LP 01. Echelle et mesure des longueurs, de l atome aux galaxies

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1 LP 01 Echelle et mesure des longueurs, de l atome aux galaxies Niveau : Seconde Prérequis : - Conversion d unité de longueur dans le système métrique - Thalès, puissance de 10 - Composition de l atome - Structure du système solaire Biblio : Tomasino, Parisi, Durandeau nouveau, Hecht, Dictionnaire de la physique (Taillet, Villain, Febvre), Perez Optique, BNM (Etalons et unité de mesure) Plan : I. Mesures de longueur 1. Définir une longueur 2. Mesure une longueur 3. Comparer des longueurs II. Echelle humaine 1. Ordres de grandeur 2. Mesures directes 3. Mesures indirectes III. Vers l échelle de l atome 1. Ordres de grandeur 2. Expérience historique de Franklin 3. Utilisation de la lumière IV. Vers l échelle des galaxies 1. Ordres de grandeur 2. Expérience historique d Erastothène 3. Télémétrie laser

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3 Introduction : Physique, Chimie, Biologie = sciences qui ont pour but de décrire l univers. Pour pouvoir décrire et comparer des objets aussi différents que un atome et une planète : besoin d outils, et premier de ces outils = la longueur. I. Mesures de longueur 1. Définir une longueur * Définition : (Dictionnaire) Longueur = distance entre deux points considérés au même instant. Comment la définir de façon univoque? Unité = référence permettant d associer une valeur numérique à une grandeur physique. * Historique détaillé : (Hecht) Dans antiquité : définition à partir des parties du corps humains. Ex : Grande Pyramide construite en cubit = coude jusqu au doigt ; pied = longueur d une sandale ; pouce = épaisseur du pouce royal #Exp : mesure d un cahier en cubit pas pratique car variait selon les endroits et les personnes. Révolution française : dix millionième partie de la distance du Pôle Nord le long du méridien de Paris. Cette distance ne varie pas, mais l imprécision des mesures géographiques en font une définition trop arbitraire. En 1889 : distance entre deux traits fins gravés sur une barre d alliage platine-iridium (29 prototypes réalisés) Dégradation! En 1983 : 1 m = distance parcourue par la lumière en 1/ s dans le vide (idée : on peut mesurer le temps de façon beaucoup plus précise, et vitesse de la lumière = valeur fixée, exacte, donc définition du mètre plus précise) précision = précision de la seconde, à près)

4 Transition : obtention d un étalon de plus en plus bon, reste à s en servir! 2. Mesure d une longueur Mesurer une longueur = la comparer à une longueur de référence, qui donne son nom à l unité employée pour exprimer la mesure (Parisi p. 182) *Précision et incertitude Il est impossible d obtenir la valeur exacte d une grandeur (Parisi p. 194). La mesure ne fournit qu un encadrement de cette valeur, avec une certaine incertitude. Incertitudes dépendent de la qualité de l instrument de mesure, de la méthode utilisée par l expérimentateur, ainsi que de l expérimentateur lui-même. Erreur absolue La mesure donne X± X avec X valeur approchée et X incertitude ou erreur absolue, la mesure donne donc un encadrement de la valeur exacte. Plus la mesure est précise, plus X est petit. Erreur relative Pour savoir si une mesure est fiable, c'est-à-dire si on peut l utiliser : X/X * Notion de chiffres significatifs Définition : chiffres réellement accessibles par la mesure. Chiffres écrits en partant de la gauche à partir du premier chiffre différent de 0 (p195 Parisi, p314 Tomasino) Importance de la précision dans la vie de tous les jours : le technicien mesure afin d assurer l interchangeabilité des pièces et la sécurité des installations. Transition : on a vu comment déterminer des longueurs en m mais comment les comparer, est-ce qu il y a des unités adaptés : distance terre-soleil = m! 3. Comparer des longueurs * Multiples et sous-multiples du mètre - Pour faciliter l écriture et la comparaison, on peut également utiliser des multiples et sous-multiples adaptés. * Nécessité des puissances de 10 (Parisi p. 182) - Pouvoir situer une longueur sur l échelle des longueurs qui composent notre Univers, et de la comparer aux autres. On peut ainsi mémoriser facilement certaines tailles ou distances caractéristiques. - Ordre de grandeur d un nombre = la puissance de dix la plus proche de ce nombre - Pour le déterminer facilement : écriture scientifique = a.10 n, a entre 1 et 10, n entier relatif Alors si a entre 1 et 5, ordre de grandeur = n, si a entre 5 et 10, ordre de grandeur = n+1 ; - Pour comparer, si le quotient de deux longueurs est compris entre 1 et 10, alors elles sont du même ordre de grandeur. Si le quotient s exprime par a.10 n, alors elles sont différentes de n ordres de grandeur.

5 * Echelles humaines, microscopique, astronomique. Des atomes aux galaxies, les longueurs s échelonnent sur 41 ordres de grandeur : à m. Humaine (mm au km), de part et d autre astronomique et microscopique. Nos sens constituent nos premiers appareils de mesure. Dès le premier coup d œil jeté sur le monde, nous y délimitons plus ou moins arbitrairement des corps fait de matière.

6 II. Echelle humaine 1. Ordres de grandeur Commencer à remplir le transparent avec l échelle. 2. Mesures directes #Exp : comparer précision de la mesure de la longueur avec différents instruments : règle(s), pied à coulisse (Attention : précision à la demi-unité près = bêtises!). - pied à coulisse (mécanique et numérique) - Un double décimètre gradué en millimètre, et si possible un graduée en demi millimètre Instrument Longueur Incertitude (1 graduation) Erreur relative Pied à coulisse Un double décimètre Erreur relative : indique si la précision est fiable ou non. Ici le choix de l instrument est dicté par la précision désirée. Transition : on ne peut pas mesure la taille d un immeuble avec un décimètre 3. Mesures indirectes * Méthode utilisant les relations géométrique Méthode de la visée (Tomasino p191, Durandeau p32/33) ; #Exp :Avec décimètre, on mesure la porte. Incertitude (1 graduation) * Méthode utilisant une mesure de durée #Exp :Ultrasons Vson 340 m. s-1 à température ambiante et V = 2d/(t2-t1), donc d = Incertitude sur le temps due au placement des curseurs : on l estime. Ici incertitude de lecture Comparer avec la distance lue sur le support gradué en plastique (ou mesurée avec une règle ) Impérativement comparer la valeur obtenue avec celle de la mesure directe! La vitesse du son dépend de T!! Télémétrie! Ainsi pour mesure immeuble : télémétrie + visée Transition : à l échelle humaine, les mesures sont relativement aisées mais comment faire pour des échelles plus petites? III. Vers l échelle de l atome 1. Ordres de grandeur Continuer à remplir le transparent avec l échelle. Faire la remarque sur la structure lacunaire : si atome = stade de France, noyau = tête d épingle au

7 centre de ce stade 2. Expérience historique de Franklin * Une expérience historique : la goutte de B. Franklin #Exp :Franklin (Parisi p208, Tomasino p25) Transition : depuis, le développement de l optique a permis d obtenir d autres moyens de mesure beaucoup plus précis. 3. Utilisation de la lumière * Utilisation de la lumière : épaisseur d un cheveu #Exp :Diffraction d un laser par un cheveu Montrer comportement inhabituel de la lumière. Montrer que quand diamètre augmente, longueur de la tache centrale diminue => idée : tracer 1/a en fonction de L. Faire courbe étalonnage sur Regressi avec les barres d incertitude. Remarque : on peut comparer cette mesure à celle avec obtenue avec un microscope. Transition : il existe également des instruments de mesure adaptés * Instruments de mesure Loupe : jusqu à 10-3 m, microscope optique : jusqu au 10-6 m cellules, microbes ; microscope électronique : jusqu à 10-8 m molécules, microscope à force atomique ou à effet tunnel : jusqu à m nuage électronique des molécules ( Perez, Optique) Transition : passons à l autre extrême - IV. Vers l échelle des galaxies 1. Ordres de grandeur Continuer à remplir le transparent avec l échelle. Faire la remarque sur structure lacunaire : si soleil = pamplemousse, système solaire = ville de 10 km de diamètre = Paris 2. Expérience historique d Eratosthène * Dans l antiquité : Eratosthène Transparent en expliquant la vraie expérience + calcul (Tomasino p29) #Exp :Expérience d Erasthothène

8 3. Télémtrie Laser * Aujourd hui : télémétrie LASER (seulement si il y a le temps) Mesure de la distance Terre-lune en envoyant une impulsion laser sur des miroirs déposés sur la lune lors des missions Apollo. Le temps de l aller retour + vitesse lumière = 2 distances Terre-lune. (Tomasino p. 39, Durandeau nouveau p. 145)

9 Conclusion Schéma bilan récapitulant toutes les techniques de mesures Ouverture sur les messages de la lumière ou alors revenir sur l étalon du mètre! importance de bien mesurer le temps!

10 Questions : Comment a-t-on accès aux distances hors système solaire? Effet Dopler. Comment a-t-on accès aux dimensions du noyau? Expérience de Rutherford Pour l écho laser, qu est-ce qui réfléchit le laser sur la Lune? - pourquoi ne pas utiliser les ondes acoustiques pour déterminer le diamètre du cheveu? chercher adéquation entre le diamètre a à mesurer et la longueur d onde. La diffraction existe tout le temps, mais elle doit être observable : tache centrale ni trop petite, ni trop grande. Acoustique, frequence entre 20 et 160 khz, dc de 10-3 m à 10-4 m. La largeur de la tache centrale L= *D/a avec a de l ordre de 10-4 m donc L de l ordre du mètre : pas pratique. De plus, avec les ondes acoustiques, observations non aisées : déplacer un capteur - pourquoi évaluer l imprécision d un instrument de mesure à une demi-unité est faux? pas de graduation donc pas de lecture + une incertitude de chaque coté de l objet à mesurer. Donc idée de la demi graduation est fausse, incertitude = 2 graduations. - Mesure la moins précise pour Eratosthène? Comment faire simplement pour l améliorer? Mesure de la distance D (arc de cercle) car courbe et règle = droite. Utiliser un bout de ficelle. - Comment faire pour avoir les rayons de la lampe parallèle (Eratosthène)? lampe à l infini = lampe au foyer objet d une lentille convergente.

11 LP 02 Mesure du temps à partir de phénomènes astronomiques et de dispositifs construits pas l homme. Niveau : Seconde Prérequis : - Thalès, puissance de 10 - Mesure de longueur - Notion d ordre de grandeur - Incertitudes, chiffres significatifs Biblio : Tomasino vieux, Parisi vieux, Sirius, Audoin-Guinot (fondements de la mesure du temps), Hecht, Jandaly (histoire illustrée de la mesure du temps), Ray (la physique par les objets du quotidien), BNM (Etalons et unité de mesure) pour les détails plus poussés Plan : I. Comment mesurer un temps? 1. Les phénomènes périodiques 2. La seconde II. Les phénomènes périodiques astronomiques 1. Alternance jour-nuit 2. Les lunaisons 3. Les saisons 4. Le calendrier III. Les phénomènes périodiques créés par l homme 1. Les premières horloges 2. Les horloges mécaniques 3. Les horloges modernes

12 Introduction : Nous allons nous intéresser au cours de cette leçon au temps. Qu est-ce que le temps? C est une grandeur qui représente la mesure du déroulement des évènements. (Hecht) Temps notion familière On a le temps de faire qqc On essaie même de se l approprier. On se l approprie : «on prend le temps» On le module : «emploi du temps» répartir ce qu on va faire dans la journée Notion assez mal définie dans le quotidien. En physique, il faut bien définir. Evolution d un système, savoir de quoi on parle! On a des idées, des ordres de grandeurs Mois, année, jour, heure, Mal définie On dit «cinq minutes» mais représente des temps physiques très

13 différents! Comment peut-on mesurer le temps? On va voir comment avec les avancées scientifiques, les hommes ont su appréhender différents phénomènes pouvoir mesurer le temps, que ces phénomènes soient naturels ou créés par l homme. I. Comment mesurer un temps? 1. Position du problème On ne mesure pas un temps, mais une durée = intervalle de temps qui s écoule entre deux événements. Jamais mesure absolue, mais relative. Il va toujours falloir définir une origine des temps. Tomasino p. 108 : Pour les distances, il a fallu un étalon, le mètre. Pour le temps, pareil, étalon de durée. Cet étalon impose certaines conditions : phénomène régulier, qui se répète de la même façon, le même pour tout le monde. Ce qui nous amène à introduire la notion de phénomène périodique 2. Les phénomènes périodiques Définition : un phénomène est périodique s il se répète à lui-même au cours du temps. Dans la vie quotidienne : le feu tricolore. On le caractérise par la période T (la plus petite durée au bout de laquelle le phénomène se répète). Unité : la seconde. On associe la fréquence f : inverse de la période. (Nombre de fois qu un phénomène se répète par unité de temps). Unité : le Hertz. Ces phénomènes qui se répètent vont pouvoir constituer des étalons de durée. #Exp : Pendule simple Avec synchronie pour étudier l évolution : on voit périodicité, on mesure période. On augmente précision en prenant plusieurs périodes. Mais le pendule va s arrêter à cause des frottements, pas stable! Il faut étalon stable : la seconde. 3. La seconde Unité du système international A partir des raies caractéristiques d émission du Cesium 133. Mise en jeu de phénomènes très stables. (1s d incertitude sur 15 millions d années). Mesurés par une horloge atomique. Tomasino p. 108, Hecht : 1 seconde = durée de vibrations de l atome de Cesium 133, D autres unités plus pratique : minute = 60s, heure = 60 min = 3600 s. De la même manière qu on pouvait utiliser le km si plus pratique. Transition : Comment l homme en est-il arrivé à utiliser un spectre atomique pour mesurer le temps et puis tout le monde n a pas une horloge atomique au césium chez lui. Comment mesure-t-on le temps aujourd hui??? Retraçons le parcours historique de la mesure du temps. Les premiers phénomènes périodiques accessibles venaient du ciel Les Egyptiens et les Mésopotamiens étaient de grands observateurs du ciel et ils ont su très tôt utiliser les phénomènes périodiques astronomiques pour se repérer dans le temps.

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15 II. Mesure du temps à partir de phénomènes astronomiques Le tout premier phénomène périodique que les hommes ont utilisé, c est l alternance jour-nuit. 1. L alternance jour-nuit * Observation Le soleil se lève et se couche de façon périodique. * Explication Naïvement, la première chose qu on pense, c est le soleil qui tourne (Aristote, ) mais en fait une autre explication, la terre tourne autour de son axe (Aristarque de Samos puis Copernic XVI) #Exp : Montage de la Terre et du Soleil Cette maquette ne représente pas du tout les ordres de grandeurs. #T : rappel du rayon de la Terre, Soleil, Lune et distances T-S, T-L mais faut bien une maquette qui rentre dans la salle! Gommette sur France. On fait tourner la Terre sur elle-même. On dit que c est le soleil qui se couche! -> référentiel, dépend de où on se place. * Définition du jour solaire Différence de temps entre deux passages successifs du soleil dans le plan méridien d observation. Plan méridien d observation = plan passant par les pôles et par le point d observation. Toutes les personnes sur le même méridien voit la même chose, ont la même perception d après la définition du jour. Jour solaire phénomène périodique, de période moyenne T = 24 h =86400 s. Il y a plus de 3000 ans, les Egyptiens ont divisé le jour et la nuit en 12 h égales. * Echelle de temps #T : remplissage de l échelle de temps Jour -> rotation de la Terre sur elle-même. Un des tous premiers étalons. Référence pendant milliers d années! Transition: Egalement observés le mouvement d un deuxième astre bien visible, la Lune. 2. Les lunaisons * Observation : L image de la lune change chaque nuit et de façon périodique -> lunaison. Mais on voit toujours la même face de la Lune. * Explication : La lune tourne également autour de la Terre. #Exp : Montage de la Terre et du Soleil Lune entre soleil et Terre, on voit rien, Lune pas éclairée -> nouvelle Lune Lune toujours la même face, on montre le quartier de Lune (moitié de la Lune éclairée) Lune derrière la Terre, éclairée par le Soleil -> pleine lune * Définition de la lunaison

16 Durée entre deux nouvelles lunes = 29,5 jours. * Echelle de temps #T : remplissage de l échelle de temps Mois -> lune tourne autour de la Terre Mais attention, on utilise jours, pas exact! Transition : Durée plus longue que le jour mais pas adapté pour l agriculteur regarde les saisons. Donc décalage vers l observation du soleil. 3. Les saisons * Observation : Différences d ensoleillement et de conditions météo qui se répètent. Solstices (maxima, minima), équinoxes (égalité). Saisons se répètent. Pas évident à repérer! Alors observation du lever du soleil. Le point de lever du soleil se décale mais assez pour que ce soit précis, alors lever héliaque de Sothis pris comme premier jour de l année par les Egyptiens (365 jours à 3000 ans avant JC!) = alignement Sothis-Soleil-Terre. Astronomes grecs aux alentours de 600 JC observent qu en fait 365 et ¼ jours! * Explication : La terre décrit un mouvement quasi-circulaire autour du soleil et axe polaire incliné. #Exp : Montage de la Terre et du Soleil On montre que la surface plus ou moins intensément éclairé. * Définition de l année Année tropique = durée entre deux équinoxes de printemps : 265,24 jours. Année sidérale = tour complet de la Terre autour du Soleil. L'année sidérale est 20 minutes et 24 secondes plus longue que l'année tropique moyenne. * Echelle de temps #T : remplissage de l échelle de temps Année -> Terre tourne autour du soleil Transition : Ce nombre de jours pas entier pose problème pour créer calendrier, nécessaire à organiser l emploi du temps 4. Le calendrier (Tomasino) * Calendrier julien Mois pas cool pour agriculture. Jules César demande de chercher un autre système qui respecte saison. Donc lunaison sacrifiée. Mais comme ¼, année bissextile. La période réelle est encore différente de 365 jours ¼. 11 min! 1 journée pour 128 ans. * Calendrier grégorien

17 Pape Grégroire XIII a décidé de changer le calendrier. Années bissextiles séculaires supprimées, sauf si leur millésime est divisible par 400. Il reste actuellement une erreur d'environ un jour sur ans, au lieu d'un jour sur 128 ans avec le calendrier julien. On est passé du 4 octobre -> 15 octobre pour pouvoir rattraper le retard. On voit la perception humaine du temps, qu on peut le maitriser. Ainsi nous utilisons toujours le calendrier grégorien pour fixer une date et se repérer dans le temps. Cependant, dans la journée, comme se repérer? Il faut une référence qui soit plus courte que le jour. On a bien divisé un jour en 24 h et jusqu à la moitié du XXe siècle, la seconde était tacitement 1/86400 du jour solaire moyen mais pas très précis! L homme a du créer ses propres dispositifs. Transition : En effet, si en apparence, les phénomènes astronomiques sont réguliers, en fait, il y a de nombreux autres phénomènes parasites. L homme a pu se rendre compte de ces «anomalies» grâce à des dispositifs ingénieux de mesure du temps. Mais la rotation de la Terre se ralentit très légèrement et les jours deviennent plus longs. Temps solaire vrai = 1h = 15 avec représentant l angle entre le demi-plan du méridien de l observateur et celui du soleil. Temps pas uniforme ; irrégularités déjà observées sous Ptolémée sont principalement dues à l ellipticité de l orbite terrestre et à l inclinaison de l axe de rotation terrestre sur l écliptique (plan de l orbite) ; inégalité de la rotation de la Terre. On va voir que l évolution de la précision a amené l homme à réétudier son étalon pour qu il réponde aux exigences que l on a vu au début de la leçon. III. Mesure du temps à partir de dispositifs créés par l homme (Tomasino) Aussi bien en Egypte, qu en Mésopotamie, ils sont utilisés par les prêtres pour organiser les rites religieux, dont les heures et les durées doivent être soigneusement réglées. 1. Les premières horloges a. Cadran solaire Les toutes premières horloges étaient bâties sur le jeu d ombres et de lumière. On peut obtenir une estimation de l heure d après la hauteur du Soleil dans le ciel, tout simplement, mais la méthode manque évidemment de précision. Une idée serait donc d utiliser un appareil gradué, mesurant la hauteur du Soleil sous forme d un angle par rapport à l horizon. Mais, dans la réalité, il n est pas possible de viser ainsi directement l astre du jour sans se brûler les yeux. Les Anciens ont donc rapidement compris l intérêt d une visée indirecte, exploitant la longueur de l ombre. Gnomons puis cadran solaire : très ancien, rudimentaire, problème de l évolution au cours de l année due à la position de la terre, définition du jour problématique. #T : Gnomon : angle varie avec position de la Terre car Terre penchée! #T : Cadran solaire : style parallèle à l axe de rotation de la Terre pour s affranchir du pb du gnomon. Ne marche pas le jour ni à temps couvert. Le déplacement de l ombre est trop lent pour mesurer avec précision des durées plus petites que l heure. Transition : il a fallu créer une méthode plus précise. * Clepsydre b. Systèmes à écoulement

18 #Exp : Clepsydre Clepsydre droite, on mesure h en fonction de t. Début linéaire puis ne marche plus à la fin. Ecoulement non linéaire. Débit diminue quand h diminue! Donc il faut vase de plus en plus étroit. La plus vieille clepsydre connue à ce jour a été retrouvée en Egypte, près du temple d Amon à Karnak et on remonte au XVe siècle avant JC. #T : Méthode des trois vases Une citerne pour que la hauteur d eau constante d un autre vase. D où le débit de celui-ci est constant et on mesure le temps dans une troisième. * Sablier On remplace eau par poudre solide. Plus régulier, mesures plus précises mais pour durées courtes. En plus ne gèle pas! Usage très répandu au XIVe siècle, utilisée par Christophe Colomb sur sa caravelle. Transition : Problème de il faut le remplir et ça ne va que pour des courtes durées. On devait arrêter le temps! Il a fallu créer une méthode plus précise. 2. Les horloges mécaniques Apparaissent à la fin du Moyen-âge (Tomasino) a. Pendule pesant * Principe : Galilée 1582 (Hecht) Si oscillation pas trop grande, période constante et ne dépend que de la longueur du fil et de l intensité de pesanteur. #Exp : Pendule simple (vrai) Avec chrono on mesure 10 périodes (passage par le centre) Incertitude sur le chrono, caméra mieux. On fait mesure avec deux masses différentes et pareil!! Dépend seulement de la longueur a priori. OU prendre le pendule pesant et changer la longueur. Période = étalon de durée! (l = 0,994 m, Jean Picard au XVIIe siècle) Transition : Mais amortissement progrès considérable au XVIIe s avec balancier!! b. Les horloges à balancier * Principe : Huygens Période augmente avec longueur du fil. Donc pour palier le ralentissement des pendules, on raccourcit le fil périodiquement. A chaque battement, le balancier libère d un cran une roue dentée qui est entraînée par la chute d un poids ; le balancier a donc un rôle régulateur. En même temps, le balancier reçoit une impulsion par l intermédiaire de la fourche f : son mouvement est entretenu. Erreur ne dépasse pas 10s par jour! Mais il faut remonter pendule!! en effet, le poids qui régule doit être remonté. Idée : rajouter un poids qui tombe à chaque passage du balancier et lui donne son énergie (impulsion) pour qu il reparte et ne s arrête pas à cause des frottements. 1920, les horloges ne dérivaient pas plus que de 5 millièmes de secondes par jour! (Tomasino, Hecht)

19 Transition : Pour les bateaux pas cool. En effet, les marins utilisaient les horloges pour déterminer leur longitude mais trop sensibles aux mouvements des vagues.

20 3. Les horloges modernes a. Les horloges électroniques à quartz * Principe : Phénomène périodique électrique. Tout d abord, le quartz, comme tous les matériaux cristallins, peut vibrer naturellement à certaines fréquences. C est ainsi qu on peut faire «chanter» un verre de cristal avec le doigt, en excitant justement une de ces fréquences naturelles, appelées aussi «fréquences propres». La valeur de ces fréquences dépend de la taille et de la forme du cristal. Tout cela est très comparable au cas du pendule simple qui lui aussi possède une fréquence propre d oscillation fonction de sa longueur : on peut exciter sa fréquence, par exemple quand on pousse la balançoire d enfant. Ensuite, on sait depuis les travaux des frères Curie dans les années 1880, que le quartz présente des propriétés «piézo-électriques» : quand le comprime, une tension électrique apparaît entre ses faces, et une tension inverse quand on l étire. Réciproquement, si on le soumet à une tension électrique, le cristal de quartz se comprime ou s étire, en fonction du signe de cette tension. L idée est de soumettre le cristal à une tension électrique alternativement positive et négative, de fréquence précisément égale à l une de ses fréquences propres : il entre «alors» en résonance, ce qui veut dire que l amplitude des oscillations mécaniques croît fortement (toujours l image de la balançoire d enfant). Mais comment faire pour trouver exactement la fréquence propre d oscillation? C est le principe du système «bouclé» : le quartz et l oscillateur électrique sont couplés de sorte qu ils se stabilisent mutuellement à la fréquence propre du quartz. (Jandaly) Détails mécaniques (Ray) #Exp : Démontage d une horloge à quartz #T : Image d une montre à quartz démontée (Ray) Comparaison horloge mécanique/électrique (Sirius p.128) 1928 première horloge à quartz par Warren Alvin Marrison (USA). Précision de 2 ms par jour. 1930, on mesure les variations de rotation de la terre avec! 1960, commercialisation De nos jours, 90% des montres sont à quartz avec une précision de 1 microseconde par jour! Quartz taillé en U (1 mm, 1cm), f=32768 Hz/2,/2,/2 15 fois divisé par deux. A la sortie du circuit, la tension électrique a ainsi une fréquence de 1 Hz exactement. Cette tension commande un petit moteur électrique qui entraîne les rouages de la montre. Transition : Dépend du cristal (température, pression atmosphérique, gravité, champ magnétique ou électrique ) b. Les horloges atomiques * Principe : Idée de Lord Kelvin en 1879 : on excite un atome, il se désexcite en réémettant une onde de période T, nouvelle base de temps. On compte le nombre de périodes : première horloge atomique au césium 133 (précision 1s sur 15 M années) 1967 : Définition de la seconde à partir de l horloge atomique au césium 133. L horloge atomique de référence est conservée à l observatoire de Paris. Les horloges atomiques modernes ne varient pas plus d une seconde en trois millions d années. (Hecht) Il y en a plusieurs car il faut réparation et on prend la moyenne. Ceci permet d avoir une mesure

21 continue et précise du temps. #T : Image d une horloge atomique (Ray) Conclusion Intérêt pratique d une détermination précise du temps maintenant possible grâce aux horloges atomiques : le GPS. Pour que le commandant d un navire connaisse sa position en mer avec précision, il faut que trois satellites GPS (Système Global de Positionnement) lui envoient des ondes radio. Ces ondes transportent chacune un signal d horloge, émis précisément au même instant. Les satellites étant situés à des distances différentes du navire, les signaux arrivent à des moments différents. A bord, le récepteur GPS les compare et, connaissant la vitesse des ondes, en déduit la position du navire. Au sol, des stations liées à des horloges atomiques contrôlent les signaux émis par les satellites. (Tomasino et Ray pour plus d infos)

22 Wikipedia En 1880 les physiciens français Pierre Curie et Jacques Curie découvrent l'effet piézoélectrique du quartz : celuici possède la capacité de générer des charges électriques à sa surface lorsqu'il subit des forces mécaniques. Cette capacité en fait un matériel très intéressant dans la constitution d'horloges. La première horloge a été inventée en 1927 par Warren Marrison 1. Elle était constituée de tubes électroniques et avait des dimensions comparables à celles d'un réfrigérateur tourné à l horizontal. La première montre-bracelet en quartz apparaitra en Le fonctionnement de l horloge à quartz est simple : tout choc sur un cristal engendre des vibrations mécaniques, d'amplitude maximale selon des directions particulières (axes mécaniques), lesquelles sont la cause de charges électriques variables. On obtient ainsi un oscillateur électrique dont la fréquence de vibration est propre au quartz lui-même. Ces vibrations, mises en forme et associées à un moteur synchrone, sont à l'origine du mouvement des aiguilles d'une montre. Mais le quartz à des inconvénients : en effet, la fréquence des oscillations n'est stable uniquement tant que le cristal conserve ses dimensions. Il faut donc lutter contre les phénomènes de dilatation dues aux variations de température en isolant le cristal. C est pour cela qu il n'est tout d'abord que conservé dans une horloge et plus tard dans une montre. Néanmoins la précision obtenue est dix fois plus grande que celle de la meilleure des montres mécaniques qui fut inventée précédemment (en 1675 par Isaac Thuret) : une seconde de retard en six ans. Il faut attendre G. Lippman pour mettre en évidence l'effet piézo-électrique inverse : les cristaux se déforment lorsqu'on les soumet à un champ électrique. Si cette "excitation" du quartz est permanente, il va vibrer à une fréquence très stable qui lui est propre et qui va dépendre de sa taille (dans les deux sens du terme). Il suffit de compter les vibrations pour les transformer en unité de temps voulue (seconde par exemple). Le résonateur à quartz est né. Pour les montres, la fréquence est un général de Hz. Un circuit intégré va diviser cette fréquence par 2 15 fois de suite et nous obtenons notre seconde. Quant à la précision d'un tel oscillateur, elle est de 1/1000 de seconde en 24 heures. C'est quand même nettement mieux que notre foliot du début, non? Les premières horloges à quartz virent le jour en et leur taille n'avait rien à envier aux premières horloges de clochers. La première montre à quartz à aiguilles est apparue en 1967 et la montre numérique est née en 1971.

23 Pourquoi est-ce que l'on voit toujours la même face de la Lune? La Lune a beau être plus ou moins éclairée (ce que l'on appelle les phases), on reconnaît, même à l'oeil nu, toujours les mêmes configurations à sa surface. Pourtant, elle nous tourne autour... L'explication semble simple: elle tourne sur elle-même dans le même temps qu'elle fait un tour autour de nous. Cela ce voit sur ce schéma, à droite. Le point rouge posé sur la Lune fait tout le temps face à la Terre. Depuis chez nous, on le voit toujours en plein centre de la Lune. Pourtant, la Lune a bien tourné sur elle-même, puisqu'en 1, le point est à gauche, en 2 il est en bas, etc... Elle tourne donc bien sur elle-même par rapport aux étoiles en environ 1 mois. C'est aussi le temps qu'il lui faut pour faire un tour de Terre. Merveilleuse coïncidence... Mais coïncidence suspecte... Surtout quand on apprend que les principaux satellites des autres planètes se comportent de la même façon. Ce ne peut plus être un curieux hasard, il doit y avoir une raison cachée en amont! Voyons les deux faces: à gauche, vue depuis la Terre, à droite, la face cachée. Quelle différence essentielle saute aux yeux? La présence de "mers" sur la face visible au contraire de l'autre hémisphère. On sait que ces mers ont été créées lors de l'impact de très gros astéroïdes. assez gros pour percer la croûte lunaire et ainsi laisser s'épancher la roche fondue sous-jacente. S'il n'y en a pas de l'autre côté, c'est que la croûte y est plus épaisse... Comment relier ces observations apparemment indépendantes? La croûte mince face à nous signifie que le noyau est plus près de la surface en direction de la Terre. Ainsi, le centre géométrique lunaire (C) n'est pas confondu avec son centre de gravité (G)... En voici une illustration, très exagérée dans ses proportions. En fait, le noyau s'est trouvé tiré vers la Terre par sa force de gravitation, a une période où sa fluidité était plus grande. Ainsi, la matière plus dense de la Lune, située près de G est plus fortement attirée par la Terre que la matière située en C. La différence d'attraction cause la rotation de la Lune sur elle même. Elle dépasse le point d'équilibre, et repart dans l'autre sens (ces oscillations s'appellent les librations* lunaires, elles nous permettent d'entrapercevoir des morceaux proches de face cachée). La Lune est un culbuto cosmique! Finalement, cette cause interne à la "fixation" de l'orientation de la Lune par rapport à la Terre est applicable à d'autres satellites du système solaire: les galiléens de Jupiter par exemple, ou ceux de Mars... Ce principe est également utilisé pour qu'un satellite d'observation de la Terre soit toujours tourné vers elle, sans dépenser de carburant pour le forcer à pointer toujours dans sa direction... Comme quoi, une explication peut en cacher une autre.

24 LP 03 Interactions fondamentales Niveau : Première S Prérequis : - Particules élémentaires - Structure de l atome - Interaction gravitationnelle - Notion de force Biblio : Micromegas vieux ; Durandeau vieux ; Parisi ; Sirius (Hecht, Panorama) Plan : I. L interaction gravitationnelle 1. La loi de gravitation universelle de Newton 2. Les caractéristiques II. L interaction électrique 1. Mise en évidence 2. Les porteurs de charge 3. La loi de Coulomb 4. Les caractéristiques III. L interaction forte 1. Interactions au niveau du noyau 2. Les caractéristiques 2006 L'électrisation par influence semble encore poser des problèmes : rappelons qu'il faut mettre le conducteur à charger à la terre avant de retirer la baguette électrisante. Un isolant n'empêche pas le phénomène d'influence, contrairement à un conducteur, qui fait lui écran On pourra mentionner que les forces de contact macroscopiques sont de nature électrostatique, et pas toutes répulsives (le scotch colle!).

25 2004 On pourra réfléchir utilement à la nature des forces macroscopiques usuelles : forces de contact, de frottement, tension d un ressort

26 Introduction : On a vu en seconde les échelles et les différents niveaux de structuration. Or dans la leçon précédente, on a montré que la diversité de la matière résulte simplement de l arrangement de trois «briques» élémentaires (prop : masse et charge). On se pose à présent la question de la cohésion de ces arrangements, donc des interactions. I. L interaction gravitationnelle (déjà vu en seconde) 1. La loi de gravitation universelle de Newton * Enoncé (Micromega vieux) Deux objets ponctuels de masses m et m exercent l un sur l autre des forces d interaction gravitationnelles attractives, dont la valeur est proportionnel à chacune des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance d qui les sépare : F = Gmm /d². La force est attractive. * Généralisation (Micromega vieux) La loi de Newton s applique à des objets non ponctuels si la répartition des masses m et m est à symétrie sphérique. G = 6, kg-2.m² est la constante universelle connue avec la moins bonne précision. Dans l univers, la loi de l attraction universelle est vérifiée avec une grande précision par l étude du mouvement des planètes. Dans la vie courante, cette interaction se manifeste par la pesanteur. Tous les objets sont attirés vers la Terre (c est pourquoi elle ne pose pas de problème de compréhension et c est comme ça que Newton l a découvert, la pomme!). (Durandeau vieux) 2. Les caractéristiques (Micromega vieux) La force gravitationnelle est une force d interaction fondamentale de la nature qui est associée au concept de masse : * Attractive Elle s applique aussi bien aux particules élémentaires qu aux étoiles ou aux galaxies. Sous son action, les grains de matière s associent pour former les planètes et les étoiles. La force gravitationnelle tend ainsi partout à produire des formes sphériques! Elle est responsable de la forme et de l existence des galaxies, des planètes et des étoiles. #T : montrer image de planète, soleil, galaxie (montrer la sphéricité) (Parisi, Durandeau vieux, ) * Associée au concept de masse Manifestation de ses effets n est importante que lorsque la masse de l un au moins des objets en interaction est importante. Exemples de calculs : deux protons/deux personnes/deux astres * Portée illimitée et cumulative Son action s étend sur des millions de galaxies

27 Elle assure la cohésion de la matière à l échelle astronomique. Transition : ne suffit pas à expliquer la cohésion sur une échelle plus petite lorsque les masses deviennent très faibles. Masse pas la seule propriété des particules élémentaires, la charge aussi.

28 II. L interaction électrique L interaction, pour être précis, est électromagnétique. Seul l aspect électrique va nous occuper, on rencontrera le magnétisme dans de prochaines leçons. 1. Mise en évidence Interaction pas aussi évidente que la précédente. a. Expériences Expérience historique. Au VI s avant notre ère, Thalès de Millet rapport que l ambre jaune attire les corps légers. Au Ie siècle, Pline l Ancien et Plutarque notent que cette attraction n a lieu que si l ambre est préalablement frotté. Reproduisons la : * Electrisation par frottement (Parisi p. 22) #Exp : Bâton d ébonite ou de verre frotté avec fourrure attire des petits bouts de papier, une boule d aluminium (surtout ne pas la toucher, sinon elle se charge! et c est la suite ) Idem avec un peigne, quand on ôte un pull Attention à bien désélectriser les corps en les prenant dans la main (on est conducteur!!) Lorsque l on frotte certains corps, ils deviennent capables d attirer des corps légers : on dit qu ils sont électrisés. Est-ce qu on obligé de frotter pour électriser? * Electrisation par contact #Exp : Frotte une tige d ébonite et on l approche d un pendule électrostatique non électrisé Pendule attiré puis repoussé (il s est chargé négativement, donc se repousse de l ébonite) Lorsque l on met en contact deux corps, l un électrisé l autre non, le corps non électrisé s électrise. Immédiatement après les corps se repoussent. On a vu deux façons d électrisée mais est-ce que les conséquences sont pareils pour tous les matériaux? * Attraction et répulsion (Durandeau) #Exp : Tige en PVC ; tige en verre On attache une tige de verre électrisée. On approche une autre tige de verre électrisée et une tige d ébonite. L un est repoussé, l autre est attiré. Il existe deux types de corps électrisés, ceux comme le verre chargé positivement et ceux comme le PVC chargés négativement. Ceux de même signe se repoussent, les autres s attirent. Comment expliquer ces différentes observations?

29 b. Interprétation microscopique Macroscopiquement, on ne voit pas trop d où ça vient, essayons de voir macroscopiquement avec ce qu on connaît. De quoi est fait la matière? On rappelle qu un atome possède un noyau chargé positivement et des électrons chargés négativement. Par frottement, on arrache des électrons, on électrise! - l un des corps a un défaut d électrons : il se charge positivement. (laine dans PVC/laine ; verre dans verre/laine) - l autre a un excès d électrons : il se charge négativement (PVC dans PVC/laine ; laine dans verre/laine) Donc on a bien deux types de charges opposées que l on peut créer. D où la dernière expérience. #T : Image avec charges représentées sur les objets Explication (Hecht p. 648, encadré 2 ; Parisi p. 24, encadré 1) Remarque : le mot électricité vient du grec «elektron», ambre jaune en grec On a vu l électrisation par contact. Apparemment les charges négatives sont allées sur l alu et du coup, comme il est devenu chargée pareil, ils se sont repoussés. Mais pourquoi l alu a été préalablement attiré, après tout il était neutre. C est comme s il avait acquis une charge opposée? Met en jeu des mouvements d électrons, porteurs de charges. 2. Les porteurs de charges On a mis en évidence les électrons, comment bougent-ils selon le matériau? a. Les électrons * Conducteurs isolants (Parisi, Durandeau vieux p. 17) #Exp : On a toujours la boule d alu. On place une tige horizontalement à son niveau et on plaque sur cette tige une tige d ébonite électrisée. On fait ça avec bois et métal. Dans l un l alu n est pas attiré/repoussé et dans l autre, elle l est. Mise en évidence de deux comportements. Isolant : les électrons d un atome d un isolant ne peuvent que très difficilement passer d un atome à l autre, électron lié (déplacement de la charge < taille atomique). C est le bois! Conducteur : certains liés, d autres mobiles et circulent dans tout le matériau. C est le métal! On explique l expérience : le métal conduit la charge en excès de la tige d ébonite vers l alu alors que le bois non. On ne pas électriser du métal car les charges manquantes sont remplacées par les électrons libres. #Exp : On essaie d électriser une tige de cuivre. Marche pas. Mais pourquoi alu tout d abord attiré? On peut ainsi expliquer le fait que les tiges électrisées attirent la boule d alu! La boule d alu est conductrice, lorsqu on approche la tige électrisée, les charges opposées s attirent tandis que les charges identiques s opposent. (Parisi p. 24) Mais les électrons ne sont pas les seuls porteurs de charge

30 b. Les ions * Eletrolyte #Exp : Electrolyte (Durandeau p. 18) (Sulfate de cuivre, deux électrodes de cuivre) Avec et sans solution. L ampèremètre indique qu un courant électrique passe dans le circuit. Le liquide entourant l électrode reliée à la borne + du générateur se colore en violet, la partie entourant l autre électrode en bleu. La couleur violette est due aux ions MnO4-, la couleur bleue aux ions Cu2+. Les ions Cu2+ se déplace dans le sens du courant et les ions MnO4- en sens inverse. Dans la solution, ce sont les ions qui assurent le passage du courant. On dit que la solution est conductrice. Les ions sont les porteurs de charge. * Bilan La conduction électrique est assurée par des porteurs de charges : - des électrons dans les métaux ; - des ions dans les solutions. Transition : Force qui a été mise en évidence, loi? 3. La loi de Coulomb En 1785, le physicien Charles Augustin Coulomb s inspire de la loi de gravitation de Newton pour établir la loi quantitative d attraction et de répulsion qui régit les phénomènes électriques. (Parisi neuf) * Enoncé (Micromega) Deux charges électriques q et q exercent l une sur l autre des forces électrostatiques dont la valeur est proportionnelle à chacune des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance d qui les séparent. F = k qq /d² Si les deux charges sont de même signe : répulsive Si les deux charges sont de signes opposés : attractive k = N.C -2.m² * Généralisation Tout comme la loi de gravitation, cette loi reste valable si les corps sont à répartition sphérique de charges. 4. Caractérisations La force électrostatique est une force d interaction fondamentale de la nature à laquelle est associée le concept de charge. * Attractive ou répulsive * Plus fortes sur les particules élémentaires qu interaction gravitationnelle. * Non cumulative, effets se neutralisent (grandeur algébrique) à grande échelle La quasi-neutralité des objets macroscopiques explique le rôle de l interaction gravitationnelle sur Terre.

31 Elle permet la cohésion de la matière à l échelle des atomes, des molécules et à la notre. Responsable de la cohésion des atomes, molécules, phases condensées. Exemples - électrons d un atome sont liés au noyau par l attraction s exerçant entre charges électriques de signes opposées. Exemple de l hydrogène. Proton-Electron Avec une force prépondérante par rapport à l interaction gravitationnelle (calcul dans Micromega) - liaison chimique entre atomes d une même molécule est fondée de façon complexe sur l interaction électrique - Attraction entre molécules d un liquide ou d un solide est de nature électrique - Assure cohésion du fil ou d un ressort tendu -> résistance d un solide à la déformation. - anions, cations d un solide ionique (NaCl) (sera vu plus loin en cours de chimie) - frottements, propriétés des matériaux (dureté, élasticité, malléabilité, ), de la forme des objets (Durandeau p. 31) On peut se demander alors si forces de cohésion au sein d un solide augmente avec sa taille? Eh non car les forces électriques décroissent très rapidement avec la distance : sa dimension n excède pas quelques dimensions moléculaires. C est pourquoi les forces de cohésion au sein d un liquide ou d un solide n augmentent pas avec son volume. Pour la même raison : les forces d interaction électriques sont inexistantes entre solides distincts électriquement neutres. (Galileo p. 17) Transition : Comment alors expliquer que le noyau, composé de protons, ie de même charge, soit stable? III. L interaction forte 1. Interactions au niveau du noyau Dans un noyau atomique, les protons sont chargés positivement tandis que les neutrons sont électriquement neutres. Le proton est soumis à l interaction gravitationnelle attractive des autres nucléons et à l interaction répulsive des autres protons. Cette dernière prédomine. Ordre de grandeur : F = 200 N = 2 milliards de fois l interaction attractive entre électron et proton (calculé juste avant!) (Galileo p. 16) Une troisième force doit être introduite : une interaction attractive qui compense la répulsion entre protons et lie les protons et les neutrons entre eux. L interaction forte. Proposée par Heisenberg en 1932 (Parisi nouveau p. 25) Carte (N,Z) Parisi p. 32 Lorsque le nombre de charges augmente, la répulsion électromagnétique finit par l emporter, interaction forte trop courte portée. Le tableau périodique des éléments s arrête à l uranium. La force nucléaire entre un proton et un neutron est plus intense qu entre deux nucléons de même nature, deux neutrons par exemple. Pour cette raison, un noyau qui comporte autant de protons que de neutrons est particulièrement stable -> vallée de stabilité.

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33 2. Les caractéristiques L interaction forte s exerce entre nucléons. * Attractive * Très faible portée (10-15 m) Explique pourquoi elle est longtemps passée inaperçue. * 100 à 1000 fois plus intense que l interaction électrique sur ces distances, mais ne dépend pas de la charge. Elle permet la cohésion de la matière à l échelle des noyaux. Son champ d action étant très faible, elle ne nous est pas familière et nous est donc connue que depuis quelques décennies. Conclusion (Parisi nouveau p. 25) Les atomes, les ions et les molécules qui constituent la matière sont des assemblages de noyaux chargés positivement et d électrons chargés négativement. Les noyaux se repoussent mutuellement, les électrons en font d autant, tandis que les noyaux se repoussent mutuellement, les électrons en font d autant, tandis que noyaux et électrons s attirent. Les forces attractives compensent les forces répulsives, ce qui permet d expliquer la stabilité de la matière de l Univers. Suivant l échelle à laquelle on étudie la matière, l une ou l autre de ces interactions prédomine. #T : Tableau récapitulatif On utilise ces interactions! Interaction électrique : photocopieur, électrophorèse. Interaction forte : réacteurs nucléaires En effet, pour les noyaux lourds, la répulsion électrostatique entre protons devient si forte qu aucun noyau n est stable au-delà du bismuth (83 protons). Ces noyaux sont dits radioactifs, cod qu ils se transforment spontanément en des noyaux plus légers. Cela prouve que l interaction forte est à courte portée, puisqu elle n est pas suffisante pour maintenir la cohésion de ces gros noyaux.

34 LP 04 Mouvements d un solide indéformable. Forces macroscopiques s exerçant sur un solide. Niveau : Première S Prérequis : -interactions fondamentales - principes d inertie Biblio : 1ere S tout avec Parisi sauf mention contraire, Galileo Plan : I. Mouvements d un solide indéformable 1. Vecteur vitesse d un point du solide 2. Centre d inertie 3. Mouvements particuliers II. Forces macroscopiques s exerçant sur un solide 1. Actions exercées 2. Modélisation des forces 3. Effets produits 2007 Une réflexion doit être menée sur la notion de centre de gravité, de centre d'inertie et, de façon générale, sur celle de «point d application». Enfin un futur enseignant de physique ne doit pas ignorer le rôle de la rotation dans les lois de la dynamique Le rôle respectif des centres de masse et de gravité n'est pas bien compris. De façon générale, une réflexion sur la notion de point d'application s'impose. Caractériser le centre de masse comme le point du solide de mouvement le plus simple demande un peu de prudence et de réflexion (penser à une porte qui s'ouvre). Enfin un futur enseignant de physique ne doit pas ignorer le rôle de la rotation dans les lois de la dynamique La condition d'équilibre d'un solide mécanique est double : résultante des forces nulle, résultante des moments nulle. La position du point d application des différentes forces provient de ces deux

35 conditions : penser à l'équilibre d'un solide suspendu à un clou, et d'un objet immobile sur un plan incliné.

36 Introduction : (Tomasino, Parisi) Capture de mouvement pour les jeux vidéos. Connaître le mouvement d un solide, c est connaître le mouvement de chacun de ses points! Compliqué, le mouvement de ses bras ne permet pas de déduire celui de ses jambes, on va se limiter au cas des solides indéformables pour l étude du mouvement. Solide : objet matériel qui ne peut pas être modéliser par un point dans les conditions d étude. Solide indéformable : distance entre les deux points donnés et quelconques du solide ne varie pas au cours du temps. On peut définir une infinité de points dans et sur un solide. But : étudier le mouvement d un solide indéformable, voir les différents mouvements possibles et comment les caractériser, puis voir quelles sont les causes. I. Mouvement d un solide indéformable 1. Vecteur vitesse d un point du solide Rappel : référentiel, repérage d un point, trajectoire. #Exp : Table à coussin d air : on lance le palet et on récupère la trajectoire pour tracer le vecteur vitesse. Trajectoire rectiligne pour commencer. * Vitesse moyenne d un point v m = longueur de la trajectoire(a i-1 A i+1 )/( t i+1 -ti t-1 ) * Vitesse instantanée d un point Limite du rapport A i-1 A i+1 /( t i+1 -ti t-1 ) quand la durée devient très proche de 0. Elle s exprime en m/s. On admet qu une bonne approximation de la vitesse instantanée vi d un point à la date ti est donnée par : vi = A i-1 A i+1 /( t i+1 -ti t-1 ) * Ordres de grandeur (marche, avion, lumière) (Galiléo) * Vecteur vitesse A une date t, le vecteur vitesse a pour Valeur : vitesse instantanée à cette date Direction : tangente à la trajectoire à cette date Sens : celui du déplacement sur la trajectoire * Représentation Sur les enregistrements de trajectoires, on représente de manière approchée le vecteur vitesse par une flèche : - partant de la position du point à la date considérée, A i par exemple ; - ayant pour direction celle de la corde A i-1 A i+1 - de longueur proportionnelle à la valeur approchée de la vitesse instantanée Transition : Chaque point a une vitesse, il faudrait étudier la vitesse de chaque point! compliqué

37 2. Centre d inertie Dans un référentiel choisi, il est difficile en général de préciser le mouvement de chacun des points d un solide lors d un déplacement quelconque. Cependant, on peut parfois observer qu un point du solide a un mouvement plus simple que les autres. Ce point est appelé centre d inertie du solide. #Exp : Table à coussin d air : on lance le palet avec deux marqueurs (un au centre, l autre à la périphérie) et on montre qu un mouvement est plus simple. #T : chronophotographie : clé à molette (durandeau) Position du centre d inertie définie par OG = m i OM i / m i Calcul parfois complexe. On admet : - pour une sphère à répartition sphérique de masse, le centre d inertie est le centre de la sphère. - pour une barre parallélépipédique homogène, le centre d inertie de la barre est au centre du parallélépipède. Plus généralement, le centre d inertie d un solide homogène est son centre géométrique. Remarque : il ne faut pas oublier le reste du solide (rugby, essai transformé ou non). Transition : Grâce à l étude du centre d inertie on peut étudier des mouvements du solide 3. Mouvements particuliers d un solide a. Mouvement de translation Un solide indéformable est en translation lorsqu un segment reliant deux points quelconques du solide conserve une direction constante au cours du mouvement. - Translation rectiligne (ascenseur, fusée, train, balle de flipper) - Translation curviligne (cabines de la grande roue, télécabine) Tous les points d un solide en translation ont des trajectoires identiques (allure et longueur) et des vecteurs vitesses instantanés identiques. On peut alors parler de vitesse du solide. #T : benne (galileo) Remarque : lorsque la valeur de la vitesse instantanées des points est constante au cours du mouvement, la translation est dite uniforme. Transition : Mais si la cabine de la grande roue est en translation circulaire uniforme, il n en est pas de même pour le site d accroche. b. Mouvement de rotation autour d un axe fixe #Exp : Table à coussin d air : on lance le palet fixer à une corde. #T : gymnaste (tomasino) Un solide est en rotation autour d un axe fixe dans un référentiel si : - la trajectoire d un point quelconque du solide n appartenant pas à l axe de rotation est un arc de cercle. Le centre de cet arc de cercle est un point de l axe de rotation.

38 - les points de l axe de rotation sont fixes dans le référentiel Deux points du solide ont même trajectoire et vitesses s ils sont à la même distance de l axe de rotation. Mais pas même vecteur vitesse! Trajectoire : l = r Vitesse angulaire moyenne : = / t. Elle est la même pour tous les points du solide. En rad/s ou tr/ min. v = r Vitesse angulaire instantanée : vitesse angulaire moyenne entre deux dates très proches. Remarque : si la vitesse angulaire est constante au cours du temps, la rotation est dite uniforme. Exemples : tourne-disque, moteur, aiguilles d une montre, pales d un hélicoptère, essorage, roues d une voiture, roue de vélo, terre, porte Transition : Pourquoi cette mise en mouvement? II. Forces macroscopiques s exerçant sur un solide 1. Actions exercées Les actions mécaniques s exerçant sur un système sont le résultat d interactions avec d autres systèmes. C est grâce à leurs effets qu il est possible de détecter qu un système subit une ou plusieurs actions. * Actions à distance Les interactions mécaniques à distance entre deux systèmes ne nécessitent pas qu ils soient en contact (interaction gravitationnelle, poids, interaction coulombienne). Réparties en volume ou en surface. * Actions de contact Les actions de contact nécessitent le contact du solide étudié avec un ou plusieurs systèmes. - contact solide-solide (répartie en surface ou ponctuel ; marteau-clou, pneu-route, balle-raquette) - contact fluide-solide (pression, frottement ; voile, bateau, balle-air) Les forces macroscopiques qui s exercent sur un solide, exception faite de celles de pesanteur, ont pour origine l interaction électromagnétique ; lien entre interactions fondamentales et mécanique. (BO, tomasino) Un livre glisse sur une table, interactions répulsives, ne traverse pas la table et frottement. 2. Modélisation des forces * Vecteur force Au niveau macroscopique, il est possible de modéliser certaines actions exercées par un système sur un autre par une grandeur vectorielle : le vecteur force. Direction, sens, point d application, valeur (N). * Point d application - Actions localisées : l action s exerce en un point, appelé point d application. Exemple : ski nautique. - Actions réparties : le vecteur force et la somme vectorielle de tous les vecteurs force des actions localisées élémentaires. Exemple : sac de farine, point d application en G. Le point d application n est pas toujours aussi simple.

