Mat 1748 Examen 1. Professeur: D. Daigle Date: 8 février 2016 Durée: 75 minutes.

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1 Nom de famille (MAJUSCULES) Prénom (MAJUSCULES) Signature Numéro d étudiant Mat 1748 Examen 1 Professeur: D. Daigle Date: 8 février 2016 Durée: 75 minutes. Pour les questions 1 à 6, donnez seulement la réponse, sans justifier ou expliquer. Pour les questions 7 et 8, vous devez justifier brièvement votre réponse. Pour les questions 9 à 11, vous devez donner des solutions complètes et justifier vos affirmations. Non permis : calculatrices et autres appareils électroniques, manuels et notes de cours. Ne détachez pas les pages de l examen. Si vous manquez d espace, vous pouvez utiliser le verso des pages ou la dernière page de l examen pour le travail au brouillon ou pour répondre aux questions. Espace réservé au correcteur questions total points max

2 (1) (4 pts) Supposons que ϕ 1, ϕ 2 et ψ sont des formules de logique propositionnelle, et considérons l argument A suivant : ϕ 1 A : ϕ 2 ψ Dites si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse (répondez par V ou F) : (a) Si (ϕ 1 ϕ 2 ) ψ est une tautologie alors l argument A est valide. (b) Si A est valide alors (ϕ 1 ϕ 2 ) ψ est une tautologie. (c) Si ϕ 1 ϕ 2 ψ est une contradiction alors A est valide. (d) Si A est valide alors ϕ 1 ϕ 2 ψ est une contradiction. (e) Si l ensemble {ϕ 1, ϕ 2, ψ} est satisfaisable alors A est valide. (f) Si A est valide alors l ensemble {ϕ 1, ϕ 2, ψ} est satisfaisable. (g) Si l ensemble {ϕ 1, ϕ 2 } est non-satisfaisable alors A est valide. (h) Si A est valide alors l ensemble {ϕ 1, ϕ 2 } est non-satisfaisable. 2 (2) (4 pts) Considérez l argument A = ϕ1 ϕ 2 et l ensemble de formules E = {ϕ 1, ϕ 2, ψ}. ψ Considérez les affirmations suivantes, qui concernent l arbre de vérité de l ensemble E. Pour chacune de ces affirmations, déterminez si elle est vraie ou fausse (répondez par V ou F) : (a) Si l arbre a une branche ouverte, alors E est satisfaisable et l argument A est valide. (b) Si E est non satisfaisable, alors l arbre n a aucune branche fermée. (c) Si l argument A est valide, alors l arbre a une branche ouverte. (d) Si A n a aucun contrexemple, alors l arbre n a aucune branche fermée.

3 3 (3) (2 pts) Voici la table de vérité d une formule ϕ de logique propositionnelle : X Y Z ϕ V V V F V V F V V F V F V F F V F V V F F V F V F F V F F F F F Donnez une formule en forme normale disjonctive qui est équivalente à ϕ. Réponse : Aucune justification n est requise. (4) (2 pts) Complétez la définition suivante : Soient ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 des formules de logique propositionnelle. On dit que l ensemble E = {ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 } est satisfaisable si Aucune justification n est requise.

4 4 (5) (3 pts) Donnez un exemple d une formule de logique propositionnelle qui est : une tautologie : une contradiction : ni une tautologie, ni une contradiction : Aucune justification n est requise. (6) (2 pts) Considérez la phrase suivante, dans laquelle nous avons ajouté des parenthèses pour clarifier la structure : (La condition le système fonctionne normalement et le programme n est pas mis à jour est nécessaire et suffisante pour que les utilisateurs aient accès aux fichiers) seulement si une recherche anti-virus est effectuée sur les messages. Donnez une formule de logique propositionnelle qui est une traduction de la phrase ci-dessus. Utilisez les atomes suivants : N : le système fonctionne normalement M : une recherche anti-virus est effectuée sur les messages U : le programme est mis à jour F : les utilisateurs ont accès aux fichiers Réponse : Aucune justification n est requise.

5 5 (7) (4 pts) Sur l île des Chevaliers et des Coquins, vous rencontrez deux habitants A et B. A dit : nous sommes deux coquins. Que pouvez-vous conclure sur les types (coquin ou chevalier) de A et B? Réponse : Justifiez brièvement votre réponse dans l espace ci-dessous.

6 6 (8) (4 pts) L argument X Y (Y Z) X Z est-il valide? Encerclez la bonne réponse dans la boîte. Si vous répondez que l argument est invalide, donnez aussi un contrexemple. L argument est : valide invalide Contrexemple (si applicable) : Justifiez brièvement votre réponse dans l espace ci-dessous.

7 (9) (4 pts) Démontrez l équivalence (X Y ) ( (X Z) (Y Z) ) (X Y ) Z par la méthode des manipulations algébriques. Notez bien: Vous pouvez seulement utiliser les équivalences qui sont énoncées dans la table donnée à la page 10 de l examen. Dans votre preuve, justifiez chaque équivalence en écrivant le numéro correspondant (les numéros qui sont donnés dans la table). Ne sautez AUCUNE étape. N omettez pas les parenthèses internes: par exemple, vous n avez pas le droit d écrire que A (B C) A B C. 7

8 (10) (6 pts) Utilisez la méthode de l arbre de vérité pour déterminer si l ensemble E = { X (X W ), (X Y ) (X Z), (X Y ) (Z X) } est satisfaisable ou non. Si vous dites que E est satisfaisable, donnez toutes les valuations qui le satisfont. 8

9 (11) (5 pts) Rappel : Étant donnés des entiers m et n, on dit que m divise n s il existe un entier x satisfaisant mx = n. Démontrez le théorème suivant au moyen d une preuve indirecte. (Remarque : dans l énoncé du théorème, on a ajouté des parenthèses pour clarifier la structure de la phrase.) Théorème. Si n est impair, alors [m est impair ou m ne divise pas n]. Preuve : 9

10 10 Liste des équivalences pour la question (9). Équivalence Nom ou commentaire (1) P Q P Q (2) P Q (P Q) ( P Q) (3) P Q (P Q) (Q P ) (4) P P V Tiers exclu (5) P P F Contradiction (6) P F P F est neutre pour (7) P V P V est neutre pour (8) P V V V est absorbant pour (9) P F F F est absorbant pour (10) P P P Idempotence (11) P P P Idempotence (12) P P Double négation (13) P Q Q P Commutativité de (14) P Q Q P Commutativité de (15) (P Q) R P (Q R) Associativité de (16) (P Q) R P (Q R) Associativité de (17) P (Q R) (P Q) (P R) Distributivité de sur (18) P (Q R) (P Q) (P R) Distributivité de sur (19) (P Q) P Q Loi de De Morgan (20) (P Q) P Q Loi de De Morgan

11 Page supplémentaire. 11