Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe

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1 Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe À tout tableau est associée non seulement une base du problème initial (primal) mais également une base du problème dual. Les valeurs des variables basiques primales se lisent dans la dernière colonne du tableau. Les valeurs de la solution basique duale se lisent dans la dernière ligne du tableau. Les variables de décision du dual sont associées aux variables d écart du primal. Réciproquement, les variables d écart du dual sont associées aux variables de décision du primal. J.-F. Hêche, ROSO-EPFL Recherche opérationnelle SC & PH 125

2 Les solutions basiques primale et duale associées à un tableau ont même valeur et vérifient les écarts complémentaires. Dans tous les tableaux visités par l algorithme du simplexe la solution basique primale est toujours admissible. L algorithme s arrête dès qu une solution basique duale admissible est atteinte, le tableau étant alors optimal. Le tableau optimal contient non seulement la solution (optimale) du problème initial mais également celle de son dual. J.-F. Hêche, ROSO-EPFL Recherche opérationnelle SC & PH 126

3 L algorithme dual du simplexe (phase II) Considérons le PL canonique de tableau initial Max z = x 1 2x 2 s.c. 2x 1 + x 2 6 x 1 x 2 4 x 1, x 2 0 T 0 = T 0 n est pas (primal-)admissible mais est dual-admissible! J.-F. Hêche, ROSO-EPFL Recherche opérationnelle SC & PH 127

4 On peut donc chercher à résoudre le problème dual tout en travaillant dans le tableau primal. Dans T 0, la fonction objectif duale (à minimiser) s écrit w = yb. Il faut donc augmenter une variable de décision duale associée à un élément b i < 0 afin de diminuer w. Le seul candidat est b 2 = 4, la variable primale x 4 va donc quitter la base primale et la variable duale y 2 associée va entrer dans la base duale. Afin de conserver l admissibilité duale, le pivot doit être choisi dans une colonne r vérifiant γ r α 2r = max { γk α 2k α 2k < 0 Comme γ 1 /α 21 = 1 et γ 2 /α 22 = 2, il faut pivoter sur α 21 et faire entrer x 1 dans la base en lieu et place de x 4. }. J.-F. Hêche, ROSO-EPFL Recherche opérationnelle SC & PH 128

5 T 0 = T 1 = y 3 y 4 y 1 y 2 Le tableau T 1 est toujours dual-admissible mais, maintenant, β 1 est négatif, x 3 va donc quitter la base primale et y 1 entrer dans la base duale. Le seul pivot négatif dans la première ligne est α 12 = 1. J.-F. Hêche, ROSO-EPFL Recherche opérationnelle SC & PH 129

6 T 1 = T 2 = y 3 y 4 y 1 y 2 Le tableau T 2 est primal et dual admissible, il est donc optimal. La solution optimale primale est x 1 = x 2 = 2 (x 3 = x 4 = 0) et la solution optimale duale est y 1 = 1, y 2 = 3 (y 3 = y 4 = 0). On a évidemment z = w = 6. J.-F. Hêche, ROSO-EPFL Recherche opérationnelle SC & PH 130

7 Tableau primal / Algo. dual x 1 x 2 x 3 x Tableau dual / Algo. primal y 1 y 2 y 3 y T T T y 3 y 4 y 1 y x 3 x 4 x 1 x 2 J.-F. Hêche, ROSO-EPFL Recherche opérationnelle SC & PH 131

8 Algorithme dual du simplexe (phase II) Données : Un tableau dual-admissible. Résultat : Un tableau optimal ou un certificat d absence de solutions admissibles. (1) Choix d une variable sortante : Choisir une ligne i avec β i < 0, la variable basique x j avec j = σ(i) quitte la base. S il n existe pas de variable sortante : STOP le tableau courant est optimal. (2) Choix d une variable entrante : Choisir une colonne hors base r maximisant les quotients caractéristiques duaux { r k N γ { }} k γj = max α ij < 0 α ik α ij S il n existe pas de variable entrante : STOP le dual est non borné et le primal sans solutions admissibles. (3) Mise à jour de la base et du tableau : Pivoter autour de α ir et retourner en (1). J.-F. Hêche, ROSO-EPFL Recherche opérationnelle SC & PH 132

9 Remarque. Si, pendant l application de l algorithme dual, un tableau non admissible est atteint pour lequel aucun pivot ne peut être trouvé, cela signifie que le problème dual est non borné et donc que le problème primal n admet pas de solution admissible. En effet, dans une telle situation, on a b i < 0 et α ij 0 j. Ceci correspond à la contrainte (impossible si x j 0 j) 0 α ij x j = b i < 0. Dual non borné x D x E z Sans solution admissible (primale) x D x E z J.-F. Hêche, ROSO-EPFL Recherche opérationnelle SC & PH 133