39 * Représentation On représente le vecteur force par un segment fléché, dont une extrémité se trouve au point d application (connu ou supposé) de la force. La longueur du segment fléché est proportionnelle à la valeur de la force. Il faut donc choisir une échelle de représentation, càd une correspondance entre la longueur du segment et la valeur du vecteur force. Transition : On va tout de suite voir quels sont les effets et comment modéliser ces forces. 3. Effets produits * Principe d inertie (vue en seconde, dans le BO) Si un solide subit une ou plusieurs forces extérieures dont la somme vectorielle n est pas nulle, alors le vecteur vitesse de son centre d inertie varie. Ce vecteur peut varier en sens, direction ou valeur. * Maintien à l équilibre L équilibre d un solide dans un référentiel donné correspond à l état où la vitesse de tous ses points est constamment nulle. Si la somme vectorielle de forces qu il subit est un vecteur nul, et si leurs droites d action passent par un même point, alors le solide est en équilibre dans un référentiel terrestre. Par conséquent pour avoir équilibre au moins deux forces. Exemple : livre posé sur une table, main-valise, réaction du support. * Mise en translation Si la droite d action d une force extérieure s exerçant sur un solide initialement immobile passe par son centre d inertie, alors le mouvement ultérieur du solide sera un mouvement de translation. Exemple : tire un chariot. * Mise en rotation Un solide mobile autour d un axe fixe peut être mis en rotation autour de cet axe par une force. La droite d action du vecteur force ne doit pas être parallèle à l axe, ou le couper. En fait, une action est également exercée sur le solide par le dispositif que le maintient à distance constante de l axe. Exemple : Porte (explique bien qu il faut pas une force parallèle à l axe) #Exp : Table à coussin d air : on lance le palet fixé à une corde. On représente la tension du fil. * Déformation Deux forces s exerçant sur un système peuvent le déformer, puis le maintenir déformé alors que le système est à l équilibre. Exemple : ressort, dynamomètre (étalonnage). Conclusion Lois de Newton pour quantifier tout ça et avoir accès à x=f(t), caractéristiques du mouvement,

40 LP 05 Le travail : un mode de transfert de l énergie. Transfert thermique. Niveau : Terminale S Prérequis : - Notion de travail de force - Travail du poids Biblio : Hecht, Durandeau, Tomasino Plan : I. Energie : mesure du changement 1. Cas de la chute libre 2. Energie cinétique II. Energie potentielle : transformation d énergie 1. Energie potentielle de pesanteur 2. Transformation d énergie III. Energie interne : travail et transfert thermique 1. Autres effets du travail 2. Transfert thermique

41 Introduction : # Expérience 1 + #T1: lancer d un ballon verticalement -Phase ascendante : vitesse diminue (poids, craie de sens différent) -Phase descendante : vitesse augmente (poids, craie de même sens) Nous allons voir comment quantifier ce changement grâce à un nouveau concept, l énergie : en (intérieur) ergon (travail). Capacité inhérente à fournir un travail. Lien plus scientifique entre énergie et travail (Huygens, Leibniz) Trompeur, transfert thermique aussi peut causer un changement. I. Energie : mesure du changement 1. Cas de la chute libre * Chute libre =objet soumis qu à son poids. * Référentiel : laboratoire * Système {bille} * But : v=f(h), vitesse instantanée : delta h/delta t # Expérience 2 + #T2: Chute verticale d une bille sans vitesse initiale chute verticale d une bille avec électroaimant Deux capteurs : vitesse instantanées, bille lâchée par arrêt de l électroaimant Mesures effectuées en préparation, mesure en direct sur synchronie, tracé de courbes (scientifiques ont essayé plein de relations et ils ont trouvé v²=f(h)). Tracé de v²=f(h), droite affine. * Résultats expérimentaux v²=a+b*h, a=vitesse initiale, b=10=2*g * Interprétation : Travail du poids : W=mgh, avec expression trouvée et on a m(v²-v 0 ²)=2gh Le travail du poids a fait varier l énergie cinétique. Attention, dépendance du référentiel. * Définition de l énergie cinétique macro, énergie du fait d une vitesse. Analyse dim, définition du joule. Transition : On peut généraliser cette relation : théorème de l énergie cinétique. 2. Energie cinétique Dans un référentiel galiléen, pour un solide en translation, la variation de l énergie cinétique est égal au travail des forces extérieures. * Application : bilan (discussion sur états initial et final). Il faut avoir un changement pour mesure une différence d énergie. On a v si on connaît F, et inversement. * Application dans la sécurité routière : Voiture se déplace sur une route : v1=60km/h, v2=90 km/h. Quelle est la distance parcourue pour s arrêter? Force de frottement (freinage?) s oppose au mouvement qu on supposera constante. Le travail est F*l. Bilan : deux équations, rapport des équations et on trouve une égalité de rapports. Grâce

42 au TEC, nous avons pu déterminer la distance de freinage à une vitesse donnée. Transition : d autres énergies peuvent être modifiés. Energie potentiel, potentiel signifiant qu elle peut échanger avec d autres énergies. II. Energie potentielle : transfert d énergie 1. Energie potentielle de pesanteur # Expérience 3: Déplacement verticale d une craie Schéma!! * Application du théorème de l énergie cinétique * Bilan des forces : poids et force de l opérateur Accès au travail de la force de l opérateur qui est égale à l inverse du travail du poids. Apparition d un terme de l état initial et de l état final. * Définition de l énergie potentielle de pesanteur. Attention, fixer une référence. Valable proche de la terre mais pour satellite énergie potentielle gravitationnelle * Analyse dimensionnelle : Epp=M L²/T L= kg.m.s -1 Ec=idem Transition : Est-ce que ces deux énergies peuvent se transformer l une en l autre, et si oui comment, dans quelles conditions? 2. Transformation d énergie # Expérience 4 + #T3: Chute libre avec vitesse initiale Référentiel du laboratoire, système {balle}, axes, schéma, Chronophotographie, tableau de valeurs (présentation au tableau). Description de l obtention des valeurs (delta t connu, x et y à chaque pas de temps), théorème de pythagore pour obtenir la distance parcourue, d où la vitesse Epp=mgy (précision origine déterminée) Ec=1/2*mv² Epp+Ec=cste dans le cas d une chute libre avec le poids comme seule force. Ce phénomène se retrouve dans les montagnes russes. (Description). Dans la vraie vie, pas même hauteur car force de frottement. Il n y a plus conservation de l énergie. Transition : Nous avons vu ici comment le travail peut changer l énergie cinétique et l énergie potentielle de pesanteur mais dans cet exemple, le travail ne modifie aucun des deux, pourtant quand on relâche le ressort, il communique une énergie qui se transforme en énergie cinétique pour la balle?? Sous quelle forme a été stockée l énergie dans le ressort? # Expérience 5: Ressort et balle III. Energie interne : travail et transfert thermique 1. Autres effets du travail * Frottement: ski, force de frottement fait fondre neige pas apport de chaleur. Changement de

43 phase=modification de l énergie interne * Déformation : ressort * Définition énergie interne : toute forme d énergie autres que Ec et Epp. # T4: Expérience de Joule Travail mécanique peut augmenter la température de l eau, changement de l énergie interne. Transition : Mais pour chauffer l eau, plaque chauffante, transfert thermique!! Etymologie trompeuse de l énergie. 2. Transfert thermique Le transfert thermique augmente la température en modifiant l énergie interne. Corps chaud vers le corps froid (intuitif) Plusieurs modes de transfert existants, on ne s intéresse qu à la conduction. # Expérience 6: Spatule chauffée à un bout par plaque chauffante Avec dessus des morceaux de chocolat visualisés à la flexcam Description de la conduction (les particules de la plaque chauffante grande agitation thermique transmises aux particules de fer qui transmettent leur agitation thermique à leur voisin de proche en proche.) Conduction=transfert thermique sans transfert de matière mais avec support Application en SVT Conclusion Schéma bilan On a vu qu avec Joule donc travail, on pouvait modifier énergie interne. De même par conduction donc par transfert thermique. Ou encore four micro-ondes (transfert thermique par rayonnement). Le rayonnement chauffe la terre par le soleil malgré le vide. Pas de transfert de matière. Pas de support Expérience quartz-iode : thermomètre près de la lampe. Filament de tungstène dans une atmosphère de I2, le tout retenue par une paroi en quartz (résiste aux grandes températures contrairement au verre). W par sous forme de gaz puis se lie avec I2 et lorsque revient vers les hautes températures près du filament, W se redépose sur le filament, donc pas de perte de W et on peut imposer une grande température. Plus tard dans l année, vous verrez un autre moyen de transfert d énergie, travail électrique

44 LP 06 Bilan énergétique dans un circuit électrique Niveau : Première S Prérequis : - Notion d électricité - Notion de transfert d énergie (vu en mécanique) - Caractéristique d un dipôle Biblio : Durandeau, Tomasino, Parisi Plan : I. Energie reçue par un récepteur 1. Définition 2. Energie et puissance d un récepteur 3. Effet Joule 4. Bilan énergétique II. Energie fournie par un générateur 1. Définition 2. Energie et puissance d un récepteur 3. Bilan d énergie III. Comportement global d un circuit 1. Distribution de l énergie électrique dans un circuit 2. Etude d un circuit résistif

45 2009 Les transferts doivent être clairement mis en évidence. Les lois des mailles et des noeuds ne constituent pas le centre de la leçon Les transferts doivent être clairement mis en évidence Rappelons que la force contre électromotrice d un moteur à courant continu dépend de sa vitesse de rotation. Les transferts doivent être clairement mis en évidence. L objet de la leçon n est pas de démontrer les lois d associations des conducteurs ohmiques Illustrer cette leçon en traçant la caractéristique d'un moteur à courant continu nécessite un minimum de précautions et de réflexion.

46 Introduction : Pour faire fonctionner un des nombreux appareils de la vie quotidienne, il faut lui fournir de l électricité. # Exp : Moteur + générateur (Tomasino) Le générateur a fourni de l énergie au moteur, pour comprendre ça on va faire des bilans d énergie.

47 I. Energie reçue par un récepteur (Durandeau) 1. Définition * Mise en évidence Observation : la lampe brille, le moteur tourne, la réaction chimique a lieu Interprétation : les récepteurs ont transformé l énergie électrique en une autre énergie (thermique et rayonnement, mécanique, chimique) * Définition Dans un circuit électrique, un récepteur est un dipôle qui reçoit de l énergie électrique de la part du reste du circuit. (Parisi) Les conducteurs ohmiques (résistances, lampes, ) convertissent toute l énergie qu ils reçoivent sous forme de transfert thermique ou de rayonnement on les appelle les récepteurs passifs. Les autres récepteurs, appelés récepteurs actifs, convertissent une partie de l énergie qu ils reçoivent en une forme d énergie autre que celle liée aux effets thermiques : énergie mécanique (Wm :moteur) et énergie chimique (Wch : électrolyseurs). (Tomasino)

48 Transition : Comment exprimer l énergie reçue par le récepteur?. 2. Energie et puissance d un récepteur * Convention récepteur Tomasino, Parisi Le sens du courant est représenté par la flèche intensité. La tension entre deux points du circuit : U AB = V A -V B En convention récepteur, la tension aux bornes de l appareil est celle dont la flèche est orientée en sens inverse du sens du courant qui traverse l appareil. Elle est alors positive. * Expérience On insiste sur le placement de A et V. Si I = 0 : pas de rayonnement Si I 0, U AB 0 : la LED brille Pour qu il y ait transfert d énergie électrique, on doit avoir I et U non nuls. On admet que l énergie reçue se met sous la forme Wel = U AB I t Wel : énergie électrique (J) U AB : tensioin (V) I : intensité du courant (A) t : durée d utilisation (s) Calcul sur l exemple de la manip. * Puissance Pel la puissance électrique reçue par un récepteur l énergie électrique qu il reçoit pendant l unité de temps ( t = 1s) : Pel = Wel/ t = U AB I. Puissance en W. La puissance électrique d un appareil permet d évaluer la rapidité avec laquelle s effectue le transfert d énergie électrique. Une caractéristique du récepteur. Exemple : Tomasino, Durandeau Définition du kilowattheure.

49 Transition : On a vue qu une partie de l énergie électrique est convertie en énergie thermique.

50 3. L effet Joule Tomasino * Manifestation Lampe, radiateur, batterie en charge - L effet Joule est l effet thermique associé au passage du courant dans un conducteur. Il se manifeste sous deux formes : thermique ou rayonnement - interprétation : quand un conducteur est traversé par un courant électrique, de nombreuses interactions s exercent entre les porteurs de charge en mouvement et les atomes molécules ions du conducteur -> augmentation de l agitation thermique et donc une évaluation de la température. * Loi d ohm Un conducteur ohmique est un conducteur qui vérifie la loi d Ohm. U AB = RI. # Exp : Caractéristique d une résistance La loi de Joule : un conducteur ohmique est un récepteur passif : Wel = Q J Wel = Q J = RI² t Pel = P J = RI² L effet Joule se manifeste dans tous les récepteurs parcourus par un courant électrique. Du point de vue de l utilisation de l appareil, il peut être utile. - appareil de chauffage - éclairage par incandescence - dispositifs de sécurité Ou au contraire correspondre à une perte d énergie (récepteur actif) - moteur - électrolyseur Transition : Bilan! 4. Bilan énergétique Tomasino/Programme * Récepteur passif On vient de le voir pour un conducteur ohmique. * Récepteur actif Electrolyseur : Wel = Wch + Q J Moteur : Wel = Wm + Q J Q J car il possède une résistance interne r Un récepteur actif est conçu pour fournir de l énergie sous une forme déterminée (chimique ou mécanique). On appelle énergie utile la fraction de l énergie électrique convertie sous cette forme : Wel = Wu + Q J

51 Transition : d où vient l énergie électrique?

52 II. Energie fournie par un générateur 1. Définition * Mise en évidence (Tomasino) Observation : le moteur ne tourne que si la photopile est éclairée par une lampe. Interprétation : le moteur est un récepteur : il tourne parce qu il reçoit de l énergie électrique. Cette énergie est fournie au circuit par la photopile qui convertit l énergie de rayonnement qu elle reçoit en énergie électrique. * Définition Un générateur est un appareil qui convertit en énergie électrique une autre forme d énergie. - Chimique (pile) - Mécanique (dynamo) - Rayonnement (photopile, cellules photovoltaïques) * Force électromotrice d un générateur - tension à vide Il existe une tension non nulle aux bornes de la photopile éclairée. On mesure cette fem Cette tension, fem, est une caractéristique du générateur (Remarque : dans un circuit ouvert, la tension d un récepteur est nulle) - additivité des fem Exemple de la calculatrice Transition : Comment peut-on déterminer l énergie fournie? 2. Energie et puissance d un générateur Energie (Durandeau) Lorsque le générateur débite un courant continu, le courant sort par sa borne positive P et rentre dans le générateur par la borne négative N.

53 En convention générateur, la tension aux bornes de l appareil est celle dont la flèche est orientée dans le sens du courant qui travers l appareil. Elle est alors positive. L énergie électrique transférée du générateur au reste du circuit pendant t : We = U PN I t Cette énergie est d autant plus grande que la tension aux bornes du générateur est grande et que l intensité débitée est importante. Attention, il y a aussi un effet Joule lié aux effets thermiques : QJ = ri² t La puissance de ce transfert est P = We/ t = U PN I Evolution du potentiel électrique dans un circuit. On choisit V N = 0 comme référence des potentiels V P > V A > V B > V N U PA = V P V A = RI ; V A < V P A l extérieur d un générateur, le courant circule dans le sens des potentiels décroissants. Transition : comme pour les récepteurs, on fait un bilan 3. Bilan d énergie Un générateur de fem E et de résistance interne r débitant dans un circuit un courant I pendant une durée t convertit une énergie totale EI t en énergie électrique. - fournie au circuit : Wel = U PN I t - dissipée par effet Joule Q J = ri² t

54 Transition : on connaît le comportement énergétique d un générateur et des récepteurs : l un fournit, l autre reçoit. Que se passe-t-il globalement dans le circuit? III. Comportement global d un circuit 1. Distribution de l énergie électrique dans un circuit * Etude d un circuit série (Tomasino) On vérifie que P = P 1 + P 2 P t = P 1 t + P 2 t Wel (générateur) = Wel(récepteur) Loi d additivité des tensions P = U PN I = UI P 1 = U AB I = U 1 I P 2 = U BC I = U 2 I Comme P = P 1 + P 2 UI = U 1 I + U 2 I U = U 1 + U 2 * Etude d un circuit parallèle.

55 On vérifie que P = P 1 + P 2 P t = P 1 t + P 2 t Wel (générateur) = Wel(récepteur) * Loi d additivité des intensités P = P 1 + P 2 UI = UI 1 + UI2 I = I 1 + I 2 Cas d un circuit quelconque : l énergie électrique fournie par le générateur au circuit extérieur est égale au circuit extérieur est égale à la somme des énergies électriques reçues par le récepteurs. Transition : on va s intéresser au cas particulier d un générateur branché sur un circuit comportant uniquement des conducteurs ohmiques 2. Etude d un circuit résistif * Résistance équivalente du circuit On appelle résistance équivalente la résistance du conducteur ohmique unique qui, placé dans le circuit, consomme la même puissance que l association de conducteurs ohmiques qu il remplace. Conducteurs ohmiques en série Observation Les intensités des courants et les tensions sont égales Interprétation Peq = P1 + P2 ReqI² = R2I² + R1I² Req = R2+R1 La résistance équivalente Req est égale à la somme des résistances des conducteurs Dans un montage en série, la résistance équivalente est plus grande que la plus grande des résistances placées en série. Conducteurs ohmiques en parallèle

56 Quand plusieurs conducteurs ohmiques sont montés en parallèle, le conducteur équivalent a une conductance éq égale à la somme des conductances des conducteurs en dérivation. Dans un montage en dérivation, la résistance équivalente est plus petite que la plus petite des résistances. * Paramètres influençant le transfert - relation entre la fem et la résistance équivalente E = ReqI - influence de la fem : Le montage en parallèle permet à chaque récepteur de recevoir sa puissance nominale : il est utilisé dans les installations domestiques - puissance maximale : un conducteur ohmique peut se détériorer si on dépose la puissance maximale admissible. Conclusion Une application des bilans : le transport de l énergie électrique (Tomasino) P uisne = U bornes de l usine I I = Pr/U P J = RI² = R.Pr²/U² On cherche à transporter l énergie électrique sous les tensions les plus élevées possibles.

57 LP 07 Champ magnétique. Champ magnétique créé par un courant. Niveau : Première S Prérequis : - Addition vectorielle - Interactions électriques - Notion de courant, d intensité Biblio : Parisi nouveau, durandeau nouveau, micromega, Hecht Plan : I. Les aimants : source de magnétisme 1. Présentation 2. Principe de la boussole 3. Pôles d un aimant II. Le vecteur champ magnétique 1. Notion de champ 2. Vecteur champ magnétique 3. Lignes de champ 4. Superposition de champs magnétiques III. Champ magnétique créé par un courant 1. Champ magnétique créé par un courant rectiligne 2. Champ magnétique créé par un solénoïde 3. Application à la détermination de la composante horizontale du champ terrestre

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59 Introduction : A cause de l importance électrique entre charges de types opposés, la matière est presque toujours macroscopiquement neutre et les forces électrostatiques alors inobservables. Ca doit être alors d autres forces qui agissent au niveau macroscopique pour produire ceci : Exp : aimant/clou attraction ; aimant/craie rien. Thalès de Millet aurait déjà observé un tel phénomène : les clous des sabots des bergers attiraient des fragments de magnétite, minerai contenant de la magnétite (nom tiré de la Magnésie) qui est l aimant n naturel le plus répandu. Le pouvoir des pierres d aimant est d ailleurs désigné par le mot «magnétisme» dérivé de la Magnésie, région de Thessalie (Grèce) où l on trouvait ces pierres. Le but de cette leçon va d être d étudier ce magnétisme qui fera apparaître la notion de champ magnétique I. Les aimants : source de magnétisme 1. Présentation Pour cette étude, nous allons donc partir de cette expérience et étudier le responsable du magnétisme, l aimant! Qu est-ce qu un aimant? * Définition Un aimant est un corps qui a la propriété d attirer le fer Certains corps solides sont des aimants naturels, comme la magnétite mais d autres peuvent devenir des aimants après avoir été placés à proximité d un autre aimant (métaux, oxydes ). On dit qu ils sont été aimantés. (Exemple : micromega p. 186) #Exp : clou + aimant, le clou peut ensuite attirer un autre clou Un aimant bien connu, la boussole! Inventée par les chinois au IIIe s pour s orienter. 2. Principe de la boussole Boussole = petite aiguille aimantée libre de s orienter dans un plan horizontal Eloignée de tout objet avec lequel elle est susceptible d interagir, elle s oriente dans une direction fixe, et pointe approximativement vers le Nord géographique de la Terre. On nomme pôle Nord de l aiguille l extrémité qui pointe vers le pôle Nord géographique. On nomme pôle Sud l extrémité opposée de l aiguille, qui pointe vers le pôle Sud géographique. Qu est-ce qui se passe si on approche un aimant de cette aiguille aimantée? #Exp : aimant + aiguille

60 3. Pôles d un aimant Un côté de l aimant attire le pôle Nord de l aiguille, l autre le repousse ou attire le pôle Sud! L aimant de même a des pôles que l on définit ainsi : le pôle Sud de la boussole est attiré par le pôle Nord de l aimant et inversement. #Exp : deux aimants : les pôles identiques se repoussent, les pôles opposés s attirent. Maintenant, on peut expliquer boussole : la terre se comporte comme un aimant, et donc le sud magnétique attire le nord magnétique de la boussole. Donc le pôle nord de la Terre = pôle sud magnétique! Autre remarque, que se passe-t-il si on coupe un aimant en deux? Peut-on isoler pôle? #Exp : aimant brisé Aimant = somme de petits aimants mis côte à côte Transition : Maintenant si on met plein de petits aimants autour de l aimant? #Exp : visulisation des lignes de champ avec la plaque à petites aiguilles placée sur un aimant. Selon la position les propriétés magnétiques de l aimant dépendent de l espace II. Le champ magnétique 1. Notion de champ Toute grandeur fonction des coordonnées de position d un point de l espace, utilisée pour décrire localement les propriétés de la matière ou pour interpréter les phénomènes qui s y produisent ; Le champ est dit scalaire si cette grandeur est définie complètement par un nombre (affecté d une unité). C est le cas des champs de pression ou de température. #Exp : Carte des champs de pression (ligne = isobare) Dans notre expérience, l orientation de l aiguille varie en fonction de la petite région (assimilée à un point) où elle se situe. Pour caractériser les propriétés magnétiques de l espace, on doit utiliser une grandeur qui décrit l orientation de l aiguille, à savoir sa direction et son sens. Cette grandeur est un vecteur défini par trois nombres : ses coordonnées dans l espace à trois dimensions. Le champ magnétique est un champ de vecteurs (ou champ vectoriel). Les propriétés magnétiques d une région de l espace sont caractérisées par les vecteurs champ magnétique, définis en chaque point de cet espace. L ensemble de ces vecteurs constitue le champ magnétique. Un aimant est l une des sources de champ magnétique. Transition : Caractéristiques

61 2. Vecteur champ magnétique Le vecteur champ magnétique en un point M est noté B(M) : * Origine : point M * Direction : celle d une petite aiguille aimantée placée en M, libre de s orienter dans toutes les directions. * Sens : du pôle sud au pôle nord de l aiguille * Valeur : norme B(M) affectée d une unité, le tesla (T). #Exp : Mesurer avec Teslamètre champ d un aimant. #T : Ordre de grandeurs : 10 à 100 mt pour les aimants classiques. Exemples sans courant, sera compléter plus tard. Champ magnétique terrestre : composante horizontale en France : T (toujours négligeable en présence d un aimant classique!) (voir durandeau pour autre valeurs) Transition : Bon les aiguilles c est pas très précis, faisons avec de la limaille : #Exp : limaille de fer sur aimant 3. Lignes de champ magnétique * Définition Une ligne de champ magnétique est une courbe qui est tangente aux vecteurs champ magnétique en chacun de ses points. Elle est orientée dans le sens des vecteurs champ magnétiques. * Propriétés - Les lignes de champ se referment. - A un point de l espace correspond un seul vecteur champ magnétique, il est donc impossible que deux lignes de champ se coupent. #T : Lignes de champ terrestre. Terre assimilé à un aimant droit. Comment on a obtenu ses lignes de champ? Mesure effectué par satellite comme le satellite Oersted. Indispensable pour l orientation et la navigation. Sont embarqués à bords plusieurs magnétomètres mesurant la valeur et la direction du champ magnétique. (Durandeau nouveau p. 197) On a vu que les aimants droits pour l instant #Exp : Aimant en U + teslamètre pour vérifier valeur + plaquette à aiguilles pour vérifier sens, direction - Champ uniforme à l intérieur d un U. Le vecteur B a les mêmes caractéristiques en tout point de l espace. - Et si on met deux aimants de champ comparable? Que deviennent les lignes de champ? Dans un point de l espace, on n a qu un champ. #Exp : Deux aimants + aiguille Aiguille se met entre les deux -> champ résultant 4. Superposition de champs magnétiques Application : addition vectorielle des champs. Transition : Grâce aux champs terrestres, les oiseaux peuvent se diriger mais sont désorientés près

62 des lignes à haute tension!! Pourquoi? parce qu elles créent aussi un champ qui surpasse celui de la Terre

63 II. Champ magnétique créé par un courant 1. Champ magnétique créé par un courant rectiligne * Expérience historique. * Observations Circulation d un courant dans un fil orient les aiguilles en cercle concentrique. On inverse le courant, les aiguilles changent de sens. Avec mesure de teslamètre, on remarque que B augmente avec I et qu on se rapproche du fil. * Interprétation Lignes de champ dans un plan perpendiculaire au fil sont des cercles concentriques centrés sur l axe du fil. L orientation dépend du sens du courant. Règle de la main droite. Transition : Valeur faible de champ et si on mettait plusieurs fils! 2. Champ magnétique créé par un solénoïde * Définition Une spire circulaire désigne l enroulement d un fil conducteur sur un cercle. Un solénoïde est une bobine constituée de l enroulement cylindrique d un fil conducteur. Il est formé de plusieurs spires circulaires de même diamètre et d axes confondus, jointives ou non. Caractérisé par son nombre de spire, sa longueur, son diamètre. * Propriétés Lignes de champs. Droites parallèles à l intérieur, aimant droit à l extérieur. Du coup, on peut définir face nord, face sud suivant le sens du courant. Valeurs. #Exp : mesure du champ d un solénoïde par un teslamètre Champ à l intérieur uniforme, champ à l extérieur nul. On mesure B en fonction de I, on trouve proportionnalité. On donne : B = µ 0 N/LI. Comparer avec aimant. #T : Ordre de grandeurs : on complète le tableau avec bobines supraconductrices, électroaimants (durandeau) On voit que le champ d un solénoïde ne rend pas le champ terrestre négligeable!! Peut-être utile On peut mesurer la composante du champ terrestre. En effet, le champ terrestre s additionne au solénoïde. On fait parcourir un courant jusqu à ce que boussole bouge.

64 3. Application à la mesure de la composante horizontale du champ terrestre (Durandeau nouveau p. 209 ; Micromega p. 195) Bobines de Helmoltz. On place au centre la boussole. Sans courant, on orient le tout pour que l aiguille s oriente perpendiculairement à l axe des bobines. Puis on applique doucement un courant, donc un champ et pour chaque angle de déviation de l aiguille, on reporte l intensité. De l intensité, on a une formule pour remonter au champ B des bobines. Ensuite, on utilise l addition vectorielle des champs : B H + B ht En notant a l angle entre le champ résultant et la composante horizontale du champ terrestre, B ht = B H /tan a Pour plus de précision, on peut tracer tan a en fonction de B H et on obtient le champ terrrestre. Conclusion Champ magnétique partout à l état naturel, noyau terrestre et aimants naturels. Champ magnétique terrestre pour oiseau, bactérie, (Hecht) L homme peut créer des champs magnétiques! IRM, grue, moteur à courant continu (TGV), Bobines dans haut-parleur, aurores boréales (Hecht, Parisi p. 190)

65 Questions - on parle d orientation du champ? Plutôt sens et direction pour coller au programme de maths. - Pôle Sud magnétique dans quel pays? Cercle polaire, vers le Danemark - Aurores boréales? Emissions de lumières vertes dues aux particules éjectés par le soleil (ions, atomes) qui excitent les molécules de l air. Ces particules excitées sont emprisonnées par le champ magnétique et lumière. - Champ magnétique terrestre créé par? Noyau de fer. Direction varie au cours du temps. Temps typique? ans. Comment on met en évidence? D un point de vue géologique, océan atlantique en expansion, la roche remonte régulièrement et se solidifie sous le champ actuel de la Terre. - Unité adapté? Gauss = 0,1 mt - Aimant, courant, même type de champ? Ferromagnétique - Formule de comment va s orienter l aiguille? Couple M Vectorielle B Remarques Pour les aimants sur le retro, colorier à côté bleu et rouge pour bien voir les pôles Expérience sur les deux aimants et l aiguille. S il y en a un trop fort, on le recule! Ne donner qu une règle! Attention, avec le teslamètre, on a toujours le champ terrestre. On peut faire I fonction de B en mettant I positif et I négatif. Et on montre que ça ne coupe à 0 car champ magnétique terrestre. Pour la manip d Oersted, si alim coupe en courant, très dangereux!! On ne montre pas que les lignes de courant sont perpendiculaires puisque les boussoles sont fixées dans le plan!!! Bien passer du temps sur le champ car c est la première fois que les élèves voient cette notion. Mécanique, champ gravitationnel

66 LP 08 Force de Laplace. Couplage électromécanique et applications. Niveau : Première S Prérequis : - Circuit électrique - Champ magnétique - Puissance électrique et mécanique/travail d une force constante Biblio : Parisi nouveau, Tomasino, Micromegas, Sirius, Durandeau Plan : I. Etude de la force de Laplace 1. Etude expérimentale 2. Circuits dans un champ magnétique II. Application au couplage électromécanique 1. Conversion de l énergie électrique en énergie mécanique 2. Conversion de l énergie mécanique en énergie électrique

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68 Introduction : Champ magnétique et courant présents dans de nombreuses applications (HP, IRM, moteur TGV, ) #Exp : Spire Travail mécanique fourni!! Nous allons voir dans cette leçon comment on peut interagissent I et B pour donner un travail mécanique et du coup, est-ce qu un travail mécanique peut donner I?? I. Etude de la force de Laplace 1. Etude expérimentale * Mise en évidence (Parisi p. 209) #Exp : Rail de Laplace On fait varier I, le sens de I On fait varier le sens de B * Observation On connaît le poids et la réaction du support mais ne permettent pas d expliquer la mise en mouvement. Une nouvelle force : un fil parcouru par un courant dans un champ magnétique est soumis à la force dite force de Laplace F L en l honneur de Pierre-Simon de Laplace qui a étudié les caractéristiques de cette fore en 1820 : (Sirius) * Caractéristiques - direction : perpendiculaire à la fois au fil de courant et au champ magnétique. - sens : dépend du signe de i et de B, règle des 3 doigts - point d application : centre du fil rectiligne Et sa norme?? #Exp : Spire sur balance avec aimant On mesure F en fonction de i, B, l - Norme : F = IBlsin a. I : intensité ; B : champ magnétique ; l longueur de la portion rectiligne placée dans le champ B uniforme ; a : angle entre le courant et le champ magnétique. On retrouve ainsi que si I et B parallèles, F = 0. Si I et B sont perpendiculaires, la force est maximale. (Tomasino) * Travail de la force de Laplace : (Micromega p. 213, Galileo p. 224) F = IBl W = IBld Le travail est bien moteur! Très utile, peut-on l augmenter? Avec plusieurs fils? Transition : on a vu effet sur un fil rectiligne et si plusieurs, si circuit?

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70 2. Circuit dans un champ magnétique (Micromegas) * Action d un aimant droit sur une bobine #Exp : petite bobine attaché à fil + aimant droit La bobine parcouru par un courant vient se coller à l aimant ou est repoussé suivant le sens du courant. Explication Considérons un élément de spire, suffisamment petit pour qu on puisse faire l approximation qu il est rectiligne et que le champ magnétique dans son environnement est uniforme. La force électromotrice exercée sur la spire est la résultante des forces subies par chacun des petits éléments qui constituent la spire. Lorsqu une bobine comporte plusieurs spires, les forces subies par chacune d elles s additionnent. * Interaction entre deux courants électriques Deux conducteurs parcourus par des courants et voisins l un de l autre sont en interaction électromagnétique. Chacun d eux est une source de champ magnétique et, de ce fait, est à l origine d une force de Laplace s exerçant sur l autre conducteur. Conformément au principe des actions réciproques, les forces de Laplace subies par chacun des conducteurs sont de même valeur, de même direction et de sens opposés. #Exp : Mettre deux fils de courant parallèle et même sens de courant ou opposé (?) Définition de l ampère Deux conducteurs rectilignes et parallèles infiniment longs, de section négligeable, distants de 1 m, exercent l un sur l autre dans le vide une force de valeur N par mètre de longueur lorsque chacun est parcouru par un courant d intensité 1 A. * Circuit rectangulaire dans un champ magnétique uniforme #Exp : petite bobine attaché à fil + bobine de Helmoltz La bobine parcouru par un courant vient s orientent entre les bobines. Observation : toujours la même position finale. Ce mouvement est dû aux forces de Laplace s exerçant sur les côtés du cadre. Explication : Ces forces sont égales et opposées mais n ont pas la même droite d action. On dit que ces forces constituent un «couple de forces» Appliqué à un système un couple de forces tend à provoquer une rotation. Transition : intérêt pur un objet qui tourne sous l effet d un champ magnétique -> idée pour moteur où l on transforme de l énergie électrique en énergie mécanique. On va voir le rôle moteur des forces

71 de Laplace

72 II. Application au couplage électromécanique 1. Conversion de l énergie électrique en énergie mécanique * Expérience (Sirius p. 201) a. Le moteur à courant continu Stator = partie fixe, création de B radial Cette disposition permet d obtenir des forces de Laplace maximales au cours de la rotation du rotor et, ainsi, le meilleur rendement possible pour la conversion. Rotor = partie mobile, cylindre avec encoches dans lesquelles sont logés des conducteurs droits formant des cadres rectangulaires. Collecteur = lames de cuivre séparées reliées aux conducteurs droits. Il assure le contact avec des balais fixes, le passage du courant dans les cadres conducteurs. Le dispositif {collecteur ; balais} permet au rotor de tourner toujours dans le même sens en garantissant le changement de sens du courant à chaque demi-tour. * Fonctionnement - Rotation de la spire : la représentation des forces de Laplace sur deux fils diamétralement opposés d un même cadre, permet de montrer le rôle moteur conjugué de ces forces qui contribuent à la rotation du rotor. Toutefois, si le courant circule toujours dans le même sens, les forces de Laplace tendront à faire tourner le cadre dans un sens opposé à chaque demi-tour. Pour que le cadre puisse effectuer un tour complet et tourne toujours dans le même sens, il faut inverser le sens du courant -> rôle du collecteur et balais fixes.

73 * Rendement #Exp : Calcul du rendement (Galileo p. 227) En général de quelques watts (petits moteurs de jouet) à quelques mégawatts (motrices de locomotives) Ordres de grandeur (micromegas p. 207, Galileo, Durandeau) Aujourd hui moteur plus exactement comme ça mais le principe est le même. On a remplacé collecteur-balai par transistor -> nouveau moteur TGV deux fois plus puissant! (Galileo) b. Le haut-parleur électrodynamique * Expérience #Exp : HP tout fait et fait maison (Parisi p. 199) * Fonctionnement Le passage du courant dans la bobine entraîne l apparition de force de Laplace sur chaque portion conductrice de bobine placée dans le champ magnétique radial : - placer la force de Laplace La force de Laplace met en mouvement la bobine et la membrane qui lui est solidaire. Le mouvement de la membrane engendre le son. Pour obtenir un mouvement vibratoire, on doit utiliser un courant alternatif. * Rendement Le rendement des haut-parleurs est très faible puisqu il ne dépasse pas 5% pour les meilleurs. En

74 pratique, la presque totalité de la puissance reçue par le haut-parleur est dissipée sous forme de chaleur dans le circuit de la bobine, le reste est transformé en puissance acoustique. (Durandeau p. 222) Transition : le HP permet de produire un son à partir d un courant. Son but est d amplifier un son : une étape avant traduire son en courant : c est le rôle du microphone. 2. Conversion de l énergie mécanique en énergie électrique #Exp : Micro et oscillo ; on reprend le HP maison ou le vrai ; Les récepteurs électromécaniques sont réversibles, ils peuvent être utilisés comme générateurs pour convertir une énergie mécanique en énergie électrique grâce à un phénomène d induction découvert par Faraday en Ce phénomène d induction apparaît lorsqu on déplace un conducteur dans un champ magnétique. Applications Dynamo vu en 3e Toutes les centrales EDF fonctionnent sur ce principe. Principe de l alternateur. Le rotor est constitué d électro-aimants mis en mouvement par une chute d eau (centrales hydrauliques) ou par une turbine qui tourne sous l effet de vapeur d eau sous pression (centrales thermiques ou nucléaires). La rotation des électroaimants induit dans les bobines du stator une tension. Les conditions expérimentales sont telles que toutes les tensions induites dans le stator s ajoutent. (Galileo) Conclusion On a seulement vu deux applications parmis un très grand nombre. Voiture hybride (Durandeau p. 217, Micromega p. 212) : Le démarrage de cette voiture est silencieux. Sous son capot, se cachent deux moteurs distincts. Le premier, un moteur électrique, sert, au démarrage, à lancer la voiture ; le second, un moteur à explosion, prend le relais. De plus, sur route, le moteur électrique vient en complément du moteur à essence. Il fournit un surplus de puissance lors d une accélération, sans augmenter la consommation de carburant. Plus fort! Le moteur électrique peut se comporter comme un alternateur alimentant la batterie : ainsi, à chaque décélération, l énergie habituellement gaspillée est stockée dans la batterie qui, le moment venu, alimentera le moteur électrique.

75 LP 09 Image donnée par une lentille convergente. Niveau : Première S Prérequis : - Miroir plan - Condition de visibilité d un objet - Propagation de la lumière - Thalès, homothétie. Biblio : Micromegas, Tout en un PCSI, Tec & Doc, Durandeau p. 283 ; Parisi p. 248 Plan : I. Modélisation géométrique d une lentille convergente 1. Structure et représentation 2. Caractéristiques II. Relation image-objet 1. Construction d une image 2. Relation des lentilles minces 3. Grandissement III. Applications 1. Détermination d une distance focale 2. La loupe 3. Modélisation de l oeil 2009 Pour chaque système optique, il convient de distinguer les rayons incidents des rayons émergents, et un point objet de son image. La notion de centre optique doit être plus clairement dégagée. Rappelons qu une image peut exister même en l absence d écran. L'effort de soin pour la réalisation correcte des figures doit être maintenu. Enfin l'algébrisation est souvent maltraitée.

76 Introduction : Quand on veut observer quelque chose de petit, que fait-on? on prend une loupe! Ainsi font les électroniciens pour étudier le circuit imprimé (Parisi p. 237) ou le gemmologiste pour étudier les pierres précieuses et détecter de fausse pierre (Durandeau nouveau p. 259, Sirius p. 231) Cette loupe n est autre qu une lentille convergente! Nous allons étudier l image qu elle donne en

77 tentant de la modéliser de deux façons afin d expliquer et de prévoir géométriquement et analytiquement les images qu elle nous donne. I. Modélisation géométrique d une lentille convergente 1. Structure et représentation #Exp : On montre différentes sortes de lentilles : grande variété! nécessité de classification Caractéristiques communes? * Définition (Micromegas) Une lentille est un matériau transparent (verre, plastique) d indice n limité par deux surfaces dont l une au moins présente une forme non plane, en général sphérique. Ces deux surfaces sont très importantes car vont être le siège de réfraction. Comme cet indice est différent de celui de l air, on peut déjà prévoir que pour tout rayon lumineux arrivant sur la lentille sera réfracté deux fois (une fois sur chaque dioptre) et sauf cas particulier sera dévié. (Parisi) Points communs à toutes les lentilles? * Caractéristiques (Tout en un PCSI) Prenons l exemple d une biconvexe : schéma (deux rayons de courbures, deux centres) L axe optique : droite passant par les centres de courbures des deux faces ou axe de symétrie du dioptre non plan (passant par son centre et son sommet) Et seulement là on dessine l axe optique! Centre optique O : point de l axe optique tel que tout rayon passant par le centre optique n est pas dévié. Faire le schéma du tout en un en expliquant avec les lois de la réfraction. Placement de O. Différences? * Deux catégories (Tout en un PCSI) Lentille à bords minces (biconvexe, plan convexe, ménisque convergent) Lentilles à bords épais (biconcave, plan concave, ménisque divergent) #Exp : Laser sur lentille convergente/divergente Lentille à bords minces -> convergente ; lentille à bords épais -> divergentes On ne s intéressera par la suite qu aux lentilles convergentes et plus particulièrement aux lentilles minces. * Lentille mince (Tout en un PCSI) Lentille dont l épaisseur e sur l axe est petite devant les rayons des dioptres et devant la différence de ceux-ci s ils sont de même sens. Remarque : les lentilles que l on a montrées ne sont pas minces!!!! Montrer une vraie lentille mince Dans ce cas, on considère que O, S 1 et S 2 sont confondus. Si bien qu on représente les lentilles par un trait sur lequel on fait seulement figurer O. Transition : Lorsque l on a envoyé le faisceau, on a vu un point particulier où converger les rayons

78 2. Caractéristiques (Micromegas) #Exp : Laser sur lentille convergente Ici, on continue d utiliser lentille épaisse simplement pour illustrer les points importants. * Points particuliers On observe que les rayons réfractés convergent en un point de l espace image : F est appelé foyer principal image. Un faisceau de rayons parallèles, inclinés par rapport à l axe optique, converge en un point du plan perpendiculaire à cet axe et passant par le foyer principal image : ce plan est appelé plan focal image Si on place une source ponctuelle au point F symétrique de F par rapport à O, les rayons émergents sont parallèles entre eux et à l axe optique. F est appelé foyer principal objet Le plan focal objet est un plan perpendiculaire à l axe optique et passant par le foyer objet F. Les rayons issus d un point de ce plan émergent en formant un faisceau de rayons parallèles, mais inclinés par rapport à l axe optique. Comment représenter nos observations, faire des calculs sur le graphe? * Orientation Mise en évidence de sa nécessité : on trace un faisceau infini avec lentille et axe optique. L orientation des rayons lumineux pourraient suffire sur des chemins simples mais pour bien s y retrouver, on adopte une convention pour orienter l espace. - l axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière : il permet de repérer la position de l objet et de l image. - l axe perpendiculaire à l axe optique permet de repérer le sens de l objet et de l image et de mesurer leurs dimensions. On peut placer les foyers principaux! Et hop nouvelles distances caractéristiques apparaissent. * Distances focales On définit les distances focales : - distance focale objet f = OF < 0 - distance focale image f = OF > 0 f = -f Ordres de grandeurs!!!!!!!!!!!!! Les opticiens utilisent plus volontiers la vergence c, inverse de la distance focale C = 1/OF = 1/f en dioptrie (m-1) si f est en mètre. Transition : relation entre ce qui se passe avant et ce qu il y a après la lentille

79 II. Relation image-objet 1. Construction d une image (Micromegas, Sirius) On a orienté l espace. Rayons incidents (passe par l objet et arrive sur la lentille) Rayons émergents (passe par l image et sorte de la lentille) La construction de l image donnée par une lentille convergente nécessite de bien connaître le chemin suivi par certains rayons. * Rayons incidents particuliers - un rayon passant par le centre optique n est pas dévié - un rayon incident parallèle à l axe émerge après la lentille en passant par le foyer image - un rayon incident passant par le foyer objet émerge parallèlement à l axe * Construction graphique Objet avant F Soit un objet plan perpendiculaire à l axe optique AB Son image A B sera également plane et perpendiculaire à l axe optique. Propriété aplanétisme. -> Il est donc nécessaire de représenter uniquement à le point image B du point objet B. -> L intersection de 2 ou 3 rayons particuliers Il faut bien noter que tout rayon incident issu d un point objet et qui traverse la lentille contribue à la formation du point-image correspondant. Objet à l infini Image dans le plan focal Objet en F Image à l infini Objet entre O et F On place l objet entre O et F. Ainsi par construction, on voit qu on ne peut pas recueillir l image sur l écran! Prolongeons les rayons lumineux (fictifs). Le conditionnement de notre cerveau à la propagation rectiligne de la lumière nous fait alors percevoir des rayons semblant provenir de B qui est donc interprété comme l image de B. Transition : on a une modélisation géométrique bien mais ça serait si on pouvait prédire, c est-à-dire par le calcul, plus simple que de remettre à chaque fois une expérience Modélisation analytique.

80 2. Relation des lentilles minces On recherche des informations : position de A a. Avec origine au foyer * Démonstration (Tec & Doc) * Démonstration (Tec & Doc) b. Avec origine au centre * Vérification expérimentale On conjugue objet et écran et on mesure. On vérifie. * Interprétation des foyers et plans focaux (Parisi p. 246) * Prévoir le déplacement de l image suite au déplacement de l objet #Exp : Lampe + image + lentille + écran On vérifie que si on rapproche l objet, l image s éloigne d après les relations. Transition : Nous pouvons maintenant prévoir la position d un objet, et sa taille maintenant? 3. Grandissement Définition : = A B /AB On montre que = OA /OA Exemple sur objet avant F et objet entre O et F. Le signe du grandissement nous renseigne sur le sens de l image! #Exp : Lampe + image + lentille + écran On vérifie la relation et le signe. Transition : Importance de la distance focale mais comment la mesurer?

81 III. Applications 1. Détermination d une distance focale (Tec & Doc p. 264, Tout en un PCSI p. 300) * Autocollimation #Exp : Lampe + image + lentille + écran Rapide mais pas très précis * Méthode des points conjugués On a déjà fait cette mesure plus haut. On montre les autres mesures faites en préparation et les résultats. Plus long mais plus précis. * Méthode de Silberman?? #Exp : Lampe + image + lentille + écran Un peu moins long et aussi précis. Transition : Différentes distances focales possibles, ordres de grandeurs, celle des loupes est particulièrement faible et on va voir pourquoi. 2. La loupe (Micromegas) * Principe Lentille convergente de courte focal. On place l objet entre le foyer et la lentille, ainsi d après l étude qui a été faite on a une image droite agrandie. L impression de grandeur est liée non pas à la dimension absolue de l objet regardé, mais à son diamètre apparent. En effet, si l objet est placé loin ou près, la notion de dimension absolue ne rend pas compte de l impression de grandeur. Dépend de la position de l objet alors que le diamètre apparent ne dépend pas de la taille de l objet! * Grossissement C est pourquoi, dans le cas des instruments oculaires tel qu une loupe où le récepteur est l œil, on définit le grossissement G par la relation : G = / ' : angle sous lequel on voit l image donnée par la loupe. : angle sous lequel on voit l objet à l œil nu et dans les meilleurs conditions donc à la distance minimum de vision distincte dm. Ce rapport, sans dimension, caractérise numériquement le bénéfice tiré par l œil. Le grossissement G dépend de multiples paramètres liés aux caractéristiques de l œil et de la loupe, aux positions de l œil et de l objet par rapport à la loupe. Pour comparer des loupes sans ambiguïté, on définit un grossissement commercial Gc dm = 25cm Objet dans le plan focal objet. Dans ces conditions, les angles étant petits et exprimés en radian : Gc = dm/f = 1/4f. Calcul de grossissement

82 Transition : pourquoi choisir le plan focal objet comme ref? parce que c est là que l œil n accomode pas, qu il ne se fatigue pas 3. Modélisation de l oeil (Galileo) Lentille convergente (cristallin) de focale modifiable (17 mm) et écran (rétine). Diaphragme (iris). C est l œil réduit. Lorsque les muscles qui agissent sur les ligaments suspenseurs sont au repos, ces derniers étirent le cristallin, ce qui maintient sa vergence à une valeur minimale : l œil dit normal voit dans ces conditions avec netteté des objets très éloignés. Ce point est le punctum remotum. Rétine dans plan focal! Pour que l œil puisse voir de près, les muscles détendent des ligaments qui, dans ce cas, étirent moins le cristallin. Sous l effet de son élasticité propre, celui-ci devient plus bombé, donc plus convergent. Il accomode. Le point le plus proche qui peut être perçu par l œil avec netteté est le punctum proximum. La distance entre le centre optique de l œil et la rétine reste constante, et la mise au point est réalisée uniquement grâce à la modification de la vergence du cristallin. Cette modélisation est très importante car elle permet de configurer l utilisation des instruments d optique. On essaie toujours de faire en sorte que l œil n accomode pas. Conclusion L œil peut avoir des défauts! Pour les corriger, on ajoute des lunettes ou des lentilles de contact. En effet, en accolant plusieurs lentilles ont change les propriétés du système. On a des systèmes optiques : lunette astronomique, jumelle, microscope,

83 LP 10 Un exemple d appareil optique. Niveau : Première S Prérequis : - Image donnée par une lentille convergente - Condition de visibilité d un objet Biblio : Micromegas, Parisi nouveau, Sirius Terminale Spé, Galileo, Perez (exo corrigé pour Meudon), 750 questions Plan : I. Construction du modèle 1. Principe 2. Modélisation de l objet étudié et de l œil 3. Modélisation de la lunette astronomique II. Principe de fonctionnement 1. Construction des images 2. Grossissement 3. Cercle oculaire III. Application à l observation des étoiles 2009 Pour chaque système optique, il convient de distinguer les rayons incidents des rayons émergents, et un point objet de son image. La notion de centre optique doit être plus clairement dégagée. Rappelons qu une image peut exister même en l absence d écran. L'effort de soin pour la réalisation correcte des figures doit être maintenu. Enfin l'algébrisation est souvent maltraitée Il convient de soigner particulièrement les figures, de tracer la marche des rayons à travers tout l'appareil, sans s'arrêter à l'image intermédiaire (éviter, en particulier, les «rayons coudés»). Il est important de représenter des faisceaux incident, intermédiaire, et émergent.

84 2007 Il convient de tracer la marche des rayons à travers tout l appareil, sans s arrêter à l image intermédiaire (éviter, en particulier, les «rayons coudés»).

85 Introduction : * Présentation Les lentilles convergentes ont été vu, notamment, la lentille utiliser comme loupe pour voir plus près, aujourd hui on va voir comment les associer pour construire des appareils d optique permettant de voir plus loin et d observer les étoiles, la lunette astronomique! * Historique (Sirius, Vieux durandeau) La première lunette fut probablement réalisée par l opticien hollandais Lippershey en Elle comportait une lentille convergente et une lentille divergente. C est avec une lunette de ce type que Galilée a découvert en 1610 les satellites de Jupiter et les phases de Vénus. La première vraie lunette astronomique, avec deux lentilles convergentes, fut imaginée un peu plus tard par Kepler et réalisée par Scheiner en C est elle que nous allons étudier et voir comment elle a permis de révolutionner le monde de cette époque pour arriver de nos jours à la lunette astronomique de Meudon I. Construction du modèle 1. Principe (Sirius p. 267) La lunette astronomique doit permettre d observer un objet éloigné : - en augmentant la taille de l image Diamètre apparent d un objet = angle sous lequel on voit un objet du point d observation. Un œil normal ne peut distinguer des objets dont le diamètre apparent est inférieur à = rad ; Le but de la lunette astronomique est donc plus précisément d augmenter le diamètre apparent de l objet étudié. - en augmentant la luminosité. Lentille de grand diamètre afin de recueillir le plus de lumière. Une des limites technologiques : réalisation de lentilles de grand diamètre Transition : pour cela, nous allons d abord modéliser ledit objet ainsi que le récepteur, ici l œil.

86 2. Modélisation de l objet étudié et de l œil Parisi p.256 * Simulation d un objet à l infini On place l objet au foyer d une lentille convergente grâce à la méthode d autocollimation #Exp : On réalise l objet. (Expériences de physique au capes) * Simulation de l œil fictif observant l objet On modélise le cristallin par une lentille convergente, la rétine par l écran.(galileo) Un œil normal (emmétrope) n a pas besoin d accommoder si l objet est à l infini, on place donc l écran dans le plan focal image de la lentille-cristallin. Par la suite, on considérera donc un observateur emmétrope. #Exp : On réalise l oeil Transition : Le cadre du modèle est prêt, maintenant on peut introduire l appareil optique. 3. Modélisation de la lunette astronomique (Micromegas) On montre à la flexcam une lunette astronomique. (Micromega p. 256) Une lunette est constituée de deux systèmes optiques convergents de même axe optique. * L objectif Il est placé du côté de l objet à observer. Il possède une assez grande distance focale, de l ordre du mètre pour les lunettes pour amateurs et de grand diamètre pour collecter le plus de lumière (amateur 1m, Meudon 16m) Rôle : former une image de l objet. #Exp : On place une lentille de 1m * L oculaire Placé du côté de l œil, il a une courte distance focale (Amateur : mm ; Meudon : 4 cm) Rôle : loupe. Il agrandit l image donné par l objectif #Exp : On place une lentille de 10cm Transition : Avec l expérience, on montre qu il existe une position relative pour laquelle image nette sur l écran-rétine. On va essayer de comprendre comment sont placer ces deux lentilles l une par rapport à l autre? Pourquoi? On va essayer de comprendre

87 II. Principe de fonctionnement * Démarche AB -> A 1 B 1 -> A 2 B 2 1. Construction des images * Construction (Micromega p. 258) 1. Détailler avec un rayon incident (vient de l infini) et un rayon non dévié (passant par le centre optique). Plus la distance focale est grande, plus A 1 B 1 (angle fixé) est grand. On veut L 1 avec une grande distance focale. 2. L 2 agit comme une loupe A 1 B 1 entre F 2 et O 2. * Observations -> L image est renversée. Peu d importance pour l observation des cieux mais empêche de l utiliser comme lunette terrestre sans dispositif pour redresser l image. -> L œil doit accommoder, il faut mettre A 2 B 2 à l infini donc A 1 B 1 dans le plan focal image de L 2 * Construction de la lunette afocale On a une image à l infini d un objet à l infini Une lunette est afocale si elle donne un objet à l infini une image à l infini. Dans ces conditions, le foyer image de l objectif et le foyer objet de l oculaire sont confondus. #Exp : On place les lentilles tel que l image soit nette sur l écran-rétine. On fixe la lunette Transition : On a construit la lunette, étudions ces caractéristiques 2. Grossissement de la lunette (Micromega p. 258) G = / l angle sous lequel on voit l objet à travers l instrument, à l œil nu (0,5 pour Soleil/Lune Sirius) Après calcul, G = f 1 /f 2 Dans le commerce, le grossissement des lunettes astronomiques est compris entre quelques dizaines et plusieurs centaines. Calculons le grossissement de notre lunette! Observation : on veut donc f 1 >> f 2 pour avoir un bon grossissement. Mais attention, un gros grossissement entraîne une image moins lumineuse #Exp :.On retourne la lunette ou on change de lentille L objectif de la grande lunette astronomique de Meudon en France a une focale de 16m avec un oculaire de 4 cm de focal -> G = 400 Transition : On a vu comment on joue pour avoir la plus grande image, maintenant autre facteur important la luminosité, comment récupérer le plus de lumière?

88 3. Cercle oculaire (Sirius p.49, Micromega) #Exp : On bouge l œil et on voit où l image est la plus lumineuse Le cercle oculaire est l image de la monture de l objectif donné par l oculaire. Il correspond à la section la plus étroite du faisceau émergent. C est donc l endroit où il faut placer l œil pour recevoir le maximum de lumière. Considérons, en effet plusieurs faisceaux incidents tombant sur l objectif et non diaphragmés par la suite. La construction des faisceaux émergeant de l oculaire met en évidence une section commune M N appelée cercle oculaire. Le cercle oculaire se situe très près du plan focal image de l oculaire. La forme de ce dernier prévue par les constructeurs de lunettes astronomiques permet à l œil de s y positionner naturellement. Taille du cercle oculaire : D/d = f 1 /f 2 On veut d petit pour qu un max de lumière rentre dans l œil (ordre de la pupille de l œil (5 mm), Perez).Or D doit être grand. De nouveau, on doit donc jouer sur f 1 /f 2 Meudon : D = 0,8 m, donc d=2mm Transition : Intérêt de tout ça? III. Application à l observation des étoiles (Exo Sirius p.53 ; 750 questions) Lorsque l on observe une étoile dans la lunette on ne voit qu un point lumineux. Quelque soit le grossissement utilisé, leur distance angulaire reste inférieur à 3, rad, limite du pouvoir séparateur de l œil. * Etoiles peu lumineuses 750 questions La nébuleuse Messier 97 dans la constellation de la Grande Ourse, qui est très peu lumineuse. On voit plus d étoiles et les moins lumineuses aussi. Alpha du taureau (Perez, exo) : on la voit ponctuel (diamètre apparent inférieur à ) avec la lunette astronomique de Meudon, tout comme à l œil nu. Intérêt? On la voit plus lumineuse! * Etoiles doubles Exo Sirius p.53 Ex de Mizar et Alcar visible à l œil nu (12 d après Sirius 1ere S p. 276) Mizar invisible en tant qu étoile double à l œil nu mais à la lunette (Galilee 1620) Conclusion Rempli son double rôle (Micromega, 750 questions) - collecter la lumière - augmenter le diamètre apparent Ici on a étudier amateur! Meudo pro Parisi nouveau p. 252 et puis téléscopes. Mais aujourd hui télescopes (avec miroir) pour améliorer l observation des astres. stigmatisme, nombre de faces à polir, grand diamètre, aberrations, optique adaptative

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90 LP 11 Ondes mécaniques progressives ; périodicités ; dispersion. Niveau : Terminale S Prérequis : - Biblio : Parisi nouveau, Sirius nouveau Plan : I. Ondes mécaniques progressives 1. Présentation expérimentale 2. Différents types d ondes 3. Propriétés 4. Célérité d une onde II. Ondes progressives mécaniques périodiques 1. Double périodicité 2. Cas d une onde sinusoïdale 3. Diffraction 4. Dispersion

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92 Introduction : Les ondes sont des phénomènes omniprésents. Exemple du caillou qui tombe dans l eau. On va essayer de comprendre le phénomène, en lui associant les grandeurs physiques adéquates et en mettant en avant le comportement générique des ondes. (BO) I. Ondes mécaniques progressives 1. Présentation expérimentale # Exp : Cuve avec de l eau, pipette, brins de liège (Sirius) * Notion de perturbation (Parisi) Une perturbation est une manifestation locale et temporaire des propriétés d un milieu. Ex : la déformation de la surface de l eau lors de la chute d une goutte. La portion du milieu où est créée la perturbation est appelée «source de l onde» Ex : là où la goutte est tombée. * Définition d une onde mécanique On appelle onde mécanique le phénomène de propagation d une perturbation dans un milieu matériel, sans transport de matière. Ex : la perturbation produite par un choc à la surface de l eau ne reste pas localisée mais se propage sur la surface tandis que les brins de liège restent au même endroit. La propagation de la perturbation ne peut pas être confondue avec un déplacement d eau (sirius)

93 «Mécanique» est utilisé pour préciser que la perturbation est une déformation d un milieu matériel (ce n est pas toujours le cas) 2. Différents types d onde # Exp : Corde et ressort : 2 ondes mécaniques, quelles différences? * Ondes transversales Une onde est transversale lorsqu un point du milieu affecté par la perturbation se déplace perpendiculairement à la direction de propagation de l onde. Ex : la corde, échelle de perroquet * Ondes longitudinales Une onde est longitudinale lorsqu un point du milieu affecté par la perturbation se déplace parallèlement à la direction de propagation. Ex : ressort La perturbation s accompagne alors de compression et de dilatation du milieu Ex : ondes sonores * Bilan : ondes sismiques S et P (Sirius) Transition : Quels comportements communs? 3. Propriétés des ondes * Direction de propagation Une onde se propage à partir de sa source, dans toutes les directions qui lui sont offertes. - Lorsqu une seule direction de l espace est offerte, on dit que l onde est à une dimension. Ex : onde sur corde ou un ressort. - Lorsque la propagation se fait sur une surface, l onde est à deux dimensions Ex : l onde à la surface de l eau. - Lorsqu elle se fait dans tout l espace, elle est à trois dimensions Ex : l onde sonore dans l air. * Transfert d énergie de proche en proche - Le passage de la perturbation affecte les propriétés des points du milieu de propagation lorsqu elle les atteint. Les positions et les vitesses sont modifiées, donc les Ec et Ep aussi. - Lors de la propagation d une perturbation, il y a transfert d énergie de proche en proche d un point du milieu à l autre sans transport de matière. Le qualificatif «progressif» exprime que la transmission du phénomène s effectue de proche en proche. * Superposition de deux ondes # Exp : Echelle de perroquet Si les déplacements engendrés par la perturbation sont assez faibles : Deux ondes qui se croisent ne se perturbent pas. Elles se superposent dans la zone où elles se rencontrent et continuent de se propager sans modification de leur forme ou de leur direction.

