Conversion du nombre décimal entier non signé en nombre binaire sur 16 bits

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Pierre-Yves Henri Audet
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1 CHAPITRE : LA NUMERATION (Corrections des exercices) Page 2. FORMAT DES NOMBRES 2. PRÉPARATION 2... Conversion du nombre décimal entier non signé en nombre binaire sur 6 bits Conversion du nombre hexadécimal entier non signé 0xA023 en nombre décimal { = = A

.. Conversion du nombre décimal entier non signé 32928 en nombre binaire sur 6

2 CHAPITRE : LA NUMERATION (Corrections des exercices) Page RÉPONSE AUX QUESTIONS DU TP Conversion de nombres entiers signés Complément à 2 sur 6 bits du nombre hexadécimal 4BA B A 8 5 C B B Résultat : B Conversion du nombre décimal entier signé en nombre hexadécimal sur 6 bits Conversion de nombres fractionnaires signés Nombre fractionnaire sur 6 bits avec le maximum de précision Exprimer les nombres et en binaire puis en hexadécimal avec le meilleur format

$2.2.3 Conversion du nombre décimal entier signé -2928 en nombre hexadécimal sur 6 bits 2.2.3 Conversion de nombres fractionnaires signés 2.2.3. Nombre fractionnaire 3.$

3 CHAPITRE : LA NUMERATION (Corrections des exercices) Page 3 Le premier nombre s exprime en format 2.4 : ( b) 6E86h Le second nombre s exprime en format 5. : ( b) 4909h Plage des nombres représentés en format n.m La valeur minimum dans le format n.m vaut : -2 n- La valeur maximum dans le format n.m vaut : 2 n- -2 -m La plage du multiplicateur et du multiplicande vaut [ -2 n- 2 n- -2 -m ] [ -2 n- 2 n- [ Nombre de bits minimums nécessaires pour exprimer le nombre fractionnaire décimal 0.4 Comme le montre la figure suivante, le nombre fractionnaire décimal 0.4 présente en binaire une périodicité. Il faut donc un nombre infini de bits pour exprimer cette valeur avec exactitude. Matlab utilise par défaut le format virgule flottante sur 64 bits, soit bit de signe, bit pour l exposant et 52 bits pour la mantisse. Sachant que la mantisse prend toujours la forme.xx et que le n apparaît pas (redondance de l information), 0.4 est donc exprimé par 53 bits. LA fonction dec2bin (decimal to binary) montre une erreur sur le 52 ème bit mais le premier bit (bit de poids fort) n apparaît pas. Calcul détaillé : Résultat : b

$m vaut : 2 n- -2 -m La plage du multiplicateur et du multiplicande vaut [ -2 n- 2 n- -2 -m ] [ -2 n- 2 n- [ 2.2.3.4 Nombre de bits minimums nécessaires pour exprimer le nombre fractionnaire décimal 0.$

4 CHAPITRE : LA NUMERATION (Corrections des exercices) Page Conversion de nombres en virgule flottante 32 bits Conversion de en nombre binaire à virgule flottante à 32 bits 8 000b b b On décale la virgule jusqu'au premier bit (le plus à gauche) valant. Déplacer la virgule à gauche revient à diviser le nombre par 2 : 000.0b =.0000b 2 00b Par conséquent, on peut définir chaque terme de la représentation ANSI-IEEE bits en virgule flottante. Signe: Négatif Exposant: 4 Mantisse: 000 Et par conséquent Signe = Exposant = b Mantisse = b Donc, en nombre binaire à virgule flottante à 32 bits vaut : b C6000h Remarque Le signe est défini comme : positif = 0, négatif =. ATTENTION!!!! Le nombre, positif ou négatif, n'est JAMAIS stocké en complément à 2. Pour obtenir l'exposant: ajouter 7Fh (0 b) pour un nombre de 32 bits, et 3FFh (0 b) pour un nombre de 64 bits. Pour obtenir la mantisse, garder seulement les bits qui suivent la virgule et compléter à droite avec des zéros. Soit à coder la valeur 525,5. 525,5 est positif donc le er bit sera 0. Sa représentation en base 2 est la suivante : , En normalisant, on trouve :,000000*2 9 On ajoute 27 à l'exposant qui vaut 9 ce qui donne 36, soit en base 2 : La mantisse est composée de la partie décimale de 525,5 en base 2 normalisée, c'est-à-dire Comme la mantisse doit occuper 23 bits, il est nécessaire d'ajouter des zéros pour la compléter : La représentation du nombre 525,5 en binaire avec la norme IEEE est donc : ou ( en hexadécimal)

Déplacer la virgule à gauche revient à diviser le nombre par 2 : 000.0b =.0000b 2 00b Par conséquent, on peut définir chaque terme de la représentation ANSI-IEEE 754 32 bits en virgule flottante.

