ENSTA - COURS MS 204 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS

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1 ENSTA - COURS MS 204 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS Amphi 5 INFORMATION A l URL suivante: touze/ms204/ vous trouverez: les supports des cours 1 à 5 (format pdf) les énoncés et corrigés des examens des deux années précédentes (2013 et 2012) des programmes matlab à utiliser en PC dans une heure...

2 en analyse modale GÉNÉRALITÉS F Ω Modes propres φ n, pulsations propres ω n, forçage F(x,t) Dans la base modale : Oscillateurs de masse m n et de raideur k n, sur lesquels s exerce une force modale F n (t). On souhaite mesurer expérimentalement les pulsations propres et modes propres On ne connaît pas a priori les caractéristiques du système On souhaite vérifier expérimentalement la validité d un modèle

3 RÉSULTAT FONDAMENTAL : RÉPONSE FORCÉE D UN OSCILLATEUR FONCTION DE TRANSFERT EN FONCTION DE z = Ω/ω Forçage : Réponse : f n (t) = f 0n e iωt x n (t) = x 0n e iωt Fonction de transfert : H(Ω) = x 0n f 0n Fonction de Réponse en Fréquence (FRF) RÉPONSE À UN FORÇAGE QUELCONQUE Oscillateur avec forçage quelconque : ẍ+2mωζẋ+ω 2 x = f(t) m (1) Transformée de Fourier : TF[x(t)] = x(ω), TF[f(t)] = f(ω) Ω 2 x(ω)+2imωζω x(ω)+ω 2 x(ω) = f(ω) m (2) On obtient la même fonction de transfert : x f = m ω 2 Ω 2 +2imωζΩ = H(Ω) (3)

4 CONSÉQUENCES La fonction de transfert s obtient expérimentalement à l aide de n importe quel signal de forçage : H(Ω) = x(ω) f(ω) (4) où f(t) Signal de forçage et x(t) réponse mesurée. Condition : signaux large bande exemples: bruit blanc, impact (Dirac temporel), sinus glissant (sweep) La réponse à un forçage quelconque s obtient par un produit dans l espace de Fourier : x(t) = TF 1 [ H(Ω). f(ω) ] CONVOLUTION Produit dans l espace de Fourier convolution dans le domaine temporel Espace de Fourier : x(ω) = H(Ω). f(ω) Domaine temporel : x(t) = G(t) f(t) = + f(t)g(t τ)dτ G(t) est la fonction de Green, G(Ω) = H(Ω) G(t) est aussi appelée réponse impulsionnelle.

5 Forçage f(t) = δ(t) Réponse x(t) = G(t) Domaine temporel t t TF TF TF(f) = 1 TF(x) = H(Ω) Domaine spectral 1 Ω ω Ω FORÇAGE QUELCONQUE f(t) G(t) x(t) f(ω) H(Ω) x(ω)

6 DIFFÉRENTES FRF (FONCTION DE RÉPONSE EN FRÉQUENCE) Réceptance H(Ω) = x(ω) f(ω) [ m N ] Mobilité M(Ω) = x(ω) f(ω) = iωh(ω) [ ] m/s N Inertance A(Ω) = x(ω) f(ω) = Ω2 H(Ω) [ m/s 2] N FONCTION DE TRANSFERT D UN SYSTÈME POURVU DE PLUSIEURS MODES VIBRATOIRES Forçage u(t) Réponse v(t) magnitude[db] phase[deg] frequency[hz]

7 PRINCIPE DE RÉCIPROCITÉ PSf f t(t) r n (t) x 1 PSomega x 2 Forçage ponctuel en x 1 : f(x,t) = δ(x x 1 )f t (t) f n (t) = φ n (x 1 )f t (t) Mesure en un point x 2 : r(t) = n r n(t) r n (t) = φ n (x 2 )q n (t) (5) = φ n (x 2 )f n (t) G n (t) (6) = φ n (x 2 )φ n (x 1 )[f t (t) G n (t)] (7) Point de forçage et de mesure peuvent être échangés, le résultat est le même! Analyse expérimentale des vibrations mécaniques