94 Remarque : on voit bien la différence avec le déplacement d un mobile. Leurs trajectoires si elles se croisent, sont changées après un choc. Transition : On va voir une quatrième propriété, qui est reliée à la vitesse de propagation d une onde. 4. Célérité d une onde * Définition Lorsqu une onde se propage dans un milieu, on peut définir, dans un référentiel terrestre une vitesse de propagation de la perturbation. Pour la distinguer de la vitesse d un point matériel, on la distingue plutôt par le terme célérité, noté v (on verra que c est réservé à un usage bien particulier). La célérité est toujours positive. v = d/ t. d = distance parcourue en m ; t distance parcourue en s ; v en m/s * Propriétés La célérité dépend de la nature du milieu mais aussi de la température, rigidité mais ne dépend pas de l amplitude de la perturbation (milieu linéaire). Plus l inertie du milieu est grande, plus la célérité des ondes sera faible. Plus la rigidité du milieu est grande, plus la célérité des ondes sera grande. # Exp : Ressort, corde tendue ou perroquet?? Vrai par type d onde : ondes longitudinales ou transversales n ont pas la même célérité. Exemple : Permet au scorpion de localiser sa proie (Parisi p. 26) * Cas d une onde progressive à une dimension Une onde mécanique progressive à 1D est : - une onde qui se propage dans un milieu matériel à 1D - une onde qui se propage dans un milieu matériel à 2D ou 3D avec une direction de propagation unique. Notion de retard. Pour étudier la propagation d une onde non amortie le long d une corde, on créé à l instant t une déformation à l une des extrémités. La perturbation se propage le long de la corde à la célérité v. On observe en t = t +, la même perturbation en M que celle qu il y avait en M à la date t. La grandeur est le retard du point M par rapport à M. = D/v avec D = MM (m), v la célérité (m/s), le retard (s) # Exp : Mesure du retard d une salve d ultrasons grâce à un oscilloscope. Mesure du retard, donc de la célérité dans l eau et l air (Parisi) Principe du sonar : on envoie un signal ultrasonore vers le fond marin. Orage : on peut déterminer à quelle distance se situe un orage. Transition : On va s intéresser aux sources qui provoquent des perturbations périodiques. # Exp : Cuve à ondes

95 Quand on jette une pierre dans l eau, onde clairement pas périodique mais on peut l entretenir par une excitation périodique comme sur cette cuve

96 II. Ondes mécaniques progressives périodiques Un phénomène est périodique si la grandeur y le décrivant reprend la même valeur avec le même sens de variation à intervalles de temps égaux + déf periode. Remarque : l œil humain est capable de percevoir un mouvement périodique tant que sa fréquence (1/T) est inférieure à 10 Hz (ex de l oscillo). Définition : On a une onde progressive périodique si elle est progressive et si sa source impose une perturbation périodique du milieu. 1. La double périodicité On peut étudier une onde de deux façons : - on se place en un point fixe M et on regarde la perturbation au cours du temps. - on se place à un instant t donné et on regarde en tous les points du milieu. * Périodicité temporelle La perturbation créée au niveau de la source est reproduit, avec un retard, en M : la perturbation en M sera aussi périodique de même période T. Chaque point du milieu subit la même perturbation à intervalles de temps égaux ou multiples de T, la période temporelle de l onde. # Exp : Cuve à ondes : stromboscope ou 1 micro et un oscillo * Périodicité spatiale La période spatiale d une onde mécanique progressive périodique est la distance, constante, séparant deux motifs identiques consécutifs. Deux points séparés d une période spatiale (ou d un multiple) ont le même mouvement au même instant. # Exp : Avec un deuxième micro, on trouve des positions particulières où les signaux se superposent. Transition : Un exemple particulier 2. Cas d une onde sinusoïdale * Définition Une onde mécanique progressive périodique est dite sinusoïdale si l évolution temporelle de la source peut être associée à une fonction sinusoïdale. Ex : un vibreur et une corde, le son pur (ou simple) sont des ondes mécaniques sinusoïdales * Grandeur La longueur d onde d une onde sinusoïdale est la distance de propagation de l onde pendant une période temporelle T = vt = v/f avec en m, v célérité en m/s, T période temporelle en s, f fréquence en Hz.

97 # Exp : cuve à eau (Sirius) Mesure, on connaît T (imposé), on mesure v. Transition : Et maintenant si on met obstacle de même ordre de grandeur que la longueur d onde 3. Diffraction # Exp : cuve à eau (Sirius) Fente obstacle. On fait varier la largeur pour en montrer l influence. On utilise onde ultrasonore et on observe maximum, minimum. Pour que le phénomène de diffraction d une onde à la surface d un liquide soit notable, il faut que la largeur a de l ouverture ménagée dans l obstacle soit du même ordre de grandeur que la longueur d onde ou inférieur. La longueur d onde n est pas modifiée. Le phénomène de diffraction est caractéristique des ondes progressives sinusoïdales. C est un critère pour repérer un phénomène ondulatoire. Exemple Ondes sonores ou ultrasonores, l obstacle doit être de l ordre du mètre. C est pourquoi nous entendons le son émis par une source pourtant invisible. Transition : Et maintenant si on modifie la fréquence 4. Dispersion # Exp : cuve à eau (Sirius) On change la fréquence, on mesure de nouveau v. Report de point. Il y a dispersion si la célérité dépend de la fréquence de la source -> le milieu est dit dispersif. Exemple L air est un milieu peu dispersif, un spectateur entend toutes les notes en même temps lors d un concert. Conclusion : On a vu onde mécanique progressive et périodique et on a obtenu des propriétés bien particulières : - célérité - double périodicité - diffraction - dispersion D autres ondes possèdent des propriétés très proches que l on étudiera dans le chapitre suivant : la lumière.

98 LP 12 La lumière : modèle ondulatoire. Niveau : Terminale S Prérequis : - Optique géométrique - Ondes mécaniques progressive et périodiques Biblio : Galileo, Durandeau nouveau, Parisi vieux et nouveau, Hecht Plan : I. Présentation du modèle ondulatoire 1. Mise en évidence expérimentale 2. Description d une onde lumineuse 3. Notion de spectre de la lumière II. Etude du phénomène de diffraction 1. Caractéristiques de la figure de diffraction 2. Applications III. Etude du phénomène de dispersion 1. Mise en évidence expérimentale 2. Interprétation : l indice de réfraction 2009 On note de fréquentes confusions en ce qui concerne la dispersion. Il suffit d'indiquer que, pour un milieu dispersif, la vitesse de phase (ou l'indice) dépend de la fréquence.

99 Introduction : On a vu au cours de l année de première, que l optique géométrique permet d expliquer un grand nombre de phénomènes et qu elle conduit à l élaboration d instruments d optique tels que ce rétroprojecteur ou les lunettes astronomiques. Toutefois certains phénomènes, comme l observation d arc-en-ciel à partir de la lumière blanche du soleil, ne peuvent pas être expliqués dans le cadre de l optique géométrique. On verra au cours de la leçon des expériences mises au point par de brillants scientifiques qui cherchaient à interpréter la lumière : on va se pencher, comme l indique le titre de la leçon, sur un modèle ondulatoire proposé pour la première fois par Huygens vers 1690 et admise qu en 1819 grâce aux travaux d Augustin Fresnel. Nous allons l aborder en s appuyant sur nos connaissances acquises au cours de la leçon sur les ondes mécaniques progressives et périodiques. (Parisi p. 48)

100 I. Présentation du modèle ondulatoire 1. Mise en évidence expérimentale (Galileo) * Expérience connue : cuve à ondes avec une fente (montrer photo) Observation : la diffraction par une fente des ondes progressives à la surface de l eau a permis d observer des maxima et des minima d amplitude. * Nouvelle expérience #Exp : Laser + fente, trou, fil On n observe pas une unique tâche centrale prévue par l optique géométrique. On voit des maxima et des minima de lumière dans certaines directions. * Analogie Certains phénomènes, ici la diffraction, conduisent à décrire la lumière comme une onde. Cette onde est appelée «onde lumineuse» ou encore «radiation lumineuse» Transition : On a justifié l approche annoncée en introduction, à savoir utiliser nos connaissances sur les ondes mécaniques pour décrire la lumière sous forme d onde lumineuse 2. Description d une onde lumineuse (Galileo) * Fréquence La lumière émise par un laser se comporte comme une onde lumineuse sinusoïdale de fréquence déterminée : = 1/T La fréquence d une onde lumineuse sinusoïdale est une caractéristique propre à cette onde, elle ne dépend en particulier pas du milieu. Gamme : très différentes de celles des ondes mécaniques Onde sonore : 20Hz à 20 khz Laser : Hz * Célérité Comme les ondes mécaniques, les ondes lumineuses se propagent avec une certaine célérité, qui dépend du milieu Gamme : c = m/s lumière dans le vide = l air c = 340 m/s son dans l air L analogie a des limites. Ces deux types d onde ont une différence plus fondamentale que les gammes de fréquence et de célérité d ordre de grandeur très différents. * Milieu de propagation Contrairement aux ondes mécaniques progressives, les ondes lumineuses peuvent se déplacer dans le vide. L onde lumineuse n est pas mécanique. Ex : la lumière émise par le Soleil parcourt dans le vide environ 150 milliards de km avant d arriver sur la Terre. Ce n est pas une déformation qui se propage mais une onde électromagnétique. * Longueur d onde dans le vide = ct = c/ C est en optique la grandeur caractéristique. c = m/s dans le vide. Gamme : = c/ = / = 600 nm pour le laser

101 = 1m pour une vague Transition : On a caractérisé le laser par sa fréquence ou sa longueur d onde, mais on peut également décrire grâce à a la couleur, ici rouge. 3. Notion de spectre de la lumière Galileo Une source lumineuse monochromatique correspond à une seule couleur. La fréquence f de l onde détermine la couleur de la source, quelque soit la nature du milieu de propagation. Parisi #Exp : Laser + prisme + écran Rouge = 600 nm (calculé juste au-dessus) Une source lumineuse polychromatique comporte plusieurs radiations monochromatiques de couleurs différentes. #Exp : Lampe + fente + lentille + prisme + écran (Hg et lumière blanche) Hg : (Durandeau nouveau p. 66) Une source de lumière blanche est la superposition de toutes les radiations monochromatiques * Domaines des longueurs d onde - domaine visible : 400 à 800 nm ; 7,5 à 3, Hz «lumière» onde électromagnétique que l œil humain peut percevoir Notre œil est sensible à la superposition de différentes radiations lumineuses monochromatiques, ce qui nous permet de voir des couleurs comme le rose ou le marron qui n appartiennent pas au spectre de la lumière blanche. De ce fait, à chaque couleur visible ne correspond pas une longueur d onde donnée dans le vide! (Parisi p. 49) - domaine de l infrarouge : 800 à nm Application diagnostique médicale, observations militaires, télécommandes Il fut découvert vers 1801 par Herschel qui désirant étudier le rayonnement solaire sans endommager sa rétine, il utilisa un prisme qui séparait les couleurs du violet au rouge. Il observa alors qu un thermomètre indiquait une augmentation de température lorsqu on le plaçait immédiatement après le bord rouge du spectre visible. Il en conclut qu une partie importante des radiations était déviée au-delà du rouge, et n était pas visible : c est le rayonnement infrarouge (Paris vieux p. 53) Le corps humain émet un rayonnement infrarouge dont la longueur d onde dans le vide est fonction de la température de la zone émettrice. Sur cette thermographie (Parisi p. 50) obtenue avec une caméra spécifique, le violet correspond à une température de 19 C et le rouge à 36 C. D où l utilisation par l armée par exemple - domaine de l ultraviolet : 1 nm à 400 nm Utile par exemple dans la synthèse de la vitamine D ou la photosynthèse, détection de faux billets Ces domaines encadrent le domaine visible, mais il en existe d autres. Transition : Maintenant que nous avons le modèle de la lumière interprétons la diffraction et l arc-enciel

102 II. Etude du phénomène de diffraction 1. Caractéristiques de la figure de diffraction (Durandeau p. 63, Parisi) Remarque : observation directe puis mesure avec Caliens (plus précis moins dangereux) * Mise en évidence de l influence de la largeur de la fente #Exp : Laser + fente + écran On fait varier la taille de la fente Observation Le phénomène de diffraction est d autant plus important que la fente est étroite. Essayons alors le modèle : d & 1/a et ça marche. * Mise en évidence de l influence de la longueur d onde #Exp : Laser + fente + écran Laser rouge puis vert, puis lumière blanche Observation La largeur de la tâche centrale de diffraction augmente si la longueur d onde augmente : d & Avec une lumière blanche, dépend de la longueur d onde, donc décomposition (irisation) * Influence de la distance à l écran #Exp : Laser + fente + écran On déplace l écran Observation : d &D * Interprétation On obtient : d = D/a, soit d/d= /a. Or d/d = car tan = = écart angulaire = milieu de la tâche centrale et milieu de la première zone sombre. L écart angulaire s exprime simplement : = /a Transition : On l utilise 2. Applications (Durandeau) Cette relation nous permet de déterminer expérimentalement la longueur d onde du laser. On reprend d = f(d) et on connaît a et D, on en déduit. On revient sur les manipulations introductives. On a un même comportement fente/obstacle On détermine l épaisseur d un cheveu. #Exp : Laser + cheveux + écran Droite d étalonnage ou application directe de la formule. Comparer incertitudes? (Parisi p. 58) Transition : On a vu qu on pouvait détermine une longueur d onde, facile quand mono, mais si poly, il faut dispersé. On a fait ça avec le prisme mais en fait pourquoi le prisme disperse?

103 III. Etude du phénomène de dispersion On s intéresse à la propagation d une onde dans un milieu transparent 1. Mise en évidence expérimentale (Durandeau) * Expérience #Exp : QI + fente + lentille + prisme + écran * Observation - le prisme laisse passer la lumière, il s agit d un milieu transparent - décomposition de la lumière, la lumière violette est plus dévié que la lumière rouge. Transition : comment interpréter ceci? 2. Interprétation : l indice de réfraction * Interprétation Le prisme dévie différemment chacune des ondes monochromatiques qui composent la lumière blanche et peut ainsi les séparer. Les réfractions sur chacune des faces du prisme dépendent de la loi de Snell-Descartes. Les angles i sont différents, donc les indices de réfraction le sont aussi selon la fréquence considérée. Donc l indice de réfraction dépend de la fréquence de la radiation. Or : Indice de réfraction L indice de réfraction est défini par n = c/v. Donc la célérité dépend de la fréquence de la radiation. Dispersion Si la vitesse de propagation dépendent de la fréquence, le milieu est dit dispersif. Remarque : - Mais alors à quoi correspond les valeurs qu on nous adonné? Exemples (Parisi p. 52). Tabulé à la raie D du sodium : 589 nm. - Calculons n du verre pour le bleu et le rouge avec la valeur tabulée. On explique avec les mains que c est bien le bleu le plus dévié. - explication de l exemple d intro : l arc en ciel - tous les milieux, sauf le vide, sont plus ou moins dispersifs. L air est très peu dispersif pour les ondes lumineuses. - c milieu = milieu, donc dépend du milieu Conclusion Nous avons montré le caractère ondulatoire de la lumière, notamment grâce aux phénomènes de diffraction et de dispersion. Ici on s est contenté de montrer le côté positif de la diffraction. Il peut

104 s agir d un phénomène limitant, notamment pour le stockage d information sur un disque. (Durandeau), limite la résolution des appareils d optiques (on ne voit pas des points mais des tâches!) Mais peut être quand même très utiles comme on l a vu pour étudier les spectres des éléments, des étoiles Une question très théorique, qui a une application des plus pratiques!

105 LP 13 Noyaux, masse, énergie. Niveau : Terminale S Prérequis : - Composition des noyaux - radioactivité Biblio : Galileo vieux et Durandeau vieux pour la trame ; info complémentaires : Parisis nouveau, Tomasino nouveau, Sirius Plan : I. Equivalence masse-énergie 1. Défaut de masse 2. Principe d équivalence 3. Energie de liaison 4. Courbe d Aston II. Réactions nucléaires provoquées 1. Fission 2. Fusion III. Bilan de masse et d énergie d une réaction nucléaire 1. Radioactivité 2. Fission 3. Fusion

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109 Introduction : En 1903, Marie et Pierre Curie, Henri Becquerel reçoivent le Prix Nobel pour avoir découvert la radioactivité naturelle, réaction nucléaire spontanée dans laquelle un noyau se désintègre en noyaux plus légers. (Sirius p.126) Les rayonnements émis ionisent la matière, impressionnent un film photographique, Ils transportent de l énergie. Quelle est l origine de cette énergie? C est ce que nous allons voir au cours de cette leçon. (Durandeau p. 112) I. Equivalence masse-énergie 1. Défaut de masse (Durandeau p.114) * Mise en évidence Effectuons un bilan de masse sur une réaction radioactive déjà vue qui, on le sait, libère de l énergie : m( 226 Ra) = 225,9770 u, m( 222 Rn) + m( 4 He) = 225,9718 u! De même, si nous décomposons un noyau: m( 4 2He) = 4,0015u et m(nucléons séparés) = 4,032u, soit m/m = 0,8 %! * Principe Dans un référentiel donné, la différence de masse entre la masse des nucléons séparés au repos et la masse du noyau au repos est appelée défaut de masse, noté m. Pour un noyau A ZX, le défaut de masse s écrit : m = (Zm(p)+(A-Z)m(n))-m( A ZX) D après la définition proposée, le défaut de masse est positif. * Unité Introduction de l unité atomique : 1 u = M(C)/12N A = 1, kg Plus adaptée pour parler de masse de particules. Transition : D où peut provenir ce défaut? Et quelle sa conséquence. 2. Principe d équivalence 1905, Einstein a audacieusement imaginé que le défaut de masse était dû à l interaction entre les nucléons dans le noyau et l a relié à l énergie de liaison du noyau. Une particule matérielle, même au repos, du seul fait de sa masse, possède une énergie nommée «énergie de masse». Einstein postula l équivalence entre la masse et l énergie (relation d Einstein) : E = mc² Remarque : ce défaut de masse existe aussi pour les molécules, mais il est très faible. Par exemple, la différence de masse entre une molécule de dihydrogène et celle de ses deux atomes d hydrogène est en valeur relative de l ordre de un pour un milliard. Transition : Donc le défaut de masse peut être vu comme une énergie dissipée. A quoi correspondelle?

110 3. Energie de liaison * Définition A l intérieur d un noyau, les nucléons, protons et neutrons, sont confinés dans un très petit volume. La répulsion électromagnétique intense des protons devrait faire éclater le noyau, mais les nucléons s attirent par interaction forte. Cette interaction, dont la portée n excède pas la taille du noyau, est identique entre nucléons qu ils soient protons ou neutrons. Globalement il est difficile de séparer les nucléons d un noyau, ils sont très liés. L énergie de liaison du noyau est l énergie qu il faut fournir à un noyau au repos pour le dissocier en nucléons isolés et immobiles. Ainsi : El = mc² * Unités On calcule El pour l hélium et on voit que Joule pas adapté! Recherche d une autre unité. 1 ev = charge élémentaire * volt -> Analyse dimensionnelle, on vérifie l homogénéité. 1 ev = 1, J * Energie de liaison par nucléon Plus un noyau est lourd (A élevé), plus importante est son énergie de liaison. Toutefois, cela n implique pas qu il soit plus stable. Ainsi l énergie de liaison de l uranium 238 est de 1802 MeV et celle du fer 56 de 492 MeV alors que le fer 56 est plus stable que l uranium 238. Pour juger de la stabilité d un noyau, il faut considérer l énergie de liaison par nucléon, soit El/A. Ainsi : 7,57 MeV pour U et 8,79 MeV pour Fe. Un noyau est d autant plus stable que son énergie de liaison par nucléon est grande. Transition : Voyons son évolution en fonction du noyau considéré. 4. Courbe d Aston -El/A = f(a) (le c est pour avoir les noyaux les plus stables au fond de la courbe) Pour 50<A<75, la courbe présente un minimum très aplati qui correspond aux nucléides les plus stables ; El/A vaut en moyenne 8,7 MeV. Pour A>100, la courbe augmente lentement : les nucléides correspondants (nucléides lourds) sont de moins en moins stables. Transition : Les noyaux possèdent des énergies de liaison relativement faibles peuvent se transformer en d autres noyaux plus stables avec libération d énergie. Deux processus différents sont alors possibles : la fusion et la fission mais contrairement à la radioactivité, ils ne sont pas spontanés.

111 II. Réactions nucléaires provoquées 1. Fission En effet, en 1938, les allemands Otto Hahn, Lise Meitner et Fritz Strassman bombardent l uranium avec des neutrons, ils mettent en évidence la formation de baryum. En mars 1939, l équipe de Frédéric Joliot-Curie met en évidence la libération de neutrons. Ils ont mis en évidence une réaction nucléaire provoquée, la fission PN pour Hahn. Comment peut-on le comprendre? * Exploitation de la courbe d Aston. Pour obtenir des nucléons séparés à partir d un noyau lourd ( 235 U), il faudrait fournir 7,7 MeV par nucléon. Si des noyaux plus légers se situant au minimum de la courbe d Aston se formaient à partir de ces nucléons, alors on récupérerait une énergie de l ordre de 8,7 MeV par nucléon. Il en résulterait une libération d énergie de l ordre de 1 MeV par nucléon, soit environ 200 MeV pour chaque noyau d uranium ayant subi la fission. En effet, un noyau de lourd de faible énergie de liaison se scinde en deux noyaux moyens, chacun d énergie de liaison plus grande, donc plus stable. Il y a libération d énergie. * Définition La fission est une réaction nucléaire provoquée au cours de laquelle un noyau lourd éclate, généralement en deux fragments, sous l impact d un neutron. La fission des noyaux lourds permet de libérer de l énergie. Remarque : Les réactions nucléaires obéissent aux lois de conservation déjà rencontrées à propos des réactions radioactives : conservation du nombre de nucléons, de la charge électrique, de l énergie. Ainsi, dans notre exemple : 1 0n U -> 94 38Sr Xe n + * Exemple : réacteur naturel du Gabon Il y a deux milliards d années, fonctionnaient, qq part à 3000 m sous terre, des réacteurs nucléaires naturels qui ressemblaient aux centrales nucléaires actuelles les plus répandues. On peut signaler le réacteur nucléaire naturel du Gabon. Une concentration en uranium très élevé (3%) conjuguée à la présence d eau qui a joué le rôle de modérateur a déclenché, voici deux milliards d années des réactions en chaîne. Elles se sont entretenu toutes seules pendant des centaines de milliers d années. A l époque actuelle où l on envisage le stockage souterrain des déchets nucléaires, l analyse des migrations d éléments radioactifs dans le sous-sol d Oklo peut apporter de précieux renseignements pour le confinement des déchets. Transition : De même, les noyaux légers ont une énergie de liaison par nucléon faible. Donc on peut s attendre aussi à une réaction nucléaire provoquée

112 2. Fusion Découverte de la fusion??? * Exploitation de la courbe d Aston. D après la courbe d Aston, pour scinder des noyaux légers, par exemple de deutérium et de tritium, il faudrait fournir une énergie de 1 à 3 MeV par nucléon. Si des noyaux plus lourds, comme ceux d hélium, se formaient à partir des nucléons séparés, alors on récupèrerait une énergie de l ordre de 7 MeV par nucléon. Il en résulterait une libération d énergie de 4 à 6 MeV par nucléon. Au cours de ce processus, il y aura une perte de masse et un important transfert d énergie. En effet, deux noyaux légers d énergie de liaison faible se soudent pour former un noyau moyen d énergie de liaison plus grande, donc plus stable. Il y a libération d énergie. * Définition La fusion est une réaction nucléaire au cours de laquelle deux noyaux légers fusionnent pour former des noyaux plus lourds. La fusion de noyaux légers permet de libérer de l énergie. Il faut un apport d énergie pour vaincre la répulsion électrostatique entre les noyaux. Remarque : Les réactions nucléaires obéissent aux lois de conservation déjà rencontrées à propos des réactions radioactives : conservation du nombre de nucléons, de la charge électrique, de l énergie. * Exemple : fusion dans les étoiles Premier maillon de la transformation de l hydrogène en hélium dans le Soleil et les étoiles. 1 1 H + 1 1H -> 2 1H + e +. Sur Terre, il est pratiquement impossible de la réaliser. Transition : On va voir quelle énergie elles peuvent libérer et dans quelles conditions les exploiter et on va voir pourquoi elles sont si importantes aujourd hui

113 III. Bilans de masse et d énergie d une réaction nucléaire En effet, les réactions que l on étudie en chimie concernent des molécules. Lors d une réaction chimique, les molécules se modifient par des échanges d atomes ou d ions. Les énergies mises en jeu sont de l ordre de l électronvolt par molécule. Les réactions nucléaires font interagir des noyaux qui se modifient par échanges de nucléons. Les énergies mises en jeu sont de l ordre du MeV par noyau! 1. Radioactivité (Galileo p.110) Au cours de chaque réaction radioactive, l énergie libérée E est communiquée aux particules légères sous forme d énergie cinétique : noyaux d hélium, électrons, positrons. Elle est communiquée sous forme d énergie électromagnétique aux rayonnements. Les noyaux fils formés restent là où se trouvaient les noyaux pères, ils n acquièrent que très peu d énergie cinétique. Une fois libérés, les noyaux d hélium, les électrons, les positrons et les rayons ont des comportements différents. Radioactivité A Z X -> 4 2He + A-4 Z-2Y* Application : désintégration du radium en radon. Cause principale de l irradiation naturelle à laquelle est exposé l homme. p. 117 Devenir de l énergie : facilement arrêtés par qq cm d air ou par une feuille de papier car leur vitesse n est pas très importante. Si ce rayonnement est ingéré ou inhalé, il provoque dans l organisme humain de nombreuses ionisations nocives. Radioactivité -/ + A Z X -> 0-1e + A Z+1Y* / A ZX -> 0 1e + A Z-1Y* Application : cobaltothérapie. Le Co 60 est radioactif -. Sans rayon, Em = -2,283 MeV. (Parisi nouveau p.304). 5 fois supérieur à l énergie molaire de la combustion du méthane! Devenir de l énergie : 8000 fois plus légères que les particules. Le rayonnement est donc beaucoup plus pénétrant que le rayonnement car il est constitué de particules extrêmement petites et très rapides. Il peut traverser qq m d air et qq mm d aluminium. Il provoque beaucoup moins d ionisations dans l organisme. Rayonnement Application : cobaltothérapie. Le Co 60 est radioactif -. Le noyau fils est émis dans un état excité et lors de sa désexcitation il émet un rayonnement d énergie 1,33 MeV utilisé dans le traitement des cancers. p. 117 Devenir de l énergie : Rayonnements de même nature que la lumière. Ils se propagent donc à la vitesse de la lumière. Ils sont très pénétrants. Il faut plusieurs dizaines de centimètres de béton pour les arrêter. Ils provoquent de nombreuses ionisations dans l organisme. Les effets des irradiations subies par l homme sont essentiellement ceux causés par le rayonnement. Transition : De l ordre du MeV, les réactions nucléaires provoquées produisent bien plus

114 2. Fission * Bilan d énergie Considérons l exemple de la fission d un noyau d uranium 235 par un neutron 1 0 n U -> 94 38Sr Xe n + Négligeons les énergies cinétiques des noyaux et celle du neutron incident (de l ordre de qq ev) E av = m av c² = m( U) c² + m( 1 0n) c² E ap = m ap c² + Ec(n) + E( ) = m( 94 38Sr) + m( Xe) + 3m( 1 0n) + Ec(n) + E( ) Le principe de conservation de l énergie donne E av = E ap m ap c² + Ec(n) + E( ) = m av c² Q = Ec(n) + E( ) = m av c² - m ap c² Q = 176,62 MeV La fission d une mole d uranium 235, soit environ 235 g, libère une énergie de 1, J égale à l énergie produite par la combustion d environ 700 tonnes de charbon! * Conditions de réalisation (Tomasino nouveau p. 119, Durandeau) Bombe A (fission non contrôlée) ; réacteurs nucléaires (fission contrôlée) où l énergie et utilisée pour produire de l électricité. Ces réactions ne sont pas spontanées : il est nécessaire de les provoquer. 1- Bombardement neutronique : permet de ne pas avoir à vaincre de répulsion électrique noyau-noyau lors du choc car les neutrons ne portent pas de charge électrique. La fission doit être amorcée avec une source de neutrons. Dans les centrales nucléaires, on utilise un mélange américium-béryllium ( 241 Am+ 9 Be -> n + 12 C). 2- Réaction en chaîne : production de neutrons qui peuvent provoquer de nouvelles fissions. Les neutrons produits par la fission sont «rapides» car la réaction libère beaucoup d énergie. La capture par un isotope 238 est alors beaucoup plus rapide que la réaction de fission avec le 235. Il faut donc les ralentir. Ils sont ralentis par les chocs qu ils subissent sur les noyaux d un milieu appelé «modérateur», en général du graphite ou de l eau. Le modérateur permet l entretien de la réaction en chaîne en rendant les neutrons efficaces pour la fission. Réaction auto-entretenue quand le nombre moyen de neutrons produits par une fission peut, compte tenu des pertes, provoquer en moyenne une autre fission. 3- Contrôle : La réaction en chaîne peut devenir explosive quand elle diverge (bombe A) On utilise des barres de contrôle en bore ou cadmium que l on introduit plus ou moins dans le réacteur(centrale nucléaire) 4- Récupération de l énergie : L énergie libérée apparaît essentiellement sous forme d énergie cinétique des noyaux formés et des neutrons créés. Elle apparaît aussi sous forme d énergie électromagnétique des rayonnements dus à la désexcitation des noyaux formés, souvent créés dans des états excités. Cette énergie peut être récupérée car, dans le cœur du réacteur, les particules créent de proche en proche une agitation thermique par chocs, donc une élévation de température. C est en récupérant cette énergie libérée par la fission, sous forme de chaleur à l aide d un fluide caloporteur, que l on produit ensuite de l énergie électrique. 5-Stockage des déchets : Une partie des noyaux formés dans les réactions de fission sont radioactifs, ce qui pose des problèmes liés à leur danger. Les «combustibles» usés séjournent d abord dans une piscine puis, encore fortement radioactifs, sont acheminés dans des conteneurs blindés vers l usine de retraitement de La Hague. Transition : Mais ce n est rien comparée à la fission

115 3. Fusion * Bilan d énergie Le combustible des réactions de fusion dans les futures centrales est le mélange de deutérium (d) et de tritium (t). La réaction de fusion est la suivante : 2 1 H + 3 1H -> 4 2He + 1 0n Q = m av c² - m ap c² Q= 17,6 MeV Lors de la formation d une mole d hélium, E = N A Q = 1, J. C est 4,6 l énergie libérée par la fission de l uranium 235 à masse égale. * Intérêt Pour une même masse de matière, ce processus est encore plus énergétique que la fission. La maîtrise des réactions de fusion analogues à celles qui se produisent naturellement dans le Soleil et les étoiles est le grand défi du XXIe siècle pour résoudre les problèmes d énergie. Avantages : - les réactifs nécessaires à la fusion nucléaire sont présents en grande quantité partout sur la planète. Le deutérium est facilement extrait de l eau ordinaire et le tritium est obtenu à partir du lithium qui se trouve dans l eau de mer. Dans 300 litres d eau de mer, on peut tirer 1g de deutérium. L eau de mer assurerait ainsi la consommation de l énergie de l humanité sur des temps de l ordre du milliard d années ; - la fusion ne présente a priori aucun risque d accident nucléaire. La quantité de deutérium et de tritium présente dans la zone de réaction est tellement petite que les libérations intenses et dangereuses d énergie semblent impossibles ; - la fusion, contrairement aux combustibles fossiles, ne produit pas de déchets chimiques nocifs et, par opposition à la fission nucléaire, elle ne produit pas de déchets radioactifs. * Condition de réalisation (Tomasino p.120, Durandeau) Ces réactions ne sont pas spontanées : il est nécessaire de les provoquer. Les deux noyaux chargés positivement doivent posséder une très grande énergie pour vaincre les forces de répulsion électrique et se rapprocher suffisamment pour que la fusion se produise. Il faut 10 8 K -> réaction thermonucléaire. A ces très hautes températures, la matière est à l état de plasma (4 e état de la matière). De plus, il faut une haute densité de particules pour augmenter le nombre de collisions et une durée de confinement significative afin que les particules restent proches l une de l autre suffisamment longtemps pour que la réaction puisse avoir lieu. (Parisi p.304) - Dans les étoiles Soleil, fusion naturellement à 1, K. Dans les étoiles, l énergie nécessaire pour initier la première de ces réactions est apportée par l interaction gravitationnelle. Elle provoque l effondrement de l étoile sur elle-même, permettant d atteindre les pressions et les températures requises pour la fusion. L énergie dégagée par la réaction entretient la synthèse de l hélium. La pression élevée contrôle l effondrement gravitationnel. Lorsqu une étoile a épuisé l hydrogène qu elle possède, d autres réactions prennent le relais pour former des éléments chimiques de plus en plus lourds. Ainsi les réactions de fusion au cœur des étoiles sont le point de départ de la formation de tous les éléments chimiques de l univers de l hélium jusqu au fer. (Sirius p.122, Parisi p.297) Perte de masse du soleil (Sirius p. 127) - Dans les bombes thermonucléaires ou bombe H Fusion nucléaire incontrôlée et explosive. La très haute température est obtenue grâce à une bombe A («allumette»), la réaction de fission sert à amorcer la fusion. - Recherche sur la fusion contrôlée On s efforce depuis plus de cinquante ans, de contrôler la fusion nucléaire. La difficulté réside dans le confinement de la matière aux températures extrêmement élevées où se déroule la fusion. Dans les

116 étoiles, la gravitation assure le confinement du plasma. Sur Terre, cela est impossible. Les deux axes de recherche principaux sont un confinement magnétique (projet Tokamak (fusion contrôlée pendant 2s en 1991 Tomasino p.121) et un confinement dit inertiel par faisceaux Laser ou rayons X. * Projet ITER (Intenational Thermonuclear Experimental Reactor) 18 MeV contre 200 MeV pour la fission mais si on rapport au nombre de nucléons, la fusion libère 5 fois plus d énergie. Projet international visant à obtenir la maîtrise de la combustion entretenue d un plasma deutérium-tritium sur des durées longues. Conclusion : Importance des réactions nucléaires provoquées ; Mais déchets des centrales nucléaires et les centrales nucléaires qui vont devenir elles-mêmes des déchets (reste encore à bien comprendre la radioactivité, ) et problème de mise en place des conditions pour la fusion (ITER ).

117 LP 14 Le condensateur ; dipôle RC Niveau : Terminale S Prérequis : - loi d additivité des tensions et loi d ohm - convention récepteur, générateur - énergie et puissance fournie à un dipôle Biblio : Durandeau nouveau, Parisi nouveau, Tomasino nouveau Plan : I. Découverte du condensateur 1. Approche expérimentale 2. Capacité II. Etude du dipôle RC 1. Charge du condensateur 2. Décharge du condensateur III. Condensateur : réservoir d énergie 1. Mise en évidence expérimentale 2. Etude théorique

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119 Introduction : En 1747, à Leyde, ville de Hollande, le professeur Petrus Van Musschenbroek et son assistant Andreas Cunaeus réussissent à accumuler et à conserver des charges électriques en utilisant une bouteille en verre, à moitié remplie d eau. La bouteille est entourée d une feuille métallique. Son ouverture est obturée par un bouchon de liège percé d une tige métallique plongeant dans l eau. C est la naissance de la «bouteille de Leyde», premier condensateur. Aujourd hui il est très utilisé, notamment, c est un composant des ordinateurs. #Exp : Moteur : on le charge et le décharge dans le moteur (fil rouge) I. Découverte du condensateur 1. Approche expérimentale * Description et symbole Un condensateur est essentiellement constitué de deux surfaces conductrices, appelées armatures, séparées par un isolant (air sec, alumine, polyéthylène, ) * Comportement dans le circuit #Exp : Schéma (durandeau p. 134) La lampe s allume puis s éteint. Régime transitoire puis permanent.

120 Régime transitoire : le courant circule, donc accumulation de charge. Apparition de charges sur les armatures de même valeur et de signes opposés. On se place dans la convention récepteur. Régime permanent : le courant ne circule plus, équivalent à un interrupteur * Relation entre q et I? (Parisi) On a vu qu il y a un lien entre courant et charges accumulées sur le condensateur. I = débit de charge. En continu, on définit Imoyen = Q/ t. Q = quantité de charge déplacée (en Coulomb). On a Q = q. On définit i instantanée par i(t) = lim q/ t = dq/dt L intensité qui parcourt un condensateur est donnée par i(t) = dq/dt Transition : Lien entre u et q? fait apparaître une nouvelle grandeur 2. Capacité * Tracé On mesure l intensité et la tension aux bornes du condensateur. La tension aux bornes de la résistance nous donne l intensité. L ordinateur est une boîte noire qui donne la charge à partir de l intensité. #Exp : Tracé de caractéristique (pas de ref, adaptation de Tomasino p. 141)

121 On remarque que la charge et la tension sont proportionnelles. * Capacité Le coefficient de proportionnalité est appelée capacité et s exprime en Farad (F). On lit sur la droite Cexp = qu on compare à la valeur théorique Calcul d incertitude et d erreur relative. Ordre de grandeur * Relation entre l intensité et la tension Q = CU et donc, I = CdU/dt Transition : Nous avons vu les caractéristiques d un dipôle condensateur, vu le dipôle RC en régime sinusoïdale, voyons maintenant sa réponse à un échelon

122 II. Etude du dipôle RC 1. Charge du condensateur a. Evolution de u * Etude expérimentale Réponse à un échelon de tension #Exp : Tracé de caractéristique (pas de ref, adaptation de Tomasino p. 141) Lorsque l on ferme l interrupteur, on a un échelon de tension. On visualise i et u en fonction du temps. Régime transitoire/permanent. On retrouve bien le caractère transitoire observé en début de leçon. Apparition d une constante de temps caractéristique qui dépend de C et R mais pas de E (on peut faire plusieurs expériences en changeant les paramètres et montrer qu en changeant E, u ne va pas plus ou moins vite vers sa valeur finale contrairement à lorsque l on change R ou C). * Etude théorique Equation différentielle. Proposition d une solution. Recherche des constantes par conditions initiales. Vérification qu elle est bien solution. (Parisi) Modélisation avec synchronie. Colle avec l allure expérimentale. * Constante de temps On trouve = RC. Analyse dimensionnelle. Que représente-t-elle? Au bout de t =, la charge est faite à 63%, au bout de t = 5 à 99% (régime permanent quasiment atteint). Vérification expérimentale : abscisse du point d intersection de la tangente à l origine et de l asymptote. Comparaison avec la valeur théorique. Erreur relative.

123 b. Evolution de i * Etude expérimentale Réponse à un échelon de tension #Exp : Tracé de caractéristique (pas de ref, adaptation de Tomasino p. 141) Lorsque l on ferme l interrupteur, on a un échelon de tension. On va bien vers l interrupteur ouvert. * Etude théorique i = Cdu/dt Nouvelle apparition de que l on peut également retrouver sur le graphe. Modélisation avec synchronie. Colle avec l allure expérimentale. Transition : Expériences avec les diodes. #Exp : Diodes (Parisi p.64) Si plus de générateur, courant quand même jusqu à s éteindre et dans l autre sens que celui de la charge! 2. Décharge du condensateur * Etude expérimentale #Exp : Tracé de caractéristique (pas de ref, adaptation de Tomasino p. 141) On visualise i et u en fonction du temps. On retrouve bien i négatif. * Etude théorique Equation différentielle. Proposition d une solution. Recherche des constantes par conditions initiales. Vérification qu elle est bien solution. (Parisi) On retrouve = RC On en déduit i(t). Modélisations avec synchronie. Colle avec l allure expérimentale. Transition : Dans cette décharge, le condensateur a fournir un courant comme un générateur. Il a fournit de l énergie.

124 III. Condensateur : réservoir d énergie 1. Mise en évidence expérimentale #Exp : Schéma de l expérience avec le moteur (Durandeau p. 139 ou Parisi) Charge et décharge. Transfert énergie électrique en énergie mécanique. 2. Etude théorique Convention récepteur. i= CdU/dt. La puissance électrique reçue est donc P = ui = d/dt(1/2cu²). E = 1/2CU² Charge : emmagasine de l énergie sous la forme d une tension. Décharge : dissipation de l énergie par effet joule. Le stockage et le déstockage de l énergie ne peuvent jamais s effectuer instantanément. Par conséquent, la tension aux bornes d un condensateur ne subit pas de discontinuité. Conclusion : Applications Charge et décharge dans une lampe : principe du flash photographique. (Tomasino nouveau p. 190 (RLC)) Orages, défibrilateur, simulateur cardiaque, alimentation de renfort pour la Hi-Fi automobile, mémoires RAM d ordinateur.

125 LP 15 La bobine ; dipôle RL Niveau : Terminale S Prérequis : - Dipole RC - Champ magnétique créé par une bobine - loi d additivité des tensions et loi d ohm - convention récepteur, générateur - énergie et puissance fournie à un dipôle Biblio : Durandeau nouveau, Parisi nouveau Plan : I. Etude de la bobine 1. Approche expérimentale 2. L inductance II. Etude du dipôle RL en réponse à un échelon 1. Etude expérimentale 2. Etude théorique III. Bobine : réservoir d énergie 1. Mise en évidence expérimentale 2. Etude théorique

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128 Introduction : Bobine vue en première S pour créer champ magnétique mais autre utilisation! Par exemple, dans voiture sert à créer étincelle. L influence d une bobine dans un circuit électrique a été découvert et étudié par Joseph Henry vers 1830 et nous allons voir tout de suite cette influence. #Exp : Moteur : on le charge et le décharge dans le moteur (fil rouge) I. Etude de la bobine 1. Etude expérimentale * Description et symbole Une bobine est constituée d un enroulement de fil électrique, généralement en cuivre. Le fil est recouvert d une gaine ou d un vernis isolant. L enroulement peut prendre différentes formes et tailles. * Mise en évidence expérimentale #Exp : Comportement de la bobine sur l intensité (Durandeau p. 158) Une bobine s oppose transitoirement à l établissement du courant dans un circuit. A la fin se comporte comme un interrupteur fermé. #Exp : Comportement de la bobine sur la tension (Durandeau p. 159) La rupture de courant dans la bobine provoque une surtension à ses bornes qui fait briller transitoirement la lampe.

129 Transition : Bobine joue sur i et u. Quel lien entre i et u? 2. L inductance * Tracé On mesure l intensité et la tension aux bornes de la bobine. On remarque que la dérivée de l intensité et la tension sont proportionnelles. #Exp : Tracé de caractéristique (Durandeau p. 158) * Inductance Le coefficient de proportionnalité est appelée inductance et s exprime en Henry (H). On lit la valeur sur la droite et on compare à la valeur du fabricant. Erreur relative. Ordre de grandeur : L < 1H souvent. Remarque : un noyau de fer placé dans la bobine augmente considérablement l inductance de la bobine.. * Relation entre l intensité et la tension De façon générale, une bobine possède une faible résistance, on généralise donc à : U = ri + Ldi/dt Le terme ri vient du fait qu une bobine est constituée d un enroulement de fil possédant une résistance électrique. Elle peut souvent être négligée devant les autres résistances présentes dans le circuit. Ordre de grandeur r = 10 * Vérification expérimentale #Exp : Schéma (Durandeau p. 158) Réponse à une intensité en dent de scie, créneau.

130 Transition : Nous avons vu les caractéristiques d un dipôle bobine, vu le dipôle RL en régime sinusoïdale, voyons maintenant sa réponse à un échelon

131 II. Etude du dipôle RL en réponse à un échelon 1. Etude expérimentale #Exp : Schéma (Durandeau p. 160) La diode sert à éviter une surtension (Parisi p.97) Lorsque l on ferme l interrupteur, on a un échelon de tension. On va bien vers l interrupteur fermé. On visualise i et u en fonction du temps. Régime transitoire/permanent. On retrouve bien le caractère transitoire observé en début de leçon. Apparition d une constante de temps caractéristique qui dépend de L et R mais pas de E. 2. Etude théorique a. Evolution de i * Résolution analytique Equation différentielle. Proposition d une solution. Recherche des constantes par conditions initiales. (Parisi) Vérification qu elle est bien solution. * Constante de temps On trouve = L/R. Analyse dimensionnelle. Que représente-t-elle? Au bout de t =, la charge est faite à 63%, au bout de t = 5 à 99% (régime permanent quasiment atteint). Vérification expérimentale : abscisse du point d intersection de la tangente à l origine et de l asymptote. Comparaison avec la valeur théorique. Erreur relative.

132 b. Evolution de u * Etude expérimentale Réponse à un échelon de tension #Exp : Schéma (Durandeau p. 160) La diode sert à éviter une surtension (Parisi p.97) Lorsque l on ferme l interrupteur, on a un échelon de tension. * Etude théorique U = Ldi/dt Nouvelle apparition de que l on peut également retrouver sur le graphe. Modélisation avec synchronie. Colle avec l allure expérimentale. Transition : L expérience avec la lampe au néon montre qu une bobine après avoir été traversée par un courant, peut se comporter brièvement comme un générateur et fournir l énergie nécessaire à l éclairage momentané de la lampe. III. Bobine : réservoir d énergie 1. Mise en évidence expérimentale #Exp : Schéma (Parisi p. 100) Lorsqu on ouvre l interrupteur K, le moteur se met à fonctionner : l énergie électrique qu il reçoit ne peut provenir que de la bobine. 2. Etude théorique U = Ldi/dt. La puissance électrique reçue est donc P = ui = d/dt(1/2li²). E = 1/2Li² Le stockage et le déstockage de l énergie ne peuvent jamais s effectuer instantanément. Par conséquent, l intensité du courant dans un circuit qui contient une bobine ne subit pas de discontinuité. Lorsque la bobine est parcourue par un courant d intensité i, elle emmagasine de l énergie, qu elle restitue dès l ouverture du circuit. La bobine, à l inverse d un condensateur, ne peut pas restituer en

133 différé l énergie qu elle a stockée. Conclusion : Applications Soudage par arc électrique, allumeurs électriques pour les cuisinières à gaz, amorçage des tubes au néon, démarrage de voiture. Nous avons étudié deux composants très importants bobine et condo, et si on les mets ensemble, circuit RLC!!

134 LP 16 Oscillations libres dans un circuit RLC série Niveau : Terminale S Prérequis : - Dipole RC, RL - loi d additivité des tensions et loi d ohm - convention récepteur, générateur - énergie et puissance fournie à un dipôle Biblio : Durandeau nouveau, Parisi nouveau, Tomasino nouveau, Galileo vieux. Plan : I. Oscillations d un circuit RLC série 1. Oscillations électriques 2. Amortissement des oscillations 3. Equation différentielle II. Cas limite : le circuit LC 1. Equation différentielle 2. Résolution analytique 3. Etude de la période propre III. Etude énergétique 1. Bilan d énergie 2. Interprétation IV. Entretien des oscillations 1. Approche énergétique 2. Réalisation expérimentale

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136 Introduction : (Tomasino) En 1853, Thomson étudie la décharge d une bouteille de Leyde (condensateur) dans une bobine. Il montre que le circuit oscille si la résistance est assez faible. En 1887, Hertz annonce la réalisation d un dispositif primaire dont les oscillations très rapides se traduisent par l émission d étincelles. Un détecteur placé à proximité émet lui aussi des étincelles la «radio» est née. I. Oscillations d un circuit RLC série 1. Oscillations électriques * Etude de la décharge d un condensateur dans un dipôle RL #Exp : Comportement de la bobine sur l intensité (Durandeau p. 180) C = 1µF, L = 45 mh, R = 30 On considérera que la résistance notée R par la suite tient compte de la résistance interne de la bobine. On étudie la tension aux bornes du condensateur et l intensité du circuit en fonction du temps. Un circuit RLC série évolue en régime libre lorsqu il ne subit aucun apport d énergie après l instant initial. On observe un régime pseudo-périodique : oscillations diminuent en amplitude. On définit la pseudo-période. Transition : Examinons ce régime et de quoi il dépend. 2. Amortissement des oscillations * Influence de R #Exp : Même expérience avec différents R (Durandeau p. 158)

137 Lorsque R augmente le nombre d oscillations diminue : amortissement plus important. R=1000 : régime apériodique, pas d oscillations. * Les différents régimes Rc : résistance critique qui délimite les deux régions. R>Rc : régime apériodique R<Rc : régime pseudo-périodique R = Rc : régime critique, régime où la tension tend le plus vite vers 0 sans osciller. Transition : Nous avons fait des observations expérimentale, essayons de comprendre d où ça vient théoriquement. 3. Equation différentielle u C +u L +u R = 0 d²u C /dt²+r/ldu C /dt +1/LCu C = 0 On fait apparaître un terme dit d amortissement. En effet, ce terme dépend de R, or on a vu que le type de régime dépendait de R. Transition : Compliqué à résoudre, prenons le cas limite où R = 0. II. Cas limite : le circuit LC 1. Equation différentielle Alors le terme d amortissement est nul et on a l équation : d²u C /dt² + 1/LCu C = 0 2. Résolution analytique * Expression de u On propose la solution suivante : u C = Acos(2 t/t + ) A amplitude, 2 t/t + phase des oscillations, T période propre des oscillations de la tension uc. est la phase à l instant t=0. On détermine les constantes en exploitant le fait que la tension aux bornes du condensateur et l intensité qui traverse la bobine sont des grandeurs continues. T = 2 LC, A = U, = 0 * Expression de i On en déduit i = Cdu C /dt. On remarque que i est déphasé de /2 * Bilan

138 U et I sont des sinusoïdales de période, la période propre T. Transition : La période propre apparaît comme un temps caractéristique du circuit. Etudions ce paramètre important.

139 3. Etude de la période propre Analyse dimensionnelle de la période propre. Celle-ci correspond également à la période propre du RLC. La résolution analytique de l équation différentielle régissant l évolution d un circuit RLC permet de vérifier les constatations expérimentales suivantes : - la pseudo-période T du régime pseudo-périodique dépend de R, L et C. Elle est toujours plus grande que la période propre T. - lorsque l amortissement est suffisamment faible, la pseudo-période T est très voisine de la période propre T, et leurs valeurs peuvent être alors considérées comme égales. #Exp : Même expérience avec R faible (Durandeau p. 158) On détermine la période propre et on regarde de quoi elle dépend. On retrouve l expression théorique. Par exemple, tracer T = f( C) Modélisation avec synchronie, colle avec l expérimentale. On confirme le modèle. Transition : Ainsi on le condensateur qui se charge et se décharge périodiquement. Comment cela se traduit-il énergétiquement? III. Etude énergétique 1. Bilan énergétique A partir de la loi des mailles, on multiplie par i, on réécrit l équation et on fait apparaître les termes énergétiques : l énergie emmagasinée par le condensateur, la bobine et la perte par effet Joule. Chacun des réservoirs se vide dans l autre alternativement + perte irrémédiable par effet joule. Transition : Que cela traduit-il?

140 2. Interprétation * Amortissement négligeable Il y a échange d énergie périodique et sans perte entre le condensateur et la bobine. L énergie totale du circuit reste constante au cours du temps, et égale à l énergie initialement emmagasinée par le condensateur. #Exp : Même expérience avec R faible (Durandeau p. 158) On trace les deux énergies en fonctions du temps et on remarque que la somme est constante. * Amortissement non négligeable L énergie électrique totale emmagasinée par le circuit est, au cours de son évolution, dissipée par effet Joule dans les conducteurs résistifs du circuit. Pour un régime apériodique, les valeurs de R sont tellement grandes, que les pertes importantes d énergie empêchent toute oscillation. #Exp : Même expérience avec R faible (Durandeau p. 158) On trace les deux énergies en fonctions du temps et on remarque que la somme diminue. Transition : L origine des pertes énergétiques est la résistance du circuit, comment s en débarrasser?

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142 IV. Entretien des oscillations 1. Approche énergétique L énergie fournie au circuit par l alimentation auquel est relié le dispositif électronique, devra être égale à chaque instant à l énergie dissipée par effet Joule. 2. Réalisation expérimentale #Exp : Résistance négative (Parisi p. 120, Tomasino p. 128 ou 114 avec valeurs) On trace u et les deux énergies en fonctions du temps et on remarque que la somme est constante. Le circuit est le siège d oscillations sinusoïdales de période, la période propre du circuit LC correspondant.

143 Conclusion : Les postes récepteurs des émissions radiophoniques comportent un circuit d accord constitué d une bobine et d un condensateur de capacité réglable. Ce circuit permet de sélectionner l onde qui porte les sons émis par l émetteur choisi. Le circuit d accord est le siège d oscillations électriques qui sont traitées par un montage électronique. Voix et musique sont ensuite restituées par les haut-parleurs. Les récepteurs des avions miniatures radiocommandés comportent des circuits (R,L, C) qui permettent de sélectionner les fréquences des ondes émises par les radiocommandes. (Durandeau p. 179) Les premiers orgues électroniques, comme celui dont joue Richard Wright des Pink Floyd étaient équipés d oscillateurs entretenus. (Parisi p. 111) Transformateur de Tesla pour produire des effets spéciaux au cinema. Dans un premier circuit, oscillation libre de très haute fréquence, dans un deuxième circuit, tension aux bornes de la bobine multiple de celle aux bornes de la bobine du premier circuit. Peut atteindre un million de volts et donc gigantesque étincelles (Galileo vieux p. 178)

144 LP 17 Les lois de Newton. Niveau : Terminale S Prérequis : - Calcul vectoriel - Bilan de forces Biblio : Durandeau vert (vieux), Galileo, Parisi, Hecht, Perez Plan : I. Première et troisième loi de Newton 1. Principe d inertie 2. Loi des actions réciproques II. Paramètres du mouvement 1. Vecteur vitesse 2. Accélération III. Deuxième loi de Newton 1. Approche expérimentale 2. Deuxième loi de Newton 3. Importance du référentiel

145 Introduction : Perez p. 44 L étude du mouvement d un objet peut être menée de deux façons : - dans un premier temps, on peut étudier le mouvement sans tenir compte des causes de ce mouvement, qu on appelle forces. Cette étude ce nomme la cinématique. Dans ce cas, les paramètres étudiés seront vitesse et accélération. - dans un deuxième temps, on peut étudier le mouvement d un objet en s intéressant aux forces qui sont à l origine du mouvement. C est ce qu on appelle la dynamique. Par cette étude, on introduit deux nouveaux paramètres : masse et forces. Il a déjà été vu que les forces étaient la cause du mouvement. # Exp : On laisse tomber une trousse sur la table - cinématique : décrire le mouvement de la trousse sans regarder les forces qui s exercent sur elle. - dynamique : prédire le mouvement de la trousse en étudiant les forces qui s exercent sur elle. Pour faire de la dynamique, il va falloir établir un lien entre forces et mouvement. C est Newton qui apporta les relations entre ces deux notions avec ses trois lois physiques qu il donna en 1687 dans son œuvre «principa mathematica». Ces trois lois seront le fondement de la dynamique.

