LES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

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1 CHAPITRE LES PROAILITÉS CODITIOELLES L utilisation d un arbre de probabilités rappel Un arbre de probabilités est un graphe permettant de représenter une expérience aléatoire. On trouve, dans un arbre de probabilités : un niveau pour chaque épreuve de l expérience ; un sommet pour chaque événement possible à la suite de l épreuve ; la probabilité d un événement sur l arête correspondante à cet événement. Exemple : On lance deux fois une pièce de monnaie truquée qui fait que la probabilité P d obtenir pile est 0,. 0, On peut calculer la probabilité qu une suite d événements se produise en multipliant les probabilités sur les branches que l on doit parcourir pour représenter cette suite 0, d événements. Dans l exemple, la probabilité d obtenir deux fois pile est 0, 0, 0,. er lancer de la pièce 0, 0, 0, 0, e lancer de la pièce P P. On effectue deux tirages avec remise dans une urne contenant trois boules blanches et sept boules noires. a) Représentez cette expérience à l aide d un arbre de probabilités. b) Calculez la probabilité de tirer deux boules noires. 0, 0, 0,7 0, c) Calculez la probabilité de tirer deux boules de la même couleur. 0,7 0, 0,7 er tirage e tirage 0, : Tirer une boule blanche. : Tirer une boule noire. Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier LES PROAILITÉS CODITIOELLES 7

2 . On effectue deux tirages dans deux urnes différentes. La première urne contient deux boules bleues, trois boules rouges et une boule blanche. La seconde urne contient trois boules bleues et cinq boules rouges. a) Complétez l arbre de probabilités représentant cette situation. P(, ) P(, ) P(, ) P(, ) P(, ) P(, ) 0 b) Calculez la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes. 7 =. On choisit, au hasard, élèves dans une classe de 0 élèves. On sait que la classe compte filles et garçons. a) À l aide d un arbre de probabilités, représentez les résultats possibles de ces deux choix. 0 7 G 0 G er tirage e tirage G b) Déterminez la probabilité de choisir au hasard un garçon au deuxième tour si la première personne choisie est une fille. CHAPITRE Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc

3 L utilisation d un diagramme de Venn rappel Un diagramme de Venn permet de représenter des ensembles et les relations entre les éléments de ces ensembles. Dans le cadre de l étude des probabilités, les ensembles qui sont ici analysés contiennent des résultats obtenus à la suite d une expérience aléatoire ou des caractéristiques d une population. Exemple : Soit un groupe de personnes dans lequel se trouvent 0 hommes et femmes. Végétariens Hommes Parmi les hommes, sont des végétariens et, parmi les femmes, sont végétariennes. On peut représenter cette situation à l aide du diagramme de Venn ci-contre. Groupe de personnes. Un sondage a révélé que, dans un groupe de élèves de e secondaire d une école, 0 ont un emploi à temps partiel. Parmi ces jeunes qui travaillent, sont des filles. On sait que le nombre total de garçons est de. a) Quelles sont les deux caractéristiques permettant de classer ces élèves? ) Être une fille ou un garçon. ) Occuper ou non un emploi. b) Représentez ces données à l aide d un diagramme de Venn. illes Occupe un emploi. Élèves de e secondaire Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier LES PROAILITÉS CODITIOELLES

4 . On lance deux dés réguliers à six faces et on s intéresse à la somme des deux nombres obtenus. On veut séparer les résultats possibles selon caractéristiques différentes. a) Complétez le diagramme de Venn suivant. La somme est plus grande que. La somme est paire. Résultats à la suite du lancer de deux dés 0 La somme est un multiple de. b) Calculez la probabilité d obtenir une somme paire. c) Calculez la probabilité d obtenir une somme plus grande que. d) Calculez la probabilité d obtenir une somme plus petite ou égale à. e) Calculez la probabilité d obtenir une somme qui est un multiple de et qui est plus grande que. f) Parmi les résultats qui sont des multiples de, combien représentent une somme plus grande que? 0 g) Si on sait que la somme est un multiple de, quelle est la probabilité qu elle soit également plus grande que? 0 CHAPITRE Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc

