre moyenne, filtre gaussien Convolution discrète et complexité : filtres séparables, filtres récursifs Lissage et régularisation, normalisation des filtres Opérateur différentiels : gradient, laplacien... Filtrage Dérivatif, dérivées partielles X et Y, normalisation des filtres Filtres de Prewitt, Sobel Filtrage optimal, approche de Canny Filtre de Deriche Détection de contours, suppression des non maxima locaux, seuillage par hystéresis Espaces échelle, EDPs 174
175 Détection de contours : Espace échelle (Koenderink) Filtre de lissage gaussien (isotrope): Dépend du paramètre : On étudie la position des contours En fonction de 175
176 Détection de contours : Espace échelle (Koenderink) Filtre de lissage gaussien (isotrope): Dépend du paramètre : On étudie la position des contours En fonction de 176
177 Détection de contours : Espace échelle X I(X) X 177
178 Détection de contours : Espace échelle X 178
179 Détection de contours : Espace échelle Autre exemple: 179
180 Détection de contours : Espace échelle Fusion de contours à plusieurs échelles : détection de contours = 1 détection de contours = 2 fusion par hystérésis : ( = 1 : considéré comme le seuil bas) ( = 2 : considéré comme le seuil haut) Un contour au seuil bas est conservé si au moins un pixel est détecté au seuil haut 180
181 Détection de contours : Espace échelle = 1 = 2 Fusion de contours à plusieurs échelles : 181
182 Diffusion Isotrope Analogie avec la diffusion de la chaleur: blanc = chaud, noir = froid Equation de la chaleur : équation aux dérivées partielles (EDP) La solution de cette EDP est la convolution de l image initiale par une gaussienne : 182
183 Diffusion Isotrope Diffusion isotrope Equation de la chaleur : équation aux dérivées partielles (EDP) Solution : convolution de l image initiale par une gaussienne 183
184 Equation de la chaleur : dt = 0.5 T=0 T=10 T=20 T=100 T=
185 Résumé Filtrage linéaire gaussien : 4 implémentations possibles Convolution Filtrage fréquentiel Equations de récurrence Equation de la chaleur 185
186 EDP EMSS : Euclidean Morphological Scale Space Lissage dans la direction des contours 186
187 EDP Cas particulier : MCM (Mean Curvature Motion) Diffusion anisotrope selon les isophotes 187
188 MCM : dt = 0.25 T=0 T=10 T=20 T=50 T=200 T=
189 MCM : dt = 0.25 T=500 T=1000 T=10000 Formes circulaires 189
190 EDP Affine Morphological Scale Space: Evolution invariante affine des isophotes 190
191 AMSS : dt = 0.05 T=0 T=100 T=200 Formes elliptiques T=
192 AMSS : dt = 0.05 T=0 T=50 T=100 Formes elliptiques T=200 T=
193 Filtres Morphologiques : dilatation (max) 193
194 Filtres Morphologiques : érosion (min) 194
195 Filtres Morphologiques : ouverture (érosion + dilatation) 195
196 Filtres Morphologiques : Top Hat ( image ouverture -> seuillage) 196
197 Bibliographie 197
198 Bibliographie 198
199 Bibliographie 199
200 Bibliographie 200
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