146 I. Première et troisième lois de Newton 1. Principe d inertie Hecht p Pendant plusieurs siècles, on a pensé que tout mouvement d un objet autre que la chute, nécessitait l action d une force. Aristote soutenait que si l on supprime cette force le mouvement s arrête spontanément. Rappel : référentiel, système, inventaire des forces (réaction, poids, main) # Exp : Table à coussin d air * sans soufflerie - pousse le mobile, mais en mouvement - arrête de pousser, s arrête * avec soufflerie : forces de frottement supprimées - forces exercées sur le mobile se compensent (poids, réaction du support) - pousse le mobile, mise en mouvement - arrête de pousser, continu! Remet en cause la théorie d Aristote. Un objet peu être en mouvement si ses forces se compensent. Aristote n a pas vu cela puisqu il n a pas imaginé qu il soit possible de supprimer les forces de frottement. Il a fallu attendre le dix-septième siècle pour que Newton remette en cause la théorie d Aristote en énonçant sa première loi : principe d inertie. Loi énoncée à partir de faits expérimentaux, non démontrables mais toujours vrai. Newton s est appuyé des expériences de Galilée. * Enoncé Galieo p. 191 Il existe des référentiels appelés référentiels galiléens dans lequel le centre d inertie G d un solide isolé ou pseudo-isolé est soit : - immobile si G est initialement au repos. - en mouvement rectiligne uniforme si G est initialement en mouvement. Cela se traduit par V G = cte. (Rappel : centre d inertie, mouvement uniforme) * Exemple Expédition Appolo en 1969 En cours de route, les astronautes ont coupés les moteurs de la navette. Celle-ci a continué son mouvement vers la Lune. Dans l espace, plus d attraction gravitationnelle de la Terre, plus de frottement, système isolé! La fusée possède une vitesse initiale -> mouvement rectiligne uniforme. Remarque : le principe d inertie définit un référentiel galiléen : c est un référentiel dans lequel le principe d inertie s applique. # Exp : Table à coussin d air Lorsque ma main exerce une force sur lui, elle ressent une difficulté à bouger par rapport à quand elle ne pousse pas l objet. Pourquoi? Car celui-ci exerce sur ma main une force qui s oppose à la force que j impose au mobile. Transition : Troisième loi de Newton

147 2. Loi des actions réciproques Durandeau p. 62 * Enoncé Lorsqu un corps A exerce sur un corps B une force F A->B, B exerce sur A une force F B->A. Ces deux forces ont même support, la droite (AB) et sont telles que : F B->A = - F A->B Remarque : Les forces sont opposées mais les effets ne sont pas les mêmes!! car agissent sur des systèmes différents. Lorsque l on donne un violent coup de pied dans un mur, les effets sur le mur ne sont pas les mêmes que sur le pied! * Exemple Une personne pousse un caddy. On néglige le roulement des roues, il glisse sans frottement. (la réaction du sol est inclinée à cause des frottements entre le pied de la personne et le sol) Rappel : forces intérieures/extérieures Remarque : les forces se compensent mais l homme fait avancer le caddy grâce aux forces dues au frottement entre ses pieds et le sol. S il était chaussé de patins à roulettes (équivalent à pas de frottement), il n avancerait pas. Transition : Dans cette partie, nous venons de faire un peu de dynamique avec le principe d inertie qui nous permet de faire un lien entre mouvement d un objet et les forces qui s exercent sur cet objet. Mais ceci est dans un cas bien particulier où soit aucune force ne s exerce sur l objet, soit les forces se compensent. Avant de nous attaquer au cas plus général, nous allons déjà introduire les grandeurs qui définissent un mouvement : vitesse et accélération. II. Paramètres du mouvement 1. Vitesse (Durandeau, Galileo p. 193) Soit un mobile M en mouvement, les positions sont inscrites à des intervalles de temps égaux. En classe de 1 ère S, il a été vu que la vitesse instantanée au point Mi peut être approximé à la vitesse moyenne entre deux dates très proches encadrant ti. Direction, sens. Pour obtenir la vitesse instantanée au point Mi, il faut chercher à encadrer M i par des points M i-1 et M i+1 de plus en plus resserrés ce qui équivaut à prendre un intervalle de temps de plus en plus petit. D où : - vitesse instantanée = dom/dt # T : Ordre de grandeur (Hecht p.30) Remarque : toutes ses vitesses sont inférieures à c (vitesse maximale) Transition : Le vecteur vitesse traduit une variation de position, mais que se passe-t-il quand la vitesse varie? Exemple du démarrage d une voiture, clio accélère pas comme une jaguar! dépend du moteur, de la force fournit par le moteur, plus précisément v/ t dépend de la force. Donc, v/ t est une grandeur intéressante à étudier pour la dynamique

148

149 2. Accélération De manière analogue à la vitesse, on définit : - accélération moyenne - accélération instantanée Exemple d ordre de grandeur Une jaguar initialement arrêtée peut atteindre une vitesse de 48,3 km/h en 3,80s. D où une accélération moyenne de 3,5 m/s (Hecht p.72) Tracé des vecteurs (Durandeau p.60, parisi p.126, 131) # Exp : Table à coussin d air Mobile fixé à un fil (10cm). Tracé des vecteurs accélération. Mettre échelle! Norme de la vitesse identique mais vecteur vitesse varie, d où une accélération. Bilan des forces Référentiel : laboratoire supposé galiléen Système : mobile Poids, réaction du support, tension du fil. Résultante = tension du fil : a = kf Transition : Ce lien de proportionnalité est développé dans la seconde loi de Newton. III. Deuxième loi de Newton 1. Approche expérimentale # Exp : Table à coussin d air : Mobile + poulie?? Si m augmente, accélération diminue globalement. Si F augmente, accélération augmente globalement. Transition : Ce lien de proportionnalité est développé dans la seconde loi de Newton. 2. Deuxième loi de Newton * Enoncé Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l accélération de son centre d inertie G. F ext = ma G * Exemple Reprenons l exemple de la personne qui pousse le caddy. Prenons dans un premier temps pour un système étudié Système : {personne-caddy}, {caddy} Référentiel : labo, galiléen Bilan des forces : forces intérieures deviennent extérieures dans l autre cas Importance du choix du système étudié!

150 Transition : Importance du référentiel

151 3. Importance du référentiel Reprenons l exemple du lancé du mobile sur coussin d air. On va filmer le mobile en mouvement avec une caméra que l on a fait bouger pendant l enregistrement. On se place dans le référentiel de la caméra qui n est plus galiléen (il n est pas en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel galiléen). On fait une chronophotographie. On voit que la trajectoire n est pas rectiligne. Première loi pas valable dans un référentiel non galiléen. On va généraliser cela à la deuxième loi de Newton. Ex de référentiels non galiléens : voiture en accélération, manège, Conclusion : Mécanique de Newton pas mise en défaut pendant 200 ans! mais on s est rendu compte que pas applicable à tous les systèmes (atomes) -> mécanique quantique.

152 LP 18 Etude de cas : chutes verticales avec ou sans frottements. Niveau : Terminale S Prérequis : - Lois de Newton - Intégration, dérivation Biblio : Dictionnaire amoureux de la science (Allegre 503), TS Parisi Plan : I. Chute verticale avec frottement 1. Etude des forces en présence a. Force de pesanteur b. Poussée d Archimède c. Force de frottement fluide 2. Etude du mouvement a. Mise en équation b. Résolution : méthode d Euler II. Chute libre verticale 1. Définition 2. Mise en équation 3. Résolution analytique

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154 Introduction : Dictionnaire La chute d un corps à la surface de la terre a passionné de nombreux physiciens aux cours des siècles. Aristote pensait que la vitesse dépendait de la masse! Mais chute d un gland et d une feuille pareil. Galilée montre que la vitesse dépend du temps. Et Newton permet d expliquer la cause du mouvement. Nous avons étudié les lois de Newton. Le but de cette leçon est d étudier la chute verticale d une bille en fonction des conditions dans un fluide et comprendre pourquoi Aristote s est trompé. Nous allons voir les différentes forces qui s exercent et qui pourront être négligées ou non. I. Chute verticale avec frottement # Exp : Chute d une bille dans un fluide visqueux # T : Chute d une bille dans un fluide visqueux : x = f(t) Essayons de modéliser ce mouvement... Il a été vu que grâce aux lois de Newton, il était possible d étudier le mouvement d un objet. Nous allons appliquer la seconde loi de Newton à la bille dans le référentiel terrestre qui sera supposé galiléen : a = f, mais quelles sont les forces?? 1. Etude des forces en présence a. Force de pesanteur La force qui s applique sur tout objet est la force de pesanteur! * Force de pesanteur (ou poids) = pour un objet à la surface de la Terre, P = mg est assimilable à la force de gravitation exercée par la Terre sur l objet. Loi de la gravitation, on retrouve l expression de g. * Champ de pesanteur = grandeur définie en chacun des points de l espace, champ de vecteur. La valeur de g varie peu d un point à l autre de la surface du globe. Elle est plus faible à l équateur, en partie à cause de l aplatissement de la Terre aux pôles. La diminution de g est négligeable avec l altitude si elle reste petite devant le rayon terrestre. * Champ de pesanteur localement uniforme. Transition : Ensuite, la bille est dans un liquide, milieu particulier où va s exercer une autre force qu on voit régulièrement : bateau qui flotte! Pour l étudier prenons cette expérience b. Poussée d Archimède # Exp : Poussée d Archimède # T : Poussée d Archimède : démonstration du théorème, F = f(m fluide déplacé) * Poussée d Archimède = la résultante des forces pressantes * Théorème d Archimède : la poussée d Archimède s exerçant sur un objet de volume V, totalement immergé dans un fluide de masse volume est opposée au poids d un volume de fluide égal à V.

155 = - Vg ; Cette force s exerce au centre de poussé = centre de gravité des fluides déplacés. * Poids apparent : P = ( - fluide )Vg * Ordre de grandeur Dans fluide, 1000 fois moins important car masse volumique 1000 fois plus petite! * Applications Liquide (plongeur se leste de plomb, Bateau)/Gaz (Montgolfière) Thermomètre d Archimède (masse volumique du fluide varie avec la température) * Remarque : notion statique, on l utilise en dynamique! Possible car mouvement très lent. Transition : La bille est soumise à deux forces uniformes pour l instant mais on voit que son mouvement se ralentit et atteint une limite Il y a une autre force à prendre en compte! On le sent quand dans l eau on pousse doucement l eau (facile!) mais quand on nage vite, c est plus dur! c. Force de frottement fluide * Définition Lorsqu un solide supposé en mouvement de translation dans un milieu fluide acquiert de la vitesse, il subit de la part de ce fluide des actions de contact différentes de celles qu il subirait à vitesse nulle. On modélise ces actions en considérant, outre la poussée d Archimède, des forces appelées forces de frottement fluide. * Modélisations : Faible vitesse : f = v Vitesse élevée : f = Kv² Les coefficients dépendent de la forme de l objet ainsi que de sa taille mais ne dépendent pas de la masse volumique de l objet. Transition : Maintenant que le bilan des forces est fait, on peut appliquer la seconde loi de Newton! 2. Etude du mouvement a. Mise en équation Application de la seconde loi de Newton à la bille dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On considère les forces : Poids, Poussée d Archimède, Force de frottement fluide. * Confrontation avec l expérience # Exp : Chute d une bille dans un fluide visqueux # T : Chute d une bille dans un fluide visqueux : x = f(t), on en déduit v = f(t) par la méthode des accroissements finis. * Régime permanent Lorsque la vitesse est proche de la vitesse limite, le mouvement atteint un régime asymptotique appelé

156 régime permanent. D après l équation différentielle : f(v lim ) = (m-m fluide )g # T : Chute d une bille dans un fluide visqueux : v lim = f(m), droite donc c est le modèle des vitesses faibles qui convient. v lim = f( ), influence de la viscosité ( est proportionnel à la viscosité) -> moyen pour mesurer la viscosité! * Régime initial Entre la date t=0 et ce régime asymptotique, le mouvement est dans un régime transitoire. Le début de ce régime est appelé régime initial. Pour estimer la durée du régime initial, on calcule la valeur de la date correspondant au point d intersection de la tangente à l origine de la courbe représentative de v, et de l asymptote v=v lim. Cette grandeur est appelée temps caractéristique du mouvement : donne un ordre de grandeur de la durée nécessaire (prise couramment égale à 5 ) pour que le régime permanent s établisse. # T : Chute d une bille dans un fluide visqueux : Estimation de la durée caractéristique Transition : Comment résoudre cette équation? une simple intégration est difficile ici autre méthode, méthode itérative. b. Résolution : méthode d Euler * Définition La méthode d Euler est une méthode numérique permettant de donner une solution approchée de l équation différentielle du mouvement de G, lors d une chute verticale avec frottement. * Principe On considère des dates ti séparées par une durée constante t, appelée pas de discrétisation temporelle. La vitesse et l accélération, calculées à la date ti, sont vi et ai. Connaissant la valeur de vi, on déduit de l équation différentielle celle de ai : ai = (m-m fluide )g-f(vi)/m On fait l approximation suivante : vi+1 = vi + ai. t. On connaît v0 à t=0, donc par itération on la suite des vi. Les valeurs de vi ainsi calculées se rapprocheront d autant plus de la solution exacte que le pas de discrétisation temporelle est faible. * Application Pour établir l équation différentielle, il faut proposer un modèle pour les forces de frottement. La résolution de l équation différentielle décrivant l évolution de la vitesse donne une solution que l on confronte aux résultats expérimentaux. Cela permet de valider ou non la modélisation. # T : Chute d une bille dans un fluide visqueux : Traitement informatique avec la méthode d Euler. Vérification du modèle du frottement fluide. En accord avec ce que trouver précédemment. Exemples de chutes : plongeur dans l eau, vitesse décroît. Tenue spécial pour négliger force de frottement ; parachute (force de frottement augmente car plus de point d application) ; Montgolfière.

157 Transition : On a étudié la chute verticale d une bille avec frottement dans un liquide, et si on regarde maintenant dans un gaz, comme l air. Qu est-ce qui change? Déjà, poussée d Archimède bcp faible et viscosité moins grande que celle de la glycérine Donc on peut les négliger devant le poids! Valeurs numériques : Bille m =, air =1 kg/m 3, = ; P = -> <<P On suppose que pour le frottement fluide négligeable et on vérifiera après

158 II. Chute libre verticale 1. Définition Mouvement du centre d inertie d un solide dans un référentiel terrestre lorsqu il est uniquement soumis à la force de pesanteur. # Exp : Chute libre d une bille # T : Chute libre d une bille : x=f(t) Transition : Essayons de retrouver théoriquement 2. Mise en équation Application de la seconde loi de Newton à la bille dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On considère les forces : Poids Accélération ne dépend pas de la masse. Voilà pourquoi Aristote avait tort! Remarque : la loi de gravitation fait intervenir la masse gravitationnelle dans l expression de la force de pesanteur. Et c est la masse inertielle qui apparaît dans le terme ma. Masse gravitationnelle = masse inertielle d après les expériences de très grande précision. Mouvement rectiligne uniformément accéléré = a constante, mouvement rectiligne. Transition : On résout, cette fois, on peut intégrer simplement 3. Résolution analytique Intégration. Ca colle bien à l expérience (force de frottement fluide négligée vérifiée). Importance des conditions initiales (si on lance la balle vers le haut, l altitude maximale dépend de la vitesse initiale). Exemples de chutes : pluie au début mais après force de frottement devient non négligeable et vitesse limite Conclusion : Et si vitesse initiale non colinéaire à l axe, mouvement parabolique! Important à optimiser pour les lanceurs de poids ou golf!

159 LP 19 Satellites et planètes. Niveau : Terminale S Prérequis : - Lois de Newton - mouvement de rotation uniforme d un solide indéformable (1 ère S) - interaction gravitationnelle (1 ère S) Biblio : Tout avec le Parisi (vieux et nouveau) sauf mention contraire, Perez p.563 (toutes les caractéristiques des astres!), durandeau vieux, galileo vieux, Tomasino nouveau, Sirius Dossier pour la science : exoplanètes 64, juillet-septembre 2009 ; Dossier pour la science : les terres célestes 64, avril 1999 Plan : I. Bases de l astronomie moderne 1. Cadre de l étude 2. Lois de Kepler II. Modélisation du mouvement des planètes 1. Le mouvement circulaire uniforme 2. Interaction gravitationnelle 3. Etude du mouvement d une planète III. Etude des satellites 1. Satellites naturels et artificiels 2. Satellite géostationnaire 3. Impesanteur

160 Introduction : Galileo vieux p.262 ; Sirius p.244 Dossier pour la science : les terres célestes 64, avril 1999 Aristote : terre au centre de l univers Aristarque de Samos : émet l idée du soleil au centre de l univers (mais pas cru ) Copernic 1543 : remet au goût du jour le soleil au centre de l univers. Kepler : début XVII, émet ses trois lois en piquant les données de Brahé Newton basera sa théorie de la gravité sur les résultats de Kepler. Lancement du premier satellite Observation d exoplanète

161 Lois de Kepler viennent d observation Newton va nous permettre de les modéliser!

162 I. Bases de l astronomie moderne 1. Cadre de l étude Système {planète ou satellite} Corps volumineux à symétrie sphérique. Centre géométrique = centre d inertie. Taille négligeable devant distance. On ramène le système à des masses ponctuelles. Référentiels - Héliocentrique galiléen - Géocentrique (généralisable à chaque planète) Transition : Dans ce cadre, on peut énoncer les lois de Kepler qui ont été stipulées pour les planètes autour du soleil mais qui peuvent se généraliser à tout corps en gravitation autour d un autre de masse beaucoup plus importante (planète/satellite, soleil/comètes (comète de Halley)). 2. Lois de Kepler a. Première loi Loi des orbites (1605) Exemple de la Terre (distance à l aphélie et la périphélie) Transition : La planète ne parcourt pas cette trajectoire ne n importe quelle façon Loi des aires (1604) b. Deuxième loi Transition : Le temps mis pour parcourir toute l ellipse vérifie une relation très intéressante c. Troisième loi Loi des périodes (1619) Tableau avec les caractéristiques des planètes du système solaire. Transition : Modélisons grâce à Newton!

163 II. Modélisation du mouvement des planètes Référentiel héliocentrique, système {planète} On observe que le mouvement planétaire est très proche d un mouvement circulaire uniforme (très bonne approx sauf pour Mercure (Perez, p.563)). Etudions ce mouvement particulier. 1. Le mouvement circulaire uniforme * Définition du mouvement circulaire uniforme (Rappel) La trajectoire est un cercle décrit à vitesse constante : v=r. : vitesse angulaire constante. * Périodicité T = durée d un tour = 2 / = 2 r/v La norme de v est constante mais le vecteur vitesse ne l est pas, d où une accélération. * Vecteur accélération Normal, centripète, a=v²/r=r ² #Exp : table à coussin d air : mobile lié à un fil fixé. #T : tracé du vecteur accélération. Remarque : centrifugeuse pour entraîner spationaute (r=5m, a=5g, v=56km/h) ; on exprime en g quand accélération importante (parc d attraction -> Europa park 3,8g) Donc d après la deuxième loi de Newton, force centripète : F = mv²/r Vitesse initiale non nulle et force radiale sont nécessaires pour avoir mouvement circulaire uniforme. Transition : Quelle est cette force? 2. Force d interaction gravitationnelle Rappel. F=-GmM/r² Remarque : satisfait à la loi des actions réciproques * Deuxième loi de Newton ma = -GmM/r², donc a = -GM/r² * Vérification que le mouvement circulaire uniforme est bien solution a = v²/r = -GM/r² et v= (GM/r) Période de révolution période de rotation propre Démonstration de la Troisième loi dans le cade d un mouvement circulaire uniforme v²=gm/r et T=2 r/v donc T²/r 3 =4 ²/GM Application : détermination de la masse du soleil ou d une planète! Pesée du soleil et de la Terre.

164 Transition : Tout ce qui a été fait peut également se transcrire pour les planètes-satellites.

165 III. Etude des satellites Référentiel géocentrique, système {satellite}. Tout ce qu on a vu s applique ici également. 1. Satellites naturels et artificiels * Naturels Exemple : Terre/Lune, autres : Saturne/Thethys, Dioné, Jupiter/Io, Callisto (Sirius p.256, 260) * Artificiels 1957 : premier satellite artificiel. (Tomasino nouveau p.251) Mise en orbite : assurée par une fusée dont le rôle est double, amener le satellite à une altitude supérieure à 200km environ, là où l atmosphère est pratiquement inexistante : on considère alors que le satellite n est plus soumis qu à la force de gravitation de la Terre et lui donner une vitesse suffisante pour qu il reste en orbite autour de la Terre (v> (GM/R T )). L altitude d un satellite en orbite autour de la Terre est suffisante pour que le frottement de l atmosphère soit négligeable devant la force de gravitation terrestre. Le satellite n est donc soumis qu à cette force : il est en chute libre dans le référentiel géocentrique. Conditions importantes : trajectoire circulaire si v0 perpendiculaire et vérifie loi de Newton. Si une des conditions n est pas remplie -> elliptique. * Applications Satellites d observation - Jason I (1336 km) pour observer les océans. - Apollo 8, Noël 1968, premier vaisseau à se mettre en orbite autour de la Lune et à voir sa face cachée! - SPOT trajectoire circulaire surplombant les pôles terrestres. Il s agit d un satellite dit à défilement, destiné à fournir des images de tout le globe terrestre.(durandeau p. 253, Tomasino nouveau p.260) - ERS (European Resource Sensing) études météorologiques, climatologiques, océanographiques (Sirius p. 258) GPS (Galileo vieux p. 261) 5 stations de contrôle au sol, 24 satellites situés à 20200km d altitude et répartis sur six orbites inclinés à 55 par rapport à l équateur. Chaque satellite héberge 4 horloges atomiques. Triangulation du signal. Transition : Mais il y a des satellites particuliers

166 2. Satellite géostationnaire (Parisi nouveau, Galileo vieux p. 251) * Définition Fixe par rapport à la Terre. * Contraintes - le plan de l orbite est le plan équatorial - la trajectoire est un cercle décrit dans le même sens de rotation de la Terre. - période T = 1 jour sidéral * Altitude et vitesse d un satellite géostationnaire - rayon se détermine par la troisième loi de Kepler : 42, km -> altitude km - v= (GM/r) = 3,08 km/s * Application : sert aux communications, très demandé Exemple : HotBird 4 lancé en 1998 au-dessus du continent africain. * Remarque : pollution, désorbitation! Ex 1986 lancement de Spot 1, désorbité car sinon 200 ans pour se désintégrer alors que 25 ans dans l atmosphère, développement durable (Sirius p.260) Transition : Dans ces satellites, on voit les spationautes flotter! 3. Impesanteur Ils donnent l impression de n être soumis à aucune force, d où l expression d état d impesanteur. Impesanteur ne signifie pas absence de gravité : une personne dans cette situation est toujours soumise à la gravitation terrestre. L impesanteur est due au fait que l astronaute subit la même accélération que le satellite : ils sont tous deux «en chute» par rapport à la Terre. L astronaute n a plus besoin d aucun appui pour rester en équilibre dans la cabine, car la réaction exercée par la paroi sur lui est nulle. (Galileo vieux p. 251) Un objet flotte dans une station spatiale. Le référentiel lié à la station orbitale n est pas un référentiel galiléen. Bien que l objet soit immobile dans ce référentiel, on ne peut donc pas en conclure que la résultante des forces appliquées à l objet est nulle. Remarque : en toute rigueur, l impesanteur n existe qu au centre d inertie du satellite. On emploie parfois le terme de micropesanteur (ou microgravité) : l accélération résiduelle est alors de l ordre de 10-4 à 10-8 g. (Sirius p. 253) Conclusion : Etude du mouvement des planètes très importante, c est comme ça que Le Verrier a découvert Neptune (Perez p.563) Et c est comme ça aussi qu on peut découvrir d autres planètes autour d autres soleils. Exoplanète (Galileo vieux p. 257) Dossier pour la science : exoplanètes 64, juillet-septembre 2009

167 LP 20 Systèmes oscillants mécaniques. Le phénomène de résonance. Niveau : Terminale S Prérequis : - Mécanique du point (lois de Newton, force de frottements fluides) - Circuit RLC Biblio : Tout avec le Parisi nouveau sauf indic contraire, Durandeau nouveau, Galileo Plan : I. Présentation des systèmes oscillants mécaniques 1. Définitions 2. Cas du pendule simple non amorti 3. Amortissement des oscillations II. Etude du dispositif solide-ressort 1. Etude expérimentale 2. Bilan des forces 3. Système ressort-masse non amorti 4. Système ressort-masse amorti III. Oscillations forcées et résonance 1. Présentation du phénomène 2. Exemples de résonance mécanique 2009 On ne peut pas fixer les constantes d'intégration avant d'avoir déterminé la forme de la solution, en particulier sa période Ces deux leçons doivent être traitées à un niveau et dans un esprit très différent : la première est une introduction, la seconde est une leçon de synthèse sur l'année de terminale S. Il est (doublement) maladroit de déterminer la période des oscillations d un pendule en mesurant le temps écoulé entre deux passages consécutifs par l élongation maximale. Fixer les constantes d'intégration grâce aux conditions initiales avant de déterminer la période de la solution est incohérent. L'amplitude d'oscillations entretenues en régime établi est toujours imposée par une non-linéarité Rappelons que toute évolution mécanique d un système ne s'accompagne pas nécessairement d'une diminution d'énergie potentielle.

168 2005 Lors de l'étude de la résonance, il importe de mesurer la fréquence propre de l'oscillateur excité.

169 Introduction : De nombreux mouvements oscillants dans la vie courante tels que la balançoire, l oscillation des grands bâtiments sous l emprise du vent ou en vélo sur une route bosselée. Le phénomène, déjà vu en électricité, peut être recherché ou au contraire fuit. Quelque soit le cas de figure, il est nécessaire d en faire l étude afin de comprendre pourquoi un système oscille? comment prévoir l oscillation des systèmes étudiés? I. Présentation des systèmes oscillants mécaniques 1. Définitions (Galileo) Un système mécanique qui effectue un mouvement d aller-retour de part et d autre de sa position d équilibre est dit oscillateur mécanique Une oscillation est un aller-retour autour de la position d équilibre Exemples - pendule pesant : tout corps pesant susceptibles de faire des aller-retour autour d un axe sous l action de la pesanteur #Exp : Pendule pesant - système solide-ressort : on l écarte et à nouveau un mouvement de va et vient. #Exp : Ressort Contre-exemple : planètes ou aiguilles d une horloge Un oscillateur peut être périodique : La période T d un phénomène périodique est le nombre de fois où celui-ci se produit par seconde : f=1/t en Hz Transition : L étude d un système oscillant que l on connaît bien, c est le pendule pesant et pour

170 l étudier, nous allons le modéliser par un modèle simple pour nous familiariser avec les systèmes oscillants. 2. Cas du pendule simple non amorti a. Définition Le pendule simple, étudié en classe de seconde, est constitué d un solide de masse négligeable m, de petites dimensions, suspendu à un fil inextensible, de masse négligeable devant m et de longueur l très supérieure aux dimensions du solide. C est une modélisation du pendule pesant. Durandeau On peut étudier le mouvement du pendule simple en étudiant le mouvement du centre d inertie G du corps de masse m. b. Equilibre et évolution * Position d équilibre Dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen Bilan des forces : - poids P - action de la tige F - poussée d Archimède que l on néglige devant P - forces de frottements fluides Le corps est en équilibre lorsque v(g) = 0 et P+F = 0 Deux positions conviennent : Masse en haut (instable, lorsque l on écarte, elle s en éloigne) Masse en bas (stable, lorsque l on écarte, elle revient) Les oscillations ne peuvent donc s effectuer qu autour de position d équilibre stable. * Mouvement Un pendule simple écarté de sa position d équilibre stable sans vitesse initiale effectue des oscillations autour de sa position de repos et sa position initiale avant de retrouver sa position d équilibre. -> sur un nombre réduit d oscillations, on peut toutefois considérer que l amortissement est faible et le négliger * Abscisse angulaire La description du mouvement d un système oscillant s effectue par le biais d une grandeur mesurant à l instant t l écart à sa position d équilibre stable. La position du pendule à un instant t est repérée par l angle orienté (t) = (OGeq,OG(t)) avec (t) l abscisse angulaire du pendule simple. (t) varie entre deux valeurs maximales : m et m avec m l amplitude angulaire. Les oscillations d un pendule simple non amorti sont donc périodiques. C est un système mécanique oscillant

171 c. Période propre La période T d un pendule simple libre non amorti est la durée qui s écoule entre deux passages successifs du centre d inertie G par la même position et dans le même sens. De quoi dépend cette période? * Influence de l amplitude #Exp : Mesure la période T pour plusieurs amplitudes différentes Lorsque l amplitude des oscillations d un pendule simple est inférieur à 10 environ, la période T est pratiquement indépendante de l amplitude m du mouvement. C est l isochronisme des petites oscillations. * Influence de la masse #Exp : Mesure la période T pour plusieurs masses différentes La période T des oscillations est indépendante de la masse m du pendule. * Influence de la longueur #Exp : Mesure la période T pour plusieurs longueurs différentes Avec synchronie, on montre que T dépend de l. Si l augmente, T augmente * Influence de la pesanteur Dans l histoire du pendule simple, un autre facteur a été découvert : en 1672, l astronome Jean Richer est chargé par l Académie des Sciences d une mission scientifique en Guyane. Il constate que pour avoir un pendule qui bat la seconde, T = 2,00s il faut l = 0,991 m alors qu à Paris il faut l = 0,994 m. La différence? A Paris, g = 9,809 m/s² et en Guyane, g = 9,78 m/s². Donc si g diminue, il faut diminuer l pour avoir la même période, or on vient de voir que si l diminue, T diminue. Donc si g diminue, T augmente. * Bilan La période dépend donc de l et de g! Essayons d avoir son expression par analyse dimensionnelle. On donne la constante 2. Expression finale et unité. T = 2 (l/g) Vérification expérimentale en traçant T = f( (l)). Transition : Que se passe-t-il sur plus de périodes #Exp : Amortissement. 3. Amortissement des oscillations * Cas d un amortissement faible Si un système oscillant est faiblement amorti, il évolue en effectuant des oscillations dont l amplitude maximale est décroissante. -> Les oscillations ne sont plus rigoureusement périodiques. On dit qu elles sont pseudopériodiques. La pseudo-période d un mouvement pseudopériodique est la durée T séparant deux passages successifs dans le même sens de l oscillateur par sa position d équilibre. La période propre d un système mécanique oscillant est alors définie comme la période qu aurait ce système s il évoluait sans aucun amortissement. La pseudopériode est toujours supérieure à sa période propre. Cependant, si l amortissement est faible, ces deux valeurs sont approximativement égales. #Exp : Mesure de la période Pour un amortissement faible, elles sont approximativement égales

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173 * Cas d un amortissement fort Dans le cas d amortissement très important, le système ne peut plus osciller : écarter de sa position d équilibre, il la retrouve rapidement -> le mouvement est apériodique. #Exp : Avec frottements Exemples (Parisi, Durandeau) - après un choc, le cadre d un VTT de compétition suspendu à l avant reprend sa position avec un mouvement apériodique. La fourche du vélo assure un amortissement fort, afin d éviter le «pompage», càd l oscillation du cadre après une mise en mouvement brutale. Transition : Il ne s agit plus d un pendule, mais d un ressort. On va étudier ce système oscillant en allant un peu plus loin dans l étude mais en réinvestissant les notions vues ici. II. Etude du dispositif solide-ressort 1. Etude expérimentale #Exp : Sur un ressort horizontal, on l étire et on voit les oscillations comme précédemment Le centre d inertie G du solide décrit un mouvement oscillatoire pseudopériodique très faiblement amorti. C est bien un système mécanique oscillant! #Exp : On trace x=f(t). Pour étudier ce mouvement, il faut tout d abord étudier les forces qui s y exercent. 2. Bilan des forces a. La force de rappel Le solide et le ressort sont en interaction de contact, le solide exerce une force Fs/r sur le ressort. D après la troisième loi de Newton, le ressort exerce une force Fr/s opposée sur le solide. Fs/r = tension du ressort Fr/s = force de rappel exercée par le ressort * Les caractéristiques Direction : l axe du ressort Sens : opposé à celui de la déformation du ressort Point d application : point de l objet coïncidant avec l extrémité du ressort où il est accroché. Valeur? On sent que plus on tire et plus on comprime, plus il faut qu on fournisse un effort. Il y a-t-il un lien? #Exp : On trace F = f( l-l 0 ) F = k l-l 0 avec k constante de raideur du ressort, en N/m ; l longueur du ressort étiré, l 0 longueur du ressort «à vide», ni étiré, ni comprimé * Expression de la valeur Soit F = -ka 0 A, A 0 A vecteur allongement du ressort. Lorsque le ressort n est ni étiré, ni comprimé, le centre d inertie G du solide occupe la position G 0, et le point A est en A 0. Lorsque le ressort est étiré ou comprimé, l abscisse des points A et G est repéré sur

174 un axe horizontal orienté vers un vecteur unitaire i. L origine du repère est le point G 0, donc l abscisse est donc nulle. On écrit ainsi : G 0 G = x i. Comme le solide est en translation : A 0 A = G 0 G F = -kxi b. Les autres forces - le poids P de direction verticale, dirigée vers le bas. - forces de contact : - réaction du support : R du coussin d air - force de frottement : f Transition : On va pouvoir procéder à la mise en équation 3. Système ressort-masse non amorti * Mise en équation Dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen, on écrit la deuxième loi de Newton. On considère les frottements négligeables et on projette sur Ox. dx²/dt + k/mx = 0 * Solution analytique Cette équation présente une solution du type (analogie avec électricité) x(t) = Acos(2 t/t + Ф ) Détermination de la période T à partir de l équation différentielle Analyse dimensionnelle. Détermination de A et Ф à l aide des conditions initiales On a la solution finale : x(t) = x m cos(2 t/t ) #Exp : On a x=f(t) et on en tire T, on vérifie la relation. 4. Système ressort-masse amorti #Exp : Toujours le ressort. On ajoute frottement : même régimes que précédemment, montrer les courbes déjà faites Application : la suspension d une moto (Durandeau p. 291) Lors du passage sur une bosse, le ressort se comprime afin d absorber le choc, puis il revient à sa longueur initiale. Sans l amortisseur, le retour du ressort à sa longueur initiale s accompagnerait d oscillations dangereuses pour la tenue de route. L amortisseur permet de supprimer les oscillations. Transition : Quand voiture ou moto roulent sur piste ondulé, à partir d une certaine vitesse, stabilité menacée, pourquoi? La suspension est soumis à la forme ondulée de la route qui lui impose une oscillation! (Durandeau) III. Oscillations forcées et résonance 1. Présentation du phénomène

175 * Dispositif expérimental #Exp : ressort + vibrateur. On mesure fréquence du résonateur et on montre bien que pareil qu excitateur. On couple le dispositif précédent avec un excitateur. Un excitateur a un rôle moteur : il fournit continuellement de l énergie à l oscillateur auquel il est couplé. L oscillateur a un rôle passif et est appelé résonateur. L excitateur impose sa fréquence au résonateur. On peut le montrer expérimentalement. * La résonance #Exp : ressort + vibrateur. On fait varier la fréquence et on montrer l effet sur l amplitude L amplitude du mouvement du centre d inertie du résonateur est différente de celle du résonateur. Elle est maximale lorsque f est voisine de la fréquence propre du résonateur : on dit qu il y a résonance d élongation. #Exp : on ajoute du frottement Pour les systèmes amortis, le phénomène de résonance est moins marqué. L amplitude maximale de la résonance diminue lorsque l amortissement croît. Transition : Etude descriptive du phénomène, pourquoi pas anecdotique? 2. Exemples de résonance mécanique (Parisi, Durandeau p. 305) * Instruments de musique Les instruments de musique sont souvent constitués de deux parties : une source vibrante et une caisse de résonance. La source vibrante (corde d une guitare, anche d un saxophone, peau d une percussion, etc.) joue le rôle d excitateur, tandis que la caisse joue le rôle de résonateur. Sans ce résonateur, les sons produits seraient très peu audibles. * Le haut-parleur La membrane d un HP vibre avec la fréquence imposée par la force magnétique produite par le courant qui alimente la bobine. L amortissement est réglé de manière obtenir une résonance floue afin de ne pas privilégier des fréquences particulières. * Les roues d automobiles Le moteur peut jouer le rôle d excitateur pour des éléments de la carrosserie, qui sont des résonateurs : du bruit et des vibrations sont perceptibles. Si une pièce métallique ou faisant partie de la carrosserie est mal fixée, elle peut se mettre en vibration et entrer en résonance. De même, lorsqu une roue n est pas équilibrée (son centre d inertie n est pas sur l axe de rotation) * Voiture sur route bosselé ou dunes * Les machines tournantes Les moteurs électriques, alternateurs ou outils en rotation, s ils sont mal équilibrés, peuvent engendrer des vibrations importantes avec des conséquences très dommageables pour la machine et son environnement. * les ouvrages antisismiques * le pont de Tacoma Le 7 novembre 1940, six mois après son inauguration, le pont suspendu de Tacoma (USA) s est brisé

176 après avoir oscillé sous l effet des tourbillons créés par le vent. Conclusion On a compris le fonctionnement et modéliser la réponse d oscillateurs mécaniques. Le phénomène d oscillations est très important à maîtriser, que ce soit pour l éviter ou au contraire l exploiter, en particulier la résonance fait l étude de recherches beaucoup plus quantitatives, pour différencier les types de résonance.

177 LP 21 Energie mécanique d un système Niveau : Terminale S Prérequis : - Travail, énergie potentielle de pesanteur, énergie cinétique (Première S) - Projectile dans un champ de pesanteur uniforme - Système oscillant Biblio : Tomasino violet, Parisi nouveau, Durandeau vieux et nouveau + classeur prof, Galileo, Sirius Plan : I. Energie potentielle élastique du ressort 1. Travail d une force non constante 2. Application à la force appliquée à l extrémité d un ressort 3. Energie potentielle élastique II. Etude énergétique du système solide-ressort 1. Cadre de l étude 2. Etude sans frottement 3. Etude avec frottement III. Etude énergétique d un projectile 1. Cadre de l étude 2. Etude sans frottement 3. Etude avec frottement 2009 Lors des manipulations, l évolution de l énergie mécanique n'est pas toujours conforme aux prévisions théoriques ; ce décalage doit donner aux candidats l occasion de prouver leur bon sens sur la notion de modèle et sur les méthodes expérimentales.

178 Introduction : Dans ce chapitre, on aborde l étude de mouvements étudiés précédemment (projectile dans un champ de pesanteur uniforme et les oscillations d un système solide ressort l horizontal) mais sous un nouvel angle d approche : étude énergétique. Nous allons étudier l énergie des différents systèmes. (Tomasino) Rappel : énergie cinétique, énergie potentielle. Mais autre forme d énergie nécessaire! En effet, sirius, sur ce jeu d enfant, les ressorts permettent aux enfants de bouger, donc d acquérir une vitesse et donc une énergie. Le ressort a transmis une énergie qu il contenait et que nous allons tout de suite étudiée. I. Energie potentielle élastique du ressort 1. Travail d une force non constante (Tomasino) * Rappel En première, il a été vu que le travail correspondant à un échange d énergie entre deux systèmes et dont l expression du travail d une force constante dont le point d application se déplace de A à B. W AB (F) = F.AB = F.AB.cos a. Travail moteur si W > 0, résistant si W < 0, nul si la direction de la force est orthogonale au déplacement. Exemple : travail du poids.

179 Ce n est pas le cas de la force de rappel en kxi! * Travail élémentaire (Parisi) Sur une portion suffisamment petite de la trajectoire, on peut considérer les forces comme constantes. Donc, sur cette portion de trajectoire, on sait calculer le travail! Comme on le calcul sur une portion élémentaire, on l appelle travail élémentaire : W = F.dl. On sait calculer le travail sur chaque petite portion. Donc pour connaître l énergie totale échangée le long du chemin, il suffit de sommer l énergie échangée sur chaque petit bout de chemin. Ce n est rien d autre qu une intégration! * Travail W AB (F) = W = F.dl Pour une force constante on retrouve la même définition. Exemple pour le poids : P=mg W AB (F) = W = mgdz = mg dz = mg(zb-z A ) Transition : appliquons maintenant au cas du ressort 2. Application à la force appliquée à l extrémité d un ressort (Tomasino) On est dans le cas d une force non constante. F rappel = -kxi D après la troisième loi de Newton. T = -F rappel = kxi On veut calculer le travail de la tension du ressort pour paser de l allongement algébrique x1 à x2. On aura accès à l énergie transférée au ressort par l opérateur. * Travail élémentaire effectué par T pour passer de l allongement x à x+dx. W = kxdx * Travail Intégration : W(F) = W = kxdx = 1/2k(x2² - x1²) Graphique : aire sous la courbe. * Remarque : comme pour le travail du poids d un solide, le travail de la tension ne dépend pas du chemin suivi par leur point d application, mais uniquement des points de départ et d arrivée. La force de rappel du ressort ou la tension sont des forces conservatives (Parisi) Transition : On a vu que le travail détermine un échange d énergie, quelle énergie est-il question ici? 3. Energie potentielle élastique (Galileo p. 306, Durandeau) Lorsque le ressort est non comprimé et qu on place un mobile. Rien ne se passe. Quand on comprime un ressort et qu on le lâche, le mobile acquiert une énergie cinétique. Le ressort lui a donc transmis de l énergie. Un ressort déformé possède donc de l énergie en réserve, appelée énergie potentielle élastique. Comment a-t-on emmagasiné ce ressort? En le comprimant. Donc l énergie potentielle élastique emmagasinée dans un ressort est égale au travail effectué par un opérateur pour le déformer : W(F) = Epk2-Epk1 Nous avons calculé ce travail précédemment : W(F) = W = kxdx = 1/2k(x2² - x1²)

180 Donc : Epk = 1/2kx²+C. On choisit C=O pour x=0, lorsque le ressort n est ni étiré, ni comprimé. Un ressort possède de l énergie potentielle élastique dès qu il est allongé ou comprimé. Analyse dimensionnelle : [Epk] = [1/2kx²] = F.L = J Transition : on a les outils nécessaires pour entamer l étude énergétique du premier système. II. Etude énergétique du système solide-ressort 1. Cadre de l étude (Galileo p. 308) On étudie le système {solide-ressort} dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. #T : Schéma de l expérience On va s intéresser aux devenir des différentes énergies mises en jeu : Energie cinétique Energie potentielle élastique 2. Etude sans frottement a. Etude expérimentale (Durandeau p. 317) On allume soufflerie, on enregistre x=f(t), puis on modélise pour déterminer la dérivée et avoir Ec. On détermine Epk. #Exp : ressort avec soufflerie Lorsqu une énergie est maximale, l autre est nulle. On trace la somme des deux : elle est constante. On introduit donc cette grandeur particulière qui est l énergie mécanique : Em = Ec + Epk. Transition : puisque Em ne varie pas, on peut supposer qu il y a transformation entre les énergies cinétique et potentielle élastique. Approche par le calcul. b. Etude théorique (Tomasino) On applique le second principe de Newton en projetant sur l axe x. On retrouve d(em)/dt = 0 c. Application (Tomasino) L énergie mécanique se conserve si le système évolue sans frottement. Comme : Em = 0, alors Ec = - Ep. On a transformation d énergie cinétique en énergie potentielle et vice-versa. De plus l égalité : Em1 = Em2 permet de relier la position du mobile et sa vitesse. (Galileo p. 308, Sirius) sans avoir besoin du calcul fastidieux des lois horaires du moment qu on connaît Em à un instant donné (en général conditions initiales) -> Si au départ la vitesse est nulle et la position est X, alors l énergie mécanique est : Em = 1/2kX ². Du fait que l énergie cinétique est positive, au cours du mouvement, X²<X ². L abscisse sera toujours comprise entre X et X. -> La vitesse sera maximale là où l énergie potentielle sera minimale, càd ressort non déformé. On en déduit la valeur maximale de la vitesse. On calcule Vmax à partir de l amplitude donnée par l expérience.

181 Exemples (Galileo) - Lanceur de flipper, Pistolet à fléchette, Chaussure de ski, Sandow (Durandeau) - Sac à dos Durandeau p. 320 L énergie emmagasinée sous forme d énergie potentielle est entièrement convertit en énergie électrique : X = 5cm ; m = 25 kg ; P = 7 W!! Transition : Bon ça c est sans frottement et si on en met? 3. Etude avec frottement (Durandeau) * Expérience #Exp : ressort sans soufflerie L énergie mécanique diminue lorsque le système est soumis à des frottements * Interprétation On applique le théorème de l énergie cinétique Ec = W(F) = W(T) + W(f) = - Epk + W(f) Em = W(f) Or ici W(f) < 0, donc Em diminue, si on avait un travail moteur, Em augmenterait! Dans ce cas, la perte d énergie mécanique se retrouve généralement convertie en chaleur transférée à l air ambiant (échauffement). * Bilan graphique Em se conserve ; Em diminue Transition : On a étudié l évolution de l énergie potentielle élastique et de l énergie cinétique du système solide-ressort mais on peut soumettre ce solide à une autre forme d énergie potentielle en le lançant simplement dans l air! III. Etude énergétique d un projectile 1. Cadre de l étude (Galileo p. 308) On va étudier le mouvement de projectiles dans un champ de pesanteur uniforme. Nous allons étudier les différentes formes d énergie du système. Energie cinétique ; Energie potentielle de pesanteur (rappel) On généralise l énergie mécanique 2. Etude sans frottement (Tomasino, Galileo) a. Etude expérimentale (Durandeau p. 317) #Exp : lancé de balle filmé et traité avec Cinéris On trace x=f(t), y=f(t), puis on modélise pour déterminer Ec et Ep, puis Em (la somme) On retrouve les résultats qui nous avaient permis d introduire l énergie mécanique sans la nommer en classe de première. En l absence de frottement, on constate que l énergie mécanique se conserve.

182 b. Etude théorique (Tomasino) On applique le second principe de Newton en projetant sur l axe x. On retrouve d(em)/dt = 0 c. Application (Tomasino, Sirius) On peut relier la position du centre de la boule à sa vitesse sans établir les expressions des lois horaires. Il suffit de connaître Em à un instant donné, comme par exemple, conditions initiales Obtention plus rapide d information : vitesse, hauteur maximale. On calcule la vitesse initiale avec la hauteur maximale donnée par l expérience. Exemples Drive en golf, le max (Durandeau nouveau) Centrale hydrolique (Durandeau nouveau p. 327) : l Ep est transforme en Ec qui est ensuite transformée en électricité. Saut à l élastique : d abord chute libre (Em = Epp + Ec) puis raideur (Em = Epp + Epk + Ec) On calcule la vitesse atteinte lorsque l=l. Puis on détermine la longueur maximale atteinte (v=0). (Durandeau nouveau et vieux p. 330). Corrigé dans le cahier du professeur et des calcules à faire soimême. Important de connaître la longueur maximale pour pas se faire mal Transition : Oui mais le sauteur finit pas se stabiliser pourquoi? 3. Etude avec frottements #Exp : Table traçant inclinée On a : Em = W(f) Dans ce cas, la perte d énergie mécanique se retrouve généralement convertie en chaleur transférée à l air ambiant et à la surface du projectile (échauffement). Saut à l élastique : frottement, discussion On peut chercher à s en affranchir : forme aérodynamique des avions. Ces frottements sont utilisés pour ralentir retour sur Terre mais bouclier thermique pour protéger de l échauffement (Durandeau nouveau et vieux p. 319) Conclusion Simplification mais en contre partie, pertes d information - forces qui ne travaillent pas - grandeurs vectorielles

183 Golf, lancer de poids, saut à la perche, Energie : transformer une énergie en une autre (électrique, mécanique, )

184 LP 22 L atome et la mécanique de Newton : ouverture au monde quantique. Niveau : TS Prérequis : - mécanique de Newton - description ondulatoire de la lumière - désintégration radioactive Biblio : Parisi nouveau, Durandeau nouveau, Galileo vieux, Tomasino vieux, noir ; Ray, Rival (les grandes expériences scientifiques), Cagnac tome 1, unités et étalons de mesure (pour l horloge atomique) Plan : I. Limites de la mécanique de Newton 1. Le modèle planétaire de l atome 2. Mise en défaut II. Vers la mécanique quantique 1. Quantification des échanges d énergie a. Premières théories b. Interprétation de l effet photoélectrique 2. Quantification des niveaux d énergie de l atome a. Postulat de Bohr b. Interprétation de l effet photoélectrique c. Interprétation des spectres de raies 3. Quantification des niveaux d énergie du noyau 4. Quantification des niveaux d énergie des molécules

185 Introduction : Nous avons vu quatre interactions fondamentales. Grâce aux lois de Newton, on peut appliquer ces forces et déterminer le mouvement des systèmes, comme les planètes. Mais est-ce applicable aux atomes? Nous allons voir les limites de la mécanique newtonienne et la nouvelle mécanique qui a été inventée pour y pallier. I. Limites de la mécanique de la Newton 1. Le modèle planétaire de l atome (Sirius) * Origine Rappel force d interaction gravitationnelle (prépondérante pour les planètes) et coulombienne (prépondérante au niveau de l atome (calcul Galileo vieux p. 322)). # T : tableau récapitulatif des deux forces et leurs caractéristiques Ces deux forces sont en 1/r² et leur droite d action joint les corps en interaction. * Modèle planétaire Cette similitude conduit Rutherford (1911) à élaborer un modèle planétaire pour l atome. Electron en orbite autour du noyau. Transition : Ce modèle a très vite trouvé ses limites.

186 2. Mise en défaut a. Faible diversité des systèmes atomiques * Diversité des systèmes planètes-satellites (plein d orbites, de rayon, importance des conditions initiales). On peut choisir la trajectoire d un satellite, n importe laquelle. L énergie mécanique du satellite, somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle, peut varier de façon continue. Toutes les trajectoires sont donc possibles. Importance des conditions initiales. Il devrait donc en être de même pour l énergie et la trajectoire d un électron en mouvement autour d un noyau. * Faible diversité, ordre de grandeur du rayon atomique m. Unicité des systèmes protons-électrons (rayon sensiblement identique, pas d influence des conditions initiales (l atome d or a la même tête partout dans le monde). Identité de tous les systèmes atomiques ayant même composition. # T : tableau récapitulatif (masse volumique, masse, rayon, ) b. Spectre de l hydrogène En 1885, le physicien suisse Johann Balmer met en évidence 4 raies visibles du spectre de l hydrogène. Puis Lyman (1906), Paschen (1909), Brackett (1922), Pfund (1924). (Tomansino vieux, noir p. 330) * Observations # Exp : Spectre d émission de raies de la lampe à mercure * Description (Cagnac) 1914 c. Expérience de Franck et Hertz * Résultats (Tomasino vieux, noir p.323) Des électrons sont envoyés. Ils sont récupérés par un analyseur, ces charges négatives en mouvement donne lieu à courant I mesuré. Or le courant c est la variation de charge par unité de temps. Donc plus l énergie cinétique des électrons, plus I augmente. C est ce qu on observe. Cependant, un autre phénomène s ajoute. On voit des diminutions brusques d intensité, soit une diminution d énergie cinétique. Comment? Par échange d énergie avec le Hg. Or ces échanges d énergie ne se font que pour des multiples de 4,9 ev. Electron cède que des multiples de 4,9 ev. Donc, soit Hg n absorbe que des multiples, soit électrons cèdes à différents Hg 4,9 ev. Quantification des échanges d énergie. d. Expérience de Hertz * Description (Durandeau nouveau, Cagnac) En 1887, Hertz découvre l effet photoélectrique. * Résultats (Tomasino vieux, noir p.323)

187 Définition de l effet photoélectrique. L émission d électrons par un corps (en général un métal) quand il reçoit un rayonnement lumineux. Il faut une certaine énergie pour extraire les électrons qui ne peut venir que de la lumière. Echanges d énergie dépend de la fréquence de la radiation mais pas de son intensité. De plus, échange d énergie ne se fait qu à partir d une fréquence seuil. Quantification des échanges d énergie. Transition : Comment expliquer tout ça? Il a fallu développer de nouveaux concepts. II. Vers la mécanique quantique 1. Quantification des échanges d énergie a. Premières théories * Théorie des quanta (1900) Max Planck (PN 1919) émet l hypothèse que la lumière transporte de l énergie par «paquets» appelés quanta d énergie. Il postula la quantification de l énergie transportée par les ondes. L énergie de chaque quantum est donnée par la relation : E = h h est la constante de Planck : h = 6, Js -> Echange d énergie quantifiée entre la lumière et la matière. Les transferts énergétiques entre la lumière et la matière ne peuvent s effectuer que par quanta ; quand un photon est absorbé, il cède un quantum d énergie h. Mais il ne dit comment est transporté ce quantum d énergie! C est ce que rajoute Einstein. * Caractère corpusculaire de la lumière (1905) En 1905, Einstein émet l hypothèse que ces quanta d énergie sont portés par des particules appelées photons (dénomination tardive) (PN 1921). Les photons sont des corpuscules de masse nulle, non chargées, se propageant à la vitesse de la lumière dans le vide et d énergie E = h. Transition : Einstein eut le prix nobel pour cette théorie qui lui permit d expliquer l effet photoélectrique. b. Interprétation de l effet photoélectrique Un photon transporte l énergie h et frappe le métal. Si son énergie est suffisamment grande, il en extrait un électron et celui-ci sort du métal avec une vitesse de valeur v. Mais cette extraction nécessite de l énergie. Soit W l énergie d extraction = énergie qu il faut fournir pour faire sortir un électron du métal avec une vitesse nulle. Il faut donc : h >W. On a mis en évidence le seuil photoélectrique. L énergie excédentaire part sous forme d énergie cinétique. Applications : - photomultiplicateur : transforme lumière en électricité - cellulephotovoltaïque.

188 Transition : Quantification de l échange d énergie entre la lumière et la matière. Avec Franck et Hertz, on a également mise en évidence une quantification de l énergie entre particules. Pourquoi, l atome de Hg ne peut absorber que des multiples de 4,9 Ev?

189 2. Quantification des niveaux d énergie de l atome a. Postulat de Bohr (1913) En 1913, Niels Bohr (PN 1922), élève de Rutherford, cherche à résoudre les problèmes posés par le modèle planétaire. Il conçoit l électron comme tournant autour du noyau sur une orbite, ces orbites ayant des rayons discrets. Il énonce les postulats : - les variations de l énergie de l atome sont quantifiées - l atome ne peut exister que dans certains états d énergie bien définis ; chaque état est caractérisé par un niveau d énergie. - un photon de fréquence est alors émis lorsque l atome se désexcite en effectuant une transition d un niveau d énergie Ep vers un niveau inférieur En tel que Ep-En = h En parallèle, dessiner un diagramme énergétique et faire apparaître E = h b. Interprétation de l expérience de Franck et Hertz Avec le diagramme énergétique précédente, on explique que pour que le mercure à l état fondamental passe à l état excité, il doit absorber une énergie correspondant à l écart énergétique entre le fondamental et le niveau excité considéré. On voit que le premier excité correspondra à l écart énergétique le plus faible. Donc dans l expérience de Franck et Hertz, quand on augmente progressivement l énergie cinétique des électrons, il y a échange d énergie quand celle-ci atteint l écart énergétique des deux premiers niveaux. Puis quand l énergie cinétique augmente, si l électron subit deux chocs, il peut céder deux fois 4,9 ev mais la probabilité qu il subisse deux chocs est plus faible (on commence à voir le caractère probabiliste de la MQ) On explique la courbe. b. Interprétation des spectres de raies Spectres d émission, d absorption (Rappel Seconde) * Interprétation On étudie le diagramme énergétique de l hydrogène et on reporte les différentes raies observées par Balmer. D autres raies ont été vues par Lyman, Paschen, Transitions atomiques de l ordre de l ev (encore une fois, on voit l intérêt de cette unité déjà vue). Idem pour spectre d absorption (exemple du soleil) * Application Tous les atomes d un élément chimique ont le même spectre caractéristique de cet élément. Un spectre d émission ou d absorption permet d identifier un élément chimique. C est ainsi qu en analysant la lumière des étoiles ou des nébuleuses, on détermine leur composition chimique. On constate que l Univers est essentiellement constitué d hydrogène. Transition : Si l atome a des niveaux énergétiques quantifiés, le noyau qui le compose également.

190 3. Quantification des niveaux d énergie du noyau En radioactivité, désintégration d un noyau père en un noyau fils excité et émission d un rayonnement caractéristique pour revenir au niveau le plus bas. L énergie d un noyau est quantifiée. Les variations d énergie sont de l ordre du MeV. Radioactivité -> rayonnement. Application Horloge atomique : On excite un atome Cs 133 et lorsqu il se désexcite émet un rayonnement de fréquence déterminée par l écart énergétique entre les deux niveaux considérés. Un nombre certain de périodes donne la définition de la seconde. Utilisation en médecine (cancer) : cobaltothérapie. Détruit cellule cancéreuse. 4. Quantification des niveaux d énergie des molécules Molécules formée d atomes. Donc l énergie d une molécule est quantifiée. Atomes entrent en interaction augmentent et élargissent niveaux d énergie. Energies électronique (UV-visible), de vibration (IR), rotation (micro-ondes). Application : - Caractérisation : IR, UV,.. # Exp : Cuve de permanganate sur retro - Four à micro-ondes (Galileo vieux p. 326) Le four contient un générateur d ondes électromagnétiques de fréquence voisine de 2,45 GHz. Cette fréquence a la particularité de correspondre à une transition pour les niveaux d énergie de rotation de la molécule d eau. L eau de ce fait absorbe bien les ondes, émises par le générateur, et donc l énergie qu elles transportent. C est cette absorption qui conduit à l élévation de la température de l eau présente dans les aliments. (Ray pour plus d infos) Conclusion : Mécanique newtonienne : adapté au macroscopique, déterministe Mécanique quantique : adapté au microscopique, probabiliste Encore du boulot Louis de Broglie (PN 1929) dualité onde-corpuscule : réunit les deux modèles en 1923

191 LP 23 Applications de l évolution temporelle des systèmes à la mesure du temps. Niveau : TS Prérequis : - utilisation des phénomènes périodiques (seconde) - mécanique de Newton - systèmes oscillants mécaniques et électriques - ondes mécaniques - lumière, modèle ondulatoire Biblio : Tomasino violet, Galileo vieux, Sirius, micromegas, Durandeau, Hecht, Dico des amoureux, BUP 1916 (éphémérides), BUP 2002 (radioactivité), une histoire illustrée du temps Plan : I. Comment mesurer une durée? 1. A partir de phénomènes périodiques astronomiques 2. A partir de phénomènes périodiques créés par l homme 3. A partir de phénomènes possédant une constante de temps II. Applications à la mesure du temps 1. Mesurer une longueur 2. Mesurer une vitesse 2007 On peut diversifier les exemples, et choisir des domaines tels que l acoustique, l astrophysique La définition de la seconde comme «la transition de l'atome de Cesium» est un peu floue... Par ailleurs c a maintenant une valeur fixée par décrêt. L'étalon de longueur se déduit de l'étalon de temps On peut consacrer un certain temps à une étude soignée des instruments et méthodes de mesure du temps (astronomie, mécanique, électricité) : il n est pas indispensable de traiter des

192 mesures de longueur et de vitesse, même si cela figure dans certains manuels. Introduction : Peinture de Dali, montre glisse, nature insaisissable du temps. Ont toujours constitué un sujet de réflexion pour les peintres et les scientifiques. L homme a toujours voulu se repérer dans le temps. C est ce qu on va voir aujourd hui.

