Analyse et contrôle optimal d un bioréacteur de digestion anaérobie

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1 Analyse et contrôle optimal d un bioréacteur de digestion anaérobie Amel Ghouali To cite this version: Amel Ghouali. Analyse et contrôle optimal d un bioréacteur de digestion anaérobie. Optimisation et contrôle [math.oc]. Université Montpellier, Français. <NNT : 2015MONTS106>. <tel v2> HAL Id: tel Submitted on 8 Jun 2018 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 UNIVERSITÉ DE TLEMCEN, ALGÉRIE Spécialité: Automatique Option: Commande UNIVERSITÉ DE MONTPELLIER, FRANCE Ecole doctorale: Information Structure Systèmes I2S Spécialité: Mathématiques et modélisation THÈSE DE DOCTORAT Présentée par : Amel GHOUALI épouse BEDJAOUI CHAOUCHE Analyse et contrôle optimal d'un bioréacteur de digestion anaérobie Soutenue le 14 Décembre 2015 devant le jury composé de : Frédéric JEAN Professeur, ENSTA ParisTech Rapporteur Mustapha LAKRIB Jérôme HARMAND Ali MOUSSAOUI Professeur, Université de Sidi Bel-Abbes Directeur de Recherche INRA Professeur, Université de Tlemcen Rapporteur Directeur Directeur Claude LOBRY Professeur Emérite, Université de Nice Examinateur Brahim CHERKI Professeur, Université de Tlemcen Examinateur Terence BAYEN Maitre de conférence Université de Examinateur Montpellier Nahla ABDELLATIF Maitre ASSISTANTE, Université de Examinateur MANOUBA Alain RAPAPORT Directeur de Recherche INRA Invité

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4 r ts s s tr 1 r r été ré sé s éq r t r t t q rs té t éq r t r t s à 1 r r r ss à ss rs r t P P r r r r éq t r q s t té é r r s s é t s éq s r t s à r r s r érô r t r r r r s s q tt t ès r t s r r r t r t t s s s q tés s t s t q s t t r s s ré 1 s s ss s s r s t é s s st t s té t s s r ts r ts t été r s rs t t r s s èr r r r t s s s é s ssé s s s s t t r r s r Pr ss r t é t q s à rs té q s r t r t r t r rs s r s s ér s t tt t s rt èr st à ttr 1 r r r ss r r t r t t r r s s t s t t st r ss r q s t t t r s s r q r èr tr s ttr t t îtr t t s s t és r rr r à ss 1 r s r t t r tt t s t t s té t t r s t tr sq à r t r é r r t é t tt ét s s ét s s t q s s s rté r r t ré s t été très r t s s s s s à r q t s r ré ér Pr ss r Pr s t s r st Pr ss r t é t q s à rs té ès t t r tr t ès t êtr s r rt rs t s à 1 r r t s s s t ts r r s t t s s èr s r t t s à s r r Pr ss r t t q à rs té t r t r r r ss tr ss st t à t s s s r t q s s r r r té

5 r rt r2 t ès t s rt èr t à r r r s r Pr ss r é ér t à rs té r térêt q rté à s tr 1 s s r ss t r té r tr t rés r r2 t ès r é t à ér 2 îtr ér s à rs té t r r s rt t à s rs tés t ès s r r sé à s r rt r t r r r à t r s s s t s s s ss s r t s s r 1 s éq r t s s t t été r rt t t t ès ê èr r s t s t r rés té ér t ss têt r rs t st r t t q s r tt ss st t str t t èr s té s s rs té t r r r r s t s s té r r é t r r r t r t rr r s r t r r r t P r t 33254QH t rs té rt r à s r t r st t r ss é t r r é P st r t t r rs té r èr é r t s é s r r s r s r s s q ssé ré s ts à t r s rt èr t r t r r r s t s r r ts t é t à s r P t t r r été t rs rés ts é r r ss s s r q t rs r t t rs s t s r r r s s é q t èr q t rs é é s r t s r r rès s r é s t t s tr s st ssé rt r t r r r é t r s r t èr r èr rés t s s r ts s t r s rs t rs q s s t q s q s ssé r r r rt r à t t s r r s t t r r q s rt r r t s ér s s r r s rèr s r r r ts s r r ts t ss à r t t r s t t rs r ts t t t ès tt q st ré rr t q st q t s t s t t ès q ss t ér réq t t t r s s é r t

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14 s r s r t s r é és ér t ér r ré t st ér r 3 t s t s tr s t s r t x s s r t s s s r r t st ss t t tr x s s r s 0 + x 0 = s in s t D min = 0 D max = 1.2D t t x s tt t tt s s s s st ss t t tr s s s r s 0 + x 0 = s in s t D min = 0 D max = 1.2D t t x s tt t tt s s s s t γ t r st tr 1 t t tr t tr t t P t s 0 +x 0 = s in r s t tr s s 0 +x 0 = s in s t t D D max t t t ts r t s s t s r t t tr t r s tr s t t P t tt t s tr t r s tr t r t r s 3 t tr t tr tt r ǫ = 5 P ts t t s y = µ(s) y = D min y = D max rr s t t r s s s t r s rr s t s = s in x D = µ(s ) r t r t t y = µ(s) P ts t t s y = γ(x) y = D min x y = D max x rr s t t r s s s t r r s rr s t x γ(x ) r t r t t y = γ(x) r t r t rs s m = 1 K = 0.1 n = 6 s in = 2 t t γ(x) = xµ(s in x) s rr s t t r s r t t s 1 ts t 1 s t t r [0,s in ] t s2 t s s t ss t2 r s t s r r s x = x s = s

