Démonstration de la conjecture de Dumont

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1 C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 1 (005) Théorie des nombres/combinatoire Démonstration de la conjecture de Dumont Bodo Lass Institut Camille Jordan, UMR 508 du CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1,, boulevard du 11 novembre 1918, 696 Villeurbanne cedex, France Reçu le 11 juillet 005 ; accepté après révision le 11 octobre 005 Disponible sur Internet le 1 novembre 005 Présenté par Étienne Ghys À Dominique Foata, pour son 70-ième anniversaire Résumé Soit r 1() (n) : {(x 1,x,...,x ) N n x1 + x + +x,x i 1 (mod ), 1 i }, c 1() (n) : {(x 1,x,...,x ) N n x 1 x + x x + +x 1 x + x x 1,x i 1 ()}, c () (n) : {(x 1,x,...,x ) N n x 1 x + x x + +x 1 x + x x 1,x i ()}. Dumont a conjecturé l identité r 1() (n) c 1() (n) ( 1) c () (n) qui généralise, notamment, les résultats classiques de Lagrange, Gauß, Jacobi et Kronecer sur les décompositions de tout entier en deux, trois et quatre carrés. Nous donnons une preuve combinatoire de la conjecture de Dumont. Pour citer cet article : B. Lass, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 1 (005). 005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. Abstract A proof of Dumont s conjecture. Let r 1() (n) : {(x 1,x,...,x ) N n x1 + x + +x,x i 1 (mod ), 1 i }, c 1() (n) : {(x 1,x,...,x ) N n x 1 x + x x + +x 1 x + x x 1,x i 1 ()}, c () (n) : {(x 1,x,...,x ) N n x 1 x + x x + +x 1 x + x x 1,x i ()}. Dumont has conjectured the identity r 1() (n) c 1() (n) ( 1) c () (n), which generalizes, in particular, the classical results of Lagrange, Gauß, Jacobi and Kronecer on the sums of two, three and four squares. We give a combinatorial proof of Dumont s conjecture. To cite this article: B. Lass, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 1 (005). 005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. Adresse [email protected] (B. Lass) X/$ see front matter 005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. doi: /j.crma

2 71 B. Lass / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 1 (005) Abridged English version Let N a(b) denote the set of strictly positive integers congruent to a modulo b, and let and n be integers such that 1 n and n (mod 8). We want to count the number of solutions of the following Diophantine equations: r 1() (n) : { (x 1,x,...,x ) ( N 1()) n x 1 + x } + +x, c 1() (n) : { (x 1,x,...,x ) ( N 1()) } n x1 x + x x + +x 1 x + x x 1, c () (n) : { (x 1,x,...,x ) ( N ()) } n x1 x + x x + +x 1 x + x x 1. Let y 1,y,...,y be arbitrary strictly positive integers. The equivalence ( ) ( ) ( ) y1 y y m m + (y 1 1) + (y 1) + +(y 1) shows that the congruence n (mod 8) is satisfied automatically in the first Diophantine equation (this is true for the two other equations too) and that r 1() (n) also counts the number of decompositions of (n )/8into triangular numbers. Moreover, Jacobi s two and four odd squares theorems tell us that for n (mod 8) and n (mod 8) we have r 1() (n) ( 1) (d 1)/, r 1() (n) d, d (n/) d (n/) respectively (the sums go over all positive divisors), whereas Kronecer s three odd squares theorem gives r 1() (n) { (a,b,c) N n ac b,b>0, b<a, b < c } for n (mod 8). The aim of André Weil s article [] is to prove exactly those three theorems. Up to now, we could not see in such results anything else than special cases of the general conjecture that number theory is less beautiful than combinatorics. Dominique Dumont [], however, recently recognized them as the cases,, of the following marvellous conjecture (which he also proved for n 0, 8, 16,,, 0). Conjecture 0.1 (Dumont). The following relation holds for all positive integers n and : r 1() (n) c 1() (n) ( 1) c () (n). Once the right statement has been found, the proof almost taes care of itself. We thin that this aphorism can be applied directly to Dumont s conjecture. In any case, it can be applied to our main result: Theorem 0.. Let the infinite matrices A (a ij ) and B (b ij ), i, j 0, 1,,,..., be defined by a ij : q (i+1)(j+1) for all i, j and by b ij : q (i 1)(j 1), b 0j b i0 0 for i, j > 0, whereas b 00 : q (n+1). Then there exists an inversible matrix X (defined in the main version) such that XB AX. In particular, tr[a ]tr[b ], which is the generating function formulation of the identity c 1() (n) r 1() (n) + ( 1) c () (n). 1. Combinatoire En suivant Andrews [1], commençons par rappeler les plus beaux théorèmes de la combinatoire des q-séries formelles (ceux qui préfèrent l analyse complexe pourront supposer q < 1), qui utilisent tous les notations (a; q) n : (1 a)(1 aq) (1 aq n 1), (a; q) : lim n (a; q) n, (a; q) 0 : 1. Théorème 1.1 (q-binomial (Cauchy)). (a; q) n t n (at; q). (q; q) n (t; q)

3 B. Lass / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 1 (005) Démonstration. Posons F(t): (at; q) /(t; q) : A n (a; q) t n. On vérifie immédiatement (1 t)f(t) (1 at)(atq; q) /(tq; q) (1 at)f (tq), d oùa n (a; q) A n 1 (a; q) q n A n (a; q) aq n 1 A n 1 (a; q),i.e. A n (a; q) A n 1 (a; q)(1 aq n 1 )/(1 q n ). Corollaire 1. (Euler). t n 1, (q; q) n (t; q) t n q n(n 1)/ ( t; q). (q; q) n Démonstration. Il suffit de poser a 0 ou bien de remplacer a par a/b et t par bt pour ensuite poser b 0et a 1. Théorème 1. (Triple produit (Jacobi)). q n z n ( q ; q ) ( qz; q ) ( q/z; q ). Démonstration. Nous utilisons trois fois le corollaire précédent : ( q ; q ) ( qz; q ) ( q ; q ) q n z n (q ; q ) n q n z n( q n+ ; q ) q n z n( q n+ ; q ) q n z n ( 1) m q m +m+mn (q ; q ) m0 m ( 1) m q m z m (q ; q q (n+m) z n+m ( q/z) m ) m0 m (q ; q q n z n ) m0 m 1 ( q/z; q q n z n. ) Corollaire 1. (Gauß). ( 1) n q n (q; q), ( q; q) q n(n+1)/ (q ; q ) (q; q ). Démonstration. L identité 1 + q n (1 q n )/(1 q n ) entraîne ( q; q) (q ; q ) /(q; q) 1/(q; q ). Les cas z 1etz q du théorème précédent impliquent donc bien les deux identités ( 1) n q n (q ; q ) (q; q ) (q; q ) (q; q) (q; q ) (q; q) /( q; q) et q n(n+1)/ 1 q n(n+1)/ 1 (q; q) ( q; q) ( 1; q) (q; q) ( q; q) ( q; q) (q ; q ) ( q; q) (q ; q ) /(q; q ).. Algèbre linéaire Nous regardons maintenant des matrices infinies A (a ij ), i, j 