193 I. Comment mesurer une durée? 1. Par l étude de phénomènes périodiques astronomiques (Micromegas) * La seconde de temps moyen Définition de la seconde (jour solaire moyen) mais prob de rotation de la Terre (Ptolémée 150). Explication avec la loi des aires. Pendant la durée qui sépare deux passages successifs du Soleil au zénith, la Terre, qui se déplace sur son orbite, doit effectuer un peu plus d un tour. L angle supplémentaire dont il faut qu elle tourne, varie avec la distance parcourue en une journée, donc avec la vitesse avec laquelle elle décrit son orbite. Or la Terre accélère quand elle s approche du Soleil et décèlère quand elle s en éloigne d après la loi des Aires! La seconde est définie, non officiellement, comme le e partie d un jour solaire moyen. * La seconde des éphémérides Jusqu en 1956, le comité international des poids et mesures décide de définir la seconde comme une fraction non plus du jour solaire moyen (irrégulier) mais de l année solaire moyenne (année tropique). Il choisit pour cela l année Par l étude de phénomènes périodiques créés par l homme a. Horloges mécaniques * Le pendule pesant T = 2 l/g. #Exp : pendule pesant Capteur transmet signal électrique. On a une oscillation. On mesure sur plusieurs oscillations pour avoir la période. T = 1,28s +- 0,01s A comparer avec la théorie T = 1,40s. Erreur? estimation de la longueur Mais amortissement. * Horloge à balancier Huygens. Entretien des oscillations par une roue dentée et un poids. Pas pratique sur l eau Autre systèmes oscillant? * Horloge à ressort Le ressort. Equation différentiel. Sans frottement, on a T.. On remplace le balancier par pendule pesant par un balancier à ressort spiral. Ces horloges mécaniques obligèrent à affiner la définition de la seconde pour tenir compte de la variation de la durée du jour. Transition : Horloges mécaniques qui permettent de mesurer avec précision des durées dont la valeur est supérieure à la durée de la période de leur balancier mais pas efficaces pour des petites durées. Pour améliorer la résolution d une horloge, il faut augmenter la fréquence de l oscillateur.

194 b. Horloges électroniques On veut une fréquence élevée, stable dans le temps et être aussi peu sensible que possible aux facteurs extérieurs. * Système périodique Oscillation d un circuit comportant un quartz en vibration. Description : minéral cristallin constitué de silice Phénomène : une déformation mécanique induit une différence de tension (et vice versa). Il s agit de la piézoélectricité. * Mise en œuvre Un circuit électrique oscille à la fréquence propre d un cristal de quartz intégré au circuit. L amplitude la vibration est maximale si l excitateur, le circuit électrique, vibre à la fréquence propre du résonateur, le quartz. C est le phénomène de résonance. Les oscillations libres du quartz dépendent des propriétés du cristal ; leur fréquence est stable mais trop élevée pour que ces oscillations puissent être communiquées au moteur de la montre. Avec un cristal de fréquence propre 32 khz, il faut compter oscillations pour que s écoule une seconde. Ce comptage est effectué par un circuit diviseur de fréquence qui transforme le signal à haute fréquence en signal basse fréquence (typiquement une fréquence de 1Hz). Soumis à ce signal démultiplié, le moteur actionne la trotteuse. Les deux autres aiguilles sont entraînées par un système d engrenages très fins. La précision d une montre est liée à la très grande fréquence d oscillation du quartz. Une erreur de comptage d une oscillation sur plusieurs milliers est en effet négligeable devant une erreur sur la durée d une oscillation d un balancier d horloge mécanique. Au cours du temps, la fréquence du quartz évolue : les meilleures montres à quartz dévient d une second en 10 ans, ce qui correspond à une précision de (Sirius p. 346) * Oscillateur électronique : circuit LC La montre nécessite donc un circuit électrique qui oscille à la fréquence du quartz. Comment réalise-ton ça? On a déjà vu un exemple avec le RLC série! Equation différentielle : d²u/dt² + 1/LCu = 0. T = 2 LC et solution sinusoïdale Or il a été vu qu il y a toujours une résistance (bobine), il faut donc compenser par un apport d énergie. #Exp : Circuit RLC série avec résistance négative Mesure de la période. Comparaison avec la période théorique. On voit ici les similitudes entre les différents types d oscillateurs vu au cours de l année. Si on néglige les causes d amortissement (R=0, f=0). On obtient une équation différentielle : d²x/dt² + ax = 0. Admettant des solutions sinusoïdales, un système périodique. Si on a un amortissement, il faut avoir un système pour entretenir les oscillations. Transition : le quartz doit avoir d excellentes performances, cependant, il présente des défauts limitants en particulier sa fréquence propre dépend de la température, comment surmonter ce défaut?

195 c. Horloges atomiques (Sirius) Horloge atomique sert de référence universelle pour la mesure des durées ; c est l instrument de mesure le plus précis construit par l homme. * Système périodique A nouveau, le quartz mais avec un dispositif de régulation pur gagner en précision. Le quartz doit osciller à la fréquence de la radiation d une transition entre sous-niveaux d énergie particulière de l état fondamental de l isotope 133 du césium (vue dans l ouverture au monde quantique). * Intérêt Cette fréquence est universelle, car elle est la même pour tous les atomes de césium. * Mise en œuvre Un jet d atomes de césium est produit par un four. Ces atomes traversent une cavité dans laquelle un rayonnement micro-ondes dont la fréquence est ajustée de façon à produire la transition choisie de l état A vers l état B. Ce rayonnement est piloté par l oscillateur à quartz. A la sortie de la cavité, la proportion de B est mesurée. D autant plus grand que la fréquence est bonne et le temps de passage long. Si la proportion n est pas suffisante, asservissement pour modifier le quartz. La qualité de l ajustement est d autant meilleure que le temps passé par les atomes dans la cavité est grand. C est le paramètre sur lequel il faut jouer : atomes froids dans l espace. (Micromegas) Conformément à la définition de la seconde adoptée en 1967, l horloge avance d une seconde après périodes d oscillations du quartz à la fréquence de transition de Cs. Aujourd hui déviation de quelques secondes sur l âge de l Univers Transition : l évolution des techniques a permis d utiliser des phénomènes atomiques pour mesurer un temps de plus en plus court mais il a également permis de mesurer des temps de plus en plus long! 3. Par l étude de phénomène possédant une constante de temps * Principe On utilise un phénomène qui possède une constante de temps. Loi de la décroissance radioactive : dn/dt = - N On introduit la constante de temps : =1/ L activité mesure le nombre moyen de désintégration par unité de temps : A = -dn/dt. Donc : da/dt = - A. Solution : A(t) = A e - t et donc : t = ln(a/a )/ * Datation en archéologie

196 Le carbone 14 formé dans la haute atmosphère s oxyde en gaz carbonique 14 CO 2. Il est fixé dans les plantes par photosynthèse, puis dans les os et les tissus des animaux. A la mort des végétaux et des animaux, le carbone 14 n est plus fixé, sa quantité décroît par désintégration radioactive. Ainsi, le dosage du carbone 14 dans les tissus permet de déterminer la date de la mort des organismes. Temps de demi-vie de 2530 ans. r = N(Carbone 14)/N(Carbone 12) Activité d une momie dans un sarcophage : r = 0,56 r. On peut aussi le retrouver avec le calcul. (Sirius p. 111) Remarque : c est grâce à la décroissance radioactive qu on a pu dater l âge de la Terre à 4,5 milliards d années

197 II. Applications de la mesure du temps 1. Mesurer une longueur * Définition du mètre (Hecht) 1790 : longueur du pendule battant la seconde à Paris (de nos jours, l = 0,994m) mais dépend de g! 1791 : dix millionième partie du quart du méridien de Paris. Cette distance ne varie pas, mais l imprécision des mesures géographiques en font une définition trop arbitraire : distance entre deux traits fins gravés sur une barre d alliage platine-iridium (29 prototypes réalisés)! 1983 : C est le temps mis pour parcourir 1/ s. Pourquoi? parce qu on a beaucoup plus de précision sur le temps que sur la longueur! * Histoire de la mesure des longitudes La Terre effectue un tour (360 ) sur elle-même d est en ouest en 24h : une heure de retard sur l heure de Greenwich correspond donc à une longitude de 15 Ouest. Pour déterminer la longitude, il suffisait par conséquent de connaître le décalage entre l heure locale et l heure de Greenwich. Remplacé de nos jours par le GPS. (Sirius et Durandeau) * L écho laser Apollo 14 a déposé un miroir sur la Lune. Impulsion laser émise depuis la Terre (Serga, Grasse). Distance Terre-Lune mesurée. * La technique du sonar On peut déterminer la profondeur des océans par mesure d un temps. #Exp : Ultrasons dans l eau Principe du sonar * Le GPS 2. Mesurer une vitesse * Vitesse du son dans l eau Onde mécanique longitudinale, due à des phénomènes de compression et de décompression de l air. Besoin d un milieu matériel. #Exp : Ultrasons dans l eau On reprend l expérience et on l a refait, on prend les données. * Célérité de la lumière dans l air Pas besoin de support, se propage dans le vide. Comment estimer durée de propagation? Fizeau, #Flexcam : expérience de Fizeau (Dico des amoureux) Faisceau de lumière vers roue dentée. Lumière réfléchie par un miroir situé à 8km. S il y a réflexion sur la roue, on ne voit plus rien et il a pu estimer vitesse de la lumière. Conclusion :

198 On a vu plusieurs mesures de temps, en exploitant différents phénomènes tels la radioactivité ou des phénomènes périodiques avec des oscillations électriques ou mécaniques entretenues. Pour autant, on n a jamais offert une véritable définition du temps. On s est contenté de mesure le temps de la physique qui n apporte que peu d éclaircissement sur notre perception psychologique du temps.

199 LP 24 Second principe de la thermodynamique. Bilans entropiques Niveau : BCPST 2 Prérequis : - premier principe - fonctions d état - bilan d énergie Biblio : Hulin «thermodynamique», Perez, Hecht, tout en un, Plan : I. Second prinicpe : principe d évolution 1. Nécessité d un principe d évolution 2. Enoncé du second principe 3. Equations fondamentales II. Bilans d entropie 1. Gaz parfait 2. Entropie d une phase condensée 3. Changement d état

200

201 Introduction : Hulin p. 41 L un des objectifs de la thermodynamique est de prédire le sens d évolution des systèmes physiques quand certaines contraintes sont levées. L application du premier principe qui implique la condition de conservation de l énergie, impose un certain nombre de restrictions, mais qui sont puissantes à définir un sens d évolution : deux transformations inverses respectent également la condition d invariance de l énergie totale. #Expérience : la tasse de thé qui, progressivement, va se refroidir Le premier principe impose que la quantité d énergie thermique perdue par la tasse soit l égale à celle reçue par l atmosphère, en considérant le système isolé {tasse atmosphère} mais il ne peut pas rendre compte du sens du transfert; à partir du moment où T tasse >T atmosphère, l échange se fera toujours du corps chaud vers le corps froid. Comment expliquer cette évolution? Il s impose donc de prolonger et de dépasser ce principe de conservation par un deuxième principe, de nature différente, permettant de montrer les limites imposées aux processus susceptibles d être observés ou produits macroscopiquement. I. Second prinicipe : principe d évolution 1. Nécessité d un principe d évolution Hulin p. 41, T&D p. 736 * Notion de flèche de temps Si on ouvre une bouteille de parfum, une odeur se répand dans tout l espace environnant. De façon générale, certains phénomènes tendent à réuniformiser une distribution non homogène. Sens d évolution privilégié. L évolution d un système isolé est associée au sens d écoulement du temps, dit flèche de temps. Ce sens d évolution privilégié rend compte de l irréversibilité de la transformation. * Notion de réversibilité L exemple d introduction souligne le sens dissymétrique du transfert de chaleur d un corps chaud vers un corps froid. On sent bien que la tasse ne va pas se refroidit en chauffant l atmosphère. Les transferts thermiques sont irréversibles. Sur le film d une balle qui rebondit sans perte d énergie, on ne pourra pas indiquer dans quel sens le temps s écoule. Phénomène réversible. Définition : Une transformation infiniment lente, susceptible d être inversée à la suite d une modification progressive des contraintes extérieures en permettant au système de retrouver des états antérieurs successifs est appelée transformation «réversible». Le système et l extérieur retrouvent l EI De façon générale, la réversibilité mécanique peut s obtenir avec des approximations raisonnables (absence de frottements solides sur des temps courts, frottements fluides si v très petit et temps courts ; les forces de frottements sont toujours résistives donc sources d irréversibilité) contrairement aux transferts thermiques (réversibilité impossible à atteindre). Le second principe devra faire intervenir la notion d irréversibilité de la transformation qui donnera la flèche du temps. Si la transformation est réversible, on ne pourra pas définir un sens temporel à la transformation. D où vient ce sens d évolution privilégié = le caractère irréversible?

202 * Notion d ordre Si on projette un film retraçant la chute de ma trousse en sens inverse, on sait sans aucun problème que les évènements ne sont pas dans le bon sens. Pour que la trousse remonte, il faudrait un nombre énorme d interactions microscopiques soit inversé selon un schéma précis. Pas impossible mais très improbable. Quelles différences? Lors de la chute, toutes les molécules ont la même vitesse d ensemble. Après la chute, les molécules se meuvent sous l effet de la seule agitation thermique, dans toutes les directions. L état du mouvement est alors moins ordonné. On a donc une évolution privilégiée du sens «ordre -> désordre». Et on n a pas la remontée de la brique qui se traduirait par une évolution «désordre -> ordre». * Conclusion Le second principe doit être une mesure du désordre, lié au caractère irréversible et à la notion de flèche de temps. Rappelons-nous que le travail est un transfert d énergie macroscopique ordonnée et l énergie thermique un transfert d énergie microscopique désordonnée. Si le premier principe ne distingue pas les deux, le principe d évolution doit donc observer une importance particulière au transfert d énergie thermique. 2. Enoncé du second principe Hulin p. 41, Hecht p. 629 En 1865, Clausius introduisit un nouveau concept, l entropie. Il existe une fonction d état extensive, notée S, appelée entropie. S ne peut pas être conservative, contrairement à U, afin de permettre de prévoir un sens d évolution. Elle obéit à un principe d extrémum qui est en même temps un principe d évolution que l on va voir tout de suite. * Système isolé L entropie est une mesure du désordre donc les changements naturels qui mènent un système isolé vers le désordre s accompagne d une augmentation d entropie. Comme l entropie est liée à la dégradation et au désordre, il n est pas surprenant qu un processus réversible, subi par un système isolé corresponde à S = 0. Tout changement d un système isolé, passant d un état à un autre, est tel que son entropie augmente ou, au mieux, ne change pas. Principe de l entropie. * Système fermé L énergie thermique doit jouer son rôle : Q/T * Enoncé de I. Prigogine (plusieurs énoncés suivant l époque). (Perez p. 103) «Pour tout système fermé, il existe une fonction des variables d état, extensive, non conservative, appelée entropie S, telle que sa variation entre deux dates successives t 1 et t 2, t 2 >t 1, s écrive : S = Sr+ Sp avec Sr = Q/T et Sp 0 Sp étant la production d entropie et T une grandeur intensive, positive appelée température thermodynamique en chaque point de la surface fermée S qui délimite le système.» * Interprétation : Notons que le terme d échange Sr est directement lié à la chaleur reçue à travers la surface S. On a bien mis en valeur du terme de désordre. Quant au terme de production, il a le même signe que l intervalle de temps ; c est donc lui qui détermine physiquement la flèche du temps, permet de qualifier d irréversibles les phénomènes réels et

203 fournit une interprétation macroscopique du concept d entropie. Critère de réversibilité : Sp = 0 Rq : L entropie permet de définir la flèche du temps. D ailleurs le mot entropie a été introduit par Clausius à partir de la racine grecque trope qui signifie changer de direction et de la recherche d une consonance voisine de celle du mot énergie. (Perez p. 102) * Pour un système isolé, Q=0 et donc S = Sp 0. L entropie du système ne peut qu augmenter et est maximale à l équilibre, ou encore le désordre est maximal à l équilibre. Pour une transformation infinitésimale, on a : ds = Q/T + Sp. 3. Equations fondamentales (Hulin p.44, T&D p. 737) * Equations fondamentales L état d un système est déterminé quand on s impose les valeurs des paramètres externes qui déterminent les conditions aux limites, imposées et contrôlées de l extérieur. Pour un système fermé, homogène, l état du système est déterminé par U et V. Si on connaît S = S(U,V), alors on peut en déduire toute l info thermodynamique possible sur le système (pression, température, coefficients de réponse en fonction de U et V). C est l équation fondamentale à l entropie. On peut l inverser : U = U(S,V), équation fondamentale à l énergie interne. Ainsi on a : du = (du/ds)ds + (du/dv)dv * Première identité thermodynamique Pour un système fermé quelconque, on définit : Température thermo : T th = du/ds Pression thermodynamique : P th = - du/dv Notion de grandeur intensive conjuguée à une grandeur extensive : la température et l opposé de la pression sont définis comme les dérivées partielles de la fonction U(S,V). Première identité thermo : du = T th ds P th dv Interprétation de P th et T th : (T&D p. 737) Premier principe + adiabatique et réversible : P th = P Premier principe + isochore et réversible : T th = T Nous admettrons que température thermodynamique Tth s identifient à la température Kelvin et que la pression thermodynamique Pth s identifie à la pression mécanique. Ainsi : Première identité thermo : du = TdS PdV et ds = Qrev/T L identité thermodynamique nous donne la véritable définition de l entropie. * Seconde identité thermodynamique On a vu que la connaissance de S(U,V) ou U(V,S) suffisait à connaître toute la thermodynamique du système. Ce sont des fonctions caractéristiques du système. On peut également faire intervenir l enthalpie : S = S(U,V) -> S = S(H,P)

204 dh = du + PdV + VdP=> dh = TdS + VdP et ds = dh/t V/TdP * Limites : (T&D p. 739+BO) Identités thermodynamiques sont vraies que pour systèmes monophasés (de composition fixe), divariants, de type thermomécanique (P, T ou V). Alors que pour le premier principe il n y pas autant de restriction! il faut juste système fermé. L existence d un travail utile élémentaire dw introduit un terme supplémentaire. Si la composition n est pas fixé ou le système non fermé, il faut faire intervenir d autres grandeurs extensives : les quantités de matière des constituants, dont les variables intensives conjuguées sont les potentiels chimiques. Ce point ne sera développé qu en deuxième année. II. Bilans d entropie 1. Gaz parfait On considère un système {gaz parfait} entre deux états d équilibre voisins : (Perez p. 108) Identité thermodynamique : ds = du /T + P/T dv Première loi de Joule : du = Cv*dT D où : ds = Cv*dT /T + P/T dv Relation des gaz parfait :PV=nRT on a ds = Cv*dT /T + nr/v dv On intègre en supposant Cv indépendant de T : S = Cv ln (T F /T I ) + nr ln (V F /V I ) Application à la détente de Joule-Thomson (Tout en un p. 856) L application du premier principe nous permet d affirmer que cette transformation se fait à énergie interne constante. Pour un gaz parfait, elle a lieu à température constante. De plus, il n y pas de transfert thermique, donc S = Sc Sc = nr ln (V F /V I ) > 0 On a donc montré ce qui paraissait intuitivement acquis, à savoir que la transformation est irréversible. Cas d une transformation isentropique (Perez p. 109) Il s agit d une évolution adiabatique réversible. En effet, ds = Q/T = 0, soit SI = S F, c est-à-dire S = 0 et S = cste ds = Cv*dT /T + nr/v dv, donc S(T,V) = nr/( 1)*ln T + nr*ln V + S On utilise la relation de Mayer : Cvm = R/( 1) S(T,V) = nr/( 1)*ln T + nr ln V + S S(T,V) = nr/( 1)*ln TV -1 + S Or: S = cste => TV -1 =cste Avec la relation du gaz parfait, on retrouve les relations de Laplace. Ces relations sont caractéristiques d une évolution adiabatique réversible d un gaz parfait, l équilibre thermodynamique (thermique et mécanique) devant être réalisé pour que l on puisse parler d une même

205 température et d une même pression dans tout le gaz.

206 2. Entropie d une phase condensée (T&D p. 741) Hypothèse de travail : on considère que le volume reste constant (ie indilatable, incompressible) Conséquence : l identité thermodynamique se simplifie en supposant C constante sur l intervalle. S = C* ln (T F /T I ) Contact thermique entre deux solides (T&D p. 742) Pour cuire son café sans créer de l entropie, on augmente la température tout progressivement (BUP 793 p. 621 (avril 1994). Réchauffement d une masse d eau (Perez p. 114) 3. Changement d état Hypothèses : Isobare/isotherme/réversible d un corps pur. Les échanges thermiques ne modifient pas P et T. Ils permettent de faire passer l eau liquide à l eau vapeur. Conséquence : A1 = A2, Qp= H, réversible Sc=0 S = H/T = m* h/t Variétés allotropiques : corps ayant plusieurs phases solides : eau, soufre, fer, phases liquides (Tout en un p. 909) Application (Perez p. 117 exo 7.7) On provoque la condensation d une masse m de vapeur d eau à 100 C en eau liquide à la même température, en le mettant en contact avec le milieu ambiant à la température T a. Avec chemin réversible à T i cste, S = m*l v /T i Sr = m*l v /T ambiante ; l v = 2250 kj/kg, T a = 293 K et Sc = 1,37 kj/k Conclusion : Idée : pour un cycle : deux fonctions d état U et S avec le premier principe, bilan énergétique ; second principe bilan entropique. Les clefs en main pour aborder la prochaine leçon à savoir l étude des machines thermiques. Remarque, c est l étude des machines thermiques au XIXe siècle qui ont poussé les physiciens vers l entropie!

207 LP 25 Action d un champ magnétique sur une particule électrisée en mouvement dans le vide et dans un milieu matériel (effet Hall) Niveau : BTS chimiste Prérequis : champ électrique (BTS) bobine de Helmoltz Biblio : Tout en un, T&D, Hecht, Bellier, TS (grosse tête) Plan : I. La force magnétique 1. Mise en évidence 2. Expression 3. Aspect énergétique II. Particule électrisée dans le vide 1. Etude de trajectoire 2. Déviation de faisceau d électrons 3. Applications III. Particule électrisée dans un milieu matériel 1. Effet Hall 2. Teslamétrie

208 Introduction : On a étudié le champ E et notamment, son effet sur des particules électrisées au repos ou en mouvement. Seulement le champ E n est pas le seul à avoir un effet sur ces particules. Le champ magnétique peut également avoir un effet! Regardons-le tout de suite sur une expérience I. La force magnétique 1. Mise en évidence (Bellier p. 53, T&D p. 930) #Expérience 1 + T : Faisceau d électrons Bellier p. 53 On utilise un canon à électrons composé d une cathode incandescente en W chauffée directement. 1) On approche un aimant : -> parallèle à la trajectoire : pas de déviation -> perpendiculaire à la trajectoire : déviation. 2) Comment varie cette déviation avec la force du champ B? On associe des bobines de Helmoltz pour créer un champ uniforme. On fait varier la tension, donc i, donc B (rappel : B proportionnel à i) 3) Comment varie cette déviation avec la vitesse des électrons? On fait varier la ddp du faisceau et donc la vitesse des électrons. Conclusion : l étude de la déviation permet de montrer que la force est proportionnelle à v et B et B doit être perpendiculaire à v.

209 Transition : Comment expliquer cela?? 2. Expression (T&D p. 930 et 937) * La force magnétique F = q*v B Force magnétique exercée sur la particule de charge q mobile de vitesse v La force magnétique est donc caractérisée par - module q vb sin(v,b) On vérifie l homogénéité de la formule. - une direction orthogonale au plan (v,b) - un sens tel que le trièdre (qv, B, F) soit direct, ou encore donné par le sens de progression du tire-bouchon de Maxwell. * Ordre de grandeur Peut-on négliger le poids? B = 0,1 T, v > 10 5 m/s, q = 1, C, m = 9, , g = 9,8 m/s². D où F > N >>P = N Transition : Au niveau énergétique? 3. Aspect énergétique (T&D p. 930) * Le travail de la force magnétique Le travail élémentaire de la force magnétique lors d un déplacement élémentaire de la particule située en M. W= F.dOM = (q*v B).vdt = 0 D où, W = 0. Bilan : la force magnétique ne travaille pas. * Le travail de la force magnétique La puissance est donc également nulle. D où si on applique le théorème de la puissance cinétique, on a la puissance cinétique qui est nulle. Bilan : l énergie cinétique est une constante du mouvement Le module du vecteur vitesse de la particule est constant au cours du mouvement

210 Transition : Maintenant qu on a étudié la cause, voyons voir ses effets sur la trajectoire d une particule dans le vide. II. Particule électrisée dans le vide * Cadre de l étude (Tout en un p. 1161) Système : la particule Référentiel : terrestre ou du laboratoire considéré comme galiléen Bilan des forces : - Force magnétique : F = q*v B - Poids qui sera négligé compte tenu des ordres de grandeur Conditions initiales : v(t=0) = v 0 ; x(t=0) = x 0 ; y(t=0) = y 0 ; z(t=0) = z 0 ; 1. Etude de la trajectoire (T&D p. 937) * Vitesse initiale v 0 colinéaire au champ B = Bu z On applique le principe fondamental de la dynamique à la particule dans le référentiel terrestre. On projette sur Oz : v z = v 0 La norme de la vitesse est constante au cours du mouvement : v x = v y = 0 Bilan : x(t) = x 0 y(t) = y 0 z(t) = v 0 *t + z 0 Mouvement rectiligne uniforme * Vitesse initiale v 0 perpendiculaire au champ B = Bu z On applique le principe fondamental de la dynamique à la particule dans le référentiel terrestre. Apparition d une grandeur caractéristique : = q B/m (pulsation cyclotron) On projette sur Oz, Oy et Ox : 1) Détermination de z 2) Détermination de x et y (méthode complexe) Bilan : x(t) = v 0 / *sin( t) y(t) = v 0 / *(1-cos( t)) z(t) = z 0 Mouvement circulaire uniforme de centre (0, v 0, 0), de rayon R = mv 0 / q B et de vitesse angulaire uniforme = q B/m = v0/r * Cas général On a v 0 = v x0 u x + v y0 u y + v z0 u z Ce qui correspond à la superposition des deux cas particuliers précédemment étudiés. Il existe donc simultanément :

211 - un mouvement de translation rectiligne uniforme suivant Oz - un mouvement circulaire uniforme dans le plan xoy Bilan : Les particules chargées (m, q) soumises à l action d un champ B uniforme d orientation quelconque, sont animées d un mouvement hélicoïdal uniforme. Transition : Maintenant on va pouvoir exploité l expérience d introduction 2. Déviation d un faisceau d électrons #Expérience 1 + T : Faisceau d électrons Bellier p. 53 Etude théorique et exploitation des résultats 3. Applications (Tout en un p. 1173) Maintenant on peut s intéresser à la combinaison des actions d un champ électrique et magnétique. -> Champ électrique permet d accélérer linéairement les particules chargées -> Champ magnétique incurve les trajectoires particulaires à vitesse constante * Spectromètre de masse (Tout en un p. 1173) But : analyser ions présents dans un faisceau. On peut utiliser leurs différences de masse pour connaître leur proportion respective en supposant que leur charge est connue. Montage: - phase accélératrice : on commence par accélérer les ions grâce à une forte différence de potentiel. L application du théorème de l énergie cinétique aux ions supposés initialement au repose fournit la vitesse de fin de phase (v<<c, pour avoir traitement relativiste) : v = (2 q V/m) - phase de déviation : On applique un champ B perpendiculaire au mouvement. Les ions décrivent une trajectoire circulaire de rayon R = mv/ q B Intérêt: On en déduit une relation : q /m = 2V/B²R² L impact sur la plaque photographique permet de connaître le rayon de la trajectoire et donc le rapport q/m connaissant la tension accélératrice et la norme du champ magnétique. Ce système permet de séparer des éléments ionisés en fonction de leur masse et de leur charge. Si on connaît par ailleurs la charge des ions, on peut en déduire leur masse. Ceci explique le nom de spectromètre de masse donné à ce dispositif. Rq : c est avec ce genre d appareil que les isotopes ont pu être mis en évidence. Ordre de grandeur : R = 4 m * Cyclotron (Tout en un p. 1175) But : accélérateur de particules Montage: Deux demi-cylindres creux dénommés «dees» du fait de leur forme de «D» majuscules. Chaque dee

212 est soumis à un champ magnétique uniforme, le sens du champ magnétique est le même dans les deux dees. Les deux dees sont séparés par un espace dans lequel on applique une différence de potentiel V. Souvent les particules injectées dans le dispositif ont été préalablement accélérées. Dans chaque dee, la particule suit un mouvement circulaire lié au champ magnétique. Sa vitesse angulaire vaut : = qb/m Quand la particule traverse l interstice entre les deux dees, elle est accélérée par la présence de la différence de potentiel V. Pour qu elle soit effectivement accélérée à chaque demi-tour, il faut que les tensions aux instants correspondant à deux passages successifs dans l interstice soient en opposition de phase. Sinon elle pourra être alternativement accélérée et décélérée. Pour obtenir une telle tension, il suffit de prendre une tension sinusoïdale dont la période est celle du cyclotron. De cette manière, le rayon de la trajectoire augmente à chaque traversée de l interstice puisqu il est proportionnel à la vitesse. Intérêt : L intérêt d un tel dispositif est de pouvoir accélérer très fortement les particules sans être contraint d appliquer une différence de potentiel énorme. Ordre de grandeur : University of Michigan, Ann Arbor. B = 0,1 T, d = 2,1 m. Difficulté d avoir un champ B uniforme, limite la taille des dee. Application : physique du solide; medicine et pharmacologie (thérapie du cancer, sterilisation d appareils, radioelement); chimie et domains des analyses. Transition : Plus pareil dans le matière! III. Particule électrisée dans un milieu matériel 1. Effet Hall (Tout en un p. 1176) * Historique Edwin Herbert Hall en 1880 : il a mis en évidence l existence d une tension perpendiculaire à un fil parcouru par un courant d intensité I et soumis à l action d un champ magnétique perpendiculaire au fil. Il a également obtenu des mesures quantitatives du phénomène en mettant en évidence la proportionnalité de la tension à I et à B et son caractère inversement proportionnel à la largeur du fil. * Expérience #Expérience 2 + T : Effet Hall. Mise en évidence d une tension aux bornes d une plaque de germanium plongée dans l entrefer d un électroaimant. * Interprétation

213 Déviation des charges par le champ magnétique. Accumulation des charges sur un côté. Création d un champ électrique donc l effet est de s opposer à l accumulation de charges. Cependant tant que le module du champ électrique est inférieur au module de la force magnétique, la force résultante entraîne la déviation des électrons. Cela augmente le déséquilibre et donc le module du champ électrique augmente. Il s agit du régime transitoire. Arrive en effet un instant où les normes deviennent égales. Les forces d origine électrique et d origine magnétique s équilibrent et les deux effets se compensent. On a atteint un régime permanent : la force résultante est nulle et les électrons ne sont plus déviés. Valable pour Cu, Ag, Au, Na, Mg mais pas pour Fe ou Pb (changement de signe de la tension -> mécanique quantique ) * Commentaires L effet Hall est d autant plus important que R H est grand et donc que n est petit. C est pourquoi on utilise des semi-conducteurs comme le Ge. Transition : On a une relation simple de proportionnalité, comment l utiliser? 2. Teslamétrie (Tout en un p. 1176) Un ruban conducteur de faible épaisseur, alimenté par un courant d intensité constante, constitue une sonde à effet Hall. Dans une région où règne un champ magnétique, on oriente la sonde de façon à obtenir une tension U H maximale, c est-à-dire B perpendiculaire à la face du ruban. #Expérience 2 + T : Effet Hall. On trace U = f(b). En préparation, on trace B = f(i bobine ). Ainsi par lecture de I bobine, on remonte facilement à B et on détermine RH. On vérifie la propotionnalité. Conclusion : Bilan en rappelant les nombreuses applications. Aurore boréale (Hecht p. 812)

214 LP 26 Milieux aimantés. Notions sur le diamagnétisme, le paramagnétisme et le ferromagnétisme. Matériaux magnétiques, température de Curie. Production de champ magnétique. Niveau : BTS chimiste Prérequis : - Champs magnétiques et électriques (BTS) Biblio : BFR 4, Perez, Mauras Plan : I. Des milieux aimantés 1. Mise en évidence 2. Vecteur aimantation 3. Susceptibilité magnétique II. Comportements magnétiques 1. Susceptibilité magnétique faible a. Diamagnétisme b. Paramagnétisme 2. Ferromagnétisme III. Production de champ magnétique 1. Création d aimant 2. Supraconductivité

215 Introduction : Il a été vu comment produire des champs magnétiques grâce aux bobines, comme les bobines de Helmoltz de l ordre de qq mt. Aujourd hui besoin de grand champ pour l IRM, LHC, Spectro de masse et RMN technique d analyse qui sera vu plus loin dans l année. Les champs doivent être de l ordre de 10 à 20 T. Bobine classique n est pas suffisante. Historiquement, on a cherché d autres voies de produire champ magnétique, comme les aimants qui étaient connus depuis l antiquité et qui sont sources de champ magnétique. Le but de cette leçon va donc être d étudier les milieux présentant des propriétés magnétiques. Nous dirons que ces milieux sont aimantés et on va voir tout de suite une mise en évidence de leur magnétisme en plongeant des matériaux dans un champ magnétique. I. Des milieux aimantés 1. Mise en évidence #Expérience 1 + T : Bi, Al, Fe dans électroaimant. - Bi s éloigne des zones de champ fort : diamagnétisme - Al attiré par les zones de champ fort : paramagnétisme - Fe fortement attiré par les zones de champ fort : ferromagnétisme Comment expliquer ceci? Il y a eu interaction de la matière avec le champ magnétique qui s est manifestée par un effet mécanique ; cette interaction est ce qu on appelle l aimantation. On dit alors que les matériaux sont aimantés, qu ils ont acquis une aimantation par imposition d un champ magnétique. On parle d aimantation induite. Transition : On caractérise cette aimantation par le vecteur aimantation. 2. Vecteur aimantation * Propriété volumique Tentons de caractériser cette propriété magnétique à l aide d un aimant, un matériau qui a été aimanté par un champ magnétique et qui a gardé son aimantation. #Expérience 2 : aimant brisé. Un aimant cassé en deux donne deux aimants Ainsi si on découpe un matériau en des volumes microscopiques, chaque volume possède une aimantation. On arrive ainsi jusqu à l atome! D où vient l aimantation de l atome? Cela vient du fait que les électrons se comportent comme des dipôles magnétiques et interagissent avec le champ magnétique, de manière tout à fait analogue au dipôle électrique qui interagit avec un champ électrique. Comme les dipôles électriques sont caractérisés par un moment dipolaire électrique, les dipôles magnétiques sont caractérisés par un moment dipolaire magnétique. Ainsi, il a été vu que les électrons possèdent un moment dipolaire magnétique intrinsèque, le spin, mais leur mouvement autour du noyau, assimilable à une spire parcouru par un courant, donne également

216 naissance à un moment magnétique. Au final, de par les électrons, chaque atome, molécule, ion possède un moment magnétique dipolaire global (somme des moments magnétiques dipolaires de tous électrons). * Vecteur aimantation Ainsi chaque volume de matière aura un moment dipolaire magnétique global. Donc on peut définir une densité volumique de moment magnétique dipolaire M. Du coup, pour connaître le moment dipolaire magnétique d un volume macroscopique dv, on a dm d = M * dv Avec M on décrit tout, on l appelle vecteur aimantation qui va nous permettre de décrire macroscopiquement l aimantation d un matériau. Notons que c est une grandeur intensive, et donc qui ne dépendra pas de la forme du matériau mais seulement de sa nature. *Aimantation induite # T : M=0 ou M=/ 0, aimant ou Bi,Al Ce phénomène est appelé aimantation induite. Champ B modifie/crée M. Que peut-on en tirer de cette aimantation? # T : Analyse dimensionnelle pour faire venir le champ induit. Btotal = B + µ 0 M = µ 0 H + µ 0 M H : excitation magnétique pour avoir même unité que M. Transition : Lien entre H et M? 3. Susceptibilité magnétique Milieu homogène isotrope : M = M H Susceptibilité magnétique, caractéristique de matériau, sans dimension B = µ 0 ( 1+ M ) H µ, µ r : perméabilité magnétique et perméabilité magnétique relative. Transition : On s intéressera ici qu à la suceptibilité pour décrire la réponse du matériau. Elle peut prendre une large plage de valeurs qui va donner lieu à différents comportements. II. Comportements magnétiques 1. Faible susceptibilité a. Diamagnétisme * Susceptibilité faible, négative Indépendante de H et de T * Ordre de grandeur : <10-4 # T (BFR, Perez) Gaz toujours inférieur car dilué. * Origines microscopiques : phénomène général, création d un champ induit qui s oppose au

217 champ imposé (Loi de Lens) et qui est du au mouvement des électrons. Effet faible et souvent caché. * Force exercée par B F = M / 2µ 0 * grad B ² # T : Explique intro Transition : B<B! Pas top. Al autre comportement b. Paramagnétisme * Susceptibilité faible, positive Indépendante de H et dépendante de T Loi de Curie # T : Graphe en fonction de T * Ordre de grandeur : 10-6 à 10-3 # T (BFR, Perez) * Origines microscopiques : Diamagnétisme (mouvement d électrons) caché par spins d électrons célibataires. Ces spins sans champ B ne sont soumis qu à l agitation thermique et statistiquement M = 0. Si champ B, on minimise l énergie potentielle d interaction, alignement. Effet très faible car spins dilués, ne se voient pas. Explique température, agitation thermique combat alignement. * Force exercée par B F = M / 2µ 0 * grad B ² # T : Explique intro Transition : B>B mais pas de beaucoup! Pas top. Fe autre comportement 2. Forte susceptibilité magnétique : ferromagnétisme * Susceptibilité forte, positive Dépendante de H et de T # T : Graphe en fonction de T Tc : température de Curie # T (BFR) : valeurs!!! #Expérience 3 : Transition ferro-para. * Origines microscopiques : Diamagnétisme (mouvement d électrons) caché par spins d électrons célibataires. Ces spins s alignent comme pour le paramagnétisme mais sont en très fortes interactions. D où aimantation très forte. Si température augmente, cette interaction diminue et on retrouve le para. * Ordre de grandeur : jusqu à 10 5 # T (BFR, Perez) * Force exercée par B On peut montrer que F proportionnelle à M. Pareil que para mais plus fort. * Intérêt

218 On a vu que grande susceptibilité. #Expérience 4: Noyau dans bobine C est le principe de l électroaimant! Transition : B>>B très intéressant pour créer aimant!

219 III. Production de champ magnétique 1. Création d aimant * Cycle d hystérésis On a vu que avec H, grand champ mag induit par matériau, donc intéressant pour créer fort champ. Cependant, dépendance de champ mag en fonction de H à étudier, différents comportements! #Expérience 5 +T : Cycle d hystérésis Avec oscillo, on voit réponse pas linéaire. Regardons plus précisément le cas du fer doux. Courbe de première aimantation puis cycle. Ce cycle présente deux caractères importants. Champ rémanent et champ coercitif. Comparaison de différents matériaux * Matériaux durs : 10 3 A/m < Hc <10 5 A/m : aimant permanent. CrO2 pour enregistrement audio/vidéo. * Matériaux doux : Hc < 100 A/m : électroaimant (haut-parleur, moteur électrique) ; ferrite pour transfo car Hc très faible et Br très grand. # T : Valeurs de Hc et de Br * Origines D où viennent ces comportements? #T : Domaines de Weiss. D où acier dur, fer pur doux Ainsi on a vu qu en aimant un matériau dur, on créer aimant permanent, qu avec des matériaux doux, on pouvait créer des sources fortes non permanentes comme l électroaimant. D ailleurs les premiers spectromètres commerciaux dans les années 50 étaient des électroaimants. Mais problème d effet joule, bobine fond et mécanique, force de Lorentz qui tend à faire éclater la bobine. Donc champ limité! Pas cool pour RMN Transition : Solution supraconductivité 2. Supraconductivité Découverte en 1986 par Bednorz et Müller, PN en R = 0, diamagnétisme parfait qui repousse B. Mais température critique faible, problème de refroidissement. On cherche à augmenter température pour utiliser azote liquide beaucoup moins cher que He liquide. RMN : bobines supraconductrices : ex : Nb 3 Sn T = 18 K, donc He(l). J > A/cm² soit B = 10 T Conclusion : On a vu matériaux répondaient au champ mag de différentes manières. Les ferro très intéressants pour créer champ mag, comme électroaimant ou aimant permanent. Mais insuffisant pour RMN, il

220 faut améliorer la bobine en elle-même supraconductivité. Course à la puissance. Octobre 2009, spectromètre RMN le plus puissant du monde à 23,5 T.

221 LP 27 Principe physique de la RMN. Interaction spin-champ. Noyaux étudiés en RMN, noyau S = ½. Fréquence de Larmor. Les deux catégories d appareil Niveau : BTS Prérequis : - spin électronique - magnétisme - statistique de Boltzman Biblio : Rouessac, HP, Hesse, Hollas, Friebolin, Skoog, Atkins, Canet Plan : I. Principe de la RMN 1. Le spin nucléaire 2. Interaction spin-champ magnétique 3. Etudes des transitions entre niveaux nucléaires II. Les spectromètres RMN 1. Création des champs B et B1 2. Appareil à onde continue 3. Appareil à impulsion radiofréquence 2006 Les leçons sont mieux présentées dans le domaine de la physique. La spectrométrie par transformée de Fourier, qui est une technique importante, se décline de façon différente en RMN (radiofréquences, résolues en temps) et en IR (fréquences proches du visible, qui nécessitent le déplacement des miroirs d'un interféromètre) Ces leçons doivent rester des leçons de physique : il est inutile d aborder les questions de blindage, de déplacement chimique, ou de composé de référence. Il est par contre demandé d expliquer correctement le fonctionnement physique des spectromètres. Par ailleurs, un mode est caractérisé par la vibration du système moléculaire à une seule fréquence et non une superposition de fréquences La leçon doit rester une leçon de physique : il est inutile d aborder les questions de blindage, de déplacement chimique, ou de composé de référence. Il est par contre demandé d expliquer

222 correctement le fonctionnement physique des spectromètres. Introduction : (Rouessac) On a déjà vu la spectroscopie IR et UV-visible pour déterminer la structure de différents composés. On va étudier la résonance magnétique nucléaire, dont les premiers travaux vers 1945 sont dus aux physiciens Bloch et Purcell. Elle sert aussi bien en analyse quantitative qu en analyse structurale, où elle a fait preuve de toute sa puissance. Elle permet de réaliser des contrôles de la qualité de produits tels que les médicaments de façon systématique et rapide grâce à l information contenue dans des spectres. I. Principe de la RMN 1. Le spin nucléaire (HP p. 479) * Définition Pour définir le spin nucléaire, on se base sur les connaissances acquises sur le spin électronique. On admet que les protons et les neutrons possèdent eux aussi un spin pour un noyau, ie un ensemble de protons et de neutrons, deux cas sont envisageables : - un spin nucléaire nul si les spins des protons et des neutrons se compensent ; - un spin nucléaire non nul s ils ne se compensent pas. Le vecteur I obéit aux mêmes règles que le spin de l électron : seules la norme et une composante de ce vecteur peuvent être connues et chacune de ces grandeurs est quantifiée : I = ħ I(I+1) I z = m z ħ avec I<m I <I Le nombre quantique de spin nucléaire I est un nombre entier ou demi-entier éventuellement nul. L existence de ce I est la base de la RMN. * Noyaux utilisés en RMN Exemples de I pour différents noyaux et leurs isotopes (Friebolin p. 3, HP, Hesse p. 89) La RMN est basée sur l existence de I. Donc on étudie que I non nul et abondant. Remarque : les isotopes sont différenciés. On étudie alors le 13 C et non 12 C Le proton soit l un des plus utilisé : I non nul, abondant, dans pratiquement toutes les molécules organiques!

223 Nous nous placerons par la suite dans le cas du proton qui est le noyau le plus étudié. Des généralisations seront apportées aux autres noyaux. Transition : une propriété remarquable du spin est son interaction avec un champ magnétique.

224 2. Interaction spin-champ magnétique (Rouessac) * Moment magnétique Pour expliquer les propriétés magnétiques du noyau, il nous faut admettre l existence d un moment magnétique µ : µ = I Avec le rapport gyromagnétique, une grandeur caractéristique du noyau. Ordres de grandeur : Hesse p. 89 Grâce à la présence de ce moment magnétique, les noyaux sont comme des dipôles magnétiques, que l on peut voir comme des aimants, qui peuvent interagir avec un champ magnétique, pour peu, bien sûr que ce moment magnétiques soit non nul. #Exp : on fait tourner une aiguille grâce à un aimant. Il y a une position d équilibre stable! D où ça vient? * Energie d interaction L énergie d un dipôle magnétique placé dans un champ B est donnée par la relation : E = - µ.b Donc l énergie est minimale quand le moment magnétique est dans le même sens que B. D où la position d équilibre que l on a trouvé. Pareil avec le moment magnétique du noyau. Sauf qu il est quantifié. Donc cette énergie aussi est quantifiée : E= - m I ħ B Exemple du proton : I = ½, m I = +-1/2 dans un champ B selon z. E 1 = E = -ħ B /2 E 2 = E = ħ B /2 A quoi correspondent ces états? On dessine les moments magnétiques correspondants. On dessine des cônes de précession car rien n impose la direction du moment magnétique, seulement sa composante verticale est fixée! Dans le cas du proton, les angles valent : 55 et 125 ) Donc en absence de champ, peut importe la valeur de la composante horizontale. Aucun axe n est privilégié mais lorsqu on applique un champ, on privilégie une direction! Donc en appliquant un champ B, on lève la dégénérescence. E = E 2 - E 1 = ħ B. Pour le proton, avec B = 1 T, E = 2, J 3. Etudes des transitions entre niveaux nucléaires (HP) a. Au niveau microscopique Comme toute spectroscopie, la RMN met en jeu des transitions entre des niveaux d énergie différents.. L état étant le plus bas en énergie, il est plus peuplé que l état. On peut donc faire une transition vers l état. La composante du moment magnétique du noyau selon l axe z passe alors de ħ /2 à - ħ / 2, change de signe. Le moment magnétique précesse toujours mais dans l autre demi-espace. (Friebolin p. 4) Pour induire une transition entre les niveaux d énergie E et E, on utilise un champ magnétique oscillatoire B1 perpendiculaire à B, associé à une onde électromagnétique de fréquence telle que : h = E = ħ B, soit = B /2, fréquence de Larmor. Ces deux conditions doivent être réunies pour avoir absorption (la deuxième condition constitue le phénomène de résonance).

225 7 Pour le proton : E = h = hc/ avec = 4.10 Hz, = 7,04 m pour passer d un état à l autre. On est dans le domaine des radiofréquences! Valeurs dans Rouessac pour 1T pour d autres noyaux. Spectre électromagnétique (Hollas p. 35), comparaison avec les autres spectroscopies b. Au niveau macroscopique Friebolin p. 6 Comme on l a dit, rien n impose la direction du moment magnétique, le moment magnétique tourne dans un cône de précession de manière aléatoire, donc quand on somme tous les moments magnétiques, la seule variable non aléatoire est la composante verticale. C est donc juste elle qu on observe. Il s agit de l aimantation macroscopique. C est elle qu on étudie en RMN L état est le plus peuplé mais l état est peuplé également. Lorsqu on somme, la magnétisation globale sera d autant plus forte que la différence de population sera grande. D où l intérêt d avoir des champs forts. Comme l état est le plus peuplé à l équilibre, on observe une magnétisation globale selon z. Puis lorsqu on envoie le champ B1 à la fréquence de Larmor, il y transition dans l état. Il y a modification des peuplements et donc modification de l aimantation globale. Lorsque B1 cesse, retour à l équilibre. C est ce qu on observe. Le but de la RMN est d observer le retour à l équilibre de cette aimantation macroscopique. Transition : Comment réalise-t-on ces transitions? II. Les spectromètres RMN 1. Création des champs B et B1 (Skoog, Rouessac) * Le champ B Le champ magnétique statique B aussi intense et homogène que possible est généralement créé au moyen d une bobine supraconductrice, mais si (cf LP 26) des aimants et électroaimants étaient utilisés dans le passé. Utilité de He, N 2 pour avoir les propriétés supraconductrices. NB : plutôt que d indiquer la valeur de B, on donne généralement la fréquence de résonance du proton. 1,4 T = 60 MHz, 14 T = 600 MHz, 23,3 T = 1 GHz (2009) * Le champ B1 Le champ de radiofréquence est créé par une simple bobine perpendiculaire à Oz. Le champ B1 peut être considéré comme la résultante de deux vecteurs de normes moitié, tournant en sens inverse dans le plan xoy avec la même vitesse angulaire. Seul le vecteur tournant dans le même sens que le mouvement de précession peut interagir avec le noyau. Quand la radiofréquence de la source et la fréquence de précession sont identiques (résonance), les conditions sont réunies pour qu il y ait transfert d énergie de la source vers les noyaux. Des noyaux dans l état E1 passent alors dans l état E2 : les populations sont modifiées. L aimantation macroscopique est modifiée. Comment? Avant irradiation, les vecteurs individuels sont déphasés et l aimantation macroscopique est selon Oz. Quand on atteint la résonance, certains vecteurs s agglutinent et se mettent à tourner en phase avec B1. De ce fait, l aimantation macroscopique quitte sa direction d origine et bascule d un angle dont on maitrise la valeur en ajustant temps et puissance d irradiation. (Schéma Rouessac, Friebolin)

226 Ou, dans référentiel tournant, moment magnétique fixe, donc plus de précessions, donc plus de champ B, seulement B1. Pas d interaction car perpendiculaire (cf énergie), juste couple qui fait tourner l aimantation dans le champ tournant. Acquisition d une composante horizontale non aléatoire et conserve une composante verticale. Lorsque l irradiation cesse, le système revient progressivement à l état d équilibre initial en précessant autour de z à la fréquence de Larmor. Une bobine détectrice décèle la composante suivant la direction Oy. Cette bobine est la même que celle qui sert à créer B1. #Exp : on fait tourner aiguille devant bobine Ensuite, deux méthodes : A B fixé, faire varier la fréquence deb1 A B fixé, faire varier la fréquence B Transition : on différencie deux types d appareils selon l intervention du champ B1. 2. Appareils à onde continue Un temps long d application. On fixe le champ B1, et on recherchait la résonance en modifiant légèrement B grâce à un enroulement de quelques spires autour des pièces polaires de l aimant principal : Il s agit d un balayage en champ, qui n est pas sans rappeler le mode d enregistrement séquentiel des spectres optiques. Image du piano où l on cherche une note en appuyant sur une touche à la fois. Transition : appareils qui ont un usage plus rationnel du temps. 3. Appareils à impulsion radiofréquence * Principe Un temps court d application. Rouessac L échantillon est irradié au moyen d un générateur de fréquence qui envoie une forte impulsion de quelques microsecondes, ce qui est un moyen d exposer l échantillon à une bande de fréquences entourant la valeur. Schéma Skoog p. 471 On reprend l image du piano, on tape sur toutes les notes et on espère détecter la note cherchée : il faut être capable de gérer un signal complexe. #Exp : on fait tourner aiguille devant bobine et on fait TF (avec deux aiguilles?) On a utilisé un outil très puissant pour analyser le signal complexe obtenu pour analyser le signal complexe obtenu, appelé FID (free inductance decay) On obtient en effet un signal au cours du temps s(t) que l on numérise et que l on transforme en spectre dans le domaine des fréquences. * Spectres En effet, dans une molécule, les protons n ont pas toute la même fréquence de Larmor, ils diffèrent

227 quelque peu suivant leur environnement. Donc il y a résonance à différentes fréquences. On traite alors -6 le spectre pour réaliser un zoom : = ( - ref )/.10, le déplacement chimique. Ex : FID de l éthanol (p. 601), spectre de l éthanol (au début)

228 Conclusion : On obtient grâce aux différents déplacements des informations sur la structure de molécules. La RMN a fait l objet d un grand nombre de recherches et cette spectroscopie permet, grâce à des spectres 2D d obtenir des informations sur l arrangement spatial des molécules (information vitale pour l étude de protéines et de leur repliement). Elle s est également généralisée en touchant d autres domaines et en particulier le médical, grâce à l IRM.

229 LP 28 Spectroscopie IR. Notion sur la théorie classique et quantique des vibrations dans l IR ; spectres de raies et spectres de bandes ; principes des spectromètres IR Niveau : BTS Prérequis : - mécanique classique - notions de mécanique quantique (quantification) - description de l atome - ondes électromagnétiques/interférences/réseau Biblio : Rouessac, Tec&Doc, Hesse, Hollas, Skoog, Atkins, Perez méca, Avram Plan : I. La liaison chimique dans les molécules diatomiques 1. Modèle classique 2. Modèle quantique II. Etude des molécules polyatomiques 1. Modes normaux de vibration 2. Le spectre de l air III. Les spectromètres 1. Principe 2. Sources 3. Echantillon 4. Système optiques 5. Détecteurs

230 2007 Le modèle de l oscillateur harmonique doit être adapté au contexte de la leçon ; il est inutile de parler de poids, il faut parler de fréquence (plutôt que de période), et évoquer la largeur de résonance. Il convient d indiquer avec précision ce que représente un mode de vibration. L intérêt de la spectrométrie par transformée de Fourier est mieux dégagé Les leçons sont mieux présentées dans le domaine de la physique. La spectrométrie par transformée de Fourier, qui est une technique importante, se décline de façon différente en RMN (radiofréquences, résolues en temps) et en IR (fréquences proches du visible, qui nécessitent le déplacement des miroirs d'un interféromètre) Ces leçons doivent rester des leçons de physique : il est inutile d aborder les questions de blindage, de déplacement chimique, ou de composé de référence. Il est par contre demandé d expliquer correctement le fonctionnement physique des spectromètres. Par ailleurs, un mode est caractérisé par la vibration du système moléculaire à une seule fréquence et non une superposition de fréquences La leçon doit rester une leçon de physique : il est inutile d aborder les questions de blindage, de déplacement chimique, ou de composé de référence. Il est par contre demandé d expliquer correctement le fonctionnement physique des spectromètres. Introduction : Lorsque l on étudie la spectroscopie, on regard l interaction entre un rayonnement électromagnétique et la matière, soit les atomes, soit des molécules. (Hollas p.1) Et ça on le voit tous les jours! Pourquoi cette solution est violette, parce qu elle absorbe la couleur complémentaire! #Exp : cuve de permanganate + réseau 140 traits. Absorption dans le visible Avec HCl, rien. (Hollas p.131) Il faut chercher une autre gamme de fréquence sur le spectre électromagnétique. On choisit le domaine IR (12800 à 10 cm-1) et en particulier l IR moyen (4000 à 670cm-1) (Skoog p. 381) #T : Spectre de HCl On va essayer de comprendre ce spectre et comment on l a obtenu.