15 t s(t) x(t) r x 0 = 10 s 0 = 10 t r t t rr s tr tt t r t t s t t r x 0 = 80 s 0 = 80 r s t 2 t r t t 2 s t s s2st r t r s t D = D max r tt r t s t D = D min t ss rt t s r r r ts ss rt t t t tr t r s rr s t t t t s (s 0,x 0 ) = (10,10) (s 0,x 0 ) = (80,80) r t s x = x (x) τ c = τ c (x) t s2 t s s t t t t r t r ts t t s2st P D > D s s t s t P D > D s s t s t P D > D s t s t s t s P D < D s t s t s t s P D < D s s t s t s P D = 0

16 st s t 1 s r t rt t t s D min t s r t s t r r s rt s t t t r x( ) s( ) s t s t t t t (s 0,x 0 ) D( ) s 2 r s s r t t t t s t t P t s r t2 t tr t r t r t t t t s t t P t s r t2 t tr s t r t r r r ǫ = 5 t rr s s r t r t r T = 2 P r t r s r r s m = 5 K = 10 K i = 50

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18 tr t é ér st r ss r ss t r êtr t s s éré t st r rç té t s q té st é t té tr î r t s s 1 ré t rs s q t tés trés r t t s é é ts q s s s t s t s tr t s tr s r ss r s 2 r q s t s s à t t t 9,1 r s 2050 t 2, 4 r s r q s s r q è rt s 2s à ré s r s st t s é r t s r t q q rés r t s 1 ré t rs s q ré t s t s 1 tr té s s str t s r t r t t rés r t s té t r t t tr t s s rés t r q q s ré ts r t s à s t t s r s s r s 1 s s s r rt é à r r é rs s q èt r t r à é t 40% 2030 P r t t s s r s s rés r t s r ss r s t ér t t êtr t à rt t èr s s t rs t s é t r à r r ss ss t r st t sq t r t é st à t r q 748 s rs s s t ès à s r t t s 2 r s t r t q à s r t ètr q té té r r r rt 2, 5 r s s t s s r r t à s2stè t s s 2s é t s 90% s 1 sé s s t r té s s r t é ér t s s 2 r q s t t s q r ér q s s t t 96 rr s é s té t é r q s t s 1 s r s s 9 r m 3 s t s é t s s r t rté r r té s r é r t s 1 sé s q r s s s r r 1 t t 110 st t s é r t P t 56 s

19 tr t é ér s t t s s ré s t r tt r s t r 239 st t s é r t s 1 sé s rr s t à té 1,2 r s m 3 r é ré t s s 1 sé s é ré s s r t s2sté t q t t sé s s r t r t s tr rt s t r r r rt à é t s 1 tr té s é é s à r t r s 1 tr t t s t rs r tr 2s P r ré r à s s é tés s r r s r tt t t r r s r s t s s s t êtr é é s t é s r s s s t s t r s st t s é r t s 1 s é1 s r t s st s t r é t q r s tôt r st t rés t t s r s r tér st q s r r s tr t s r t s t s s r st é s t s r é r r s st t s tr t t 1 st t s r r tr s r r s s t t s 1 st t s ér t r r r t t é t r q s rés s q s s s s st à tr s r r à r r s s ss t èr rés t s s é ts s s r r q t st t é r éss t r 3 t t s r 1 st 1 t2 s tr t t s 1 sé s ér rés 12 è r t r t s r s s st t s é r t t ér s 12 è q st r é é s t à tr t r s ts r és t èr r q t q t sé s s s2stè s ér s s st ér ét s t st r ss s 1 q t s rs ré t s q s é r t é ér t q tr ét s r s q t q tr s rt s r s s é q s t ré ss t s s s tr s r s ét s r 2 r 2s é ès ét é ès ét é ès s q tr ét s r s s r t rés té s ét s tr 1 t s t2 s tr t t st r s s t q t té s st s t s t s s s 1 sé s r q t r té s t r é r s r r é r t s 1 sé s é t à q rés r t s r ss r s t r t t r t t r st ér st ss té r r é r s s r 3 r r st é 3 1 q t t 50% à 70% ét