5 CHAPITRE : LA NUMERATION (Corrections des exercices) Page 5 Exemple avec un réel négatif : Soit à coder la valeur -0,625. Le bit s vaut car 0,625 est négatif 0,625 s'écrit en base 2 de la façon suivante : 0,0 On souhaite l'écrire sous la forme.0 - Par conséquent l'exposant vaut 0 car 27 - = 26 (soit 0 en binaire) la mantisse est (seuls les chiffres après la virgule sont représentés, le nombre entier étant toujours égal à ) La représentation du nombre 0,625 en binaire avec la norme IEEE est : ou (FF en hexadécimal) Conversion du nombre hexadécimal à virgule flottante sur 32 bits 3E en décimal Recherche de la valeur binaire du nombre exprimé en hexadécimal: 3E On peut identifier chaque termes du format ANSI-IEEE bits. Signe = 0 Exposant = 0 00 Mantisse = On peut donc, par décodage, écrire : Signe = Positif Exposant = 7Ch 7Fh = -3h = -0b Mantisse = 00b Puis le nombre peut être reconstruit 00b b 2 0b = b = Par conséquent, le nombre à virgule flottante sur 32 bits 3E h vaut en décimal. Remarque Lors de la reconstruction du nombre, s'il est normalisé (comme dans la grande majorité des cas; voir la définition des nombres à virgule flottante) il faut ajouter ", " à gauche de la mantisse. Il faut ensuite soustraire 7Fh à l'exposant pour un nombre de 32 bits, et 3FFh pour un nombre de 64 bits.

0 - Par conséquent l'exposant vaut 0 car 27 - = 26 (soit 0 en binaire) la mantisse est 0000000000000000000000 (seuls les chiffres après la virgule sont représentés, le nombre entier étant toujours

6 CHAPITRE : LA NUMERATION (Corrections des exercices) Page Représentation des nombres Représentation des nombre sur 8 bits, 6 bits ou 32 bits a) b 40h b) b 024h c) b BFEFh d) b FFFF 5902h e) b 0000 E920h Représentation factionnaire a) 0.64 Format.5 : b 5ECh b) 4.32 Format 4.2 : b 42Dh c) Format 6.0 : b BE65h d) Format 4.2 : b BB9Ah e) Format 7.9 : b 775Ch

Représentation des nombre sur 8 bits, 6 bits ou 32 bits a) 64 000 0000b 40h b) 432 000 0000 000 000b 024h c) -640 0 0 b BFEFh d) -42750

7 CHAPITRE : LA NUMERATION (Corrections des exercices) Page 7 3. ADDITION ET SOUSTRACTION 3. CORRIGÉ 3.2 RÉPONSE AUX QUESTIONS Addition de deux nombres de 6 bits Addition en binaire de deux nombres signés sur 6 bits. 0x32A6+0x2CB Addition en hexadécimal de deux nombres signés sur 6 bits. 0x32A6+0x2CB Addition et soustraction sur 6 bits avec test de débordement Addition de deux nombres positifs 50A3h+6A38h Soustraction de deux nombres positifs 3826h-7000h Addition d un nombre positif avec un nombre négatif 38A3h+A330h 0x3 8 A 3 +0xA xDBD3 >0 <0 <0 Pas de débordement Soustraction d un nombre positif à un nombre négatif C839h-7000h

2.3.2 Soustraction de deux nombres positifs 3826h-7000h 3.2.3.3 Addition d un nombre positif avec un nombre négatif 38A3h+A330h 0x3 8 A 3 +0xA 3 3 0 0xDBD3 >0 <0 <0 Pas de débordement 3.

8 CHAPITRE : LA NUMERATION (Corrections des exercices) Page Addition et soustraction sur 6 bits de mots de 32 bits avec test du bit de report Addition de deux nombres positifs 30A345ADh+4A38A354h Soustraction de deux nombres positifs 3826AD4h-7000DE6h Addition d un nombre positif avec un nombre négatif 38A3B2CBh+A h 0x 0x 0x 38A3 B2CB A DBD4 372 Retenue Soustraction d un nombre positif à un nombre négatif C839DA56h-7000DF2h

2.4.2 Soustraction de deux nombres positifs 3826AD4h-7000DE6h 3.2.4.3 Addition d un nombre positif avec un nombre

9 CHAPITRE : LA NUMERATION (Corrections des exercices) Page 9 4. MULTIPLICATION 4. CORRIGÉ 4.2 RÉPONSE AUX QUESTIONS 4.2. Multiplication de deux nombres de 8 bits Multiplication de deux nombres signés sur 6 bits (multiplicande et multiplicateur positif). (multiplicande et multiplicateur positifs) Multiplication de deux nombres signés sur 6 bits (multiplicande <0 et multiplicateur >0) (multiplicande >0 et multiplicateur <0).

(multiplicande et multiplicateur positifs) 4.2.2 Multiplication de deux nombres signés sur 6 bits 4.2.2. 4.2.2.2 (multiplicande <0 et multiplicateur >0).

10 CHAPITRE : LA NUMERATION (Corrections des exercices) Page Produit de deux nombres fractionnaires Format sur 6 bits des nombres fractionnaires et Le premier nombre s exprime en format 2.4 : ( b) 6E86h Le second nombre s exprime en format 5. : ( b) 4909h Produit des deux nombres de 6 bits avec résultat sur 32 bits Le produit des deux nombre vaut : ( { b) ( b) = E86h 4909h = F888B6h Produit des deux nombres de 6 bits avec décalage de bit vers la gauche Après décalage de bit vers la droite : ( { b) ( b) = E86h 4909h = 3F036Ch Produit des deux nombres de 6 bits avec résultat limité à 6 bits Après arrondi sur 6 bits ( { b) ( b) = E86h 4909h = 3F0h

442444 3b) ( 00000000000 23. 44243 4 b) = 000000000000000000 4243. 44444 24444 43 7269287093750 6E86h 4909h = F888B6h 9 2939453250 5 0.76583529494250 4.2.3.3 Produit des deux nombres de 6 bits avec décalage de bit vers la gauche Après décalage de bit vers la droite : ( 00000000 {.

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