231

232 I. La liaison chimique dans les molécules diatomiques (Tec&Doc) 1. Modèle classique * Modélisation de la liaison chimique On va modéliser la liaison chimique comme un oscillateur. Par exemple, deux atomes A et B reliés par un ressort de constante de raideur k qui représente la force de la liaison. Pour simplifier, il est équivalent d étudier le mouvement d une masse réduite µ = m A m B /(m A +m B ) En s appuyant sur les connaissances de Ts, on sait que ce type de système est régit par une équation différentielles du type : d²x/dt² + k/µ x = 0 Avec pour solution : x = Acos( t) où est la pulsation propre : = k/µ soit = 1/2 k/µ. * Energie de la liaison Or comme ce système est un oscillateur harmonique, l énergie potentielle élastique d un tel système est Ep = 1/2kx²+cst. On la prend nulle à l équilibre d où : Ep = 1/2k(x-xe)². On la représente par une parabole #T: Transparent de l Ep en fonction de r Regardons le système modélisé pour la liaison. #Exp : deux boules attachées par un élastique On comprend qui si x-> 0, on ne peut pas les interpénétrer donc Ep -> infini. En revanche si x augmente, il arrive un moment où l élastique casse. On a donc en fait une courbe réelle (courbe de Morse qu on superpose à la précédente). #T: Transparent de l Ep en fonction de r On constate que dans un domaine de longueur «raisonnable», de part et d autre de xe, la modélisation par un oscillateur harmonique est valable. * Comportement du modèle sous excitation On regarde le comportement du modèle choisi sous une excitation mécanique. #Exp : ressort+masse+excitation par GBF Lorsque = 0, résonance. On compare la valeur trouvée à la valeur théorique. Incertitude relative. Pour les molécules, on peut faire l analogie suivante. ->Moteur : excite r. La masse s est mise en mouvement, elle a donc absorbée de l énergie de l excitateur. ->Champ électrique : excite molécule qui se met à vibrer avec résonance pour 0 = 1/2 k/µ. De même, la molécule prélève de l énergie au champ électrique. Il y a absorption. Cette énergie lui permet de rentrer en vibration. Il y a donc absorption pour un certain nombre d onde : Loi de Hooke, 0 =1/2 c k/µ. * Condition d absorption Toutes les molécules absorbent en IR? Non, pour absorber le rayonnement EM, il faut que celui-ci fasse varier le moment dipolaire et en plus que l excitation se fasse à 0 On obtient donc comme condition qu une molécule peut absorber en IR que si la vibration considérée provoque une variation du moment dipolaire. Exemple : H-Cl absorbe, N2 n absorbe pas. * Spectres On peut maintenant expliquer à quoi correspondent les axes : transmittance et nombre d onde. Pour HCl, regardons l absorption obtenue par ce modèle. Hollas p. 122 : m H, mcl, k -> = 2960 cm-1

233 Une seule valeur -> un seul pic. Ce n est pas ce qu on observe sur le spectre d intro. Transition : pour expliquer le spectre de HCl, il nous faut un autre modèle amené par l avènement de la physique quantique 2. Le modèle quantique (Tec&Doc) * Energie de vibration quantifiée Le principe de ce modèle repose toujours sur un oscillateur harmonique, mais il considère que l énergie que peut avoir le système au cours de son mouvement de vibration est quantifiée, ie elle n est plus continue mais ne peut prendre qu un ensemble de valeurs discrètes. La résolution des équations de la physique quantique donne les énergies suivantes : E = ( +1/2)ħ k/µ = ( +1/2)hc 0 #T: Transparent de l Ep en fonction de r On superpose à Ep la discrétisation. L écart entre deux niveaux successifs est E = hc 0 * Transition énergétique Même écart entre les niveaux. Photon absorbé que si son énergie E = E = hc 0, on retrouve donc que le champ électrique doit être à la fréquence 0. On admet que les seules transitions permises sont celles qui respectent = 1 #T: Transparent de l Ep en fonction de r On dessine sur le transparent les transitions possibles Cependant si la différence d énergie est constante, toutes les transitions se font pour le même nombre d onde d après la règle de sélection. Le spectre doit faire apparaître une seule raie à 2960 cm -1. * Energie de rotation quantifiée (Hollas p. 93, 131) Il faut en fait affiner le modèle en prenant en compte les mouvements de rotation de la molécule, ceuxci sont responsables de l existence de sous-niveaux d énergie, numéroté par J. #T: Transparent de l Ep en fonction de r On superpose les sous-niveaux. On a de plus une règle de transition J = +-1 On explique donc le spectre de raies obtenue et l absence de raies centrale ( J = 0) * Bilan Il est important à ce stade de faire remarquer que les niveaux de rotation et donc l obtention d un spectre de raie ne constitue pas le cas le plus courant. ->Pour des gaz à basse pression : raies -> Pour des phases condensées : bandes Le passage de l état gazeux à l état liquide entraîne des modifications importantes des spectres infrarouges, dues à des rencontres et interactions moléculaires dont la manifestation est d autant plus forte, que la distance entre les molécules est plus petite. Disparition de la structure de rotation. Plus d états de rotation quantifiés. Pour les vibrations, déplacements de fréquences et apparition de nouvelles bandes. (Avram p. 111) Transition : on a vu comment on modélisait l absorption pour une molécule diatomique. Que se passe-t-il si on envisage des molécules polyatomiques.

234 II. Molécules polyatomiques 1. Modes normaux de vibration Position du problème sur la molécule d eau. La molécule a plusieurs façons de vibrer. L idée est de trouver les vibrations indépendantes qui seront excitées par différentes valeur de fréquence. MNV : mouvement indépendant et synchrone d atomes ou de groupes d atomes qui peut être excité sans entraîner l excitation des autres MNV. Il est caractérisé par la vibration à une seule fréquence et non une superposition de fréquence. (Atkins) Chaque MNV possède une fréquenc propre qu on peut exciter par champ EM (Jury) Pour une molécule à N atomes : non linéaire 3N-6 MNV ; linéaire 3N-5 MNV On peut donc espérer qu une fonction organique, composé d un certains nombres d atomes qui conservent leur fréquence de vibration, quelle que soit la molécule à laquelle il est attaché. Empiriquement, on a bien constaté une corrélation entre les positions des maxima d absorption de certaines bandes et la présence de fonctions organiques. Un outil très puissant pour sonder un échantillon. (Rouessac p. 171). Un mode normal de vibration fait intervenir un déplacement de tous les atomes de la molécule. Néanmoins, dans certaines circonstances, le mouvement est plus ou moins localisé dans une partie de la molécule. Dans l alcool éthylique, le mouvement de l atome d hydrogène du groupe OH est approximativement celui qu il aurait s il était attaché à une masse infinie par une liaison dont la constante de force est caractéristique d une liaison OH. C est pour cette raison que l on parle de nombre d onde caractéristique d une liaison OH. (Hollas p. 137) Transition : comment peut-on relier ces MNV au spectre obtenu? 2. Le spectre de l air Spectre Skoog p. 397/Atkins; * Pour O2 et N2 absent puisque variation du moment dipolaire nulle. * Pour l eau : 3 MNV Elongation symétrique (3652 cm-1) Elongation antisymétrique (3756 cm-1) Cisaillement (1595 cm-1) * Pour CO2 : 4 MNV Elongation symétrique(pas de variation de moment dipolaire) Elongation antisymétrique (2330cm-1) Deux cisaillements de même énergie (667cm-1) #Exp : Mise en évidence du mode sym/antisym sur le banc Perez méca p ,18 Hz, 2,62 Hz Pulsation propre = 2(K/m)1/2* sin(p /8)

235 Transition : On voit que chaque molécule a sa «signature IR» et même plus précisément chaque groupement fonctionnel dans une molécule. C est ainsi que le chimiste utilise la technique IR comme outil d analyse de ses échantillons. La question qui demeure est comment obtenir ces spectres, par quel appareillage? III. Les spectromètres IR 1. Principe (Rouessac p. 172) Sources système optique/échantillon détecteur ordinateur On trace T = I/I, transmittance 2. Sources (Hollas p. 53, Rouessac p.187, Skoog plus détaillés) Selon le domaine de l infrarouge considéré, on n utilisera pas la même source. ->Infrarouge lointain : on utilise une décharge de mercure dans une ampoule à quartz (contrainte, on manipule sous vide) ->Infrarouge moyen et proche : les sources posent moins de problème, un corps noir chauffé émet fortement dans l infrarouge proche. Filament de Nernst, mélange d oxydes de terres rares ou un globar en carbure de silicium 3. Echantillon (Hollas, Rouessac p. 189) Liquide : place entre deux pastilles de KBr Solide : réduite en pastille avec KBr, suspension dans le nujol (paraffine liquide) Gaz : dans une cellule cylindrique, transparente en IR Deux types 4. Système optique (Rouessac) * Appareil dispersif (Schéma Skoog p. 398) C est le premier appareil construit et encore utilisé de nos jours. Il utilise un réseau pour disperser le rayonnement incident et un monochromateur pour sélectionner la longueur d onde. L acquisition consiste à balayer les longueurs d onde et enregistrer la réponse de l échantillon. #Exp : Monochromateur (Sextant) * Appareil à transformée de Fourier Ils se sont développés plus tard mais ont maintenant presque totalement supplanté les appareils dispersifs. Ils reposent sur l utilisation d un Michelson. Ils réalisent une analyse simultanée de toute la bande spectrale à partir de mesures interférométriques. #T : Explication (Skoog p. 186) On enregistre I = f( ) qu on convertit en I = f( ) par transformée de Fourier. On fait un blanc et un avec échantillon.

236 Avantages (Rouessac) : fente d entrée remplacée par iris ce qui fournit un meilleur signal au détecteur qui reçoi plus d énergie ; le rapport signal/bruit de fond est bien supérieur ; longueurs d onde calculées avec grande précision ; résolution est meilleure est constante sur tout le domaine étudié.

237 5. Détecteurs (Hollas p. 54) * Détecteurs sensibles à la température - cellule de Golay Contient un matériau absorbant dans l IR lointain, comme de l alu déposé sur du collodion. L alu absorbe la radiation, s échauffe et transfère la chaleur à du xénon contenu dans la cellule. Lorsque la température du gaz varie, la courbure d un miroir flexible, fait de collodion recouvert d antimoine, et faisant partie de la cellule, change. La réflexion d un faisceau lumineux sur ce miroir, placé sur la face extérieure de la cellule, indique sa courbure, et par conséquent l intensité de la radiation absorbé par la cellule. - thermomètres à résistance (thermocouple, bolomètre, pyroélectrique) (Skoog) * Détecteurs sensibles aux photons - détecteur à semi-conducteur (comptent photons en mesurant le changement de conductivité dû aux électrons excités de la bande de valence vers la bande de conduction. Conclusion : C est un outil très puissant et de routine au laboratoire, il sera couplé à d autres techniques d analyse comme l UV ou la RMN.

238 LP 29 Interface liquide-solide. Phénomène de mouillage : angle de raccordement, condition de Young. Ascension capillaire: loi de Jurin. Niveau : BTS Chimiste Prérequis : - Interface liquide pur/gaz - Statique des fluides Biblio : La juste argile ; Gouttes, perles, ondes ; Perez ; Guyon ; CQDF, TI J2140 (concept et méthodologie) Plan : I. Phénomène de mouillage 1. Angle de raccordement 2. Condition d Young 3. Pilotage de la mouillabilité II. Capillarité 1. Longueur capillaire 2. Ascension capillaire

239 Introduction : Goutte de pluie, bulles de savon parfaitement sphériques, globule d huile dans l eau, perle de pluie sur les plantes, insectes marchent sur l eau. Interface liquide pur/gaz a été vu, maintenant on va s intéresser à l interface solide/liquide ; la notion de tension superficielle et de force de tension superficielle peuvent se généraliser à toute interface notamment les interfaces liquide/solide. On parlera alors de tension interfaciale. Nous allons les étudier et ils vont présenter d autres manifestations comme le phénomène de mouillage. # Expérience 1 : Goutte sur teflon. QI+condenseur+diaphragme+teflon+lentille (5cm) I. Phénomène de mouillabilité Définition du mouillage : étude de l étalement des gouttes posées sur un substrat solide (ou liquide.) (JA) 1. Angle de raccordement (Perez) Calcul en direct. Résultats pour différents matériaux. Angle de raccordement. Mouillage fort/faible Transition : On a vu qu il y avait différents comportements mais comment les expliquer? Ce qui décide du comportement du liquide et sa capacité à épouser la forme du solide, càd celle de remplacer une surface solide/air par deux surfaces : solide/liquide et liquide/air. Il est donc naturel, comme le proposa vers 1870 le physicien italien Marangoni de comparer les énergies de surface qui sont en jeu. TI 2. Condition d Young (Perez) Ligne triple : les trois interfaces peuvent se couper selon une ligne appelée «ligne triple» Système {ligne triple} * Etalement : S = Esec Emouillé totalement = SG - - SL S > 0 mouillage total ; S < 0 mouillage partiel * PFD : SG = *cos + SL S = *(cos 1). Si SG> et pour minimiser l énergie, le liquide mouille, cos teta > 0. Si SG< et pour minimiser l énergie, le liquide ne mouille pas, cos teta < 0. Transition pour cos teta = 1 à la température de transition de mouillage. Transition : Comment peut-on jouer avec ça?

240 3. Pilotage de la mouillabilité * Différents solides : Hautes énergies : liaisons intermoléculaires fortes (1 ev), gamma grand et donc très mouillant (verre, métaux, mica) Basses énergies : liaisons intermoléculaires faibles (0,02 ev), gamma petit et donc peu mouillant. (cristaux moléculaires, plastiques) * Traitement : On peut modifier l état de surface d un matériau pour le rendre mouillant ou non mouillant. Ex : le verre est hydrophile (gamma = 150), on le traite avec des ions fluorure pour le rendre hydrophobe -> teflon (gamma = 20). Rq, le verre est vite pollué et devient hydrophobe, il suffit d y mettre son doigt, traces de gras, hydrophobes. Notre cornée est hydrophobe et les larmes déposent des protéines hydrophile (mucyne) pour stabiliser le film lacrymal. Les spores de champignons détruisent les plantations de riz en rendant la surface des feuilles de riz (hydrophobes) hydrophiles. On peut rendre matériau en mouillant en déposant un film métallique. * Règle de Zisman : permet de vérifier l efficacité d un traitement de surface. Il s agit de mesurer teta pour différents alcanes. On trace cos teta = f(gamma de l alcane) et on obtient un gamma critique pour lequel cos teta = 1. Si gamma d un liquide > gamma critique, alors il mouille partiellement et totalement dans le cas inverse ; Mais ne marche que pour liquide simple soumis aux seules forces de VdW. Marche pas pour liquide polaire. Transition : On a vu le dépôt d un liquide sur un solide et si maintenant, je retourne ce solide! La goutte tombe pas! De même, quand on met tube dans bain d eau, l eau monte! La tension superficielle combat la gravité II. Capillarité Définition : étude des interfaces mobiles, qui sont capables de se déformer pour optimiser leur énergie de surface. 1. Longueur capillaire Quand est-ce que la goutte tombe du plafond? Pourquoi une goutte s étale? * Système {goutte} Voir Guyon pour le calcul avec calotte plutôt que hémisphérique. 3 Forces : P = *2 /3*R et F = *2 *R ; on néglige poussée d Archimède de l air. Goutte tombe quand P > F Ou calcul de l étalement d une goutte. 1/2 On fait apparaître la longueur capillaire : l c =( /( *g)) C est une longueur caractéristique au-delà de laquelle la gravité l emporte. # Expérience 3 : Coin Ascension (combat de la gravité) quand dimension entre les plaques plus petit que lc= pour l eau

241 Transition : Etudions un peu plus cette ascension

242 2. Ascension capillaire * Approche expérimentale # Expérience 3 : Loi de Jurin Il faut aspirer et laisser redescendre car angle de recul plus faible que angle de montée Calculs : h = f(1/r) * Modélisation Système {colonne d eau} Loi de Laplace : P = 2* /R Statique des fluide : P = *g*h D où : h = 2* /(R* *g) E = Ep + Einterface (PGDG p. 53) E = R²h* *g*h/2 + 2 Rh* *( SL - SG ) On peut voir le terme d interface comme le gain d énergie de la création d une interface solide-liquide par rapport à celle solide-gaz. Impregnation I = SL - SG. (rappel : E = *A, énergie à fournir pour avoir une interface de surface A) de/dh = 0 -> h = 2* *cos /(R* *g) Loi de Jurin * Application : CCM : gamma éther, g, rô = 7000 kg/m3, r=0,2 mm et h=1,5 mm C est grâce à la loi de Jurin que l on peut faire fondre son sucre dans son thé, ou mettre en solution son chocolat en poudre. Cette loi contrôle toute l imbibition des milieux poreux, et est donc fondamentale pour la science des sols, dans l industrie du bâtiment, et pour la formulation des poudres. Si teta est supérieur à Pi/2, le liquide ne pénètre pas. On le dit «non mouillant». C est le cas des tissus fluorés «gortex» qui laissent passer l air, mais pas l eau, ou du traitement des roches avec du polydimethylsiloxane (21 mn./m) dans l industrie du bâtiment. Sinon le liquide est dit mouillant. Conclusion : Mouillage : Sciences de la vie, gonflement des poumons rendus possibles à des molécules tensioactives qui diminuent l énergie de surface. Mais aussi dans l industrie chimique (peintures, encres, colorants, insecticides), automobiles (préparation des surfaces à peindre, traitement des vitres pour empêcher l eau de démouiller, traitement des pneus pour adhérer même sur une surface mouillée ou glacée, parebrise), du verre (traitement anti-salissures ou anti-givres) Contrôle du mouillage est donc très important. (Juste argile, TI, Perez)

243 LP 30 Interface liquide pur-gaz Niveau : BTS Chimiste Prérequis : - Thermo (Premier et second principes) - Mécanique (Travail, TEC, TEP) - Forces intermoléculaires Biblio : Perez Plan : I. Les interfaces liquide-gaz 1. Mise en évidence 2. Origine du phénomène II. Tension superficielle 1. Définition 2. Energie libre de surface 3. Ordres de grandeurs 4. Méthodes de mesure III. Loi de Laplace 1. Mise en évidence 2. Enoncé de la loi 3. Applications

244 Introduction : # Expérience 1 : Eau+ liquide vaisselle dans un erlen ; bulles ; lames liquides Existence d interface liquide/gaz. Bulles de savon : deux interfaces Rq : le rôle des acides gras dans l eau savonneuse, tels que l acide oléique, est de produire de chaque côté de la lame d eau une couche monomoléculaire qui la protège et donc la stabilise. On utilise souvent de teepol ou d erganol diluées à 1% de la solution mère. Goutte de pluie, bulles de savon parfaitement sphériques, globule d huile dans l eau, perle de pluie sur les plantes, insectes marchent sur l eau. Interface fluide/fluide à différencier avec d autres phénomènes comme le ménisque qui sont des interfaces solide/fluide et auxquels on ne s intéressera pas au cours de cette leçon. Nous allons au cours de cette leçon essayer de comprendre comment de telles interfaces existent et pourquoi elles prennent telles formes. I. Les interfaces liquide-gaz 1. Mise en évidence # Expérience 2 : Pyramide, cercle plongés dans une bassine d eau + liquide vaisselle et bulle On observe minimisation de la surface du liquide Remarquons que la bulle est sphérique, c est la forme qui minimise la surface. En crevant une surface, un cercle s est formé, la surface a été minimisé et une force a du s exercé, quelle force? Transition : Comment peut on comprendre ceci? 2. Origines du phénomène Ici on s intéresse à des interfaces gaz/liquide, regardons les interactions qui y sont présentes. Dans le gaz, état très désordonnée, molécules éloignées, très faibles interactions (en général, on considère gaz parfait! et c est une très bonne approximation) Par contre, dans le liquide, il existe des forces d attraction moléculaire de type Van der Waals qui varie en r -6 qui s exercent sur chaque molécule. Rayon d action 300 pm, 5 à 20 kj/mol, ce sont des interactions qui s exercent à très courtes portées, principalement sur les molécules voisines. Au sein du liquide, l ensemble de ces forces se compensent par symétrie alors qu à la surface ceci n est plus possible, la molécule n est soumise qu à la moitié de ses forces dont la résultante n est pas nulle mais dirigée vers le liquide. # T1: Force de Van der Waals Perez p.284 Quand une surface a été percée, une interface s est crée, une force est apparue qui a tendu à minimiser la surface et cette force est dirigée vers le fluide. df=-n.df

245 On peut déjà voir là une première explication à la minimisation de la surface, le liquide minimise sa surface pour que les molécules puissent avoir le maximum d interactions. La création d une surface est déstabilisante! D où la forme sphérique des bulles De là on peut prévoir que plus un liquide sera cohésif, plus cette minimisation de surface sera importante. C est la force que nous venons de décrire qui représente cette cohésion. Transition : C est ce qu on appelle les forces de tension superficielle II. Tension superficielle 1. Définition On vient de voir l existence d une force surfacique qui tend à minimiser la surface. On a vu df=-n.df. Cette force est proportionnelle à la longueur de l élément dl et comme il y a en fait deux interfaces :df=-2* *dl* n = tension superficielle de l interface, en N.m -1 = force par unité de longueur caractéristique d une interface, par exemple eau/air mais par abus de langage, on parle de la tension superficielle de l eau. Rq= gamma = u/a², u énergie de cohésion d une molécule et a² surface moyenne occupée par la molécule. U = 1/40 ev et a = 3 A, donc gamma = 40 mj/m² Transition : On a mis en évidence l existence de cette force et d un paramètre important mais on a toujours pas expliqué pourquoi il y avait minimisation de la surface! Si il y minimisation de la surface, il doit y avoir minimisation de l énergie du système! 2. Energie de surface libre Comment peut-on quantifier cette minimisation d énergie? Nous allons devoir examiner ces expériences d un point de vue énergétique et comme nous avons vu une force, commençons par étudier une première énergie, le travail de cette force. # Expérience 3 : Tige sur rail Mouvement de la tige selon x pour minimiser la surface * Système {lame liquide} l F e x n x Travail fourni = F.dOM = - 2* *l* n*dx*e x = - *d(2*l*x) = - *da = -d( *A)

246 A = 2*l*x = aire totale de l interface liquide-gaz Nous avons le travail, maintenant on peut appliquer le premier principe pour le relier à l énergie interne : du = Q+ W Considérons une évolution élémentaire réversible : Q=TdS. Donc : du - TdS = W, or F = U TS On suppose la température constante : df = du TdS Donc df = W = - travail fourni et df= d( *A) F = *A = énergie libre de surface si l on choisi la constante d intégration nulle. * Commentaires : Ainsi, à température constante, l énergie potentielle associée aux forces de tension superficielle est une énergie libre, et la tension superficielle est l énergie libre de la lame par unité de surface de lame formée. Ou encore, gamma est l énergie à fournir pour augmenter la surface d une unité. Aussi exprime-t-on aussi la tension superficielle en millijoule par mètre carré (mj.m -2 ) F est minimale si A est minimale car gamma constant. On a montré pourquoi il y a minimisation de surface. Les surfaces courbes sont minimales! Transition : On a vu la signification physique, maintenant ordre de grandeur 3. Ordres de grandeurs Gamma représente la cohésion du liquide # T2: Ordres de grandeur Perez p. 285 Gamma représente la cohésion du liquide Ether<eau car liaison H Eau savonneuse, pas pure, gamma chute. Savon contient tension actif (ampiphile) qui cache l interface, donc tension diminue * Influence de la température Guyon p. 247 : Dépendance linéaire en température si plage de température modérée. Handbook : valeurs à différentes températures Quand T augmente, gamma diminue car la cohésion au sein du liquide diminue du fait de l agitation thermique augmentant. Transition : Maintenant que nous avons vu quelques ordres de grandeurs, comment les obtenir? 4. Méthodes de mesure * Méthode d arrachement du biologiste français Lecomte de Noüy (début XXe siècle). Principe : mesurer la force d attraction qu exercent les particules de fluide sur les parois interne et externe d un anneau, au moment de l arrachement de la surface.

247 Rq : une variante consiste à remplacer l anneau par une lame de platine ou d aluminium (tensiomètre Dognon-Abribat du commerce) # Expérience 4 : balance avec cercle de Pt # T3: Transparent explicatif Schéma où on fait apparaître le cercle à la limite d arrachement. Sur l eau s exerce son poids et l inverse de la force de tension superficielle. L intérêt de se placer à l arrachement c est qu on s affranchit de la poussée d Archimède. Résultats avec plusieurs températures différentes. Système {eau} Lors de la limite d arrachement où il n y a pas de poussée d Archimède. On a alors : Forces : mg = -mg*e z ; Fa = 2* *2 *r* e z et F total = (-mg + 2* *2 *r)* e z La balance mesure donc F total = mg - 2* *2 *r ; la balance sans anneau donne la valeur mg. Donc si on tare la balance, elle mesure un «poids apparent» plus petit que celui mesuré au préalable et la balance tarée mesure donc m g = -2* *2 *r et on a gamma. Calcul en direct de gamma de l eau Incertitude du aux rayons et à la méthode de peser. On peut calculer un delta r et un delta m. Incertitudes relatives faciles à calculer. Pas assez précis, autre méthode : Stalagométrie * Stalagométrie # Expérience 5 : Peser la masse d une centaine de gouttes A l aide d un compteur!!! Loi approchée de Tate : la masse des gouttes issues du tube capillaire d un compte-gouttes est proportionnelle à la tension superficielle : M goutte =cte* On pèse une centaine de gouttes pour remonter à la taille d une goutte. Et ce pour l eau et l éthanol. Et on a : eau / éthanol = m eau /m éthanol. En connaissant gamma de l eau, on a celui de l éthanol. Transition : Goutte pleine mais bulle de savon non! On a vu pourquoi bulle sphérique maintenant, on va l étudier un peu plus et expliquer l expérience suivante. Notamment l influence de la pression. III. Loi de Laplace 1. Mise en évidence # Expérience 6 : Deux bulles de tailles différentes : loi de Laplace Transition : Essayons d expliquer ceci. # T4: Explication : Loi de Laplace 2. Enoncé de la loi * Système {l eau d une bulle d eau savonneuse} Appliquons le théorème de l énergie cinétique entre deux instants voisins, lorsque le rayon varie

248 lentement de dr : - La variation de l énergie cinétique est nulle, on va d un système où la vitesse est nulle à un système où la vitesse est nulle. - Le travail des forces extérieures est le travail des forces de pression (p ext -p int )dv - Le travail des forces intérieures est celui des forces de tension superficielle da. - V = 4/3 R 3 - A = 2*A R² 0 = (p ext -p int )dv da = et p = pint p ext = 4* /R Ainsi dans une bulle de savon, il existe une surpression inversement proportionnelle au rayon ; le centre de courbure est situé dans la région de forte pression. On explique l expérience : la surpression est inversement proportionnelle à la taille de la bulle! * Ordre de grandeur : gamma = 30 mn/m, R=1m alors deltap=12 Pa<<P On peut généraliser à une goutte où il n y a qu une interface : p = p int p ext = 2* /R Transition : Intérêt? 3. Applications * Flûte de champagne Rugosité hydrophobe, veut du gaz et ensuite Laplace fait que stable. En effet, si bulle à l intérieur, loi de Laplace->détruite ; Si bulle sur rugosité, bulle déjà gros rayon, donc persiste. * Mousse Il faut éviter le murissement d Ostwald (petites bulles se déversent dans les grandes par diffusion) ; industrie : cosmétique (crème, ) ; alimentaire (mousse au chocolat, ) Pour l'éviter: -jouer sur la méthode de fabrication de ton émulsion pour avoir une dispersion de taille de micelles la plus homogène possible. -utiliser la répulsion électrique, en utilisant par exemple des tensioactifs cationiques. Les micelles vont donc avoir tendance à se repousser. -ajouter des particules de polymères, qui vont s'adsorber à la surface des micelles. # Expérience : Liquide vaisselle du départ : mousse à diminuer Conclusion : Interface ; expansion de tension ; Application (gouttes mesurées par plusieurs méthodes ou bulle avec loi de Laplace) Il existe aussi g/s et s/l

249 LP 31 Bilan d énergie mécanique du point matériel. Equilibre et voisinage de l équilibre Niveau : BCPST 1 Prérequis : - mécanique du point matériel - théorème de l Ec, travail force et Ep Biblio : Tout en un PCSI, Perez, BCPST 1 vert, Durandeau vieux + classeur du professeur Plan : I. Bilan d énergie mécanique du point matériel 1. Introduction expérimentale à l énergie mécanique 2. Théorème de l énergie mécanique 3. Mouvement du point matériel II. Equilibre et voisinage de l équilibre 1. Condition d équilibre et de stabilité 2. Vibration au voisinage de l équilibre 2008 Cette leçon doit faire l'objet d'applications nombreuses et variées, et ne doit en aucun cas se limiter à un exposé fastidieux de relations algébriques parfois mal comprises. Rappelons qu un pendule simple n est pas «un pendule sans frottement» 2007 Cette leçon doit faire l'objet d'applications nombreuses et variées, et ne doit en aucun cas se limiter à un exposé fastidieux de relations algébriques parfois mal comprises. Rappelons que toute évolution mécanique d un système ne s accompagne pas nécessairement d une diminution d énergie potentielle Rappelons que toute évolution mécanique d un système ne s'accompagne pas nécessairement d'une diminution d'énergie potentielle.

250 Introduction : Plusieurs méthodes peuvent permettre de résoudre les problèmes de mécanique. Les premières font appel à des théorèmes vectoriels (on pense au PFD) mais fastidieux, lois horaires complexes. Exemple du sauteur à l élastique. Il faut bien savoir quelle longueur maximale atteint la corde pour se fracasser la tête (Durandeau). Chute libre, élasticité de la corde, PFD pas top Comment savoir avec quelle vitesse envoyer un satellite pour qu il ne s envole pas à l infini? Dans le cas où on se limite à un degré de liberté, comme ici, d autres méthodes vont être beaucoup plus simple! La méthode énergétique! On va faire des bilans d énergie, notamment des bilans d énergie mécanique. Voyons voir tout de suite pourquoi s intéresser à cette forme d énergie particulière. (Perez, p. 67, Tout en un p. 89) I. Bilan d énergie mécanique du point matériel 1. Introduction expérimentale de l énergie mécanique (Tout en un PCSI p. 147) * Mise en évidence expérimentale #Exp : pendule + synchronie (10 périodes) On a accès à la position en fonction du temps. * Modélisation «point matériel» : m bout >> m tige Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen Poids (force conservative) ; tension (force qui ne travaille pas) Position repérée par. Ep = mgh = mgl(1-cos ) avec Ep( = 0)= 0 Ec = 1/2mv² = 1/2ml² (d /dt) ² On les traces ainsi que leur somme qui est bien constante. On pose alors Em = Ec + Ep La quantité Em est la somme des Ec et Ep, il s agit de l énergie mécanique du point matériel. Em = mgl(1-cos ) + 1/2ml² (d /dt) ² * Justification analytique On se place tout d abord dans le cas où l on n a que des forces conservatives ou des forces qui ne travaillent pas. Si le point matériel n est soumis qu à ces seules forces, W = - Ep On obtient alors le théorème de l énergie cinétique. Ec = W = - Ep Soit, en réarrangeant : (Ep + Ec) = 0. Cette équation traduit la conservation de la quantité Ec + Ep. D après ce que l on vient de voir, l énergie mécanique d un point matériel soumis uniquement à des forces conservatives ou à des forces qui ne travaillent pas est une constante du mouvement.

251 - cette constante est déterminée par les conditions initiales du mouvement (Perez) - on parle d intégrale première du mouvement : quantité qui se conserve au cours du mouvement et qui n est fonction que de la position et de ses dérivées premières par rapport au temps. Transition: que se passe-t-il si on ajoute une force de frottement? #Exp : pendule + synchronie (10 périodes) avec frottements Où est passée l énergie mécanique? Faisons un bilan.

252 2. Théorème de l énergie mécanique (Tout en un PCSI p. 147) * Démonstration Faisons un bilan d énergie mécanique dans le cas général. On s intéresse à un système soumis à des forces conservatives et non conservatives dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Em = (Ec+Ep) Dans le cas général, il est nécessaire de distinguer les forces conservatives (W) des forces qui ne le sont pas (W ). Donc d après le théorème de l énergie cinétique. Em = W + W + Ep = W Em = W La variation d énergie mécanique au cours du mouvement est égale au travail des forces, ie des forces non conservatives. Il s agit du théorème de l énergie mécanique. * Application au pendule Au pendule pesant : on rajoute les forces de frottements, qui travaillent et ne sont pas conservatives. Em = W(f) < 0 : on retrouve la diminution de l énergie mécanique. * Remarques : - en présence de forces de frottement, une partie de l énergie mécanique est fournie au milieu extérieur par le biais de transferts thermiques : Em < 0 (c est notre cas ici) - grâce, par exemple, à l intervention d un opérateur extérieur, on peut avoir Em > 0 - On retrouve que dans le cas où il n y a que des forces conservatives ou que les forces ne travaillent pas, il y a conservation de l énergie mécanique. Ce qui va être très pratique comme condition! Car on a une constante! * Application au saut à l élastique Saut à l élastique, durandeau. On détermine la longueur maximale de la corde pour pas se faire mal Em = 0. Em(t=0) = 0. Quand la corde est au max : Ec = 0 et donc : mgl + 1/2k(l-l 0 )² = 0. Equation du second degré à résoudre. Et pas besoin de loi horaire! Transition : quelles informations obtient-on avec ce bilan d énergie mécanique? 3. Mouvement du point matériel * Etat lié, état libre (Tout en un PCSI p. 149) Soit une particule soumise à une force conservative dérivant d une énergie potentielle. L énergie mécanique est alors une constante du système qui nous apprend bien des choses #Exp : billes dans tuyaux représentant Ep Le bilan énergétique donne : Em = Ep + Ec avec Ec > 0, donc Em > Ep. (Tout en un) On peut avoir accès à la nature du mouvement en fonciton de l énergie mécanique. Em < E : il n y a pas de mouvement Em = E : état stationnaire Em > E : le point évolue entre deux positions : état lié Em > E1 : le point peut aller jusqu à l infini : état libre. On peut généraliser à n importe quelle variable de position q. Em dépend des conditions initiales. Pour l augmenter, on peut augmenter Ep (plus haut) ou Ec (plus vite).

253 * Application au pendule (BCPST 1) Toujours dans état lié. Ne part pas! Si on augmente la hauteur, on voit bien qu on augmente la vitesse au point le plus bas. On peut même la calculer par bilan d énergie Mais il existe une manière très simple de savoir si état lié ou libre dans certains cas, le signe de Em suffit! * Application au satellite (BCPST 1) - Cas d une orbite circulaire. Déterminons l énergie mécanique. L énergie potentielle a été vue : Ep = - GmM/r. Convention : nulle à l infini. D après le PFD, on en tire v = (GM/r) et donc l énergie cinétique. Em = -GmM/2r < 0 : état lié. - Cas d un satellite envoyé à l infini. Em = 1/2mv²( ) > 0 : état libre. En faisant un bilan d énergie mécanique, on peut même en déduire la vitesse initiale minimale à donner au satellite : v = (2GM/R), vitesse de libération ou seconde vitesse cosmique. Transition : info sur le mouvement en général, on va se pencher sur un cas de figure plus particulier, le voisinage de l équilibre. II. Equilibre et voisinage de l équilibre On voit bien que le pendule oscille autour d une position d équilibre. Mais est-elle stable, instable? Comment peut-on décrire analytiquement son évolution? 1. Condition d équilibre et de stabilité a. Equilibre * Définition (Tout en un p. 150) Un point matériel est dit en équilibre si sa vitesse et son accélération sont nulles, ou encore que sa vitesse et la somme des forces sont nulles. * Détermination des positions d équilibre - sur la courbe : on identifie deux endroits #Exp : billes dans tuyaux représentant Ep On voit que la bille finit par se stabiliser en deux endroits. - par le calcul : pour des forces conservatives, avec x la variable de position dep = - W = F x dx, soit F x = -dep/dx La somme des forces est nulle (a=0), donc : (dep/dx) (x=xe) = 0 L équilibre nécessite une énergie potentielle extrémale Transition : Les deux ne sont pas équivalentes, une facile à mettre en évidence, l autre moins.

254 b. Stabilité * Mise en évidence #Exp : billes dans tuyaux représentant Ep Minimum : quelque soit le déplacement, la bille est ramenée vers x = xe Maximum : si je déplace la bille, elle s éloigne de x=xe * Définition (BCPST 1) Un équilibre est stable si quand on l écarte de sa position d équilibre le point matériel revient vers sa position d équilibre. Un équilibre est instable si le fait de l écarter de sa position d équilibre éloigne définitivement le point de cette position. * Etude analytique (BCPST 1) Toujours pour un mouvement 1D, forces conservatives, référentiel galiléen. On se limite à un petit déplacement algébrique x-xe DL à l ordre 1 de la force algébrique : f(x) = f(xe) (=0) + (x-xe)(df/dx) (x=xe) f(x) = - (x-xe)(d²ep/dx²) (x=xe) Equilibre stable : (d²ep/dx²) (x=xe) > 0 Equilibre instable : (d²ep/dx²) (x=xe) < 0 Equilibre indifférent : (d²ep/dx²) (x=xe) = 0 (Tout en un) Deux exemples (Ep max, Ep min) Transition : on sait trouver les positions d équilibres et les caractériser. Mais comment décrire le mouvement autour de cette position particulière? 2. Vibration au voisinage de l équilibre (BCPST 1) a. Etude du pendule * Cadre général On avait obtenue Em = 1/2ml²(d ²/dt²) + mgl(1-cos ) On dérive et on obtient l équation du mouvement : d² /dt² + g/lsin = 0 Le mouvement d un pendule simple dans le cas d une déviation angulaire quelconque, illustre la notion d oscillateur non harmonique (solutions périodiques non purement sinusoïdales, de période T dépendant des CI, de Ep qui n est pas une fonction parabolique de ). * Approximation harmonique On se place au voisinage de l équilibre stable = 0 (que l on a déjà défini plus haut) d² /dt² + g/l = 0, soit : d² /dt² + 0 ² = 0 Donc solution purement sinusoïdales : = m cos( 0 t+ ) de période 0 = (g/l). On a un oscillateur harmonique linéarisé! On remarque que Ep = 1/2mgl ². Une cuvette parabolique de potentiel! Equirépartition : <Ec> = <Ep> = Em/2 Transition : c est cette périodicité qui nous le fait utilisé en tant qu instrument de mesure de durée

255 (histoire des horloges ). Mais système oscillant remplacé par un autre : montre à ressort spiral, le ressort! b. Etude du ressort * Cadre de l étude (BCPST 1) Système : {solide} Référentiel : laboratoire, supposé galiléen. Bilan des forces : F = -kx u x (conservative), poids et réponse du coussin d air (ne travaillent pas) #Exp : Ressort. X=f(t). Même chose que pendule!! (Em, Ep, Ec) Peut-on le retrouver analytiquement? * Equation du mouvement (BCPST 1) Em = 1/2m(dx/dt)² - 1/2kx² L équation du mouvement s obtient aisément par dérivation. d²x/dt² + k/mx = 0, soit d²x/dt² + 0 ²x = 0 avec 0 = k/m Exactement même équation, donc on reprend les résultats précédents (x =, 0 = 0 ) c. Définition générale d oscillateur harmonique (en conclu si pas le temps) Oscillateur unidmensionnel, de paramètre de position q, d énergie cinétique 1/2m(dq/dt)² et d énergie potentielle Ep(q). Notons qe la position d équilibre stable du système. Autour de qe : Avec q = x, Ep = Ep(xe) + (x-xe)(dep/dx) (x=xe) + (x-xe)²(d²ep/dx²) (x=xe) Ep = Ep(xe) + (x-xe)²(d²ep/dx²) (x=xe) car énergie potentielle minimale à la position d équilibre. Il existe une cuvette parabolique de potentiel au voisinage de xe. Un oscillateur se comporte comme un oscillateur harmonique, en se limitant aux petits mouvements au voisinage d un équilibre stable : ie sur la courbe, on approxime par une parabole. On obtient l équation du mouvement général : d²x/dt² + 0 X = 0 avec 0 = 1/m(d²Ep/dx²) (x=xe) Remarque : la notion d oscillateur harmonique ne se réduit pas au seul domaine de la mécanique (circuit LC déjà vu) Conclusion : Une façon d observer l évolution, le comportement d un système mécanique à 1D de liberté. Portrait de phase. #Exp : On le trace pour différents angles On a une ellipse. On remarque qu elles entourent le point d équilibre stable. Permet de voir la présence de frottements. Saut à l élastique : oscillations autour de la position d équilibre, finit pas se stabiliser à cause des frottements Durandeau. Pendule finit pas s arrêter à cause des frottements, faut y remédier par apport d énergie. Système dissipatif pour l année prochaine

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257 LP32 Présenter et illustrer le phénomène de transport suivant : diffusion thermique Niveau : BCPST 2 Prérequis : - Notion d optique ondulatoire (Term S, BCPST 1) - Interférences non localisées à deux ondes - Présentation expérimentale de la diffraction Biblio : Grecias BCPST 2, Hecht, Tout en un Plan : I. Une loi phénoménologique : la loi de Fourier 1. Mise en évidence expérimentale 2. Le courant thermique 3. Loi de Fourier II. Bilan thermique local : équation de diffusion 1. Hypothèse de travail 2. Bilan local à une dimension 3. Equation de diffusion 4. Résistance thermique III. Bilan thermique local avec production d énergie 1. Bilan local à une dimension 2. Flux géothermique

258 Introduction : # Expérience 1 : Tasse d eau chaude qui se refroidit Les objets échangent de l énergie thermique avec leur voisinage ; On n est pas à l équilibre car il y a un gradient de T, non uniformité qui engendre le transfert. Equilibre thermodynamique local mais pas global Trois façons d échanger : - Rayonnement : véhiculé par des ondes EM. Le seul type de transfert qui puisse exister dans le vide. - Convection : grâce à un mouvement macroscopique de la matière (concerne essentiellement les fluides) - Conduction : transfert thermique au sein d un support matériel sans mouvement macroscopique de matière (le seul qui existe pour les solides) Nous nous limiterons dans ce chapitre à la conduction thermique par des corps homogènes et isotropes, manifestant une non-uniformité de leur température et à des modèles unidimensionnels. I. Une loi phénoménologique, la loi de Fourier 1. Mise en évidence # Expérience 2 : Expérience de Ingen Housz + courbes * But : comparer la conduction thermique dans plusieurs métaux à des thermostats différents. * Historique : on enduit de cire les tiges métalliques. On les met en contact avec un thermostat (ex : un bain d eau bouillante). Ici : cristaux liquides «conductiscope de Jeulin» p. 277 Duffait * Observations : la température augmente plus ou moins vite le long de la tige suivant le type de matériau et le gradient imposé. * Conclusion : l énergie thermique s écoule dans le sens des températures décroissantes comme le courant circule dans le sens des potentiels décroissants ou comme l eau d une cascade. Transition : On va essayer de quantifier cet écoulement 2. Courant thermique (Tout en un p. 801) * Vecteur densité de courant thermique Existence d un gradient de température. L expérience montre que l énergie se déplace dans la direction opposée au gradient. Ce courant d énergie est décrit par un champ vectoriel : j th (M,t) vecteur densité de courant thermique. Par définition, son flux à travers une surface représente la puissance thermique qui travers cette surface. * Le transfert thermique élémentaire à travers ds M entre t et t+dt 2 Q=j th (M,t)dS M dt. Le produit scalaire permet de tenir compte de l inclinaison de ds ->surface utile. * Le flux surfacique d =j th (P,t)dS P

259 Le flux thermique à travers une surface est égal au flux du vecteur densité de courant thermique à travers la surface. =double intégrale (jthds P ) 3. Loi de Fourier (Perez) * La loi de Fourier, phénoménologique Etablit expérimentalement par Fourier, de nature phénoménologique (comme les lois d Ohm et de Fick). Elle traduit la proportionnalité entre j et la dérivée partielle de T par rapport au temps. A une dimension. Et à trois dimensions : Loi de Fourier Lambda est la conductivité thermique (positive, caractéristique du matériau, W.m -1.K -1 ) ; c est un scalaire pour un milieu homogène et isotrope. Le signe moins traduit le fait que l énergie est transportée, conformément au second principe de la thermodynamique, des régions chaudes vers les régions froides. Elles décrivent des phénomènes irréversibles puisque, si l on renverse le sens du temps, la densité de courant change de signe mais pas le gradient. * Limitations : Si le gradient thermique est trop fort, la relation entre le vecteur densité de courant thermique et ce gradient cesse d être assimilable à une loi linéaire. Si le gradient thermique varie trop rapidement dans le temps, la relation entre le vecteur densité de courant thermique et ce gradient cesse d être instantanée ; il y a un retard dans l établissement du flux thermique. # T2: Conductivités * Conductivité thermique : Solides > liquides > gaz Solides cristallins > amorphes (verre, plastique, bois, ) Valeurs (Perez) : argent : 418 ; Cu ; 389 ; Bois : 0,23 ; Corps humain : 0,5 ; Tissus humains sans sang : 0,21 (Hecht) ; Terre : 2,3 Sensation chaud/froid, circulation sanguine (Hecht p. 589) *Application : Le tissu du corps humain, en l absence de circulation du sang est un très mauvais conducteur thermique (liège). Quand il fait froid, le corps doit retenir l énergie thermique, les capillaires proches de la surface du corps se contractent et coupent ainsi le flux du sang : il y a création d une couche isolante. # en première approximation, la conductivité thermique d un métal est proportionnelle à sa conductivité électrique ex : Cu ; l échelle des conductivité thermique est plus restreinte que celle des conductivités électriques# II. Equation locale de bilan thermique. Equation de diffusion (Tout en un, p. 805) L application du premier principe de la thermodynamique à un volume élémentaire permet d obtenir une équation locale. Nous donnerons des exemples dans différentes géométries, avant de généraliser à

260 une géométrie quelconque. # T3: Hypothèses Milieu solide ou fluide au repos Masse volumique mu Capacité thermique massique à volume constant c v Conductivité thermique lambda 1. Bilan local à une dimension Bilan Transition : On a le bilan et grâce à Fourier on a l expression de de j. 2. Equation de diffusion Equation de diffusion En combinant la loi de Fourier et l équation de bilan local d énergie, nous obtenons une équation aux dérivées partielles vérifiées par le champ de température. On pose la diffusivité thermique On obtient une équation de diffusion thermique Elle est dure à résoudre! on va se placer en régime stationnaire. # Expérience 3 : La barre de laiton On laisse le régime stationnaire s installer ; on regard les paliers en fonction de x ; on trace T = f(x) ; on vérifie que l on a une fonction affine. Transition : On a vu que suivant le matériau, flux s écouler plus ou moins bien, notion de résistance thermique en analogie avec l électricité 3. Résistance thermique La puissance transférée est Phi=j th.s=lambda.(t 1 -T 2 ).S/L On définit R th =L/(Lambda.S) en W/K et G th =1/R th Remarque : conductivité thermique (notion microscopique) ; résistance thermique (notion macroscopique) de l écoulement de l énergie thermique dans un matériau. En pratique : si on veut des échanges thermiques, G doit être élevée. (R->0) si on ne veut pas d échange thermique, R doit être élevée (G->0) # T2: Applications Isolation thermique : Garing p. 431, BCPST pour le double vitrage Géométrie sphérique : résistance thermique de la croûte continentale BCPST Transition : Au milieu du XIX siècle, Lord Kelvin a modélisé le refroidissement par diffusion thermique pour en déduire l âge de la Terre. Tout en un p. 835 Hypothèse : - T élevée uniforme ; -

261 Flux thermique qui s échappe (refroidissement). Ordre de grandeur : 50 millions d années. Pourquoi inexacte? 4,5 milliards d années (il n a pas pris en compte la radioactivité)

262 III. Bilan thermique avec production d énergie 1. Bilan local à une dimension Le premier principe pour un échantillon. On avait deltaq, on a lien entre deltau et la capacité calorifique à volume constant. Donc on remplace tout ça et on a l équation de la chaleur. Transition : Maintenant appliquons cette formule au cas d un flux géothermique # T4: Calcul du flux 2. Flux géothermique On se place dans le cadre d une géométrie cylindrique. On tient compte de la radioactivité Conclusion : Analogie avec électrique. Ohm s est inspiré de Fourier. (BCPST) Il faut aussi tenir des fuites thermiques à l interface de système/extérieur de surface dans la production d énergie (loi de Newton BCPST)

263 LP 33 Les machines thermiques. Niveau : BCPST 1 Prérequis : - Thermo : Premier et deuxième principe - Transformations isothermes, adiabatiques, isochores - Etats de la matière Biblio : HP 1 er année thermo, BCPST 1, Tout en un PCSI, Hecht, BUP 589 Plan : I. Etude générale des machines thermiques 1. Description 2. Bilans énergétiques et entropiques 3. Machines monothermes 4. Machines dithermes II. Les moteurs dithermes 1. Théorème de Carnot 2. Moteur à explosion III. Les récepteurs dithermes 1. Principe de fonctionnement 2. Pompe à chaleur

264 2009 Il faut mieux faire le lien entre le cycle thermodynamique et le fonctionnement machine ; en particulier ne pas perdre de vue les mécanismes des échanges thermiques Pour toute étude de machine thermique il est indispensable de préciser clairement le système étudié, de présenter des solutions pratiques couramment retenues et de mettre en évidence l intérêt et les limites des modèles Pour toute étude de machine thermique il est indispensable de préciser le système qui subit des transformations. Le candidat peut présenter des machines thermiques cycliques dans lesquelles le fluide caloporteur subit des changements d état Pour toute étude de machine thermique il est indispensable de préciser le système qui subit des transformations. Le candidat peut présenter des machines thermiques cycliques dans lesquelles le fluide caloporteur subit des changements d'état Le candidat peut présenter des machines thermiques cycliques dans lesquelles le fluide caloporteur subit des changements d'état. Introduction : Une machine est un système qui réalise une conversion d énergie. Les premières machines étaient purement mécaniques. Un levier, une poulie, un plan incliné : Ehomme -> Epotentielle. Mais pas top, recherche d une autre énergie que celle de l homme! Comment peut-on apporter de l énergie? L une des premières idées est venue des changements d état : lorsqu on comprime un gaz, il s échauffe jusqu à se vaporiser, lorsqu on le détend il se refoidit jusqu à se liquéfier et ainsi née la machine à vapeur, première machine de Watt! Les premières machines à vapeurs ont été construites au début du XVIIIe siècle. Les ingénieurs ont imaginé et développé d autres machines thermiques : le frigo, le moteur, centrale électrique thermique (Hecht p. 619), ou le climatiseur largement utilisé en ce mois de juin/juillet (Hecht p. 623) On va essayer de comprendre comment ça marche (HP 1 er année thermo)

265 I. Etude générale des machines thermiques 1. Description (BCPST 1) On appelle machine thermique tout dispositif dans lequel un système fluide qualifié «d agent thermique» subit une transformation cyclique ce qui permet une conversion continue d énergie. Le fluide permet les échanges énergétiques entre les divers organes de la machine et le milieu extérieur. * Le milieu extérieur - source de chaleur (ou thermostat parfait (sinon tout en un). S source thermique = Q source /T source Isotherme réversible - source mécanique : échange un travail W en l absence d échange thermique S source mécanique = 0 Adiabatique réversible * Convention W et Q sont comptés algébriquement par rapport au système. Un moteur thermique : une machine thermique qui fournit globalement du travail au milieu extérieur au cours d un cycle : W<0 Un récepteur thermique : une machine thermique qui reçoit globalement du travail du milieu extérieur au cours d un cycle. W>0 Transition : comment intervient la thermodynamique pour réguler les échanges de travail et de chaleur? 2. Bilans énergétiques et entropiques (BCPST 1) On va utiliser les premier et second principes et donc faire intervenir les fonctions d état S et U. Comme les fluides considérés vont décrire des cycles : U = 0 et S = 0 * Bilan énergétique Le système fermé échange algébriquement un travail W et des énergies thermiques Qi avec des sources de chaleur à Ti le premier principe donne donc : U = W + Qi = 0 * Bilan entropique On applique le second principe : S = Se + Sc = 0, or Sc > 0, Qi/Ti < 0 Inégalité de Clausius (énoncé historique du second principe) Transition : on va se restreindre aux machines cycliques monotherme (Q,T ) et ditherme (Qc,Tc ; Qf,Tf)

266 3. Machines monothermes (BCPST 1) Il n existe qu une seule source de chaleur, de température T. Le cycle de transformation effectué par la machine est dite monotherme. * Bilans énergétique et entropique W = -Q et Q /T < 0 * Moteur Le cycle monotherme moteur (W<0) est impossible Enoncé historique de Kelvin du second principe * Récepteur Un récepteur monotherme est possible Ex : radiateur électrique Source de chaleur : la pièce à chauffer (T ) Source mécanique : travail électrique (W>0) Le système fournit un transfert thermique (Q<0) Transition : avec deux sources de chaleur, est-il possible de construire un moteur? 4. Machines dithermes (tout en PCSI) Bien que la machine ditherme ne soit pas la seule rencontrée en pratique, il s agit de la plus courante et on peut s y ramener. * Bilans énergétique et entropique W = -Qc -Qf et Qc/Tc + Qf/Tf < 0 Plusieurs cas possibles, pour les représenter, on utilise le diagramme de Raveau * Diagramme de Raveau Représentation 2D des zones utilisables. Demi-plan au dessus de Qc = -Tc/Tf Qf est interdite par l inégalité de Clausius. L équation Qc+Qf = 0 délimite les zones de comportement moteur et récepteur. W < 0 ; Qc > 0 ; Qf < 0 : moteur, reçoit de la source chaude, cède à la source froide Exemple : moteur de voiture W > 0 ; Qc < 0 ; Qf > 0 : récepteur, reçoit de la source froide, cède à la source chaude Exemple : réfrigérateur Les deux dernières zones ne sont pas intéressantes : W > 0 ; Qc < 0 ; Qf < 0 : récepteur, cède aux deux sources! résistance suffirait W > 0 ; Qc > 0 ; Qf < 0 : récepteur pour faire échange spontané! Transition : Nous allons nous intéresser aux deux premières zones. Commençons par la première

267 II. Les moteurs dithermiques 1. Théorème de Carnot BCPST Ce que nous avons mis en évidence avec le cycle de Raveau a été énoncé par Carnot en 1824 avant même le second principe! * Principe de Carnot Pour qu un système décrive un cycle moteur, il doit nécessairement échanger de l énergie thermique avec au moins deux sources à des températures différentes, en prélevant de l énergie thermique à la source chaude, et en restituant une partie à la surface froide. * Rendement Dans les moteurs usuels, le système fluide (l air par exemple) reçoit de l énergie thermique de la source chaude (combustion d un carburant par exemple), fournit un travail avec un taux de conversion d énergie qu on appelle rendement thermodynamique r et restitue de l énergie thermique à la source froide (en général l atmosphère, soit perte «gratuite» d énergie). On définit donc r par : On fait l hypothèse que seule la source chaude est onéreuse. r = grandeur utile/grandeur dépensée = W/Qc = -W/Qc Avec le premier principe, r = 1+Qf/Qc. Or avec l inégalité de Clausius, Qf/Qc<-Tf/Tc D où : r < 1-Tf/Tc si irréversible et r = 1 Tf/Tc si réversible * Enoncé (Tout en un) Tous les moteurs thermiques réversibles fonctionnant entre deux sources à des températures données ont le même rendement. Les machines irréversibles fonctionnant entre ces mêmes sources ont un rendement inférieur à celui des machines réversibles. * Modélisation : le ycle de Carnot BCPST, Tout en un p. 851 Réaliser un moteur ditherme réversible de Carnot consiste à choisir un fluide en contact thermique avec une source chaude et une source froide, soit deux isothermes. Le cycle devant alors se fermer grâce à des sources mécaniques selon des adiabatiques réversibles (deux isentropiques) pour qu il n y ait plus d échange thermique. Donc, un cycle de Carnot est un cycle ditherme décrit de manière réversible. Il est constitué de deux isothermes reliées par deux adiabatiques. Transition : pour des raisons techniques, les moteurs thermiques fonctionnent différemment et leur rendement sera toujours inférieur au rendement calculé à partir des deux températures extrêmales rencontrées.

268 2. Moteur à explosion (BCPST 1) Carnot a discuté les possibilités de faire tourner un moteur en enflammant un gaz dans un cylindre : mais ce fut J. Lenoir, qui conçut en 1859, le premier moteur à combustion interne. Un mécanicien et vendeur ambulant nommé Nikolaus Otto lut par hasard en 1876 un rapport de presse sur le travail de Lenoir et, en un an, il construisit le premier moteur à combustion interne à quatre temps pour lequel il obtint un brevet d invention. La voiture, l avion et d innombrables autres machines bruyantes, comme la tondeuse à gazon, la motocyclette, etc doivent leur existence à Otto. (Hecht p. 620) * Le système réel On étudie un moteur à explosion #Exp : gros moteur noir II est composé d un ou plusieurs cylindres. Chaque cylindre comprend un piston mobile lié à un système bielle-manivelle afin de transformer le mouvement alternatif de translation du piston en mouvement de rotation. Le cylindre comporte deux soupapes, l une d admission (aspiration du mélange air-carburant) et l autre d échappement (mélange après un cycle). Le diagramme de Watt réel a l allure suivante. On peut décomposer le cycle en quatre phases (moteur à 4 temps). Admission ; compression avec les deux soupapes fermées ; combustion puis détente ; échappement. #Exp : gros moteur noir + lecture du diagramme de Watt en parallèle.+ Hecht p. 620 Toujours 4 cylindres, pour que toujours au moins un moteur. * Le système modèle Cycle de Beau de Rochas Hypothèses : - gaz prfait de quantité constante. Cela est presque vrai car l air est en large excès et constitue à 80% de diazote qui ne réagit quasiment pas. - Aucune évolution chimique, énergie thermique fournie provient d une source chaude fictive extérieure lors d une isochore. - Afin de raisonner sur un système fermé et d éviter les étapes d admission et refoulement, on suppose que le retour EA passe par B et que les étapes AB et BA se compensent. -> Deux isochores, deux isentropiques (transformations adiabatiques et frottements négligés). Il s agit d un moteur ditherme évoluant entre la source chaude fictive et l atmosphère. * Rendement En fonction de =Vmax/Vmin, r = 1 1- Un moteur fontionne environ à 3300K et rejette le carburant consommé à environ 1400K. Cela correspond à un rendement théorique de 58% (Hecht p. 620) Valeur théorique jamais atteinte à cause des pertes par frottement notamment et des transferts thermiques au niveau des parois du cylindre. * Limites Pendant l admission : P<Pext à cause de la viscosité ; l échappement P>Pext L explosion et la détente ne sont pas complètement séparées. Transition : On a vu un moteur mais aussi récepteur pour faire transfert non spontané.

