Physico-Chimie II: Partie 3 d-bis. Gaz parfait de Fermions Vie et mort d une étoile

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1 Physico-Chimie II: Partie 3 d-bis. Gaz parfait de Fermions Vie et mort d une étoile P. Damman Lab Interfaces & Fluides Complexes 1/16 Une étoile Le soleil (hydrogène, 92.1 % et hélium, 7.8 % du volume)) : Naine jaune (étoile moyenne) I Masse M ' kg I ayon ' 7 km ( ' 14kg/m 3, core ' 15 kg/m 3 ) (mq. la Terre M ' kg, ' 64 km, ' 55kg/m 3 ) I Quels facteurs déterminent la taille, la température d une étoile? I Peut-on déterminer la fin de vie d une étoile? 2/16

2 Température d une étoile jeune (naine jaune) I Stabilisation d une étoile: gravitation - pression m(r) masse interne, dm masse de la coque: dr ρ r Force gradient de pression dm =4 r 2 dr Force de gravitation (per unit area) F p = F g = I Equilibre hydrostatique ( P F =) dp dr dr r 2 dr dp dr = r 2 3/16 I En termes de masse ( dm = dr 4 r 2 ) dp dm = dp dr dm 1 = dp dr dr 1 4 r 2 = 4 r 4 I Pression au centre de l étoile Z P (M) P () dp = 4 r 4 dm I Approx. P (M) P () et r ' P () ' G 4 4 = GM mdm 4/16

3 I considérant que P = rt n/v = rt /M a, l équation devient rt M a = GM comme M/(4/3 3 ), on a I avec les valeurs On trouve que T = 3GMM a 2r G = m 3 kg 1 s 2 r =8.314Jmole 1 K 1 M a =1kgmole 1 M = kg = m T ' 1 7 K (valeur surestimée, nous n avons pas tenu compte de la variation de avec ) 5/16 Théorème du viriel (Clausius 1851) I Ecrivons la balance hydrostatique pour le volume complet VdP = 4 r 4 dm4 3 r3 = 3r dm I Intégrons Z P (r) P () VdP = 1 3 Z m r dm = 1 3 (r) mq. dm/r est l énergie gravit. de la coque dm, (r) est l énergie gravit. totale d une sphère de rayon r I Intégration par partie (V () = ) Z P (r) P () VdP =[PV] r Z V (r) P dv = P (r)v (r) Z V (r) P dv 6/16

4 I volume de la coque dv = dm/, l équation devient P (r)v (r) Z m P dm = 1 3 (r) I considérons la surf. externe r = (etp () ' ) P dm = T m a dm = 2 3 udm= 1 3 avec l eq. des gaz pfts p = T/m a et l énergie du gaz pft par unité de masse u =3/2T/m a I Au final, nous obtenons le théorème du viriel U = 1 2 E = U + = 1 2 Pour un système de particules en interaction, à l équilibre l énergie cinétique est égale à l opposé de la moitié de l énergie potentielle. généralisation : X 1 2 mv2 = 1 2 X ~r ~ F 7/16 I Exemple d utilisation: Estimation de la masse d un amas d étoile en connaissant la vitesse des étoiles et la distance moyenne entre elles. E K = 1 2 MV 2 E G = 1 GM 2 2 avec le théorème du viriel, E K = M = 2V 2 G 1/2 E G I Pour notre soleil (naine jaune constituée d hydrogène) U = 3 2 M T et = GM 2 m a avec U = 1 2! Température moyenne T = K mq. ayonnement corps noir T surf = 6 K 8/16

5 Fin de vie d une étoile I Après épuisement du carburant explosion : Supernova I Nature de l étoile morte (résidu de l e ondrement) suivant la masse I I faible masse (< 8 soleil)! naine blanche étoiles massives (> 1 soleil)! étoile à neutrons 9/16 Naines blanches I Objet céleste de petite taille et très dense (plasma électrons/noyaux) I Plus de gradient de pression (fin des réactions nucléaires) I Quelle force contrebalance la gravité? 1/16

6 Gaz d électrons extrêmement dense Accroissement du nombre d e dans un volume donné, augmentation de l énergie cinétique, augmentation de la pression (pression de dégénérescence) empêchant l e ondrement gravitationel. I Energie de gravité U G GM 2 I énergie cinétique d un gaz de fermions? (voir Chap. 3D) k F = 3 2 1/3 N 1/3 ; F = ~2 kf 2 V 2m U K = 3 N 5 N F N V I considérant M = Nm atom 2/3 1 Distribution Fermi-Dirac,75,5,25 Maxwell-Boltzmann 2,5 5 7,5 1 12,5 15 U K M 5/3 2 11/16 I Equilibre minimisation de l énergie totale I rayon de la naine blanche E = U G + U K M 5/3 GM 2 2 M 1/3 =.1 M M 1/3 (,M caractéristique du soleil) I Notre soleil en naine blanche, ' 7km (taille de la Terre) = 2 13 kg 1 22 m 3 ' 18 kg/m 3 mq: Densité du noyau atomique 1 17 kg/m 3 12/16

7 La limite de S. Chandrasekhar (Nobel 1983) I Naine blanche : 1/M 1/3 Si M est su samment grande les e sont relativistes! I electrons relativistes (p = ~k) ' pc; g(p)dp V ~ 3 p2 dp I Energie cinétique (p F = ~k F ~ (N/V ) 1/3, M = Nm atom, V =4/3 3 ) U K V c ~ 3 Z pf p 3 dp V c ~ 3 p 4 F ~c M 4/3 I L énergie cinétique ne PEUT être supérieure à cette valeur! 13/16 I Le limite de Chandrsekhar, masse critique U G = U K GM 2 I Masse critique! M c = C te = ~c M 4/3 M c =1.4 M 14/16

8 I Pour des masses >M c l énergie cinétique ne peut compenser l énergie de gravité : E ondrement... jusqu à ce que les e se combinent aux protons pour former des neutrons I Etoile à neutrons (gaz dégénéré de neutron, même calcul que gaz d électron MAIS avec une densité de particules N/V beaucoup plus grande! ) =.11 M M 1/3 Une étoile à neutrons de la masse du soleil occupe une sphère de 1 km ( ' 1 16 kg/m 3 ) I Limite de masse lié à des e ets relativistes : Limite d Oppenheimer-Volko M OV =6.9 M Question: Si M>M OV, que devient l étoile? 15/16 Trou noir Vitesse de libération (1/2mv 2 = GMm/) v esc = r 2GM Edge-on galaxy (ESO ) (trou noir de 2 M ) Vitesse max c, rayon de Schwarzchild sch = 2GM c 2 16/16