1998 Maritime Mathematics Competition Solutions

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1 1998 Maritime Mathematics Competition Solutions 1. Consier all possible numbers between 100 an 1000 which are forme by using only the igits 0,1,2,3,5 (with no igit repeate). How many of these are ivisible by 6? Parmi les nombres e 100 à 1000 ont les chiffres sont choisis sans répétition parmi {0, 1, 2, 3, 5}, combien sont ivisibles par 6? Solution: If the number is ivisible by 6 then it must be ivisible by 2 an hence ens with 0 or 2. The number must also be ivisible by three an hence the sum of its igits must be a multiple of 3. If the number ens in 0, then its first two igits are either 1 an 2 or 1 an 5. This gives four possibilities: 120, 210, 150 an 510. If the number ens in a two then the first two igits must be 1 an 0 or 1 an 3. This gives three possibilities: 102, 132, 312. (The number cannot start with a 0.) Hence there are seven such numbers. Les nombres en question, étant ivisibles par 6, sont pairs et onc se terminent par 0 ou 2. Puisque ces nombres sont également ivisibles par 3, la somme e leurs chiffres est ivisible par 3. Une vérification e toutes les possibilités montre maintenant que les nombres en question ont le chiffre es unités est 0 sont 120, 210, 150 et 510 et ceux ont le chiffre es unités est 2 sont 102, 132, 312. Ainsi, sept parmi les nombres e la forme onnée sont ivisibles par A circle of raius 5 is circumscribe by a right-angle isoceles triangle. What is the length of the hypotenuse of the triangle? Un cercle e rayon 5 est inscrit ans un triangle rectangle isocèle. Quelle est la longueur e l hypoténuse u triangle? Solution: There are many possible ways of arriving at the correct solution of l = 10(1 + 2). One of the simplest is to consier the height h of the triangle. Since it is an isoceles triangle this is half of the hypotenuse ( h = l/2), but, as the iagram shows, this is also the sum of the raius of the circle (5) an the length of the iagonal of a five by five square (5 2). Hence l = 2h = 2( ) = La longueur e l hypoténuse est l = 10(1 + 2), comme on peut le vérifier e plusieurs façons. Une possibilité est e constater que la hauteur h u triangle est la moitié e l hypoténuse, h = l/2, puisque le triangle est rectangle. De plus, comme le montre la figure, h est aussi la somme u rayon u cercle et e la iagonale un carré e 5 unités e côté, h = D où l = 2h = 2( ) =

2 3. Two trains are travelling on parallel tracks. One train is x times as fast as the other train. It takes x times as long for the two trains to pass when going in the same irection as it takes the two trains to pass when going in opposite irections. Fin x. Deux trains circulent sur es voies parallèles. L un es trains est x fois plus vite que l autre. Le temps requis pour que le train le plus vite épasse le plus lent lorsque les trains voyagent ans le même sens est x fois plus gran que le temps requis pour que les eux trains se croisent en voyageant en sens inverse. Quelle est la valeur e x? Solution: Let v 1 be the spee of train one an v 2 be the spee of train two. Let t s be the time to pass when both trains are going in the same irection an t o be the time to pass when the trains are going in opposite irections. If train one is x times as fast as train two then v 1 = xv 2. When travelling the same irection the relative spees of the two trains are v 1 v 2 = (x 1)v 2, while when travelling in opposite irections the relative spee is v 1 +v 2 = (x+1)v 2. Now spee is istance travelle ivie by time so time is istance travelle ivie by spee. The relative istance travelle is the same in either irection so t s = = xt o = x. (x 1)v 2 (x + 1)v 2 Hence (x + 1) = x 2 x. Solving for x using quaratic formula (an taking positive solution) we obtain x = (Note: To visualize relative spee an relative istance travelle choose a reference frame where one train is stationary.) Soient v 1 la vitesse u premier train et v 2 la vitesse u euxième. Soient t s le temps requis pour que le train le plus vite épasse le plus lent lorsque les trains voyagent ans le même sens et t o le temps requis pour que les eux trains se croisent en voyageant en sens inverse. Si le premier train est x fois plus vite que le euxième, alors v 1 = xv 2. La vitesse relative u premier train par rapport au euxième est v 1 v 2 = (x 1)v 2 lorsque les trains voyagent ans le même sens et v 1 + v 2 = (x + 1)v 2 lorsqu ils voyageant en sens inverse. La istance relative parcourue par le premier train par rapport au euxième est le même