269 III. Les récepteurs dithermes (BCPST 1) 1. Principes de fonctionnement * Principe On renverse le sens de parcours du cycle de Carnot. On peut à présent - transformer en énergie thermique (Qc<0) non seulement W>0 mais aussi Qf>0 On a alors un système de chauffage : pompe à chaleur que l on étudiera - Prélever de l énergie thermique (Qf>0) à la source froide pour en recevoir une partie vers la source chaude (Qc<0). Si la région à refroidir contient des aliments : réfrigérateur. S il s agit de la pièce ellemême : un climatiseur. Dans les deux cas, la grandeur utile n est pas la même! * Efficacité On définit l efficacité d un récepteur thermique E = grandeur utile/grandeur dépensée Pour un frigo : e = Qf/W < Tf/(Tc-Tf), pour une pompe à chaleur? Transition : la pompe à chaleur ditherme, quel rendement, quel cycle? 2. Pompe à chaleur (BUP 589) Le but est de diminuer le coût d un chauffage. La source chaude est la pièce à chauffer, la source froide l atmosphère du milieu extérieur, le fluide thermique peut être de l eau. De tels réservoirs d'énergie existent à la surface de notre globe (air ambiant, eau d'un lac ou de la nappe phréatique...), et ils sont capables de fournir de grandes quantités de chaleur que renouvelle régulièrement l'énergie solaire. * Description #Exp : PAC On sait que si l'on comprime brusquement un gaz, il s'échauffe, et que si on détend brusquement un gaz comprimé, il se refroidit. Si on réalise un circuit fermé dans lequel on fait circuler un fluide à l'aide d'un compresseur entre deux échangeurs de chaleur, on a construit une pompe à chaleur capable de transférer ou de «pomper des calories d'une source (échangeur) à l'autre. En fait, les fluides de transfert utilisés ne sont pas des gaz parfaits, et, dans les conditions de pression et de température où on les utilise, des transformations liquide-vapeur et vapeur-liquide se produisent. Au cours de ces transformations, d'importantes quantités de chaleur sont mises en jeu au niveau des échangeurs, appelés condenseur et évaporateur respectivement. On projette le schéma : - le compresseur : avec deux soupapes, il peut aspirer la vapeur, effectuer une compression adiabtique : T augmente, P augmente et refouler la vapeur vers le condenseur (il est alimenté) - le condenseur : échangeur tubulaire, la vapeur se condense : le fréon se liquifie en cédant de l énergie thermique à l eau dont la température augmente. - le détendeur : détente isenthalpique à travers le robinet.

270 - l évaporateur : échangeur tubulaire, le fréon se vaporise en prélevant de l énergie thermique à l eau dont la température diminue. * Efficacité e = -Q/W < Tc/(Tc-Tf) On calcule sur l expérience. * Applications (BUP) Exemple du BCPST : pompe à chaleur e fois plus efficace qu un radiateur électrique pour lequel e = 1. La pompe à chaleur effectue un transfert de calories d'une source à une autre, moyennant une dépense d'énergie réduite. Or la chaleur récupérée à la source chaude est d'environ trois fois supérieure au travail fourni à la machine, d'où son intérêt économique certain dans tous les problèmes nécessitant un faible relèvement du niveau de température. De plus, cette machine présente l'avantage de pouvoir inverser son mécanisme de fonctionnement au moyen d'un simple jeu de vannes, et donc de servir de moyen de chauffage en hiver et de climatiseur en été. Conclusion : Exemple de machines, véritables révolution de la vie quotidienne. D autres machines thermiques, qui fonctionnent avec un cycle ouvert peuvent être étudié en se ramenant à un cycle fermé. Exemple du moteur à explosion.

271 La thermodynamique est née du besoin d en comprendre le fonctionnement, notamment le second principe.

272 LP 34 Changement d état des corps purs et applications. Rappels sur les états de la matière vus en BCPST1. Niveau : BCPST 2 Prérequis : - Premier et second principe - Etats de la matière (BCSPT1) - Potentiel chimique - Potentiels thermodynamiques Biblio : BCPST 1 et 2, nouveau et vieux ; HP thermo PCSI, tout en un, BUP 832 Plan : I. Les états de la matière 1. Les états d un corps pur 2. Les changements d état 3. Diagrammes d équilibre II. Etude thermodynamique des changements d état 1. Critère d évolution et d équilibre 2. Enthalpie de changement d état 3. Formule de Clapeyron III. Applications 1. Machines thermiques 2. Lyophilisation

273 Introduction : Matière sous plusieurs phases : #Exp : Bouilloire de Franklin : tracé du diagramme P,T de l eau Le but de cette leçon est d étudier les changements de phases, évolution, équilibre, tirer des informations. En effet, le développement des machines à vapeur qui a révolutionné durant le dix-neuvième siècle le transport des passagers et des marchandises, est une conséquence directe des travaux effectués sur le changement d état liquide-vapeur par de nombreux physiciens et ingénieurs (Watt, Gay-Lussac,..) (réfrigérateur, pompe à chaleur, ) Extincteur : neige carbonique se sublime en gaz qui remplace le dioxygène et donc éteint le feu.

274 I. Les états de la matière 1. Les états d un corps pur (BCPST 1) * Corps pur Constituant unique caractérisé par une formule chimique définie. Corps pur simple, composé. * Phase Toute partie d un système dont les grandeurs intensives sont des fonctions continues des coordonnées de l espace. Gaz (dipsersé et désordonné), liquide (compact mais désordonné), solide (le plus compact, ordonné, peut pas s écouler) Phénomènes d allotropie (exemple du soufre, fer, ) (BCPST 2) Transition : Pour passer d un état à un autre 2. Changements d état (BCPST 2) * Définitions Sublimation, condensation, vaporisation, liquéfaction, solidification, fusion. Phénomènes de transformation allotropique (ex du soufre). On se restreindra par la suite au cas usuel où il n existe qu une phase solide. Transition : Comment caractériser ces changements d état? 3. Diagrammes d équilibre (BCPST 1 et 2) Les points représentatifs de l état d un corps décrit par les variables (P,V,T) définissent une surface appelée surface des états. Dans la pratique, il est cependant plus facile d utiliser des diagrammes à deux dimensions qui sont les projections dans un plan de cette surface. On a l habitude d utiliser deux diagrammes : P,T et Clapeyron (P,v). * Diagramme P, T Les courbes de vaporisation et de sublimation définissent la pression de vapeur en équilibre avec la phase condensée, dite pression de vapeur saturante. La courbe de fusion est pratiquement verticale. En effet, un équilibre entre phases condensées ne dépend pratiquement pas de la pression. Les domaines de stabilité sont attribués d après la loi de modération. D où les diagrammes de prédominance. Variance, point triple, point critique #Exp : Bouilloire de Franklin : tracé du diagramme P,T de l eau * Diagramme P, V Courbes de saturation (ébullition, rosée), isotherme critique, supercritique.

275 Palier de liquéfaction. #T : Isothermes d Andrews Transition : Comment prévoir l évolution, l équilibre, au niveau énergétique? II. Etude thermodynamique des changements d état (BCPST 2) 1. Critères d évolution et d équilibre Soit un système dans lequel un constituant A (n moles) est en équilibre entre deux phases 1 et 2 à T et P fixées. Chaque phase est, en permanence, en équilibre mécanique, thermique et de composition homogène. Le système diphasé est fermé mais chaque sous-système monophasé est ouvert. Supposons la transformation : X 1 = X 2 Ce transfert, s il s effectue spontanément donc irréversiblement, de manière isotherme et isobare, provoque une diminution d enthalpie libre : dg<0. Les deux phases sont disjointes, par extensivité de G : dg = dg 1 + dg 2 = µ*dn 1 + µ*dn 2 = (µ* 2 -µ* 1 )d * Critère d évolution Evolution spontanée dans le sens 1 si : dg<0 et µ* 2 < µ* 1 Le transfert de matière entre phases se produit dans le sens des potentiels chimiques décroissants. On comprend mieux à ce niveau, le nom de potentiel chimique par analogie avec l écoulement spontané de charges positives dans le sens des potentiels électriques décroissants. Les potentiels chimiques des corps ne dépendent que de T et P qui sont fixés, donc par intégration, l enthalpie libre est fonction affine de l avancement. Un corps diphasé, hors équilibre, évolue jusqu à disparition de sa phase de potentiel chimique le plus élevé. * Critère d équilibre dg=0 soit µ* 2 = µ* 1 Cette condition nous donne une relation implicite entre la pression et la température ce qui justifie la monovariance du système diphasé : P = f(t). (diagramme P,T ) L équilibre physique d un corps pur sous deux phases est possible, quelles que soient les proportions des deux phases, si son potentiel chimique est identique dans les deux phases. * Généralisation à un système polyphasé Exemple : point triple de l eau, deux relations d égalité des potentiels chimiques, donc P et T fixées. Application : ces notions de transfert sont particulièrement importantes en biologie, où les systèmes sont ouverts et en état stationnaire de non-équilibre : déséquilibre permanent (différence de potentiel chimique constante) entraînant un passage continu à travers une membrane cellulaire par exemple. Transition : On sait prédire l évolution et l équilibre, et d un point de vue énergétique? 2. Enthalpie de changement d état * Mise en évidence #Exp : Courbe de refroidissement de l étain Transformation rapide, donc adiabatique. T constante, énergie échangée! Retard à la fusion. Etat métastable.

276 Lorsque l on travaille sous une pression fixée, le changement d état de phase d un corps pur se fait à température constante. L échange thermique avec le milieu extérieur ne modifie donc ni P, ni T, mais permet le passage d une certaine masse du corps d une phase à l autre. (BCPST 1 Vieux) * Définition On appelle enthalpie massique de changement d état l énergie thermique transférée réversiblement pour faire passer l unité de masse du corps pur A de la phase 1 à la phase 2. 1->2 h = l 1->2 = h 2 -h 1 On note parfois l en référence à son ancien nom (chaleur latente de changement d état, latente signifiant en sommeil dans le corps pur). L enthalpie étant une fonction d état, sa variation ne dépend pas du chemin suivi. Elle est mesurée par la différence des enthalpies massiques du corps pur dans les deux phases. On utilise également l enthalpie molaire 1->2 H = L 1->2 = M l 1->2 * Propriétés Signe! Positif : apport d énergie conduit à un état plus dispersé et désordonné Transition : Comment déterminer cette énergie? 3. Formule de Clapeyron µ* 2 = µ* 1, dg 2 = dg 1 1->2 h = T(v 2 -v 1 ) dp/dt * Application : justification des pentes (cas particulier de l eau) ; relations au point triple (courbe de sublimation a une pente plus forte que celle de la courbe de vaporisation) (BCPST 1 Vieux) * Application : détermination de chaleur latente de changement d état #Exp : Bouilloire de Franklin : tracé du diagramme P,T de l eau On en tire la chaleur latente de vaporisation. Transition : C est lors des changements d état que l énergie échangée est la plus importante!! III. Applications (BCPST 2) 1. Machines thermiques (HP p. 228, BUP 832 p.531) On se sert de l énergie libérée par les changements d état! Machines thermiques (machine frigorifique, fréon) 2. Lyophilisation (BCPST 2 Vieux p. 122) Procédé de conservation par dessiccation, càd élimination d eau par sublimation de la glace sous vide

277 poussé. Congélation, déshydratation. Ordres de grandeur. L absence d eau bloque toute réaction et la conservation peut être très longue. Lors de la réhydratation, le produit se redissout instantanément dans l eau et retrouve toutes ses propriétés. Applications aux produits alimentaires ou en médecine (vaccins, tissus, plasma, ) Application de la Formule de Clapeyron pour déterminer l énergie à fournir.

278 Conclusion : * Application : fil sur glace (?), patineurs glissent sur de l eau #Exp : Fil sur glace (?) * Application : météorologie. Air saturé en eau -> P>P* -> condensation (pluie, brouillard) Importance du cycle de l eau * Application : chambre à bulles (de l hydrogène liquide dans un état surchauffé permet de matérialiser les trajectoires de particules chargées ; ces dernières provoquent l ébullition locale : série de bulles gazeuses que l on photographie. Chambre de Wilson : matérialiser les trajectoires électroniques par des traînées de gouttelettes (BCPST 1 Vieux)

279 LP 35 Potentiels thermodynamiques et applications Niveau : BCPST 2 Prérequis : - Premier et second principe Biblio : Perez, Diu, Hulin, BCPST 2 nouveau, Tec & Doc PC Plan : I. Notion de potentiel thermodynamique 1. Cas d un système isolé 2. Démarche pour les cas plus complexes II. Evolution monotherme et isochore d un système fermé 1. Loi d évolution et potentiel adapté 2. Application à la surfusion III. Evolution monotherme et isobare d un système fermé 1. Loi d évolution et potentiel adapté 2. Application au corps pur diphasé

280 Introduction : On souhaite déterminer, à l aide de la thermodynamique, les conditions d équilibre des systèmes étudiés. Ces dernières sont incluses dans l énoncé des principes. On va essayer de reformuler ces conditions en introduisant des potentiels thermodynamiques. (Hulin p.124) Pourquoi ce choix? C est la démarche effectuée en mécanique (ou en électrostatique) où la connaissance de l énergie potentielle permet de rechercher l équilibre. Ex : dans un champ de pesanteur terrestre, l énergie potentielle d un corps de masse m a pour expression : Ep = mgz. Si on lâche ce corps depuis l altitude z, il tombe. Son énergie potentielle décroît car sa hauteur diminue. Cette chute ne prendra fin qu à la position la plus basse que permettent les contraintes du système (a priori, le sol). On a donc trouvé l équilibre lorsque l énergie potentielle est minimale et donc le sens de l évolution. En thermodynamique, les états d équilibre sont obtenus en minimisant une fonction thermodynamique adaptée aux conditions physiques imposées au système. (Diu p. 173) I. Notion de potentiel thermodynamique 1. Cas simple d un système isolé (Diu) Le second principe énonce que, si l on relâche une contrainte dans un système isolé : - le système évolue dans le sens où l entropie S croît, S décroît (comme l Ep au cours d une chute) - le nouvel état d équilibre correspond au maximum de l entropie, donc au minimum de (-S) (toujours comme l Ep). On définit la négentropie S qui diminue lors de l évolution spontanée du système et qui est minium à l équilibre. Il s agit d un potentiel thermodynamique. Définition Une fonction qui dépend des variables du système et qui va diminuer lorsque le système évolue spontanément. Elle est minimale à l équilibre. Ex : détente de Joule-Gay Lussac d un gp. Pérez p. 215 Transition : En pratique, la contrainte «fermé et isolé» ne recouvre pas l ensemble des situations

281 usuellement rencontrées : il est notamment assez fréquent que le système soit en contact avec un thermostat! (Tec & Doc p. 296) 2. Démarche pour les cas complexes (Diu) Lors d une évolution quelconque d un système entre deux états d équilibre i et f, son énergie interne et son entropie vérifient les deux premiers principes. Ces deux relations vont nous permettre de construire le potentiel adapté à chaque situation particulière imposée au système. On a vu pour un système isolé, on va s intéresser à un système en contact avec un thermostat, soit entourés de parois rigides (isochore) ou soumis à une atmosphère imposant une pression extérieure invariable (monobare) Remarque : on se propose d utiliser la condition d entropie maximale, or cette dernière ne s applique qu aux systèmes isolés. On va donc adopter la démarche suivante : on réunit dans un système le système d étude et le milieu extérieur avec lequel il interagit. Càd, ce système global, isolé par définition, que l on pourra appliquer la condition d entropie maximale pour obtenir les conditions d équilibre S. Transition : Let s go! II. Evolution monotherme et isochore d un système fermé 1. Loi d évolution et potentiel adapté (Hulin p. 128) * Etude : Soit le système S = S ex U S étude, un système isolé. Premier principe : U étude = Q + Wp + W = Q + W = Q. (isochore, mécaniquement isolé) Second principe : S >0, soit S ex + S étude > 0 -Q/T + S étude > 0 - U étude /T + S étude > 0 (U f T S f ) (U i T S i ) < 0. Remarque p.68 : thermostat compte tenu de leur taille, très peu perturbé, processus quasi-statique, S ex =-Q/T. Hypothèse : le système d étude est à l équilibre avec le thermostat à EI et EF. T f = T i = T (U f T f S f ) (U i T i S i ) < 0. Fonction énergie libre F = U - TS On l appelle aussi énergie de Helmoltz, la lettre F vient de l anglais «free energy». Grandeur extensive. (BCPST 2 p. 12) Alors : F < 0

282 * Bilan : F est un potentiel thermodynamique pour un système fermé en évolution monotherme et isochore, mécaniquement isolé, à l équilibre avec le thermostat à l EI et l EF * Travail maximum récupérable F < W Si W<0 (système fournir du travail), W < F Egalité pour réversibilité. La diminution de la fonction F est égale au travail maximum des forces autres que les forces de pression récupérable. (utilisé pour les machines thermiques ) Transition : Applications

283 2. Application à la surfusion (Tec & Doc p. 312) Pare-brise se recouvre de gel en mettant en marche les essuie-glace * Observation #Exp : Salol ou étain A l état initial, où le salol est liquide à une température inférieure à sa température de fusion, on a un état métastable, ie un état stable mais pas l état le plus stable. Une petite perturbation suffit à faire évoluer l état métastable vers l état le plus stable, constitué de salol solide. * Modèle Salol dans un récipient sphérique de volume constant et maintenu à T. On assimile les volumes molaires des états liquides et solides. Une boule de rayon r est à l état solide, le reste à l état liquide. F = (4 R 3 /3-4 r 3 /3)f L + 4 r 3 /3)f S + 4 r²a A, f L, f S grandeurs caractéristiques du salol. * Etude Si A=0, F est monotone. Le système et fermé, maintenu à température constante et évolue sans travail puisque le volume est constant. F est donc un potentiel thermodynamique. Si f L <fs, l état d équilibre correspond au minimum de F, càd à r=0 : le système est monophasé, l eau étant entièrement à l état liquide. Exclu par l énoncé. Donc f L >f S Le terme correctif est proportionnel à l aire de l interface, on peut donc penser qu il prend en compte l énergie nécessaire pour créer des défauts cristallins imposés par l existence de cette interface. Si A 0, df/dr = 0 pour r=2a/( f L -f S ) * Bilan La fonction F présente un maximum local pour r=rc. L état correspondant est un état d équilibre thermodynamique instable. L eau surfondue (r=0) ne peut pas évoluer en l absence d une perturbation extérieure car l énergie libre qui est le potentiel thermodynamique du problème ne peut pas diminuer au voisinage de r=0. En revanche, il suffit de fournir au système un surcroît d énergie lui permettant de franchir le maximum de F pour qu il puisse évoluer vers l état solide r=r. Remarque : la traversée par un avion d un nuage d eau surfondue provoque de manière analogue la solidification instantanée des gouttes d eau sur l avion (givrage) -> dangereux, on le limite avec un antigel. Transition : Et si on fixe P

284 III. Evolution monotherme et isobare d un système fermé 1. Loi d évolution et potentiel adapté (Hulin p. 128) * Etude Soit le système S = S ex U S étude, un système isolé. Premier principe : U étude = Q + Wp + W = Q - P V (monobare, mécaniquement isolé) Second principe : S >0, soit S ex + S étude > 0 -Q/T + S étude > 0 (- U étude - P V)/T + S étude > 0 (U f T S f + P V f ) (U i T S i + P V i ) < 0. Remarque p.68 : thermostat compte tenu de leur taille, très peu perturbé, processus quasi-statique, Sex=-Q/T. Hypothèse : le système d étude est à l équilibre avec le thermostat et le pressostat à EI et EF. Tf = Ti = T et P = Pi = Pf (U f T f S f + P f V f ) (U i T i S i + P i V i ) < 0. Fonction enthalpie libre G = U TS + PV Ou énergie de Gibbs (BCPST 2 p. 12) G < 0 * Bilan : G est un potentiel thermodynamique pour un système fermé en évolution monotherme monobare, mécaniquement isolé, à l équilibre avec le thermostat et le pressostat à l EI et l EF. * Travail maximum récupérable G < W Si W<0 (système fournir du travail), W < G Egalité pour réversibilité. La diminution de la fonction G est égale au travail maximum des forces autres que les forces de pression récupérable. Transition : Applications

285 2. Application au corps pur diphasé (Tec & Doc p. 304) * Etude de l enthalpie libre d un corps pur sous 2 phases Considérons un corps pur diphasé maintenu à T et à la pression P. G = U + PV TS = G1 + G2 = ng 1m + n 2 (G 2m G 1m ) * Conditions d évolution et d équilibre Un système diphasé hors d équilibre évolue dans le sens de l appauvrissement de la phase dont l enthalpie libre molaire est la plus élevée, jusqu à disparition de cette phase. Un corps pur diphasé est en équilibre thermodynamique si l enthalpie libre molaire a la même valeur dans ses deux phases. La condition d équilibre est insensible à la répartition de la matière entre les deux phases. D où une relation supplémentaire, système monovariant. Courbes d équilibre dans le diagramme P,T. * Application : Graphite en diamant (Perez p. 231) On peut même rechercher la pression si on donne U m au lieu de H m? U m = H m PVm Or Vm = M/. Conclusion : (Diu p. 213) Les potentiels thermodynamiques sont très utiles pour élucider un grand nombre de phénomènes physiques. La méthode est pratiquement toujours la même : à partir de quelques faits expérimentaux caractérisant un phénomène et quelques idées simples, on construit une forme plausible pour un potentiel thermodynamique qui décrit les corps dans lesquels le phénomène envisagé se manifeste. Le potentiel ainsi élaboré permet de prévoir des propriétés nouvelles susceptibles de vérification expérimentale. Ex : modèle de Landau pour décrire ferro/para

286 LP 36 Présenter et illustrer le phénomène de transport suivant : diffusion de particules Niveau : BCPST 2 Prérequis : pas de prérequis Biblio : BCPST 2, Hecht, Tout en un Plan : I. Une loi phénoménologique : la loi de Fick 1. Mise en évidence 2. Grandeurs caractéristiques 3. Enoncé de la loi 4. Diffusivité II. Bilan local de particules. Equation de diffusion 1. Bilan local à une dimension 2. Equation de diffusion 3. Application III. Bilan local de particules avec terme de production 1. Bilan local à une dimension 2. Diffusion de neutrons

287 Introduction : # Expérience 1 : Encre dans eau Sans convection, on tend vers une uniformisation. Sans convection, on peut sentir parfum Il y a eu diffusion! La diffusion joue un rôle très important dans de nombreux domaines comme dans les réactions électrochimiques ou la diffusion des espèces électro actives jouent un rôle fondamental. Il peut y avoir diffusion dans les solides également, et la diffusion des impuretés dans les solides est un fondement de la technologie des semi-conducteurs. (T&D p. 348) I. Une loi phénoménologique, la loi de Fick 1. Mise en évidence # Expérience 2 : Ammoniac Filmés, exploités (résultats vus plus tard) Transition : On va essayer de quantifier cet écoulement. Pour cela, il va falloir définir les grandeurs caractéristiques du problème. 2. Grandeurs caractéristiques Densité particulaire On appelle densité particulaire le nombre de particules par unité de volume. Pour une distribution homogène, n*=n/v est une constante. Pour une distribution hors état d équilibre, n* varie selon les coordonnées de position et de temps : n*(x,y,z,t) = dn/dv valeur locale. Nous supposons donc l équilibre local réalisé. Vecteur densité de courant de particules Lorsque nous étudions «localement» un phénomène de transport, nous abordons «l aspect macroscopique» de ce phénomène, relatif aux valeurs moyennes des grandeurs physiques (vitesse des particules par exemple) à l instant t, en ce point. On appelle vecteur densité de courant de particules, un vecteur ayant direction et sens ceux de la vitesse moyenne des particules, et pour module le nombre moyen de particules traversant une surface unité (perpendiculaire à la vitesse moyenne) par unité de temps : j(x,t) en molécules/m²/s. Le transfert de particules à travers ds entre t et t+dt d 2 N=j(x,t)dSdt. Le produit scalaire permet de tenir compte de l inclinaison de ds ->surface utile. Le flux surfacique d = j(x,t)ds, le nombre de particule traversant ds par unité de temps. Le flux de particule à travers une surface est égal au flux du vecteur densité de courant de particule à travers la surface. = jds = dn/dt en particule/s

288 Transition : Maintenant que nous avons les grandeurs caractéristiques (j et n*) nous allons pouvoir voir le lien entre elles, qui traduit la diffusion. 3. Enoncé de la loi (Perez) La loi de Fick, phénoménologique Etablit expérimentalement par Fick (1850), de nature phénoménologique (comme la loi d Ohm). Elle traduit la proportionnalité entre j et la dérivée partielle de n* par rapport aux variables spatiales. A une dimension. Et à trois dimensions : Loi de Fick on se limite à des problèmes unidimensionnels à symétrie axiale et symétrie radiale D = coefficient de diffusion ou diffusivité. En m²/s. Le signe - traduit la diffusion dans le sens des concentrations moléculaires décroissantes. Si la distribution est homogène, grad n* = 0 et il n y a pas de diffusion «macroscopique» ; Si la distribution est inhomogène : grad n* 0 Limitations (Tout en un) : Si le gradient de densité est trop important, la relation entre le vecteur densité de courant de particules et ce gradient n est plus linéaire. Si le gradient de densité varie trop vite dans le temps, la relation entre le vecteur densité de courant de particules et ce gradient n est plus instantanée. Il existe des milieux anisotropes pour lesquels la diffusivité dépend de la direction de l espace. Application : la diffusion constitue le mécanisme le plus utilisé par le corps humain dans l absorption et la distribution des substances nécessaires aux cellules vivantes. De même l évacuation de sousproduits tels CO 2(g) relève de la diffusion. (BCPST p. 131) Transition : Mais de quoi dépend cette diffusion, on a vu un paramètre important la diffusivité, de quoi dépend-elle? 4. Diffusivité * Ordres de grandeurs et paramètres influençant - Ordres de grandeur (BCPST p. 131, Perez p. 75, T&D p. 354) Solides < liquides < gaz - Coefficient de diffusion dépend de : La nature des particules qui diffusent (essentiellement la taille) ; D est une fonction décroissante de la grosseur des molécules d un fluide par exemple, La nature du milieu support, La température La pression * Comment obtenir ces valeurs? - Analyse dimensionnelle => Exploitation de l expérience avec l ammoniac! x²=f(t) et on a D. Relation uniquement issue de l analyse dimensionnelle. Donne ordre de grandeur. * Que peut-on en tirer de ces valeurs?

289 - Notion de durée du transfert (BCPST p. 131, tout en un p. 778) Amenée par analyse dimensionnelle - Résistance diffusive Amenée par analogie avec l électricité : Rdiff = l/(ds) (BCPST p. 130) Transition : Maintenant que l on connaît la loi qui régit la diffusion, on va pouvoir étudier la densité particulaire à la déterminer. II. Bilan de diffusion de particules 1. Bilan local à une dimension Bilan Transition : On a le bilan et grâce à Fick on a l expression de de j. 2. Equation de diffusion Equation de diffusion En combinant la loi de Fick et l équation de bilan local, nous obtenons une équation aux dérivées partielles vérifiées par la densité particulaire. Elle est dure à résoudre! on va se placer en régime stationnaire. 3. Application Modèle de la réaction photochimique (BCPST p. 133, Tout en un p. 784). Ou alors faire une réaction d oxydo-réduction toute bête à l électrode??? Unidimensionnel, axial, sans terme de production. Transition : Et si il y a disparition ou création d un réactif? III. Bilan de diffusion avec terme de production 1. Bilan local à une dimension On réécrit l équation de diffusion d abord en sphérique ou cylindrique, puis avec un terme de production Transition : Maintenant appliquons cette formule au cas d un réacteur nucléaire 2. Diffusion de neutrons

290 T&D p. 348 : La diffusion de neutrons, couplée dans ce cas à l absorption et la création de neutrons, joue un rôle important dans les réacteurs nucléaires. BCPST p. 137 : symétrie cylindrique avec terme de production Ou BCPST p. 147 : symétrie sphérique avec terme de production Conclusion : Osmose = conséquence de la diffusion. Attention, diffusion souvent masquée par la convection dont on a du mal à s affranchir. Analogie avec électrique.

291 LP 37 Interférences non localisées en lumière monochromatique. Niveau : BCPST 2 Prérequis : - Notion d optique ondulatoire (Term S, BCPST 1) Biblio : Grecias BCPST 2, Perez, Tout en un, Sextant Plan : I. Etude théorique des interférences 1. Cadre de l étude 2. Eclairement du à la superposition de deux ondes 3. Conditions d interférence II. Dispositifs expérimentaux 1. Principe 2. Dispositif des trous d Young 3. Dispositif des miroirs de Fresnel

292 Introduction : Découvertes au début du XIX par Thomas Young et Augustin Fresnel (tout en un p.34) #T : Schéma de l expérience #Exp : Laser vert + trous d Young + écran Attention : Young utilisait la lumière blanche. Phénomène historiquement résumé par : lumière + lumière = obscurité a beaucoup surpris au point que l on a parlé du «paradoxe de l interférence». Définition d interférence. C est lui qui a permis d établir la nature vibratoire de la lumière et de déterminer pour la première fois, grâce à Fresnel, l ordre de grandeur d une longueur d onde optique. (Perez p.245) Le but de cette leçon est de l étudier et de savoir comment les obtenir en général. I. Etude théorique des interférences 1. Cadre de l étude (BCPST 2 Vieux et nouveau) Qu est-ce qu on étudie? * Onde monochromatique On considère des ondes lumineuses planes, monochromatiques caractérisées par un champ E et B. Si elles parviennent en un même point M de l espace, il se produit une superposition des champs E et B, caractéristiques de ces ondes. Nous nous limiterons aux cas de deux ondes. On suppose les champs électriques des ondes ont pratiquement la même direction ; les plans d onde sont pratiquement confondus. Cette dernière hypothèse se traduit par les rayons lumineux font nécessairement entre eux un petit angle. L addition vectorielle se ramène à une addition scalaire. Une onde lumineuse est caractérisée par une grandeur scalaire qui s identifie avec le champ électrique de cette onde (champ qui est détecté par les récepteurs lumineux), la vibration lumineuse, qui décrit l amplitude de cette onde dans le temps et l espace. L onde étant monochromatique, on pose : s(m,t) = a*cos( t- (M)) avec (M) = (S) +2 (SM)/ Comment est produit cette vibration? * Train d onde : phase à l origine aléatoire On s intéresse au laser ou lampe spectrale. En effet, rappelons que les ondes lumineuses sont produites par des transitions électroniques au niveau des atomes. Les atomes préalablement excités à la suite d un apport énergétique, retrouvent un état d énergie inférieure en émettant un photon associé une onde lumineuse de fréquence. Chaque photon est émis pendant une durée très brève de l ordre de s (pour une lampe spectrale usuelle), pour laser?, correspondant à la durée de vie moyenne du niveau excité. En outre du fait du mécanisme d émission, il n existe pas de relation entre les phases à l origine de deux trains d ondes quelconques émis par la source. La phase à l origine est aléatoire. Comment détecter cette vibration? * Récepteur Les récepteurs sont sensibles à la puissance lumineuse qu ils reçoivent, donc E², donc s². Or le temps de réponse le meilleur, càd le plus faible (10-6 s photodiode, 0,1s oeil), reste bien plus grand que la période de vibration d une lumière visible (10-14 s). Dans ces conditions, les récepteurs ne sont sensibles qu à la valeur moyenne de la puissance lumineuse qu ils reçoivent. On appelle éclairement la puissance

293 lumineuse surfacique moyenne reçue par une surface et elle est proportionnelle à <s²>. temps de réception du récepteur. Cette grandeur qui s exprime en W/m² (Tout en un p.8)

294 2. Eclairement du à la superposition de deux ondes (Tout en un p.36) * Eclairement du à une onde s(m,t) = A cos( t ) E = K<s²> = KA²<cos²( t )> = 1/T A²cos²( t )dt On linéarise le cosinus E = 1/TA²/2 1+cos(2 t 2 )dt E = KA²/2 * Eclairement du à deux ondes Calculs avec s = s1 + s2. E = K<s²> = K<(s1 + s2)(s1* + s2*)> Apparition d un troisième terme, terme d interférences. Les deux premiers termes sont positifs, donc si on veut de l obscurité, il n y a plus que le troisième terme. Formule des interférences. Lorsqu il est non nul, on dit qu il y a interférences. 3. Conditions d interférences (Tout en un p.36) Cohérence temporelle : les deux ondes doivent avoir même pulsation Cohérence spatiale : <cos > 0. Or aléatoire, mais il suffit que la différence ne soit pas aléatoire, donc les deux phases liées, soit d une même source. Il faut stabiliser le déphasage pendant une durée au moins égale à quelques, temps de réponse du récepteur utilisé (c est sur cette durée que la moyenne est prise). Au final, on voit bien que l éclairement n est pas la somme des éclairements, ce que Young avait observé. Transition : Comment faire dans la pratique pour réaliser ces conditions? II. Dispositifs interférenciels 1. Principe On a vu qu il faut fréquences identiques et déphasage non aléatoire, d où pour réaliser les conditions, pas le choix, il faut partir d une seule source et en créer deux. Deux ondes à partir du dédoublement d une seule onde. Schéma de principe : S -> S1 et S2 -> M #T : Deux ondes de S vers S1 et S2, recouvrement des deux faisceaux = zones d interférence. On réécrit la formule des interférences avec les deux éclairements identiques et délinéarisant le cosinus. E = E *cos²( / ). Bien expliquer ce que représente la différence de marche. Graphe éclairement en fonction de la différence de marche. On retrouve ce qu à observer Young. L œil est sensible à ce changement d intensité et on peut apprécier ce changement par la notion de contraste. Définition. Transition : On va s intéresser au dispositif qu on a vu en intro.

295 2. Trous d Young * Expérience #T : Schéma du principe. Définition de D, a, M(x,y,z) * Etude théorique (BCPST 2 Vieux p.590) On a vu l importance de la différence de chemin optique. Des racines, compliquées!! Regardons le montage : D =, a = x =. Il est légitime de supposer D grand. C est juste pour le calcul, qu on suppose D très grand. Les interférences sont non localisées!! On le calcule. = xa/d. On la remplace dans la formule des interférences. On détermine frange brillante/sombre. On définit l interfrange. i= D/a Ordres de grandeurs : permet d expliquer les choix du montage. #Exp : mesure de l interfrange avec Caliens. On la reporte sur le tableau où il y a déjà les valeurs pour les deux autres espacements. On calcule la longueur d onde à la calculatrice. Ensuite incertitude. Incertitude sur D (cm), a (µm -> fiche tecnique), i (100 µm -> fait à la main, zone d incertitude) On montre les calculs fait pour laser rouge. On montre qu on peut retomber sur la longueur d onde. * Fentes d Young (BCPST 2 p.321) On a vu que l éclairement ne dépend que de x et pas de y. Passage aux fentes. Pareil mais plus de lumière! Transition : Il existe d autre manière de dédoubler une onde, voyons l expérience de l autre grand génie de l optique ondulatoire, Fresnel. 3. Miroirs de Fresnel * Expérience #T : Schéma de principe #Exp : Laser vert + fente + lentille divergente (30 cm) + Fresnel + Caliens * Interprétation (BCPST 2 Vieux ou nouveau p.596) On se ramène à des trous d Young! Conclusion : PN 1972, Gabor pour l holographie. Transformation d une variation de phase en une variation d intensité. L information complète contenue à la fois dans l amplitude réelle et dans la phase est alors accessible. (Perez p.255, tout en un exo p.151) L interférométrie optique, utilisée en astronomie depuis 130 ans pour déterminer par exemple le diamètre des étoiles, est encore à l heure actuelle une méthode très prometteuse. (tout en un p.34, 97) et sinon filtre interférentiel, spectroscope, Interférence à N ondes -> réseau Remarque : Intensité = flux lumineux émis par angle solide Eclairement = flux lumineux reçu par unité de surface

296 LP 38 Diffraction à l infini par un réseau plan. Spectroscope à réseau Niveau : BCPST 2 Prérequis : - Notion d optique ondulatoire (Term S, BCPST 1) - Interférences non localisées à deux ondes - Présentation expérimentale de la diffraction Biblio : Grecias BCPST 2, HP optique ondulatoire Plan : I. Présentation expérimentale des réseaux 1. Constitution d un réseau 2. Diffraction à l infini II. Etude théorique élémentaire du réseau 1. Intensité diffractée 2. Système dispersif III. Application : spectroscope à réseau 1. Mesure d une longueur d onde 2. Pouvoir de résolution

297 Introduction : Spectroscopie : signature optique d un élément=raies d émission Pour mesurer les raies, il faut disperser la lumière émise. Pour cela, dans le cadre de l optique géométrique, prisme déjà vu : # T1 : Montage rigoureux à l infini utilisé pendant tout le cours # Expérience 1 : Prisme Hg+condenseur+fente+lentille(12cm)+prisme (PVD)+lentille (1m)+écran PVD=Flint et Crown pour ne pas avoir de déviation. Pas très dispersant mais lumineux. Un autre système dispersant, peut être utilisé. # Expérience 2 : Réseau Hg+condenseur+fente+lentille(12cm)+réseau(1180)+lentille (1m)+écran Plus dispersant bien que moins lumineux. Rq, rouge plus dévié. La nature de la dispersion est tout autre et s explique cette fois grâce à une théorie ondulatoire de la lumière. Comme nous allons le voir. I. Présentation expérimentale des réseaux 1. Constitution d un réseau * Définition : ensemble de motifs diffractant (dont l une des dimensions au moins est de l ordre de grandeur de la longueur d onde utilisée) identiques régulièrement disposés dans l espace. # T2: Définitions réflexion, transmission et comment passer de l un à l autre * Caractéristique : pas = distance entre deux traits (micromètre) ; nombre de traits par mm (1000). Donc nombre de trait si l=3cm, traits! Faire le calcul. Transition : Pour comprendre comment fonctionne un réseau, on va déjà regarder l effet d une fente sur un rayon lumineux 2. Diffraction à l infini a. Par une fente fine (rappel) # Expérience 3 + #T3 : Diffraction par une fente fine Laser+ fente+écran Rappel : plus la fente est petite, plus la tache de diffraction est grande. Transition : Maintenant un réseau ensemble

298 b. Par un réseau 1) Diffraction : Un réseau est un ensemble de N fentes qui diffractent. 2) Interférences : Maintenant pourquoi N ondes? # Expérience 4 + #T4 : Diffraction par réseau en lumière monochromatique Laser+ multi-fentes(1,2,4, 16) avec même espacement, même taille+écran Report des résultats sur un transparent On voit interférences (maximas de pics principaux et secondaires, plus N augmente, plus les pics principaux s affinent avec a et l constants) # Expérience 5: Diffraction par réseau en lumière polychromatique Hg+condenseur+fente+lentille(12cm)+réseau(80t/cm ; 100 ; 300 ; 600)+lentille (1m)+écran Bilan : pour mieux séparer les raies, il faut : Il faut l petit pour voir le max d interférences avec le max d intensité. Plus N augmentent, plus les pics s affinent et plus on voit toutes les raies. On voit que plus a diminue, plus les pics sont écartés. Pourquoi? Transition : Maintenant on va essayer de comprendre ces observations II. Etude théorique élémentaire du réseau 1. Intensité diffractée * Calcul de la différence de marche entre deux rayons consécutifs (diffraction) * Maxima d intensité : toutes ces ondes vont interférer à l infini, et intensité maximal quand phase = 2pi. Maxima d intensité, condition sur le chemin optique (formule du réseau), rappel de l ordre d interférence. * Interprétation géométrique #T5 : Formule des réseaux (transmission, réflexion) + Cercle On voit que plus a est petit et plus il y a séparation mais il faut aussi que la largeur des pics soit faible et comment on voit ça? #T6 : Intensité On montre la formule avec facteur de forme et de structure et un petit schéma pour expliquer la dépendance en l et N. * Bilan : il faut N grand, a petit et l petit. Transition : On a vu qualitativement comment faire pour avoir un bon réseau mais comment déterminer quantitativement sa capacité à disperser pour pourvoir comparer? 2. Système dispersif # Expérience 6 + #T7 : Définition efficacité dispersive, tableau récapitulatif pour odres de grandeur. Hg+condenseur+fente+lentille(12cm)+réseau(100)+lentille (1m)+écran On montre que si k augmente, efficacité augmente (déjà fait avec a) Transition : On vient de voir que système dispersif, est-ce qu on peut l utiliser pour déterminer des

299 longueurs d onde, quel est sa limite,?

300 III. Application : spectroscope à réseau #T8 : Schéma d un spectroscope à réseau Présentation du goniomètre, expliquer le montage. Mettre réseau sur plaque graduée. 1. Mesure d une longueur d onde Mesure absolue : Calcul du minimum de déviation # Expérience 7+ #T9 : Calcul du minimum de déviation + détermination + résultats avec goniomètre Hg+condenseur+fente+lentille(12cm)+réseau(570)+lentille (1m)+écran Mesure relative : Droite détalonnage # Expérience 8+ #T10 : Droite d étalonnage+résultats sur goniomètre (droite avec Hg, calcul pour Na) Hg+condenseur+fente+lentille(12cm)+réseau(570)+lentille (1m)+écran Transition : J ai pu dédoubler la raie de Hg mais pas celles de Na, pourquoi? 2. Pourvoir de résolution #T11 : Définition intrinsèque Calcul pouvoir théorique pour voir Hg et Na Calcul avec R=Nk pour le réseau utilisé. On devrait voir Na!! On voit pas car autre pouvoir, pouvoir effectif du à la fente! # Expérience 9 : Mise en évidence avec la raie du Hg On ouvre la fente et on regard qu on perd le doublet Hg+condenseur+fente+lentille(12cm)+réseau(1180)+lentille (1m)+écran Conclusion : Réseau très dispersif (prism=réseau à 50 traits!) On utilise à réflexion, moins de défauts. Applications : analyse chimique ; astrophysique (détermination de la température d une étoile ; composition chimique des étoiles) La première exoplanète a été découverte en 1995 par Mayor et Queloz en utilisant un spectroscope à réseau. Ils ont déterminer le changement de vitesse radiale de l étoile par le décalage de son spectre.

301 LES SPECTRES La matière possède une propriété importante qui est de pouvoir émettre ou absorber de l'énergie sous forme de lumière. Ainsi, à partir de l'étude de la lumière émise ou absorbée par les atomes d'un gaz, nous pouvons déduire beaucoup d'informations concernant la composition, la température et la densité de ce gaz. L'analyse de la lumière en ses différentes couleurs, ou longueurs d'onde, constitue la spectroscopie. Newton fut le premier à montrer que la lumière blanche est en fait un mélange de toutes les couleurs de l'arc-enciel. Il éclaira avec de la lumière solaire une fente percée dans un écran opaque et fit traverser à cette lumière un prisme en verre et une lentille convergente. Il obtint des images colorées de la fente sur un écran. L'ensemble de ces images constitue un spectre pur de la lumière blanche. Le prisme dévie la lumière, mais il dévie davantage la lumière bleue que la lumière rouge. Les couleurs apparaissent dans l'ordre suivant: violet, bleu, vert, jaune, orange et rouge. Newton en tira la conclusion que toutes ces couleurs sont présentes dans la lumière blanche et que le prisme a pour effet de les séparer. 1- LA NATURE DU SOLEIL ET LA SPECTROSCOPIE Au milieu du XVIIIème siècle, alors qu'on ne savait pas de quoi était fait le Soleil, Auguste Comte soutenait dans son "Cours de philosophie positive", qu'on ne le saurait jamais, car il était impensable que l'on puisse déterminer sa composition chimique à distance. Il mourut en 1857, deux ans avant que deux allemands, le chimiste Robert Bunsen et le physicien Gustav Kirchhoff ne révolutionnent l'astronomie en analysant le spectre de la lumière solaire, ouvrant la porte à la détermination de la composition chimique et des propriétés physiques non seulement du Soleil mais aussi des étoiles. Ils découvrirent d'abord que tout corps chaud émet un rayonnement qui couvre tout le spectre de la lumière, et qu'on qualifie de spectre continu ; puis, que le spectre d'un gaz sous faible pression et porté à haute température se réduit à quelques raies caractéristiques brillantes, qui sont la signature de l'élément chimique qui constitue le gaz : le spectre de raies d'émission. Ils remarquèrent enfin que la signature de l'élément chimique s'inversait lorsque le rayonnement continu traversait un gaz de ce même élément à basse température : par exemple les 2 raies jaunes caractéristiques du sodium apparaissaient en noir sur le spectre continu de la lumière émise par la flamme dans laquelle on fait brûler du sodium. Ils venaient d'inventer l'analyse spectrale, le plus puissant des outils de l'astrophysique. Or, dès 1814 le physicien allemand Joseph von Fraunhofer avait remarqué la présence de raies noires dans le spectre du Soleil. Il avait même établi un catalogue, affectant une lettre à chacune des raies ou groupes de raies. En appliquant la méthode mise au point par Kirchhoff et Bunsen, on parvint rapidement à identifier les éléments responsables de ces raies : le sodium pour les 2 raies D1 et D2, l'hydrogène pour les raies C et F, le calcium une fois ionisé pour les raies H et K. Kirchhoff mesura la position de plusieurs milliers de raies du spectre solaire et montra qu'elles coïncidaient avec celles émises par divers éléments chimiques tels l'hydrogène ou le calcium. Il en conclut que ces éléments étaient présents dans l'atmosphère du Soleil et absorbaient, aux longueurs d'ondes qui les caractérisent, la lumière continue rayonnée par le Soleil lui-même. Il publia en 1861 le premier atlas du spectre solaire, obtenu au moyen d'un prisme ; cependant, les longueurs d'ondes des raies données dans cet atlas n'étaient pas très précises, parce que, la dispersion du prisme n'étant pas du tout linéaire, l'échelle variait beaucoup avec la longueur d'onde ; en outre, elles étaient données dans une unité arbitraire. En 1869, le physicien suédois Anders Ångström publia un nouvel atlas, obtenu avec un réseau de diffraction dont la dispersion est à peu près linéaire, et remplaça l'échelle arbitraire de Kirchhoff par celle plus naturelle des longueurs d'ondes dans le système métrique ; il les exprima en dix millionièmes de millimètre, unité à laquelle son nom devait être ensuite associé. L'atlas photographique de Henry Rowland, publié au cours des années 1890, et encore utilisé actuellement, couvre un domaine de longueur d'onde allant de 300 à 700 nm et comporte environ raies. L'étude détaillée du spectre solaire avait conduit à découvrir en 1863 des raies dues à l'atmosphère terrestre : ces raies atmosphériques ne se voient que lorsque le Soleil est bas sur l'horizon car elles sont d'autant plus intenses

302 que le trajet suivi par le rayonnement solaire dans l'atmosphère de la Terre est long. L'astrophysicien français Jules Janssen montra par des expériences de laboratoire que ces raies sont provoquées par la vapeur d'eau. En 1868, au cours d'une éclipse de Soleil particulièrement intéressante car la phase de totalité durait 6,5 minutes, Janssen avait observé dans la région jaune-orange du spectre, juste à côté du doublet D du sodium, une raie qui ne correspondait à aucun élément connu et que l'astronome britannique Norman Lockyer décida d'attribuer à un corps simple inconnu sur Terre et qu'il appela "hélium" du nom grec "helios" du Soleil. L'hélium ne fut identifié au laboratoire que 27 ans plus tard par le chimiste britannique William Ramsey. On sait maintenant que l'hélium est, après l'hydrogène, le second élément le plus abondant dans le Soleil. L'analyse spectrale a permis de connaître la composition chimique détaillée et précise du Soleil. Tous les éléments connus sur Terre y sont présents. En 1864 l'astronome italien Angelo Secchi fut le premier à suggérer que le Soleil soit entièrement gazeux, avec une température décroissant de l'intérieur à la surface. Il ne pouvait cependant pas le démontrer, faute de disposer d'un critère lui permettant de déterminer la température superficielle. Il fallait pour cela mesurer la quantité d'énergie reçue chaque seconde sur Terre par unité de surface orientée perpendiculairement à la direction du Soleil, appelée constante solaire, ce qui comporte des difficultés techniques, à cause de l'effet provoqué par l'atmosphère terrestre sur le rayonnement solaire. Connaissant cette puissance reçue à la distance de la Terre, on peut en déduire la luminosité du Soleil, qui est la puissance qu'il rayonne. Mais il est nécessaire de connaître les lois du rayonnement pour relier luminosité et température. Newton avait admis que la puissance rayonnée est proportionnelle à la température. Dulong et Petit avaient proposé une loi différente : pour une progression arithmétique de la température, la puissance croîtrait selon une progression géométrique. Le problème fut réglé en 1879, grâce à la loi de Stefan-Boltzman qui établit que la luminosité varie comme la température à la puissance 4. A la fin du siècle, avec les mesures plus précises de la constante solaire, on put enfin évaluer une valeur correcte de la température de la photosphère solaire voisine de K. Les expériences de physique avaient montré qu'à une telle température la matière ne peut plus exister qu'à l'état gazeux. 2 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE SPECTRES Spectre continu Nous avons vu que la lumière blanche est un mélange de toutes les couleurs du spectre ; on dit que la lumière blanche possède un spectre continu parce que l'on passe progressivement d'une couleur à une autre et qu'il n'y a aucune interruption dans la succession des couleurs. L'expérience montre que tout corps solide ou tout corps gazeux sous forte pression, s'il est à haute température, donne naissance à un spectre continu de lumière. Un bon exemple est la lumière émise par le filament incandescent d'une lampe. Spectre de raies d'émission Il existe aussi des sources de lumière qui n'émettent pas de spectre continu. L'exemple le plus important est celui d'un gaz peu dense et chaud. Si on analyse au moyen d'un prisme la lumière émise par un tel gaz, on observe un ensemble de raies brillantes. On dit que ce spectre est constitué de raies d'émission. Il ne possède pas toutes les couleurs, mais seulement certaines d'entre elles : celles qui apparaissent comme raies d'émission brillantes. Chaque élément chimique à l'état gazeux a son spectre de raies propre. Les expériences faites au cours du XIXe siècle ont montré que deux gaz différents n'ont jamais exactement le même spectre de raies. Le spectre de raies d'émission d'un gaz est donc sa signature propre, comme les empreintes digitales d'une personne. C'est parce que les raies les plus brillantes du néon sont dans la région rouge du spectre qu'une lampe au néon émet de la lumière rouge. Le mercure est caractérisé par des raies d'émission intenses dans le jaune, le vert et le bleu, ce qui explique la couleur bleutée de la lumière émise par une lampe à vapeur de mercure. Les lampes à vapeur de sodium produisent une lumière jaune parce que le spectre du sodium est dominé par deux raies très intenses dans la partie jaune du spectre. Lorsqu'il émet son spectre coloré de raies d'émission, le gaz excité perd de l'énergie. Pour maintenir son excitation et lui permettre de continuer à rayonner il faut lui apporter de l'énergie, par exemple sous forme électrique, ou en le chauffant : cette énergie est rayonnée par le gaz sous forme de lumière. Pour des excitations relativement élevées, nécessaires pour qu'un gaz rayonne un spectre d'émission, les molécules sont dissociées en atomes, ceux-ci sont responsables du spectre observé. La signature du gaz est celle des atomes qui le constituent : un atome d'une espèce chimique est caractérisé par son spectre de raies d'émission et s'il reçoit de l'énergie d'une source extérieure, il peut émettre ce spectre. On peut donc utiliser le spectre de raies d'émission d'un élément chimique gazeux pour l'identifier en tant qu'élément chimique, que ce soit au laboratoire ou dans une source de lumière astronomique telle qu'une étoile, une planète ou un nuage de gaz interstellaire.

303 Spectre de raies d'absorption De même que les atomes peuvent rayonner de la lumière sous la forme d'un spectre d'émission quand on leur fournit de l'énergie, ils peuvent aussi absorber de la lumière. On peut montrer cette propriété en faisant passer de la lumière blanche à travers un gaz froid monoatomique avant de la disperser par le prisme. En l'absence du gaz froid, le spectre est continu. Si la lumière traverse le gaz froid, le spectre est modifié : certaines couleurs ont disparu et l'on voit des raies noires, appelées raies d'absorption, sur le spectre coloré continu. A l'endroit d'une raie d'absorption, il n'y a plus du tout, ou plus beaucoup de lumière correspondant à cette couleur : les atomes du gaz ont absorbé sélectivement cette lumière. La propriété importante de ce spectre de raies d'absorption est que ces raies se produisent au même endroit que les raies d'émission : les couleurs absorbées par un gaz sont les couleurs qu'il est capable d'émettre. Le fait que le spectre soit un spectre de raies d'émission ou un spectre de raies d'absorption dépend des conditions physiques qui règnent dans le gaz. On observe un spectre d'émission si le gaz est chaud ou s'il reçoit de l'énergie d'une source extérieure ; on observe un spectre d'absorption si le gaz est froid et s'il s'interpose entre une source de lumière émettant un spectre continu et l'observateur. Dans les deux cas, la structure du spectre de raies est la même, si le gaz est de même nature, c'est-à-dire composé des mêmes atomes. On peut donc identifier un élément chimique aussi bien par son spectre d'émission que par son spectre d'absorption. 3 - L'ANALYSE SPECTROSCOPIQUE Lorsque le gaz est formé de plusieurs éléments chimiques différents, le spectre est plus compliqué, puisqu'il présente les raies caractéristiques de chacun des éléments. On peut cependant identifier chacun de ces éléments, si on connaît bien les spectres des différents éléments chimiques qui existent dans la nature, en reconnaissant les configurations de raies caractéristiques de chaque élément. Lorsque chaque raie a pu être identifiée, on a déterminé la composition chimique du gaz. Ce procédé d'analyse spectrale est fondamental pour l'astrophysique, puisqu'il permet de déterminer la composition chimique d'astres qui sont, par ailleurs, inaccessibles à l'expérimentation directe. 4 - LES LOIS DE KIRCHHOFF Nous venons de voir trois types de spectres : les spectres continus, les spectres de raies d'émission et les spectres de raies d'absorption. Les lois qui décrivent les conditions de formation de ces différents spectres portent le nom du physicien allemand G. Kirchhoff qui les publia en 1859 en collaboration avec R. Bunsen ; elles s'expriment de la manière suivante : 1- Un gaz à pression élevée, un liquide ou un solide, s'ils sont chauffés, émettent un rayonnement continu qui contient toutes les couleurs. 2- Un gaz chaud, à basse pression, émet un rayonnement uniquement pour certaines couleurs bien spécifiques : le spectre de ce gaz présente des raies d'émission. 3- Un gaz froid, à basse pression, éclairé par une source de rayonnement continu, absorbe certaines couleurs, produisant ainsi dans le spectre des raies d'absorption. Ce gaz absorbe les mêmes couleurs qu'il émettrait s'il était chaud. Pour comprendre l'origine de ces lois, il a fallu attendre de connaître la nature quantique de la lumière. Elles sont fondamentales pour la spectroscopie, et nous permettent ainsi de comprendre les spectres des astres. Le Soleil et les étoiles émettent un spectre continu : on en déduit que les étoiles sont constituées d'un gaz sous pression ; elles sont en effet à des températures trop élevées pour pouvoir être solides ou liquides. Nous verrons que la pression du gaz n'a pas besoin d'être extrêmement élevée. Le spectre du Soleil et celui de la plupart des étoiles présentent aussi des raies d'absorption, qui caractérisent les éléments chimiques constituant leurs régions superficielles, appelées parfois leurs atmosphères : les régions internes de ces étoiles sont très chaudes et les régions superficielles plus froides. Le rayonnement continu émis par le gaz chaud subit une absorption sélective caractéristique des éléments chimiques qui constituent l'atmosphère plus froide. On observe également des spectres de raies d'émission dans une grande variété de corps célestes, telles les comètes, certaines étoiles ou ces grands nuages de gaz brillants qu'on appelle nébuleuses. Nous pouvons en conclure qu'ils sont composés de gaz chaud à basse pression.

