Biostatistiques et statistiques appliquées aux sciences expérimentales

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1 Cogmaster A4 p. 1/26 Biostatistiques et statistiques appliquées aux sciences expérimentales Comparaisons multiples Christophe Lalanne Cogmaster

2 Cogmaster A4 p. 2/26 Objet de la séance Rappels sur le test d ANOVA hypothèses et validité diagnostic Comparaison(s) spécifique(s) des moyennes de k échantillons (indépendants) planifiées non-planifiées (a posteriori)

3 Cogmaster A4 p. 3/26 Le modèle d ANOVA à 1 facteur Hypothèse nulle : H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 =... = µ k (égalité des k moyennes de population) H 1 : i,j µ i µ j (H 1 H 0 ) Statistique de test : F de Fisher-Snedecor, rejet de H 0 ssi F obs > F ν1,ν 2 ;α=0.05 (ou p obs < 0.05) Conditions de validité indépendance des résidus (i.e. écarts à la moyenne) homogénéité des variances (après transformation, si nécessaire) normalité des résidus

4 Cogmaster A4 p. 4/26 Loi de Fisher-Snedecor Densité F(2,10) F(6,32) F(6,18) F(4,12) P(F>2.40)=0.05 P(F>3.26)= quantiles théoriques

5 Cogmaster A4 p. 5/26 Après l ANOVA... le test F permet de détecter qu au moins une paire de moyennes est significativement différente on est souvent (mais pas nécessairement) intéressé par des comparaisons spécifiques de paires de moyennes différentes stratégies selon la question posée et le plan d expériences considéré (présence ou non d un groupe témoin, groupes équilibrés ou non, classement des groupes) ces comparaisons peuvent avoir été pensées avant l expérience : comparaisons planifiées (pss besoin du test F global) suggérées après observation des résultats : comparaisons a posteriori, ou dans un but explicatif (post-hoc) ces comparaisons peuvent être à visée indicative ou confirmatoire

6 Cogmaster A4 p. 6/26 Problème posés par les comparaisons multiples comparaison de toutes les paires de moyennes (k groupes) : C k(k 1) 2 tests à α = 0.05! risque global nombre de tests : 1 (1 α) m où m = C k(k 1) 2 ex : 5 groupes à comparer, risque d erreur réel = 40 %! Si les 5 moyennes sont égales (H 0 ), on détectera au moins une paire de moyennes significativement différentes dans 40 % des cas.

7 Cogmaster A4 p. 7/26 Procédures de comparaisons multiples 2 stratégies 1. utiliser des tests indépendants : contrastes orthogonaux 2. utiliser des tests spécifiques : test t avec correction de Bonferroni, Newman-Keuls, Tukey HSD, Dunnett... tests spécifiques, 2 approches : modifier le risque de première espèce α pour que le risque total (risque expérimental) demeure 0.05 : méthode de Bonferroni adapter la statistique de test (plus conservateur) : méthode HSD de Tukey comparaisons non-planifiées : seulement si le test F est significatif, surtout si la visée est confirmatoire.

8 Cogmaster A4 p. 8/26 ANOVA et test t p valeur (tests t multiples) p valeur (anova) V Zoonekynd,

9 Cogmaster A4 p. 9/26 Méthode des contrastes (1) idée : partitionner la variance en SC indépendantes (cas des comparaisons non-planifiées) contraste c i = permet la comparaison d une moyenne, ou d un ensemble de moyennes, à une autre (à l aide d une différence de moyennes, comme pour le test t, µ 1 µ 2 ) définition : deux contrastes sont orthogonaux si le produit de leur coefficients de contraste est nul. Pour un plan à k échantillons, il y a k 1 contrastes orthogonaux formulation : avec i c i = 0 φ = k i=1 c i x i statistique de test : ddl de la résiduelle) φ s φ (s 2 φ = s 2 i c 2 i n i ), à comparer à un t à ν ddl (ν =

10 Cogmaster A4 p. 10/26 Méthode des contrastes (1) limites : les contraintes imposent un choix particulier de contraste, surtout lorsque le nombre de groupes k > 3 ex : 3 groupes a, b et c ; contrastes = a vs. b et b vs. c Exemple : 4 échantillons : x 1, x 2, x 3, x 4 H 0 : µ 1 = µ 4 c = [ ] H 0 : (µ 1 + µ 2 )/2 = (µ 3 + µ 4 )/2 c = [ ]