8 L ACCÉLÉROMÈTRE Un montage composé d une masse et d un élément piézoélectrique Il s agit d un oscillateur Précautions à prendre Lorsque le montage subit une accélération, la masse exerce une force sur le piezo, proportionnelle l accélération. Signal électrique aux bornes du piezo MESURES OPTIQUES Interférométrie Vibrométrie Laser a) 185 Hz, b) 285 Hz, c) 460 Hz, and d) 510 Hz, e) 645 Hz

9 LE POT VIBRANT POT VIBRANT POUR MESURES SISMIQUES Etude des compositions des sols, forage, recherche de puits pétroliers Excitation sismique de surface réalisée par unt pot vibrant monté sur un camion (vibroseis truck)

10 LE MARTEAU D IMPACT Marteau sur lequel est fixé un capteur de force... Inertance A(Ω) = x(ω) f(ω) = Ω2 H(Ω) [ m/s 2] N La phase vaut π/2 à la résonance. La fonction de transfert est imaginaire pure à la résonance.

11 APPLICATION : MODES PROPRES D UNE POUTRE ANALYSE MODALE EN INGÉNIERIE AÉRONAUTIQUE Tests de vibration au sol: identification des paramètres modaux validation des modèles numériques certification

12 ANALYSE MODALE EN INGÉNIERIE AÉRONAUTIQUE Exemple: certification de l Airbus A380. Tests réalisés sous l égide de l ONERA en Février Dimensions de l apareil: largeur 80 m, longueur 73 m, hauteur 24 m. ANALYSE MODALE EN INGÉNIERIE AÉRONAUTIQUE Utilisation de 850 accéléromètres

13 ANALYSE MODALE EN INGÉNIERIE AÉRONAUTIQUE Utilisation de 850 accéléromètres 20 pots vibrants (force d excitation de 300 N à 2200 N) ANALYSE MODALE EN INGÉNIERIE AÉRONAUTIQUE Utilisation de 850 accéléromètres 20 pots vibrants (force d excitation de 300 N à 2200 N) 25 km de câbles système d acquisition 896 voies

14 ANALYSE MODALE EN INGÉNIERIE AÉRONAUTIQUE Utilisation de 850 accéléromètres 20 pots vibrants (force d excitation de 300 N à 2200 N) 25 km de câbles système d acquisition 896 voies MODES PROPRES D UN AVION Quelques déformées modales pour un avion de tourisme...

15 ANALYSE MODALE D UNE PLAQUE RECTANGULAIRE Plaque rectangulaire dimensions cm, épaisseur 0.7 mm bords libres Modèle de Kirchhoff-Love Matériel à disposition pot vibrant générateur de fréquence Une pincée de sel Expériences Mesure des fréquences propres: excitation par sinus glissant fonction de transfert Visualisation des déformées modales: Méthode de Chladni ERNST FLORENS FRIEDRICH CHLADNI ( )

16 M ODES PROPRES D UNE PLAQUE RECTANGULAIRE À BORDS LIBRES A NALYSE ENSTA-MS /2015 Dynamique des systèmes mécaniques Amphi 5 MODALE D UNE PLAQUE RECTANGULAIRE Mesure au vibromètre laser à balayage (Unité de mécanique) comparaison avec la théorie. ENSTA-MS /2015 Dynamique des systèmes mécaniques Amphi 5

17 ANALYSE MODALE D UNE PLAQUE RECTANGULAIRE Mesure au vibromètre laser à balayage (Unité de mécanique) comparaison avec la théorie. Méthode des différences finies Méthode de Galerkin

18 Méthode des différences finies Méthode de Galerkin DIFFÉRENTS TYPES DE MÉTHODES NUMÉRIQUES ABORDÉES DANS CE COURS Différences finies : Discrétisation de l espace Calcul d un nombre fini de modes propres sur les points de discrétisation du domaine. Méthode de Galerkin : Projection des équations sur une base de fonctions (qui satisfait généralement les conditions aux limites) Calcul d un nombre fini de mode propres comme une combinaison linéaire des fonctions de la base de départ. Méthode des différences finies Méthode de Galerkin MÉTHODES DES DIFFÉRENCES FINIES : APPLICATION À LA CORDE VIBRANTE Équation de la corde vibrante : ẅ c 2 w = 0 Discrétisation des variables d espace : x i = (i 1) x i [1,N +1] x est le pas d espace : x = L/N Discrétisation du déplacement et de sa dérivée seconde : w i ẅ i w i = w(x i,t), = ẅ(x i,t) = w (x i,t) 0 x x 2 x (n 2) x(n 1) x N x