3 ans les eux sens. On a onc t s = = xt o = x. (x 1)v 2 (x + 1)v 2 ce qui onne (x + 1) = x 2 x. La racine positive e cette équation onne la solution, x = Show that Montrer que ( ) 1/3 + (3 3 5) 1/3 2 2/3 3 ( ) 1/3 + (3 3 5) 1/3 2 2/3 3 = 1. = 1. Solution: Let x be the number on the left han sie of the above equation. Computing x 3 an simplifying we obtain that x 3 = 1 + x. 2 since 2x 3 x 1 = (x 1)(2x 2 + 2x + 1) = (x 1)(2(x ) ),the only real solution of this equation is 1 an since x is eviently real, we must have x = 1. Soit x le membre e gauche e l équation ci-essus. Si on calcule x 3 on trouve, après simplification, x 3 = 1 + x. 2 On a onc 0 = 2x 3 x 1 = (x 1)(2x 2 +2x+1) = (x 1)(2(x+ 1 2 ) ), et la seule solution réelle e cette ernière équation est x = The numbers 1, 1 2, 1 3, 1 4,, 1 99, are written on a blackboar. Two numbers a an b are selecte arbitrarily from the list, elete, an replace by the single number a + b + ab. This is one repeately until one number is left. What are the possible values of this number? On écrit au tableau les nombres 1, 1 2, 1 3, 1 4,, 1 99, On efface eux parmi ces nombres, a et b, choisis au hasar, et on les remplace par le nombre a + b + ab. Si ce processus est répété jusqu à

4 ce qu il ne reste plus qu un seul nombre au tableau, quelles sont les valeurs possibles e ce ernier nombre? Solution: We claim that, at each stage in the process, every number in the list has the form (x 1 + 1)(x 2 + 1) (x n + 1) 1 where each x i is in the original list of numbers. Also, at each stage, each of the original numbers occurs in the form above in exactly one number in the list. Clearly this is true initially since each x i = (x i + 1) 1. Suppose that, at some point in the proceure, the numbers a an b are selecte from the list. Assuming that a an b have the form claime above, we have a + b + ab = (a + 1)(b + 1) 1 = {(x 1 + 1) (x n + 1) 1 + 1}{(y 1 + 1) (y m + 1) 1 + 1} 1 = (x 1 + 1) (x n + 1)(y 1 + 1) (y m + 1) 1 so the new number has the esire form an we still have each initial number occurring in exactly one number in the list. Therefore, regarless of the orer in which the pairs of the numbers are selecte, the last number is ( ) ( ) ( ) ( ) (1 + 1) = = = 100. Nous allons montrer qu à chaque étape u processus, les nombres au tableau, a 1,..., a m, s écrivent a k = (x k1 + 1)(x k2 + 1) (x knk + 1) 1 où les x ij proviennent e la liste originale et chaque nombre ans la liste originale est égal à x ij pour exactement une valeur e (i, j). Ceci est vrai au ébut parce que x i = (x i + 1) 1. Si, à une étape quelconque, on applique le processus à eux nombres a et b choisis parmi une liste e nombres ayant la forme ésirée, alors on a a + b + ab = (a + 1)(b + 1) 1 = {(x 1 + 1) (x n + 1) 1 + 1}{(y 1 + 1) (y m + 1) 1 + 1} 1 = (x 1 + 1) (x n + 1)(y 1 + 1) (y m + 1) 1

5 et la nouvelle liste a onc la forme ésirée. Il suit que le ernier nombre est ( ) ( ) ( ) ( ) (1 + 1) = = = There are n k possible k-tuples (a 1, a 2,..., a k ) which can be constructe by taking each a i from the set {1, 2,..., n}. For each of these k-tuples, the minimum a i is note. Prove that the sum of all these minimum a i is 1 k + 2 k + + n k. De chacun es n k ifférents k-uples (a 1, a 2,..., a k ) ont les cooronnées a i appartiennent à l ensemble {1, 2,..., n}, on choisit la plus petite cooronnée. Montrer que la somme e ces cooronnées minimales est 1 k + 2 k + + n k. Solution: For each i = 1, 2,..., n, let b i be the number of lists in which the smallest number is i. Furthermore, let c i be the number of lists in which the smallest number is at least i. Then b i = c i c i+1 for i = 1, 2,..., n 1 an b n = c n. Now S, the sum of all the smallest numbers, is S = b 1 + 2b 2 + 3b (n 1)b n 1 + nb n = (c 1 c 2 ) + 2(c 2 c 3 ) + 3(c 3 c 4 ) + + (n 1)(c n 1 c n ) + nc n = c 1 + c c n 1 + c n. Now the list (a 1, a 2,..., a k ) has smallest number at least i if an only if i a i n for all i. Therefore, c i = (n i + 1) k so as require. S = n k + (n 1) k + (n 2) k k + 1 k Pour i = 1, 2,..., n, soit b i le nombre e k-uples ont la plus petite cooronnée est i et soit c i le nombre e k-uples ont la plus petite cooronnée est au moins i. Alors b i = c i c i+1 pour i = 1, 2,..., n 1 et b n = c n. La somme S es cooronnées minimales est S = b 1 + 2b 2 + 3b (n 1)b n 1 + nb n = (c 1 c 2 ) + 2(c 2 c 3 ) + 3(c 3 c 4 ) + + (n 1)(c n 1 c n ) + nc n = c 1 + c c n 1 + c n.

6 La cooronnée minimale u k-uple (a 1, a 2,..., a k ) est au moins i si et seulement si i a i n pour tout i. Donc c i = (n i + 1) k et on a tel que ésiré. S = n k + (n 1) k + (n 2) k k + 1 k