11 Cogmaster A4 p. 11/26 Utilisation de contrastes sous R (1) n <- 20 g <- gl(5,n,5*n,labels=paste(rep( g,5),1:5,sep="")) y <- NULL for (i in 1:5) y <- append(y,rnorm(n,mean=runif(1)*i,sd=1.5)) plot(y ~ g,horizontal=t,xlab = y,ylab = x ) model1 <- aov(y ~ g) summary(model1) summary.lm(model1) levels(g) contrasts(g) <- cbind(c(4,-1,-1,-1,-1),c(0,1,1,-1,-1), c(0,0,0,1,-1),c(0,1,-1,0,0)) model2 <- aov(y ~ g) summary.lm(model2) Matrice de contraste : [,1] [,2] [,3] [,4] g g g g g

12 Cogmaster A4 p. 12/26 Utilisation de contrastes sous R (2) y g1 g2 g3 g4 g x

13 Cogmaster A4 p. 13/26 Utilisation de contrastes sous R (3) Residuals vs Fitted Normal Q Q Residuals Standardized residuals Fitted values Theoretical Quantiles Standardized residuals Scale Location Standardized residuals Constant Leverage: Residuals vs Factor Levels g : g1 g5 g3 g2 g4 Fitted values Factor Level Combinations

14 Cogmaster A4 p. 14/26 Utilisation de contrastes sous R (4) Modèle global (summary(model1)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) g e-05 *** Residuals Tests sur les coefficients du modèle complet (summary.lm(model1)) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) gg *** gg ** gg e-07 *** gg ** Residual standard error: on 95 degrees of freedom Multiple R-Squared: ,Adjusted R-squared: F-statistic: on 4 and 95 DF, p-value: 2.164e-05

15 Cogmaster A4 p. 15/26 Utilisation de contrastes sous R (5) Tests sur les contrastes (summary.lm(model2)) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** g e-06 *** g g * g Residual standard error: on 95 degrees of freedom Multiple R-Squared: ,Adjusted R-squared: F-statistic: on 4 and 95 DF, p-value: 2.164e-05

16 Cogmaster A4 p. 16/26 Utilisation de contrastes sous R (6) Remarque : Un contraste n est rien d autre qu un test t (au carré) ; on parle de comparaisons à 1 ddl. Rappel statistique de test pour le t : t obs = x 1 x 2 s 2 p /n où s 2 p est une estimation de la variance commune (dans le cas où l on suppose l homogénéité des variances) Il existe d autres types de contrastes sous R : treatment contrasts, Helmert contrasts (par défaut sous R), sum contrast. Ils sont spécifiés grâce à la commande options(contrasts=c("contr.treatment","contr.poly")).

17 Cogmaster A4 p. 17/26 Méthode du t multiple protégé (LSD) (1) idée : utiliser le test t classique, en calculant la variance commune (erreur-type au dénominateur) à partir de l ensemble des échantillons méthode : (1) si les effectifs sont inégaux, on calcule un t pour chaque paire de moyenne ; (2) si les effectifs sont égaux, on calcule directement la plus petite différence significative (LSD), = t n 1;α= s2, à n laquelle on compare chacune des différences de moyenne intérêt : rapide et simple à mettre en œuvre ; donne un aperçu global de l ensemble des différences de moyennes considérées comme significatives limites : la protection n existe que sous H 0 ; visée indicative seulement

18 Cogmaster A4 p. 18/26 Méthode du t multiple protégé (LSD) (2) Idée naïve : calcul de tous les t avec comme erreur-type la résiduelle des 2 séries d observations considérées res <- matrix(na,nrow=5,ncol=5) for (j in 1:5) { for (i in 1:5) res[i,j] <- round(t.test(y[as.numeric(g)==j], y[as.numeric(g)==i],var.equal=t)$p.value,4) } res[upper.tri(res,diag=t)] <- NA dimnames(res) <- list(levels(g),levels(g)) Calcul de LSD : même chose en prenant comme erreur-type la résiduelle de toutes les séries d observations nk <- 20 # nb d obs par groupe tmp <- summary.aov(model1) residuals <- tmp[[1]]$ Mean Sq [2] # var. résiduelle lsd <- qt(0.975, 2*nk-2) * sqrt(2 * residuals/nk) plot.design(aggregate(y,list(g),mean)) segments(0.25,mean(y)-lsd/2,0.25,mean(y)+lsd/2)