5 Les probabilités conditionnelles rappel La probabilité conditionnelle est la probabilité qu un événement se produise si un autre événement s est déjà produit. Si A et sont deux événements de l ensemble des résultats possibles d une expérience aléatoire, alors la probabilité conditionnelle que l événement A se produise si l événement s est déjà produit est donnée par la formule suivante : P( A ) P( A ) P( ) où A représente l intersection des ensembles A et.. Parmi les situations suivantes, lesquelles traite-t-on à l aide des probabilités conditionnelles? a) Un étudiant passe un examen où 0 questions à choix multiple sont posées. On s intéresse à la probabilité que l étudiant obtienne la note de passage, sachant qu il répond aléatoirement à chacune des questions. b) On lance simultanément deux dés réguliers à six faces. On veut déterminer la probabilité que la somme des dés soit un nombre pair, sachant qu un des résultats est. c) Dans un groupe de personnes, certaines parlent une seule langue alors que d autres en parlent deux ou trois. On veut connaître la probabilité de choisir au hasard une personne parlant anglais, sachant qu elle parle également espagnol. d) Marilyse veut connaître la probabilité de gagner à la loterie, sachant que le billet qu elle a acheté contient six numéros. e) On tire au hasard une carte dans un jeu régulier de cartes. On veut connaître la probabilité de choisir un roi, sachant que le symbole de la carte est un trèfle. b), c) et e) Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier LES PROAILITÉS CODITIOELLES

6 7. Une urne contient trois boules bleues, deux boules jaunes et quatre boules noires. On effectue deux tirages sans remise. a) Représentez cette situation à l aide d un arbre de probabilités. J J J J b) Calculez la probabilité de tirer deux boules de la même couleur. c) Calculez la probabilité de tirer une boule bleue dans le deuxième tirage, sachant que la première boule tirée est jaune. d) Calculez la probabilité de tirer une boule noire dans le deuxième tirage, sachant que la première boule tirée n est pas noire. e) Soit les événements suivants : A: tirer une boule bleue au premier tirage ; : tirer une boule noire au deuxième tirage. Indiquez, sur l arbre, à quoi correspond P( A ). Il s agit du parcours des branches au premier niveau et au deuxième niveau. CHAPITRE Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc

7 . Parmi les employés d un restaurant, 0 % sont affectés au service. De ces travailleurs, 70 % sont des femmes alors que, parmi les travailleurs affectés à d autres tâches que le service, 0 % sont des femmes. a) Remplissez le tableau à doubles entrées suivant sachant que le restaurant compte un total de 0 employés. Hommes emmes Total Service 0 Autres postes 0 Total 0 b) Représentez les données à l aide d un diagramme de Venn. Service Hommes Employés du restaurant c) Si on choisit une personne au hasard parmi les employés de ce restaurant, quelle est la probabilité : ) que ce soit une femme, sachant qu elle est serveuse? 7 0 ) que ce soit une personne affectée au service, sachant que c est un homme? 7 ) que ce soit une femme, sachant qu elle occupe le poste de comptable? Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier LES PROAILITÉS CODITIOELLES

8 . Une entreprise pharmaceutique a mis au point un test de dépistage pour une maladie. On effectue une étude afin de vérifier l efficacité du test. Lorsqu une personne est atteinte de la maladie, la probabilité que le test permette de la dépister est de %. Lorsqu une personne n est pas atteinte de la maladie, la probabilité que le test mène tout de même au dépistage de la maladie est de % ; ainsi, le test amène à prétendre que la personne est atteinte de la maladie sans que ce soit le cas. On sait que la maladie est présente chez % de la population. On veut faire passer le test à un échantillon de personnes. a) Remplissez le tableau suivant. La personne est atteinte de la maladie. La personne n est pas atteinte de la maladie. Total Le test dépiste la maladie. Le test ne dépiste pas la maladie Total b) Soit les événements suivants : A: Le test dépiste la maladie ; : La personne est atteinte de la maladie. ) Indiquez où se trouve, dans le tableau, l ensemble A. Dans la case en haut à gauche. ) Pour vérifier l efficacité de ce test, on calcule la probabilité qu une personne soit atteinte, sachant que le test dépiste la maladie. Exprimez cette probabilité à l aide des lettres A et. P( A ) ) Quelle est la valeur de cette probabilité? 0, ) Diriez-vous que le test est efficace? Serait-il plus efficace si la proportion de gens atteints dans la population était plus grande? Expliquez votre réponse. Le test n est pas efficace. Il serait plus efficace si la proportion de gens atteints dans la population était plus grande puisque la probabilité de dépister la maladie chez une personne atteinte serait alors plus grande. CHAPITRE Merci de ne pas photocopier Éditions Grand Duc