0, 1,,,..., dont les éléments a ij sont des q-séries formelles. Appelons une telle matrice admissible si et seulement si, pour tout n N,ilexisteun N tel que i j >implique deg(a ij )>n,oùdeg( m0 a m q m ) est la plus petite valeur de m avec a m 0(deg(0) ). Autrement dit, une matrice est admissible si sa réduction modulo q N est concentrée sur un nombre fini de lignes diagonales pour tout N. L identité I est admissible et le produit AB de deux matrices admissibles A et B est bien défini et admissible. De plus, la multiplication des matrices admissibles est associative. Si A (a ij ) est une matrice admissible avec deg(a ij )>0 pour tout i, j,alors(i + A) 1 0 ( 1) A est également bien défini et admissible. Appelons la matrice A (a ij ) admise si et seulement si, pour tout n N, ilexisteun N tel que max(i, j) > implique deg(a ij )>n. Autrement dit, une matrice est admise si sa réduction modulo q N est une matrice finie pour

4 716 B. Lass / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 1 (005) tout N. Pour chaque matrice admise tr[a] est bien définie. De plus, si A est une matrice admise et X est une matrice admissible, alors AX et XA sont des matrices admises et l on a l identité tr[ax]tr[xa]. Nous nous intéressons ici plus spécialement aux matrices de la forme q ij (pour les étudier dans le cas q < 1et mettre fin à «l injustice de la transformation de Fourier» de se borner au bord q 1). Définissons donc les deux matrices admises A (a ij ), B (b ij ) et la matrice admissible X (x ij ) par a ij : q (i+1)(j+1), q (i 1)(j 1), si i, j > 0, b ij : q (n+1), si i j 0, 0, sinon, q1(j i 1)+, si j>i, 1 q16(j i 1)+8 q x ij : (i j), si 1 j i, 1 q16(i j)+8 (q 8 ; q 16 ) i (q 16 ; q 16 q i, si j 0. ) i Théorème.1. Nous avons XB AX. Démonstration. D abord, il nous faut montrer, pour tout i 0etj 1, que i m1 q (i m) 1 q 16(i m)+8 q(m 1)(j 1) + mi+1 j 1 q 1(j n 1)+ 1 q 16(j n 1)+8 q(n+1)(i+1) + En posant m i 1 n j, nous obtenons nj q (n j) 1 q 16(n j)+8 q(n+1)(i+1) q 16ij +j i+1 0 ( 1) [i>j] q 16ij +j i+1 mi+1 q 1(m i 1)+ q(m 1)(j 1) 1 q16(m i 1)+8 nj q (n j) 1 q 16(n j)+8 q(n+1)(i+1). q 1(m i 1)+ q(m 1)(j 1) 1 q16(m i 1)+8 q 8 (q16+8 ) i (q 16+8 ) j 16ij +j i+1 1 q 16+8 q D autre part, en posant i m j n 1, nous obtenons i m1 q (i m) 1 q 16(i m)+8 j 1 q(m 1)(j 1) [ q 16ij +j i+1 ( 1) [j>i] min(i,j) [ ( 1) [j>i] q 16ij +j i+1 min(i,j) [ ( 1) [j>i] q 16ij +j i+1 q 8 ( 1) [i>j] (q 16+8 ) l 0 q 8l { 1, si i>j,, où [i >j]: 1 q16l+8 0, sinon. q 1(j n 1)+ q(n+1)(i+1) 1 q16(j n 1)+8 q 8 (q16+8 ) min(i,j) min(i,j) 1 1 q q 8 (q16+8 ) min(i,j) min(i,j) 1 1 q q 8l (q16l+8 ) min(i,j) 1 q 16l+8 ] q 8 (q16+8 ) j (q 16+8 ) i 1 q 16+8 q 8 min(i,j) 1 q 8(l+1) 0 (q 16+8 ) l 1 ] (q 16l+8 ) ]