19 Cogmaster A4 p. 19/26 Méthode du t multiple protégé (LSD) (3) mean of x g3 g4 g2 g5 g1 Group.1 Factors

20 Cogmaster A4 p. 20/26 Méthode du t multiple protégé (LSD) (4) res <- matrix(na,nrow=5,ncol=5) for (j in 1:5) { for (i in 1:5) { diff.mean <- mean(y[as.numeric(g)==j]) - mean(y[as.numeric(g)==i]) res[i,j] <- ifelse(abs(diff.mean) > lsd, round(diff.mean,2), NA) } } res[upper.tri(res,diag=t)] <- NA dimnames(res) <- list(levels(g),levels(g))

21 Cogmaster A4 p. 21/26 Méthode du t multiple protégé (LSD) (5) t avec s 2 p calculée sur les 2 échantillons comparés (valeurs de p obs ): g1 g2 g3 g4 g5 g1 NA NA NA NA NA g NA NA NA NA g NA NA NA g NA NA g NA t avec s 2 p calculée sur tous les échantillons comparés (valeurs des différences de moyennes significatives): g1 g2 g3 g4 g5 g1 NA NA NA NA NA g2 NA NA NA NA NA g NA NA NA g NA 1.09 NA NA g5 NA NA 1.92 NA NA Note: ces valeurs ne correspondent pas à l exemple initial de l ANOVA...

22 Cogmaster A4 p. 22/26 Méthode du t corrigé (Bonferroni) idée : même principe (test t), en corrigeant le risque α en fonction du nombre de comparaisons pour m comparaisons (m < C k(k 1) 2 ), on fixe α, α = 0.05, comme risque m de première espèce pour chacun des tests : méthode de Bonferroni intérêt : rapide et simple à mettre en œuvre ; donne un aperçu global de l ensemble des différences de moyennes considérées comme significatives pairwise.t.test(y,g,p.adjust.method="bonf") Il existe d autres types de méthodes de correction (?p.adjust).

23 Cogmaster A4 p. 23/26 Méthode de Tukey (HSD) (1) très utilisé en complément de l ANOVA lorsque l on cherche à expliquer des différences non prévues lors de la conception du protocole (démarche post-hoc) idée : modifier la statistique de test pour que la détection d une différence significative soit plus difficile statistique de test : T = x 1 x 2 s p à comparer aux valeurs q des range studentisés (?qtukey). R donne les IC associés à chaque comparaison limites : effectifs égaux dans chaque groupe model1.hsd <- TukeyHSD(model1) plot(model1.hsd,las=1) Le package multcomp comprend un ensemble de procédures de comparaisons multiples (?simint).

24 Cogmaster A4 p. 24/26 Méthode de Tukey (HSD) (2) 95% family wise confidence level g2 g1 g3 g1 g4 g1 g5 g1 g3 g2 g4 g2 g5 g2 g4 g3 g5 g3 g5 g Differences in mean levels of g

25 Cogmaster A4 p. 25/26 En résumé (1) Méthode des contrastes traitements à rôle symétrique ou non ; toujours valable si les contrastes sont indépendants ; problème du choix de ceux-ci ; visée confirmatoire Méthode du t multiple protégé traitements à rôle symétrique ; peu puissant ; risque de conclusions erronées lorsqu il y a un grand nombre de comparaisons ; visée indicative Méthode du t corrigé (Bonferroni) traitements à rôle symétrique ; visée indicative/confirmatoire Méthode de Scheffé traitements à rôle symétrique ; manque de puissance (trop de protection); permet de tester la nullité de n importe quel contraste; visée confirmatoire

26 Cogmaster A4 p. 26/26 En résumé (2) Méthode de Newman-Keuls traitements à rôle symétrique ; puissance accrue si les effectifs sont égaux et les contrastes simples ; permet de «grouper» les moyennes ; visée confirmatoire Méthode de Tukey traitements à rôle symétrique ; même protection que Newman-Keuls, mais moins puissante ; nécessite des effectifs égaux, et des contrastes simples ; visée confirmatoire Méthode de Dunnett traitements à rôle non symétrique ; utilisable dans le cas d une comparaison à un groupe témoin (ou de référence) ; nécessite le recours à une table spécifique ; visée confirmatoire