304 LP39 Électrocinétique et électronique : filtres passifs ; applications Niveau : BCPST 2 Prérequis : - Notation complexe - Impédance complexe - Dipôles et circuits linéaires passifs en régime sinusoïdal Biblio : Grecias BCPST 2, Tout en un MPSI, Perez, Krob, Quaranta Plan : I. Notion de filtre 1. Ordre d un circuit 2. Fonction de transfert II. Filtres passifs d ordre 1 1. Passe-bas 2. Passe-haut III. Filtres passifs d ordre 2 1. Passe-bas d ordre 2 2. Passe-bande

305 Introduction : Manip démonstrative : signal sinusoïdal envoyé sur résistance, puis on ajoute un condensateur et hop ça change! R=10kOhm et C=10nF Un circuit peut avoir des réponses différentes suivant la fréquence du signal! Pourquoi? Quel est l intérêt? On se limitera au circuit RC I. Notion de filtre 1. Ordre d un circuit * Quadripôle électrocinétique = système comportant deux bornes d entrée reliées à un dipôle source et deux bornes de sortie reliées à un dipôle d utilisation. #T1 : Schéma (BCPST 2 p. 237) Le dipôle source est un générateur, qui délivre un signal utile, noté e. Le dipôle d utilisation est souvent une résistance dite de charge. On note s, la réponse du circuit qui est aussi la tension aux bornes du dipôle d utilisation. * Système linéaire: Pérez p. 181 ; Korb p. 34 Si à une entrée x1 (x2) on a une sortie y1 (y2), alors à l entrée a.x1 + b.x2 on doit avoir a.y1 + b.y2 Du fait de la linéarité du système, les signaux e et s sont liés par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. * Ordre du circuit linéaire = ordre de l équation différentielle linéaire associée, c est-à-dire l ordre de dérivation le plus élevé. * Exemple : filtre RC en passe-bas Transition : C est l éq diff qui régit tout! Et on peut la mettre sous une forme particulière qui va définir le type de circuit. 2. Fonction de transfert On réécrit l équa diff en complexe et hop! fonction de transfert. On a plusieurs fonctions de H suivant que e et s soient une tension ou une impédance : Amplification complexe en tension, amplification complexe en courant, transimpédance, transadmittance. On s intéressera surtout à Amplification complexe en tension. Rq :L ordre du circuit = ordre de la fonction de transfert = ordre du polynôme au dénominateur. Le module de H, noté G, est appelé gain. La phase donne déphasage entre entrée et sortie. Filtre = tout circuit dont le module de la fonction de transfert dépend de la pulsation omega. On s intéressera au filtres passifs ici = la puissance disponible en sortie est toujours inférieure (au mieux égale s il n y a pas de résistance) à celle du signal d entrée Transition : Maintenant qu on a l outil pour caractériser un circuit, utilisons-le!

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307 II. Filtres d ordre 1 1. Passe-bas #Expérience + #T1 : Schéma du Filtre RC ; on fait varier la fréquence et on observe bien le comportement passe-bas * Etude qualitative : avec les mains (grâce à l impédance complexe du condensateur), passe-bas! * Fonction de transfert : On vérifie qu on a bien ordre 1, on retrouve les conditions aux limites Gain Déphasage #T2 : Tracé des diagrammes G=f(w) et phi=f(w) obtenu en préparation avec report de point. Pulsation de coupure : définie par G(omega de coupure)=gmax/racine(2). Introduction de la pulsation réduite. Bande passante : intervalle de pulsations qui vérifie : Gcoupure<G(w)<Gmax. * Généralisation des filtres passe-bas d ordre 1 * Application : intègre les hautes fréquences (poste de télévision, ordinateur, permet de réguler les variations du champ magnétique, signal moyenne (Quaranta)) filtre passe-bas (radar (la fréquence de l onde qui revient est différente : produit des ondes, on a somme de cos avec différence et somme, on garde la différence ; sélectionne sons grave en sortie d un ampli audio) Transition : Et si on regarde la sortie aux bornes de la résistance?! 2. Passe-haut #Expérience + #T3 : Schéma du Filtre RC ; on fait varier fréquence et on observe bien le comportement passe-haut * Conditions aux limites : avec les mains (grâce à l impédance complexe du condensateur), passehaut! * Fonction de transfert : On vérifie qu on a bien ordre 1, on retrouve les conditions aux limites et en plus, on voit que circuit dérive les basses fréquences Gain Déphasage #T4 : Tracé des diagrammes G=f(w) et phi=f(w) obtenues en préparation Pulsation de coupure-bande passante * Généralisation des filtres passe-haut d ordre 1 * Application : dérive les basses fréquences (capteurs de position deviennent capteurs de vitesse) filtre passe-haut (élimine les bruits parasites graves dus au ronflement du à la rotation d un moteur d entraînement du plateau d un tourne-disque (anti-rumble) ; suppression du signal continu (voie AC d un oscilloscope qui se distingue de DC par couper la composante continue de fréquence nulle) #Expérience + #T5 : démodulation : on fait sommateur avec AO ou on met un offset à un signal

308 périodique et RC pour supprimer la composante de basse fréquence. Transition : Mais filtre pas très sélectif, comment faire? On les associe. III. Filtres d ordre 2 1. Passe-bas d ordre 2 (Tout en 1, MPSI p. 1264) #Expérience + #T5 : * Etude qualitative : avec les mains (grâce à l impédance complexe du condensateur), passe-bande! * Fonction de transfert : On vérifie qu on a bien ordre 2, on retrouve les conditions aux limites. On a bien un passe-bas d ordre 2 et attention ce n est pas le produit des deux filtres! Gain Déphasage #T5 : Tracé des diagrammes G=f(w) et phi=f(w) obtenus en préparation Pulsation de coupure-bande passante Facteur de qualité : définition. Plus sélectif! Transition : Plus sélectif mais laisse passer une grande bande de fréquence et si on veut qu une fréquence? Idée mettre un passe-bas et un passe-haut 2. Passe-bande d ordre 2 (Tout en 1, MPSI) #Expérience + #T5 : Pont de Wien * Etude qualitative : avec les mains (grâce à l impédance complexe du condensateur), passe-bande! * Fonction de transfert : On vérifie qu on a bien ordre 2, on retrouve les conditions aux limites. On a bien un passe-bas d ordre 2 Gain Déphasage #T5 : Tracé des diagrammes G=f(w) et phi=f(w) obtenus en préparation Pulsation de coupure-bande passante Facteur de qualité : On peut moduler la bande passante! * Applications : Caractère intégrateur/dérivateur Peut servir à éliminer du bruit. Passe-bande dans les postes de radio, télévision. On sélectionne une fréquence! Conclusion : Transparent récapitulatif des trois filtres. Ici passif, on perd du gain, toujours inférieur à 1! Comment faire pour avoir plus de gain -> actif, on

309 gagne de la puissance!! De plus on a vu dépendance de la charge.

310 LP 40 Électrocinétique et électronique : filtres actifs utilisant l amplificateur opérationnel idéal dans son domaine linéaire ; applications Niveau : BCPST 2 Prérequis : - Notion d électrocinétique - Filtres passifs - Amplificateurs opérationnels Biblio : Grecias BCPST 2, Vauchelles, Duffait Plan : I. Intérêt des filtres actifs 1. Indépendance vis-à-vis de la charge 2. Augmentation du gain II. Filtres actifs utilisant l AO 1. Filtre de Sallen-Kay 2. Filtre pour enceinte acoustique

311 Introduction : Perez p. 326 Filtres passifs on été vu. G<1. Puissance de sortie inférieure à la puissance d entrée. Ils existent des filtres où le puissance de sortie peut être supérieure! Ils sont dit actifs car ils comportent des éléments actifs généralement des AO, lesquels apportent l énergie auxiliaire qui est nécessaire pour que la puissance des signaux de sortie soit supérieure (voire très supérieure) à celle des signaux d entrée. Nous allons nous restreindre aux filtres comprenant des AO idéaux dans leur régime linéaire. Rappel : v+=v-. (gain tend vers l infini), pas de saturation. Comme les filtres passifs, les filtres actifs sont caractérisés par leur fonction de transfert qui va permettre de les caractériser. I. Intérêt des filtres actifs * Mise en évidence 1. Indépendance vis-à-vis de la charge #Expérience + #T1 : Schéma d un passe-bas RC + charge (Duffait p. 144 ; Perez p. 329) Fonction de transfert modifié : Gain abaissé, fréquence de coupure modifiée. Ajout d un composant actif, l AO pour avoir filtre actif. Fonction de transfert non modifié!

312 * Application : mise en cascade #Expérience + #T2 : Mise en cascade de deux dérivateurs (Duffait p. 144 ; Perez p. 329) Fonction de transfert = 2*fonction de transfert du dérivateur. On a pas de gros calcul! On a un ordre 2. Analyse asymptotique, on a un passe bas plus sélectif Transition : d où le filtre actif par ajout d un AO! De plus regardons de plus prêt la fonction de transfert d un dérivateur. 2. Augmentation du gain On reprend la fonction de transfert précédente et on voit que si on a un G en tension qui est plus grand par rapport au filtre passif correspondant.

313 Transition : Maintenant qu on a l outil pour caractériser un circuit, utilisons-le!

314 II. Filtres actifs utilisant un AO 1. Filtre de Sallen-Kay (BCPST Vert ; Perez ; Quaranta) #Expérience + #T1 : * Etude qualitative : avec les mains (grâce à l impédance complexe du condensateur), passe-bande! * Fonction de transfert : On vérifie qu on a bien ordre 1, on retrouve les conditions aux limites Gain Déphasage #T2 : Tracé des diagrammes G=f(w) et phi=f(w) obtenu en préparation avec report de point. Pulsation de coupure Bande passante Coefficient de qualité Le filtre est d autant plus sélectif que la bande-passante est plus faible ; on peut jouer sur k. * Application : radio Il existe d autres fonctions de transfert (passe-haut, anti-rumble). Il existe d autres cellules comme celle

315 de Rauch. Transition : Et si on regarde la sortie aux bornes de la résistance?!

316 2. Filtre pour enceinte acoustique (Electro 2 e MP/MP* p. 189) Une enceinte acoustique est constituée de deux haut-parleurs, l un devant recevoir les composantes haute fréquence et l autre la basse fréquence du signal électrique (on admet que la conversion signal électrique signal acoustique est linéaire) La séparation du signal est réalisé à l aide d un filtre passehaut et filtre passe-bas du deuxième ordre. #Expérience + #T3 : Schéma du Filtre RC ; on fait varier fréquence et on observe bien le comportement passe-haut * Conditions aux limites : avec les mains (grâce à l impédance complexe du condensateur), passehaut!

317 * Fonction de transfert : On vérifie qu on a bien ordre 1, on retrouve les conditions aux limites Gain Déphasage * Application : séparer les aigus et les graves. Conclusion : On a vu l intérêt des filtres actifs, qui permettent d obtenir une indépendance vis-à-vis de l impédance de charge de la fonction de transfert. Cette dernière permet à son tour une mise en cascade simple de filtres. L AO étant actif il peut également permettre d amplifier un signal (gain>1). Les exemples d application sont variés, on a vu par exemple le filtre (la cellule) de Rauch qui permet d obtenir un grand nombre de fonctions de transfert différentes. Il est également possible d obtenir avec un filtre actif une conductance variable à partir d une résistance variable ou une impédance, ce qui permet d avoir un équivalent électronique avantageux d une bobine (gros élément, grande résistance du fil des spins) Attention toutefois à ne pas minimiser l importance des filtres passifs : Qui ne nécessitent pas d alimentation Qui n ont pas les limitations de l AO Qui n ont pas le souci en fréquence de l AO : gain*bande passante=constante

318 LP 41 Statique des fluides : milieux continus ; théorème d Archimède ; équation de la statique des fluides. Mesures de pression. Niveau : BCPST 1 Prérequis : Biblio : Meier, Guyon, Tout en un, BCPST, HP MPSI Plan : I. Modèle du fluide continu 1. L état fluide 2. Approximation des milieux continus II. Statique des fluides 1. Forces exercées sur un fluide 2. Théorème d Archimède III. Equation fondamentale de la statique des fluides 1. Dans un champ de pesanteur 2. Fluide homogène compressible 3. Fluide homogène incompressible 4. Mesures de pression

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320 Introduction : Pourquoi un bateau flotte, comment mesurer une précision? On souhaite appliquer les théorèmes de la mécanique -> nécessité d approximation. I. Modèle du fluide continu 1. L état fluide (Meier, BCPST) * Définition Un fluide est un milieu continu qui se déforme tant que lui sont appliquées des forces, si faibles soientelles. On dit alors que le fluide s écoule. * Remarque Il faut noter que le changement de forme d un solide élastique sous l action d une traction (un ressort par exemple) cesse dès qu il a atteint une situation d équilibre. Le solide (supposé parfaitement élastique) retrouve instantanément sa forme initiale dès que la traction cesse. La frontière solide-liquide est souvent floue, et certains corps présentent des comportements complexes qu il est difficile de classer suivant les critères précédents. La frontière dépend étroitement de l amplitude et de la durée des contraintes appliquées. La rhéologie est la science qui traite de l étude de la déformation de ces matériaux en fonction des caractéristiques des contraintes qui lui sont appliquées. Nous limiterons notre étude aux fluides usuels qui répondent sans ambiguïté à la définition précédente. * Deux catégories L état fluide se divise lui-même en deux grandes catégories : l état gazeux et l état liquide. Un gaz occupe tout le volume que lui offre sont contenant, peu dense et compressible Un liquide n occupe pas forcément tout le volume qui lui est offert, dense et quasi-incompressible. Dans ce dernier cas, il existe une surface qui sépare l état liquide et l état gazeux, on l appelle la surface libre du liquide. #T : Valeurs masse volumique pour l eau et l air (BCPST p. 161) Transition : Comment peut-on caractériser un fluide expérimentalement? 2. Approximation des milieux continus * Approche expérimentale (T&D p. 647) Un fluide est un milieu dit continu car ses propriétés locales varient continûment à l échelle macroscopique : P, T, v, La matière paraît continue. * Réalité microscopique Les fluides sont constitués de diverses molécules. A cette échelle la matière est discontinue, trop de variables à prendre en compte. * Approximation Pour réconcilier ces deux approches, on introduit l échelle mésoscopique (Tout en un p. 771)

321 L échelle mésoscopique est intermédiaire. Un petit volume d à cette échelle (1mm 3 ), est assez grand pour contenir un très grand nombre de particules (10 17 pour l air sous 1 bar à 0 C) et qu on puisse considérer le milieu comme continu et assez petit pour considérer que les grandeurs macroscopiques (pression, densité, température) y sont uniformes. Pour satisfaire ces conditions, le volume d doit être choisi grand devant le volume moyen occupé par la particule au cours de son mouvement. Les grandeurs macroscopiques scalaires ou vectorielles sont définies localement en M comme des moyennes spatiales des grandeurs microscopiques dans d. (BCPST p. 162) * Particule fluide On appelle particule fluide un tel élément de volume du fluide défini à l échelle mésoscopique. Transition : Dans l hypothèse de continuité, une particule de fluide est assimilable à un point matériel et on peut lui appliquer les lois de la mécanique ; notamment on peut lui attribuer une vitesse qu on considérera nulle par la suite. (T&D p. 647) II. Statiques des fluides 1. Forces exercées sur un fluide (BCPST p. 163) * Forces volumiques Actions à distance (interactions à longue portée) telles les forces de pesanteur. La force df v est alors proportionnelle à l élément de volume considéré : df v = f v d f v = densité volumique de forces (N/m 3 ). Ex : f v = g * Forces surfaciques Actions à courte portée (sur ou au voisinage de la surface) telles les forces de contact ou de chocs. La force df s est désormais proportionnelle à l élément de surface ds considéré : df s = f s ds f s = densité surfacique de forces (N/m 2 ). Dans le cas général, composante normale et tangentielle (forces de viscosités) Dans un fluide au repos, f s est normal à la surface élémentaire. Ex : les forces pressantes! * Forces pressantes df fluide->paroi = P.dS = P.n.Ds avec P, pression dans le fluide. df paroi->fluide = - P.dS = - P.n.Ds d après le troisième principe Pour un gaz, la pression est composée de la pression cinétique (chocs) et de la pression moléculaire (interactions attractives) Transition : Différentes forces s exercent donc au sein d un fluide et donc le fluide exercent des forces (3 e principe) qui peuvent par exemple expliquer pourquoi les bateaux flottent. 2. Théorème d Archimède * Approche expérimentale (Meier p.16)

322 #Exp : Expérience : mesure de la différence de masse lorsqu un objet est immergé ou non immergé. * Description (Meier p.16) Un solide de géométrie simple est maintenu en équilibre grâce à un contrepoids de même masse. Celuici est «posé» sur une balance électronique qui indique la valeur 0g à l équilibre. Le support mobile est relevé de façon à pouvoir immerger complètement le solide dans l eau. L autre support mobile est ajusté de façon à rétablir l équilibre, le fil étant juste tendu. * Observation (Meier p.16) La direction du fil accroché au solide immergé est verticale La balance électronique fournit une indication positive lorsque le solide est complètement immergé. La valeur lue sur la balance correspond au poids du volume d eau déplacé par l immersion du solide. La valeur lue sur la balance est indépendante de la nature du solide ainsi que de sa forme. Elle correspond dans tous les cas au volume de fluide déplacé par l immersion. * Interprétation : la poussée d Archimède Il s exerce une force sur le solide immergé, la poussée d Archimède. C est la résultante des forces pressantes exercées par le système fluide en équilibre sur la paroi du corps immergé. Comment on peut caractériser cette poussée? L expérience nous dit que c est le poids de fluide déplacé. * Théorème d Archimède (BCPST p. 176) A condition que le système des fluides déplacés (remplacé par le corps émergé) soit en équilibre, la poussée d Archimède est égale et directement opposée au poids des fluides déplacés. La poussée d Archimède s applique en un point C, appelé centre de poussée, qui se confond avec le centre de masse des fluides déplacés. * Démonstration (BCPST p. 176) Bilan des forces sur le corps : son poids et les forces pressantes exercées par le fluide qui ne dépendent que de la surface du corps. On peut donc faire l étude en remplaçant le corps par le fluide et faire un bilan de forces sur le fluide. On trouve qu à l équilibre, les forces pressantes sont égales au poids du fluides. * Remarque - Expérience avec des corps dans un cristallisoir troué et l autre non pour illustrer l importance de l équilibre des fluides déplacés. (Meier p.16) - Le centre de poussée se confond avec le centre de masse G du solide complètement immergé seulement dans le cas particulier d un solide homogène. (BCPST p. 176) * Applications (BCPST p. 176) La poussée d Archimède génère une force motrice ; Ascension de ballons dans l atmosphère : - soit des gaz plus légers que l air (aérostats) - soit de l air chaud plus léger que l air extérieur (montgolfières) Phénomènes météorologiques (vents thermiques) Phénomènes mécaniques (équilibre des corps flottants ou immergés) * Equilibre de la croûte terrestre : isostasie (BCPST p. 178) Principe : compensation de type hydrostatique relative aux inégalités de masse des reliefs de la croûte terrestre. Interprétation : la lithosphère rigide surmontée de la croûte continentale, «flotte» sur l asthénosphère plastique et déformable de masse volumique supérieure. Si le relief est plus prononcé, le poids au-

323 dessus de l asthénosphère est plus élevé. En l absence de contrainte tectonique, l équilibre hydrostatique suppose alors une poussée d Archimède plus grande (P + A = 0) : un volume plus important d asthénosphère est déplacé. Ceci explique que la profondeur de la croûte terrestre augmente avec la hauteur du relief correspondant (bateau qui s enfonce plus ou moins selon qu il est plus ou moins chargé.) Ajustement isostatique : du fait de l érosion, le relief diminue, le poids de la croûte terrestre devient moins grand, le volume déplacé diminue. Il se produit une remontée de la lithosphère appelée «ajustement isostatique». Exemple, le bouclier scandinave où l ajustement isostatique consécutif à la fonte des glaces peut atteindre 9 mm par an (golfe de Botnie). Transition : Maintenant que nous avons vu les forces qui peuvent s exercer sur un fluide, on peut faire des bilans III. Equation fondamentale de la statique des fluides 1. Dans un champ de pesanteur (Tec & Doc) Il s agit de traduire l équilibre mécanique d un volume d de fluide dans le référentiel R. Le système est soumis aux forces volumiques de résultante F v et aux forces surfaciques de résultante F s. Le système est immobile, ce qui se traduit ainsi : F v + F s = 0. * Système : Particule de fluide cylindrique d axe Oz, de hauteur dz et de base ds. * Forces volumiques : df v = gd * Forces surfaciques : surface latérale -> forces s annulent par symétrie surface de base -> df s (z) = P(z)dSu z df s (z+dz) = - P(z+dz)dSu z. * Condition d équilibre : dfv + dfs = 0 <=> gd - P(z+dz)dS + P(z)dS = 0 <=> dp/dz + g = 0 <=> dp = - gdz Transition : Appliquons la par exemple au gaz qui est un fluide homogène compressible! 2. Fluide homogène compressible (BCPST) * Modèle de l atmosphère terrestre : - Pour un gaz en équilibre thermodynamiquement local, à une altitude z, on peut définir P(z), T(z) et (z). - L atmosphère sera assimilé à un gaz parfait unique de masse molaire M = 29 g/mol (modèle grossier de l air : O 2 20%, N 2 80%) - Le champ de pesanteur g est toujours considéré uniforme car l épaisseur de l atmosphère reste très faible par rapport au rayon de la terre. - D après la relation des gaz parfaits : (z) = m/v = M.n/v = MP/RT.

324 * Mise en équation : dp = - gdz dp/dz = -MP/RTg P(z) = P 0 exp(-mgz/rt) * Remarque : (HP MPSI) Ce modèle décrit bien la statosphère (11-25 km). Il existe d autres modèles pour rendre compte des couches où il n y a pas assez de brassage pour avoir T uniforme. * Conséquence : Hauteur caractéristique de l atmosphère isotherme : H = RT/Mg. Pour T = 20 C, H = 8,6 km. On a un écart de pression de 1% pour z = 86 m. L équilibre d un gaz en volume limité est caractérisé par une pression uniforme. On ne parle plus de pression en un point mais de pression du gaz. Transition : Passons au fluide homogène incompressible les liquides. 3. Fluide homogène incompressible (BCPST) * Modèle : - masse volumique indépendante de la pression (incompressibilité) - T = cte, càd masse volumique ayant même valeur en tout pont du fluide (homogénéité du système en équilibre thermodynamique) -> = cte * Champ de pression : dp = - gdz P(z) - P(z 0 ) = - gz + gz 0 La fonction P(z) + gz est appelée pression motrice et est constante dans tout le fluide. C est une intégrale première de la statique des fluides homogènes incompressibles. #Exp : Vérification de la loi avec un appareil de mesure que l on décrira plus loin. * Conséquence : Si un plongeur descend à une profondeur d eau de 10 m, il ressentira une surpression de 1 bar. On parle de pression en un point d un liquide. * Application : vases communicants #Exp : Manip des vases communicants Les différentes surfaces libres du liquide en équilibre sont dans le même plan horizontal puisqu elles sont soumises à la même pression (pression atmosphérique, continuité de la pression à l équilibre). * Application : théorème de Pascal P(z) - P(z 0 ) = - gz + gz 0 Donc toute variation de pression en A est transmise intégralement au point B (et en tout autre point du fluide en équilibre). Presse hydraulique : Toute force f 1 exercée sur le petit piston produit une augmentation de pression égale à P = f 1 /S 1 qui est transmise au niveau du piston de surface S 2. Celui-ci est alors soumis à une force f2 telle que : P = f 1 / S 1 = f 2 /S 2, soit f 2 = S 2 P = S 2 /S 1 *f 1 >> f 1

325 Transition : Nous avons étudié les champs de pression dans différents fluides théoriquement, par le calcul et expérimentalement? 4. Mesure de pression (BCPST) * Baromètre à mercure On l utilise pour mesure la pression atmosphérique. Un tube est retourné sur une cuve à mercure, contenant une hauteur h de mercure surmonté de vide (en fait il y règne la pression de vapeur saturante de mercure qui est très faible). P = Patm = gh 3 Soulignons le choix du mercure qui est lié à sa très forte masse volumique = 13,6. 10 k/m 3 (entraînant des hauteurs modérées donc aisément mesurables). On emploie parfois le cm Hg comme unité de pression. Patm = 76 cm Hg. * Manomètre Le système gazeux de volume limité présente une même pression en chacun de ses points P = P 1. Par contre, le mercure liquide à l intérieur du tube coudé possède une même pression en tout point d un plan horizontal en équilibre : P = P 1. Comme P = P + gh, P = P + gh On mesure une pression différentielle, c est-à-dire une pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique locale. * Capteur de pression Pour la mesure de tension artérielle. Un manomètre est prolongée par un cathéter, càd un petit tuyau en verre (ou en plastique), rempli d une solution saline (contenant un agent anticoagulant). Le cathéter, qui est introduit dans une artère d un animal ou d un être humain, permet de mesurer la pression différentielle du sang. En effet, si on note respectivement 1 et 2 les masses volumiques du liquide du manomètre et de la solution saline, on obtient : Psang- Patm = (h 1 1 -h 2 2 )g Remarque : la mesure est plus précise et peut être observée en continu si l on utilise un manomètre électrique. Un circuit électrique comprend une membrane, placée dans le tube manométrique. Cette membrane se déforme sous l action de la pression exercée. La flexion de la membrane s accompagne de la variation d une grandeur électrique (variation de capacité et donc de tension d un condensateur

326 par exemple dont la membrane souple constitue une des armatures). Ce type de capteur convertit un signal mécanique en un signal électrique dont les variations sont directement liées aux variations de pression. Conclusion : Au cours de cette leçon, on a pu comprendre la notion importante de pression dans un fluide quelconque. La pression varie fortement dans un liquide incompressible mais sa variation avec l altitude est très faible dans un gaz. Toutefois, on s est restreint aux fluides en équilibre, l étude des fluides en mouvement fera apparaître d autres forces à prendre en compte, comme les forces tangentielles de viscosité.

327 LP 42 Dynamique des fluides : énergie mécanique ; relation de Bernoulli ; charge en un point ; applications. Niveau : BCPST 2 Prérequis : Biblio : Meier, BCPST Plan : I. Etude énergétique d un système fluide 1. Description du système 2. Bilan d énergie mécanique II. Théorème de Bernouilli 1. Hypothèses 2. Enoncé 3. Charge III. Applications du théorème de Bernouilli 1. Mesure de débit par effet Venturi 2. Mesure de vitesse avec un tube de Pitot 3. Fluide parfait circulant dans une pompe

328

329 Introduction : Intérêt majeur pour comprendre, par exemple, le corps humain, en particulier en ce qui concerne la circulation sanguine et la respiration technique d approche : bilan d énergie mécanique. I. Etude énergétique d un système fluide 1. Description du système (BCPST p. 449) * Cadre de l étude On se place dans un référenitel galiléen -> caractéristiques de l écoulement : - fluide incompressible ( =cte) - système délimité par une surface fixe - écoulement permanent et isotherme - écoulement quasi-unidimensionnel à l entrée et à la sortie du système * Caractéristiques de l écoulement A l instant t : V système (t) = V(t) + dv e t+dt : V système (t+dt) = V(t+dt) + dv s Or V système (t) = V système (t+dt) Incompressibilité Or V(t) = V(t+dt) Permanent D où dv e = dv s = dv = dm/ car incompressibilité Et d où dm e = dm s =dm On définit le débit massique Dm = dm/dt Transition : Nous allons faire maintenant un bilan. 2. Bilan d énergie mécanique * Bilan d énergie mécanique de m = Wnc a. Variation d énergie mécanique de m = E m (t+dt) E m (t) = de me + de ms

330 Les éléments dm e et dm s sont assimilés à des points matériels de me = 1/2dm e v e ² + gz e dm e = (ve²/2 + gz e )dm de ms = (v s ²/2 + gz s )dm Soit : de m = (v s ²/2 + gz s - ve²/2 - gz e )dm b. Travaux des forces non-conservatives * Travail utile W Le fluide reçoit un travail W de la part la machine entre t et t+dt. Si W >0, énergie reçue par le fluide (ex : compresseur (pompe)) Si W <0 énergie perdue, cédée par le fluide (ex : turbine) * Frottements mécaniques Le travail des forces de frottement Wd est dissipatif ( Wd<0) - sein du fluide, avec les autres couches de fluide - au niveau des parois (contact) * Forces pressantes Les forces pressantes fournissent un travail Wp à l entrée et à la sortie de la machine. Wp = Wps + Wpe = -Pe(-dV e ) P s dv s = P e dv P s dv = (P e -P s )dm/ Soit : Wnc = W + Wd + (Pe-P s )dm/ c. Bilan dem = Wnc (v s ²/2 + gz s - ve²/2 - gz e )dm = W + Wd + (Pe-P s )dm/ Soit : (v s ²/2 + gz s + P s / )dm - (ve²/2 + gz e + P e / )dm = Wd + W Transition : On connaît pas Wd + W!! II. Théorème de Bernoulli 1. Hypothèses Nous avons fait les hypothèses suivantes : - fluide incompressible - écoulement permanent et isotherme dans un référentiel galiléen On rajoute : (BCPST) - fluide parfait ( Wd = 0) - les seules forces s exerçant sur le fluide sont des forces de pesanteur et de pression ( W =0) Transition : Etudions maintenant l écoulement dans ces poreux. 2. Enoncé (BCPST)

331 * Ecoulement quasi-unidimensionnel au niveau des sections S e et S s : (v s ²/2 + gz s + P s / )dm - (ve²/2 + gz e + P e / )dm = 0 soit v s ²/2 + gz s + P s / = ve²/2 + gz e + P e / Il s agit de la relation de Bernouilli, au niveau des sections S e et S s d un écoulement quasi-unidimensionnel, qui est appliquée en pratique aux centres respectifs de ces sections. Rappelons que les grandeurs macroscopiques locales, v, P du fluide incompressible en écoulement quasiunidimensionnel varient peu au niveau d une section S et que les valeurs v e, P e, et v s, P s représentent en fait les moyennes spatiales de v, P sur les sections S e et S s considérées. * Le long d une ligne de courant Soit deux points A et B situés sur une même ligne de courant. On considère un tube de courant élémentaire délimité par les sections fixes et infiniment petites ds A et ds B centrées en A et B. Notons d²m la masse de fluide qui traverse ds A et ds B entre les instants t et t+dt (d²m = d²m A = d²m B ). On réalise la même démarche que précédemment et on retrouve la même expression. v A ²/2 + gz A + P A = v B ²/2 + gz B + P B Transition : Interprétons! 3. Charge (BCPST) * Définition Multiplions par la relation de Bernouilli : v A ²/2 + gz A + P A = v B ²/2 + gz B + P B = C = cte La constante C homogène à une pression, qui désigne la charge de l écoulement aux points A et B d une même ligne de courant. Dans le cas de l écoulement quasi-unidimensionnel à travers les sections Se et Ss, la relation de Bernouilli conduit à : v s ²/2 + gz s + P s = v e ²/2 + gz e + P e = C = cte La constante C étant la charge moyenne au niveau des sections S e et S s * Interprétation énergétique (Meier) - Le terme v²/2 représente l énergie cinétique volumique du fluide - Le terme P représente la pression exercée par le reste du fluide sur l élément considéré. Cette pression peut aussi s interpréter comme l énergie potentielle volumique associée aux forces pressantes.(fv = -grad p) - Le terme gz représente l énergie volumique de pesanteur. La conservation de la charge C pour un écoulement permanent d un fluide parfait incompressible traduit la conservation d une énergie par unité de volume égale à la somme de l énergie mécanique (cinétique te potentielle de pesanteur) et d une énergie liée aux forces pressantes. * Charge hydraulique v A ²/2g + z A + P A/ g = vb²/2g + z B + P B / g = hc = cte Dans le cas d une conduite d eau, ou conduite hydraulique, la grandeur h c, homogène à une longueur, représente la charge en mètres de colonne d eau ou charge hydraulique. P/ g = hp : hauteur dite piézométrique (d une colonne du fluide incompressible produisant la pression P). v²/2g = h v : hauteur dite «cinématique» (hauteur de chute libre d une particule de fluide pour acquérir la vitesse v à partir du repos) z + h P + h v = h c hauteur totale constante indiquant la position du plan de charge.

332 Valeurs : (BCPST p. 455) Transition : Applications then!

333 III. Application du théorème de Bernoulli (Meier) Le théorème de Bernoulli est à l origine d un grand nombre d applications souvent surprenantes dans lesquelles une variation de vitesse entraîne une variation inverse de pression. En effet, lorsque z est constant, une augmentation locale de vitesse implique une diminution locale de pression et inversement. #Exp : on souffle entre deux feuilles 1. Mesure de débit par effet Venturi (Meier) * Effet Venturi : On considère un fluide dans une conduite qui subit un rétrécissement. Hypothèses : - symétrie d axe Ox - fluide parfait incompressible - écoulement permanent, unidimensionnel - faible dénivellation - vitesse uniforme sur les sections droites Etudes : Conservation du débit : Dv= v A S A = v B S B P B = P A + /2*(1/SA²-1/S B ²)*Dv² Donc si S A > S B, alors P A > P B #Exp : Ensemble de tubes avec étranglement pour montrer dépression * Mesure de débit : Dv = [2(P B - P A ) S A ² S B ²/ (S B ² S A ²)] Or P B - P A = - g*(h B -h A ) = gh D où : Dv = [2ghS A ² S B ²/ (S B ² S A ²)] (Voir Guyon pour plus d infos) * Autres applications : Trompe à eau ; pistolet à peinture ; cheminée ; profil de voiture pour augmenter leur tenue de route Transition : On peut mesurer un débit mais bernouilli fait apparaître la vitesse, donc on peut mesurer une vitesse!

334 2. Mesure de vitesse avec un tube de Pitot (BCPST) Tube cylindrique, de faible diamètre D (qq mm), de longueur de l ordre de 10 D, comportant : - une mince ouverture à l extrémité A du tube (prise de pression P A ) - un petit trou latéral en B, à une distance de l ordre de 3 D de l extrémité A (seconde prise de pression P B ) La différence P A -P B se déduit de la mesure de la hauteur h de mercure du manomètre différentiel P A -P B = hg (sonde double de pression) * Mesure de vitesse d écoulement Dans un écoulement uniforme, permanent et horizontal d un fluide parfait incompressible, on dispose un tube de Pitot double parallèlement aux lignes de courant. L équilibre du manomère assure que l air situé à l intérieur du tube de Pitot est au repos et l incompressibilité assure que l air extérieur ne pénètre pas dans le tube : v int = 0. La condition aux limites v int (A).n = v ext (A).n et v int = 0, donc v ext (A) = 0. La vitesse du fluide s annule nécessairement à l extrémité A du tube : le point A est dit «point d arrêt» de l écoulement. Bernouilli -> P A = P + v²/2 P A = pression dynamique de l écoulement Au niveau du point B la section de l écoulement (très supérieure à la section du tube de Pitot) est traversée par des lignes de courant pratiquement horizontales. La conservation du débit volumique du fluide incompressible se traduit par : v B = v. La relation de Bernouilli appliquée en A et B, conduit à (en négligeant l action de la pesanteur). Bernouilli -> P B = P. P B = pression statique => D où v = 2(P A -P B )/ * Vérification expérimentale #Exp : Tube de Pitot et vérifier avec anémomètre * Application Vitesse de l avion par rapport au référentiel terrestre Transition : On s est restreint à travail utile nul, mais si on en rajoute!

335 3. Fluide parfait circulant dans une pompe (BCPST) Un fluide incompressible, circulant dans un système «machine» appelée pompe reçoit entre t et t+dt un travail utile ou travail machine : W >0 L écoulement étant supposé permanent et quasi-unidimensionnel au niveau des sections S e et S s, le bilan énergétique instantané entre les sections S e et S s nous a permis d obtenir : Dans le cas d un fluide parfait, c est-à-dire non visqueux, nous avons : Wd=0. (v s ²/2 + gz s + P s / )dm - (ve²/2 + gz e + P e / )dm = W (v s ²/2 + gz s + P s / ) - (ve²/2 + gz e + P e / ) = w En faisant intervenir les charges moyennes : C s C e = w > 0 Comme pour le cœur. Conclusion : On a vu pour un fluide parfait une relation de Bernouilli qui a permis d expliquer un certain nombre de phénomènes. Cependant, il reste un terme que l on a mis de côté : Wd. En présence de force dissipative due à la viscosité, la relation traduisant la conservation de l énergie pour un fluide parfait incompressible en écoulement permanent est mis à mal. Etude de la viscosité.

336 LP 43 Viscosité des fluides newtoniens et conséquences. Notion de viscosité. Loi de Poiseuille. Nombre de Reynolds. Niveau : BCPST 2 Prérequis : Biblio : Meier, BCPST, guyon, Tec&Doc Plan : I. Viscosité des fluides newtoniens 1. Mise en évidence expérimentale 2. Contraintes visqueuses 3. Viscosité dynamique et cinématique II. Ecoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique 1. Perte de charge 2. Loi de Poiseuille III. Le nombre de Reynolds 1. Transport de quantité de mouvement 2. Définition du nombre de Reynolds 3. Classification des écoulements

337 Introduction : Jusqu à présent, on a utilisé le modèle du fluide parfait, mais celui-ci peut s avérer être insuffisant pour interpréter des phénomènes d écoulement. Pour se rapprocher du fluide réel en ajoutant une caractéristique -> la viscosité #Exp : huile, miel, eau On a l impression que l eau pas visqueuse mais attention! #Exp : Expérience de la perte de charge Bernouilli nous dit que si le débit, la section et l altitude sont conservés alors P est conservé! On avait supposé fluide parfait! Donc pas si parfait que ça, recherche du paramètre manquant I. Viscosité des fluides newtoniennes 1. Mise en évidence expérimentale * Ecoulement de Couette Conditions : écoulement lent et permanent, P quasi uniforme (BCPST) Ecoulement entre deux plaques infinies, parallèles entre elles, une plaque est maintenue fixe et l autre se déplace parallèlement à elle-même à une vitesse V 0 e x. Cet écoulement est connu sous le nom d écoulement de cisaillement simple ou écoulement de Couette plan. (Guyon p. 90) * Expérience #Exp : Expérience de Couette * Observation (Meier p. 185) Nous observons que seules les couches de fluide supérieures immédiatement voisines de la feuille de papier se mettent en mouvement. Les couches inférieures ne se mettent en mouvement que beaucoup plus tard. On met ainsi en évidence le transfert de proche en proche de la quantité de mouvement. * Conclusion Donc adhérence du fluide à la paroi et apparition de forces de frottement. Transition : Nous allons faire maintenant un bilan. 2. Contraintes visqueuses * Cadre de l étude (BCPST) Adhérence aux parois : v=0 ; v=v Filet rectiligne : IA = Vt ; HM = v(z)t D où : v(z) = V/e*z : le profil des vitesses est linéaire.

338 * Ecoulement de cisaillement simple : (CQFD) - vitesse toujours parallèle à la même direction - vitesse variable lorsque l on se déplace dans la direction perpendiculaire * Origine de la contrainte(bcpst) Toutes les particules d une couche très mince de fluide de côte z en écoulement plan de Couette possède la même vitesse. Les couches glissent les unes sur les autres sans se mélanger. Une particule de fluide subit de la part du fluide «inférieur» une force surfacique élémentaire de contact. On introduit : = df/ds = N + T Avec N = Pn la contrainte normale ou force pressante surfacique T = df T /ds la contrainte tangentielle visqueuse (celle qui n apparaît pas pour un fluide parfait) * Fluide newtonien (BCPST) Un fluide visqueux, en régime permanent d écoulement laminaire plan (lames de fluide) de vitesse v = v(z).u x, est dit newtonien lorsque la contrainte tangentielle visqueuse f T (dite contrainte en cisaillement simple plan) est proportionnelle au gradient de vitesse dv/dz. La constante de proportionnalité définit la viscosité dynamique du fluide. T = - * dv/dz * Remarques (BCPST) Ce n est pas le cas de tous les fluides : newtonien, fluidifiant (sable mouvant), épaississant (ciment liquide), Graphe : T = f(dv/dz). Selon le signe de dv/dz, on a freinage ou entraînement. Transition : Le coefficient de proportionnalité permet de caractériser le comportement du fluide. 3. Viscosités dynamique et cinématique (BCPST) * Viscosité dynamique Elle est définie comme le coefficient de proportionnalité entre la contrainte tangentielle et le gradient de vitesse. Analyse dimensionnelle : [ ] = P.T en Pa.s ou Pl * Dépendance de la température -> Liquide : diminue quand T augmente Application : - on fait chauffer le goudron avant de le répandre - un cuisinier qui évalue la température de son huile de cuisine à sa viscosité - mettre une couverture à une personne blessée pour empêcher l augmentation de la viscosité du sang qui pourrait aggraver son état.

339 -> Gaz : augmente quand T augmente * Dépendance de la pression Faible * Dépendance de la pureté Le sang est d autant plus visqueux que l hématocrite (V hématies / Vtotal sang ) est plus élevé * Ordre de grandeur Air, eau, glycérine, huile de graissage, magma, glacier, croûte terrestre * Viscosité cinématique Elle est définie comme le rapport = / Analyse dimensionnelle : [ ] = L²/T en m²/s -> Coefficient de diffusion (quantité de mouvement) En effet, dans l exemple d un écoulement laminaire plan en régime permanent, la lame de côte z est freinée par la lame voisine plus lente. La diffusion tend à réduire l inhomogénéité de quantité de mouvement. Transition : D où vient le nom de Poiseuille? du français Jean Leonard Marie Poiseuille qui fit en 1835 une série d expérience pour déterminer comment s écoule un fluide visqueux dans un tuyau, comme dans la circulation sanguine. II. Ecoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique 1. Perte de charge On reprend l expérience introductive dans laquelle l hypothèse d un fluide parfait n explique pas les observations. * Observations Pour un fluide visqueux incompressible en régime permanent. On retrouve donc la statique des fluides et on lit la pression statique des fluides P = P + h g P = P + h g P = P + h g Comme h>h >h, alors on constate expérimentalement que la pression diminue le long du tube dans le sens de l écoulement. P <P <P Comme B, B et B sont alignés : Pente de la droite : (h-h )/(AA ) = (h -h )/(A A )

340 * Commentaires : Le phénomène de perte de charge est dû au travail des forces de viscosité au sein d un fluide ce qui correspond à une dissipation d énergie par frottements internes. Transition : La perte de charge linéique dépend de la viscosité, du diamètre d du tube et du débit volumique -> une loi pour relier ces grandeurs.

341 2. Loi de Poiseuille (BCPST) * Hypothèses Pour l écoulement de Poiseuille d un fluide visqueux dans un cylindre horizontal de longueur l et de section circulaire (rayon a). - incompressible => constante - régime permanent d écoulement - écoulement laminaire, à symétrie cylindrique : v = v(r)u x (les lames cylindriques coaxiales de fluide entre les rayons r et r+dr glissent les unes sur les autres sans se mélanger) - adhérence du fluide au niveau de la paroi v(a)=0. - fluide newtonien, de contrainte tangentielle visqueux proportionnelle au gradient de vitesse : T = - * dv/dr (freinage par la couche contigüe de fluide, plus lente) (freinage par la lame voisine plus lente) - force de pesanteur négligeable (P ne dépend pas de r) - existence d un gradient de pression uniforme et négatif suivant Ox : dp/dx = -K = P/l (perte de charge linéique entre l entrée et la sortie du tube cylindrique) * Expression du champ de vitesse * Vérification expérimentale #Exp : Ecoulement de Poiseuille dans différents capillaires. * Application - Pour conserver le même débit dans le système sanguin, si du cholesterol fait chuter d en se déposant, alors P doit augmenter -> le cœur doit pomper plus fort. Valeurs de P (Exo p. 491)

342 - Mesure de viscosité = t #Exp : Viscosimètre Transition : Interprétons! III. Le nombre de Reynolds L écoulement d un fluide visqueux s accompagne simultanément d un transport de quantité de mouvement par convection et diffusion. 1. Transport de quantité de mouvement * Par convection Il s agit d un transport de quantité de mouvement parallèlement à la direction de l écoulement. Traduit l effet d inertie du fluide en mouvement. Ex : écoulement laminaire d un fluide visqueux incompressible selon une direction donnée. * Par diffusion Ce mode de transport, li à la viscosité du fluide, se manifeste par un débit transverse de quantité de mouvement. 2. Définition du nombre de Reynolds On appelle nombre de Reynolds le rapport sans dimension : Re = flux convectif de quantité de mouvement/flux diffusif de quantité de mouvement Re = Dp/D p = UL/ (Nom vient de l ingénieur Osborne Reynolds ( ) qui a étudié vers 1880 les divers régimes d écoulement des fluides. (Tec & Doc p. 438)) * Interprétation On associe à coefficient de diffusion un temps caractéristique : L²/ = T D

343 A la vitesse d écoulement, on associe : L/U=T C D où Re = T D /T C * Intérêt Un processus est d autant plus actif qu il s établit rapidement donc a d autant plus d importance que son temps caractéristique est petit. Re faible = diffusion visqueux prépondérante Re élevée = convection prépondérante 3. Classification des écoulements (BCPST, CQFD) Vues des déformations d un filet de colorant bleu injecté par la gauche dans l axe d un écoulement d eau dans un tube horizontal. Rec = 2000 : valeur critique. La transition n est pas brutale entre les régimes laminaire et turbulent. Il existe un régime intermédiaire, appelé transitoire qui se manifeste par de lentes fluctuations des grandeurs caractéristiques de l écoulement. Re < Rec : régime laminaire (celui étudié jusqu à présent) Les forces visqueuses et le transport diffusif associé sont dominants. -> faible vitesse ; système de très petite taille ; fluides très visqueux En général écoulement très stable Re > Rec : régime turbulent Transport par convection est dominant -> forte vitesse ; fluide peu visqueux ; système de grande taille En général, beaucoup moins stable Exemples numériques : écoulement de l eau dans un capillaire (laminaire) et dans une conduite industrielle (turbulent) Conclusion : Le nombre de Reynolds sans dimension est très utile : c est lui qui détermine les écoulements. On peut ainsi reproduire un écoulement à grande échelle à l aide d un modèle réduit, à condition de conserver le même Re.

344 LP 44 Viscosité des fluides newtoniens. Ecoulements rampants. Niveau : BCPST 2 Prérequis : Biblio : Meier, Guyon, BCPST nouveau et vieux, CQFD, (BUP 639) Plan : I. Ecoulement rampant 1. Présentation 2. Quelques propriétés II. Ecoulement à travers un milieu poreux 1. Milieux poreux 2. Loi de Darcy III. Particules en translation uniforme dans un fluide 1. Mouvement d une particule isolée 2. Sédimentation

345 Introduction : * Définition d un fluide newtonien : (BCPST p. 478) Un fluide visqueux, en régime permanent d écoulement laminaire plan (lames de fluide) de vitesse v = v(z).u x, est dit newtonien lorsque la contrainte tangentielle visqueuse f T (dite contrainte en cisaillement simple plan) est proportionnelle au gradient de vitesse dv/dz. La constante de proportionnalité définit la viscosité dynamique du fluide. * Nombre de Reynolds : On a introduit le nombre de Reynolds pour classifier les écoulements (laminaire, turbulent). On s intéressera ici aux écoulements à nombre de Reynolds très petit devant 1. I. Ecoulement rampant 1. Présentation * Définition (BCPST) On appelle écoulements rampants les écoulements visqueux à faible nombre de Reynolds. La diffusion est alors prépondérante par rapport à l effet d inertie lié au mouvement d ensemble du fluide. * Exemples (Guyon) Il faut Re << 1, soit UL/ << 1. - Faible valeur de Re associée à celle de L : déplacement d objets microscopiques -6 Ex : les bactéries, L = 4 µm ; U = 10 µm/s ; = 10 m²/s, soit Re = 10-5 Pour de tels mouvements, les forces d inertie jouent un rôle négligeable : quand la bactérie arrête son mouvement de propulsion, la vitesse s annule en un temps de l ordre de la microseconde. - Faible valeur de Re associée à celle de U : déplacement à vitesse lente de matériaux géologiques Ex : manteau terrestre, L = 100 km ; U = m/s ; = 10 m²/s, soit Re = On change d échelle de temps pour observer ceci! - Faible valeur de Re associée à celle de : écoulement de fluides très visqueux Ex : Goudrons, plastiques, miel * Remarque : on peut bien sûr combiner les effets! Transition : Voyons voir quelques propriétés maintenant 2. Quelques propriétés (Guyon, CQDF, BCPST vieux) (Dues à la linéarité de Navier-Stockes une fois le termes convectif et local négligé) * Invariance des lignes de courant Si le débit d un écoulement rampant varie : Dv -> kdv, alors la direction du champ des vitesses reste

346 inchangée, son module varie de v -> kv. Donc les lignes de courant restent invariantes. Dans un écoulement à parois immobiles, on aura toujours la même forme de profil d écoulement, quelle que soit la vitesse tant que la condition de petit nombre de Reynolds reste vérifiée. * Réversibilité Dans certains cas, lorsque le sens de l écoulement supposé quasi-permanent est inversé, les particules de fluide décrivent les mêmes lignes de courant, mais en sens inverse. Mise en évidence expérimentale L espace entre deux cylindres coaxiaux est rempli d un liquide très visqueux. Une goutte de colorant est injectée. Le cylindre intérieur est mis en rotation lente. Les particules près de celui-ci bougent à sa vitesse. Les particules près de l autre restent quasi-immobiles -> la tâche s étend. On arrête la rotation et on la reprend en sens inverse. Les particules retrouvent leurs places initiales. (la tâche un peu étalée à cause de la diffusion qui est un phénomène irréversible). Application au mouvement des bactéries : Pas juste un mouvement du haut vers le bas puis de bas vers le haut mais une flagelle qui tourne! Transition : On va s occuper de L petit. II. Ecoulement d un fluide à travers un milieu poreux 1. Milieux poreux * Définition : (Guyon p. 487) (BCPST p. 501) Un milieu poreux est un matériaux massif à l intérieur duquel se trouvent des cavités ou pores, reliées entre elles par des canaux ou éventuellement isolées, susceptibles d être occupées par des particules de fluides. * Remarque : (Guyon p. 487) Dans la plupart des cas pratiques, la taille des pores est assez faible et les écoulements assez lents pour que la condition de petites valeurs de Re soit satisfaite. * Intérêt : (BCPST p. 501) Absorption d eau de pluie par le sol ; diffusion de molécules à travers une membrane perméable * Caractéristiques : (BCPST p. 501) -> Porosité : Ø = volumes des pores/volume total Pour un matériau homogène : Ø = surface des pores/surface d une section plane Pour un matériau homogène isotrope : Ø = fraction de ligne interceptée par les pores -> Autres : aire spécifique (surface interne par unité de volume), tortuosité (complexité des chemins de passage, taille des pores et des canaux, bras morts,.) (Guyon p. 487) Transition : Etudions maintenant l écoulement dans ces poreux.

347 2. Loi de Darcy a. Approche expérimentale * But : Etudier écoulement d un fluide à travers un milieu poreux. C est un ingénieur des Ponts et Chaussée, Henry Darcy, qui a établi vers 1850 les lois de base de tels écoulements, en s intéressant aux nappes d eau alimentant les fontaines publiques de Dijon. On va suivre ses traces et déterminer une relation entre le débit volumique et la perte de charge par une expérience analogue à la sienne.(cqdf) * Expérience : #Exp : loi de Darcy * Observation : On obtient une loi de proportionnalité entre le débit volumique, la perte de charge et la viscosité. On remarque de plus que K dépend du type de billes, donc de la géométrie du réseau. b. Enoncé (BCPST) Loi de Darcy : Dv/S = K. P/(e ) K = perméabilité et caractérise le matériau, soit la facilité avec laquelle le fluide passe à travers un milieux poreux Analyse dimensionnelle : [K] = L² ; Unité : m² ; Unité usuelle : darcy (1µm²) Analogie avec le passage du courant électrique : Dv/S I ; P/e ddp ; K/ conductivité (CQDF) c. Interprétation (BCPST) * Hypothèses : - Poreux Milieu homogène car porosité surfacique ne dépend pas de la côte z. Milieu anisotrope car tous les pores cylindriques d axes parallèles selon z. Ø = N* r²*l/(s*l) = n* r² - Ecoulement Fluide incompressible newtonien s écoule lentement en régime permanent. * Loi de Poiseuille On peut appliquer Poiseuille à chaque pore. On a donc : Dc = d 4 P/(128 e) Pour une unité de surface de paroi poreuse : Dv/S = n*dc =n* d 4 P/(128 e) On retrouve donc bien la loi de Darcy avec K = n* d 4 /128 = d² Ø/32 * Remarques (Guyon p. 495) -> La perméabilité varie comme le carré du diamètre des canaux : la chute de pression, pour un débit de fluide donné, augmente très rapidement lorsque la taille des pores décroît même si la volume poreux total reste constant. -> On a supposé l ensemble des capillaires parallèles étaient en moyenne parallèle à une direction, une hypothèse qui correspond à des milieux qui seraient très anisotropes. On peut cependant trouver une

348 estimation de la perméabilité d un milieu poreux isotrope en considérant qu il est formé de trois ensembles de capillaires perpendiculaires deux à deux. Pour une différence de pression appliquée dans l une des trois directions, seul un ensemble de capillaires participera au transport du fluide. La perméabilité sera de ce fait réduite d un facteur 3 par rapport au cas précédent. On obtient alors : K = d² Ø/96 * Applications : (CQFD) -> Problème classique d écoulement d eaux souterraines : étude du comportement des nappes phréatiques (écoulement, effet de pompage), -> Barrage de Serre-Ponçon : noyau imperméable et des talus latéraux (les recharges) poreux. Ces derniers permettent au barrage de résister à la poussée de l eau du lac de retenue et ils doivent être poreux pour faciliter le passage de l eau et s adapter à tout changement de niveau d eau sans risquer des glissements de terrain. Transition : On a vu fluide à travers un poreux immobile, maintenant on va regarder mouvement d objets dans un fluide. III. Particules en translation uniforme dans un fluide 1. Mouvement d une particule isolée * Cadre de l étude : (BCPST) - particule sphérique de rayon r rigide - mouvement de translation uniforme de vitesse v dans un fluide infini - fluide visqueux newtonien de viscosité initialement au repos - écoulement rampant à faible vitesse * Observation expérimentale : (Tout en un p. 591) On étudie le mouvement de chute verticale d une bille sphérique dans un liquide. La bille atteint une vitesse limite! * Interprétation : -> Existence d une force qui s oppose au mouvement : F = -6 r v (formule de Stokes) Remarques : On a une proportionnalité entre la force et la vitesse, qui disparaît pour les grands nombres de Reynolds. (BO) On a supposé pouvoir négliger les parois. Il faut parfois en tenir compte. Ex : F = - 6 r(1+r/h) v. Par réversibilité, cette formule est vraie si la sphère s approche ou s éloigne des parois. (Guyon p. 468). En effet, pour un tube de rayon R = 10r, la force de résistance s accroît de 20% alors que dans un tube de rayon R = 100r, elle ne s accroît que de 2%. (BCPST) -> Bilan des forces qui agissent sur la bille : F stokes, P, A. (BCPST) Lorsque la vitesse limite est atteinte, dv/dt = 0 et d après la PFD appliquée à la bille, on a : F stokes + P + A = 0 et donc v limite = 2/9*r²*( bille - fluide )*g/ * Application à la mesure de viscosité : (BCPST) #Exp : bille dans du glycerol. Détermination de v limite et donc de. Transition : Et avec plein de particules?

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350 2. Sédimentation Soit un ensemble de particules sphériques rigides (rayon r) en suspension dans un fluide visqueux. On distingue deux types de particules suivant l ordre de grandeur de rayon r, à une température donnée : -> les particules de très faible rayon r (inférieur au µm), soumises essentiellement au phénomène d agitation thermique et animées de mouvement désordonnés dits browniens ; -> les particules de rayon plus important, sensibles surtout aux effets hydrodynamiques. Nous allons nous intéresser à cette seconde catégorie de particules. (BCPST) * Sédimentation de suspension diluées : (Guyon p. 482, CQFD) La vitesse de sédimentation v s d une suspension diluée de sphères de concentration volumique C est plus faible que celle d une sphère isolée v s0. Vs dépend de la géométrie du récipient : Au-dessus d un plan : v s = v s0 (1-6,55*C) Dans un récipient sphérique : v s = v s0 = (1-3,55*C) Explication : Il existe des écoulements de retour autour de chaque particule car la descente d une particule doit être compensée par une remontée de fluide. Ces écoulements assurent la conservation du débit du fluide supposé incompressible. Phénomène de Boycott : 1920, Boycott a remarqué que les cellules sanguines sédimentaient plus vite quand le tube à essai était penché. #Exp : tube penchés, non penchés Plus grande vitesse de sédimentation dans un tube oblique que dans un tube vertical. Cela est dû à l existence d un courant de recirculation ascendant le long de la partie supérieure du tube : ce courant est dû au gradient horizontal de concentration de particules (et donc de densité moyenne) créé par la sédimentation de celles-ci vers la génératrice inférieure du tube. * Sédimentation de suspensions concentrées (Guyon p. 483) Lorsque C tend vers sa valeur limite, un empilement dense de particules tombant sous son propre poids dans le fluide. A rapprocher de l écoulement dans un milieu poreux. * Applications : Faire sédimenter les impuretés solides est la première étape du traitement de l eau. Amélioration avec décantation lamellaire (lame penchée, effet boycott), centrifugation (masse molaire des polymères obtenue par étude de l équilibre de sédimentation (BUP 639)) Conclusion : (CQFD p. 26) Le mélange de grains solides et d eau présente un comportement intermédiaire entre un liquide et un solide. En l absence d eau, des chaînes de forces se forment entre les grains et transmettent les efforts jusqu aux parois, comme dans le sablier. Si le milieu est faiblement mouillé, à la façon d un pâté de sable, les forces capillaires au niveau des ménisques d eau entre les grains augmentent la cohésion. Les suspensions concentrées de particules ont alors un comportement de type solide. -> coulée de boue dévastatrice le 24 novembre Domaine de la rhéologie.