5 B. Lass / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 1 (005) [ ] ( 1) [j>i] q 16ij +j i+1 q 8l (q16l+8 ) min(i,j) 1 q 16l+8 q 8(l+1) (q16l+8 ) min(i,j)+1 q 16l+8 1 q 16l+8 ( 1) [j>i] q 16ij +j i+1 q 8l 1 q 16l+8, ce qui achève la démonstration dans le cas i 0etj 1. Dans le cas j 0, grâce aux identités de Cauchy et de Gauß, nous avons pour tout i (q 8 ; q 16 ) n (q 16 ; q 16 ) n q n q (n+1)(i+1) q i+1 (q 8 ; q 16 ) n ( q 16i+8 ) n q i+1 (q16i+16 ; q 16 ) (q 16 ; q 16 ) n (q 16i+8 ; q 16 ) [ ] q (n+1) q (q16 ; q 16 ) (q 8 ; q 16 ) (q8 ; q 16 ) i (q 16 ; q 16 ) i q i Corollaire.. Nous avons c 1() (n) r 1() (n) + ( 1) c () (n). (q8 ; q 16 ) i (q 16 ; q 16 ) i q i. Démonstration. tr[a ]tr[(xbx 1 ) ]tr[(xb )X 1 ]tr[x 1 (XB )]tr[b ].. Théorie des nombres Terminons cette Note avec quelques applications de notre théorème principal, en commençant avec le théorème dit «Eurêa» de Gauß. Corollaire.1 (Gauß). Tout nombre naturel se décompose en trois nombres triangulaires. Démonstration. Puisque m ( y 1 ) ( + y ) ( + y ) 8m + (y1 1) + (y 1) + (y 1), il faut montrer que r 1() (8m + ) c 1() (8m + ) + c () (8m + )>0. En effet, en posant x 1 x 1etx m + 1, nous avons x 1 x + x x + x x 1 8m +. Corollaire. (Jacobi). r 1() (8m + ) ( 1) (d 1)/. d m+1 Démonstration. Nous avons bien 8m + x 1 x + x x 1 m + 1 x 1 x. Corollaire. (Jacobi). r 1() (8m + ) d. d m+1 Démonstration. Nous avons bien 8m + x 1 x + x x + x x + x x 1 m + 1 x 1+x x+x. Il s ensuit que r 1() (8m + ) c 1() (8m + ) c () (8m + ) d d m+1 d+ d + d d d d m+1 d+d d m+1 d. Corollaire. (Jacobi). Notons r (n) : {(x 1,x ) Z n x1 + x } pour tout n N.Alors r (n) ( 1) (d 1)/. d n, d

6 718 B. Lass / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 1 (005) Démonstration. L équivalence n (x 1 + x ) + (x 1 x ) n x1 + x fournit une preuve bijective que r (n) r (n), parce que l on a automatiquement y 1 y (mod ) si n y1 + y. Il suffit donc de démontrer le corollaire dans le cas n (mod ). Dans ce cas, cependant, nous avons r (n) r 1() (n). Corollaire.5 (Jacobi). Notons r (n) : {(x 1,x,x,x ) Z n x1 + x + x + x } pour tout n N. Alors r (n) 8 d. d n, d Démonstration. L équivalence n (x 1 + x ) + (x 1 x ) + (x + x ) + (x x ) n x1 + x + x + x fournit une preuve bijective que r (n) r (n) si n est pair, parce que l on a automatiquement y 1 y y y (mod ) si n y1 +y +y +y.sin est impair, alors exactement un tiers des solutions de n y 1 +y +y +y satisfait aux relations y 1 y (mod ) et y y (mod ), c est-à-dire r (n) r (n). Comme d assure les mêmes relations pour le membre de droite, il suffit de démontrer le corollaire dans le cas n (mod 8). Dans ce cas, cependant, nous avons r (n) 16r 1() (n) + r (n/) 16r 1() (n) + r (n)/, i.e. r (n) r 1() (n). Corollaire.6 (Lagrange). Tout nombre naturel se décompose en quatre carrés. Remerciements En tout premier lieu, je voudrais remercier vivement Dominique Dumont d avoir rendu possible la rédaction de cet article en présentant sa conjecture merveilleuse au séminaire «Théorie des nombres et Combinatoire» à l Institut Camille Jordan. Je remercie aussi Victor Guo, Frédéric Chapoton et un arbitre pour des remarques utiles. Références [1] G. Andrews, The Theory of Partitions, Cambridge University Press, 1998 ; Teoriya razbienii, Naua, 198 (en russe). [] D. Dumont, A conjecture on sums of any number of odd squares, Prépublication. [] A. Weil, Sur les sommes de trois et quatre carrés, Enseign. Math. II. Sér. 0 (197) 15.