19 Méthode des différences finies Méthode de Galerkin EXPRESSION DES DÉRIVÉES SPATIALES Développement de Taylor de w(x,t) en x i+1 et x i 1 : w i 1 w i+1 = w i x w(x,t) x + x2 xi 2 = w i + x w(x,t) x + x2 xi 2 2 w(x,t) x 2 x3 xi 6 2 w(x,t) x 2 + x3 xi 6 3 w(x,t) x 3 +O( x 4 ) xi 3 w(x,t) x 3 +O( x 4 ) xi Somme des deux précédentes équations approximation l ordre 2 de la dérivée seconde : 2 w(x,t) x 2 = w i = w i 1 2w i +w i 1 xi x 2 +O( x 2 ) Version discrétisée au point d abscisse x i de l équation locale : i [2,N 1], ẅ i c 2w i 1 2w i +w i 1 x 2 = O( x 2 ) Les conditions aux limites imposent : w 1 = 0, w N+1 = 0. Méthode des différences finies Méthode de Galerkin Écriture matricielle des N 1 équations dynamiques : ẅ 2 ẅ 3. ẅ N 1 ẅ N c 2 1 x w 2 w 3. w N 1 w N = 0 équivalent un système mécanique discret : M ẅ +K w = 0

20 Méthode des différences finies Méthode de Galerkin RECHERCHE DE MODES PROPRES Forme générale des équations d oscillateurs couplés : M ẍ+k x = 0 Recherche de solutions harmoniques : x(t) = φe iωt L équation devient (K ω 2 M) φ = 0 Problème aux valeurs propres que l on résout numériquement Méthode des différences finies Méthode de Galerkin Fréquence Fréquences propres d une corde (L = 1, c = 1). Comparaison entre les valeurs numériques obtenues par la discrétisation par différences finies avec 50 points (+) et les valeurs exactes (o) Mode 1 w Mode Mode x w Mode x Modes propres d une corde tendue (L = 1, c = 1) obtenus par différences finies

21 Méthode des différences finies Méthode de Galerkin MÉTHODE DE GALERKIN Équation locale : x Ω, t : 2 t2m[w(x,t)]+k[w(x,t)] = f(x,t). + Conditions aux limites Écriture des solutions sur une base de fonctions φ satisfaisant les conditions aux limites : w(x,t) = q n (t)φ n (x) n=1 Troncature et résidu : [ 2 N ] [ N ] t 2M q n (t)φ n (x) +K q n (t)φ n (x) = r(x,t) n=1 n=1 On annule la projection du résidu sur les modes φ m : M q +K q = 0 Si l on n a pas utilisé la base modale Matrices pleines, problème couplé Recherche de solutions de la forme : L équation devient x(t) = φe iωt (K ω 2 M) φ = 0 Problème aux valeurs propres que l on résout numériquement Méthode des différences finies Méthode de Galerkin APPLICATION LA CORDE SOUMISE À LA GRAVITÉ

22 Méthode des différences finies Méthode de Galerkin Équation sans dimension : 2 y t 2 2 y x 2 + y y x +x 2 x 2 = 0 x [0,1] Utilisation des modes φ n = 2sin(nπx) : M q +(D +A+B) q = 0 d mn = m 2 π 2 δ mn a mn = n 2 [ ( 1) m n 1 (m n) 2 ] ( 1)m+n (m+n) 2 si m n = n 2π2 2 sinon [ ( 1) m n ] 1 b mn = n ( 1)m+n m n m+n = 0 sinon si m n Méthode des différences finies Méthode de Galerkin LA PROCHAINE FOIS... Jusqu ici : Méthodes de résolution et d analyse du comportement dynamique de systèmes linéaires Il s agit d équations décrivant le comportement proche des états d équilibre. Prochaine et dernière séance : dynamique non-linéaire.