20 CH 4 r t r r r r sé t t q t tr s r é é é tr té P r rs rés ét s t st t t s r r à rt s r s t rr s r s 3 st t é r ét q é é t t êtr t sé s r é r r 3 st r très r s s s é r s r s à 2% s r 1 2s r é s 3 r t r rt s é r s q s 60% r s t str s r t r s 20% t ét s t s s s st t s é r t s 18% 2 t r q r 1 2s r é s t tr r s s t s s t à r r t 3 s tt q t à s tr t s é s r t à é t 3 s s rés 1 str t ss q é r t s s r s té é s t t st q 2014 q q q s s t s é r t s t tés rés 3 r st r èr à r té 3 s s t s r tt s s s t s é s r é t tt é r rt 2030 t r t 3 à 10% st tt s s ré s s r é s ù t r s r r s r r r t té 3 s t s r t s t s st ts été é s é ér ré t s t s 1 sé s é ré s s r à t s été tr é r s ét sté s st t s é r t 2s s t q st 1 r r t r t s st s s ts t été s t s s ré t t s s st t s t str t s ss 2 t èr r r ss tr r s s P P r r ét s t r é é str t s r é s r r ss s t r s s r ètr s t q r s rè s trô ss s t t q t st ér st r ss s très 1 ù t ré ss t r r r r s s sés r q s t t s 2s q s t2 r é é st t st s rt s ét s s t s t s q tr s rt s sés t rs t s r t t ttr ér s2stè P r s t s r s r t s é s t r sq à s rs s q st s t r t q t é q q st q s s st t s s ss r r st té s ét s rs s t s é r r r r t tr t t t t s r r t 3 t é t rt r t s r t s t r t s s r ètr s és r ss s P r tt r s té s t q t t q s tér ss t 1 r é és ét st ér t r é s t s r t t trô r r r s ér t s ré t s té s s t

21 tr t é ér tr rés té s tt t ès s rt t r 2s t trô t r é é st ér t st r s r str té t r 1 s r q t té 3 r t rs r t t P s rt è r t à rt r è s r é és t s ér t ss rt t ét q s r ss s rés s r è 1 s t 3 r t r s2stè t t s T t s t t 1 t D(.) r trô é t s t s t s s2stè rés t r è trô t t r îtr s rès té très rs s s ét t rés r è r s t s t s t s q s in = x 0 +s 0 t s tr t s s r t r P s rt èr t s s t s D min t D max s rs s t 1 s é t t t t êtr q é s2stè s é ss s 1 t2 r è s rt rs t 1 t r tt t 1 s r é t 3 à éq r st à tér r s 1 r s rs s s ér s s é r s t t r s t D min D D max s rés s r ét r s tr t r s s2stè 2 q r s t r st s s s r t é st à r s r t 1 t à q r r t r 1 3 à éq r st rs r 1 t r rs s é ss s s s r s t t r s t r s t t r s q s rés s q t r 1 P tr2 s r t st str t ré s t s r r tr ét t rt s r s s2stè s és à st ér st rés té t st té r s ér ts tr 1 é s t t2 r ss s t trô t st 1 té s rés t s r s t r é t q r é r 1 s t 3 t s ér t s t q s t é t q s s t à rés t s s t r s rs t s t rs é ts s rés t s r s t tr tr t s st t à rés r s ér ts s tés ré é t s è s s t à s2 t ès r q rés té s tr 1 s s s ré 1 è tr à s r t è é st t à r s t r è trô t q s s s s téréssé t à é r t str té trô s s tt r èr st t r ét r s tr t r s s2stè 2 q s s s tr s q trô t st trô t2 q s st à r s r t ss t t t éq r 1 s t é t 3 t 2 r st r râ à trô s r s rés t ts t é r q s s t rés tés t s r s s t 1 té s q tr t q s s rt s t s ré s s à s r t s t s rt èr s t ss tr t s s r t r t st tt t s ér ts rés t ts s t ér q s t rés tés t s tés tt t

22 t s r s tés é t t trô t t t sts r st ss r r rt 1 t s t s ét r t s s t s 1 t s t s r r t P st t r r rt r st s s r r st q s t rés t r r sé r t 2 r t r s s rés t ts t s str té r sé r s 1 rts r é é st t s té s tr ét s tr s s t à r 1 P tr2 st t s t 2t q r s 1 r rs s s q 2s tt té r r s r s s t rés té s P s ré sé t r t s st à r rés t r s r t s s2stè t s s t é r r s t s t t r t t s s q ér t s t s é ss r s t té é s r P P Pr 1 P tr2 tr r t s ré é t s s 1 s s érés t st s tt t t 1 q s ss s r st s r r r s s é é ts s t é és s tr r r s rés t s s é ér s r s rés t ts t s s q s rs t s t s 1t s s ss s tr ré sé

23 tr t é ér

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25 5 10

26 H 2 CO 2 CO 2 CH 4

27 P t t rt tt s r t st s r t s st s ré t s 1 s s s r r st ér s s t à r r îtr t t ré t r é r t q s s t s r tt t 1 1 té r s r r s s tr r r é t s t s q r st ér ssè ss s é ts à s r t ss r ss s tér s ér s s ét q é r t t s s té s t s tér s s s 1 1 s r r s r q s t t 1 q s ré t t st té é à s s té 2 q r ss s té r s st tr t t ér t êtr é ss r t r t r t s t r t t s ré t rs r s s t t s t ss s s ré t r s t t s t t t st très s sq st r st r t èr r q à tr t r q st ssé s ré t r sq à é s t s str t à é r r t s st st t rs r ètr s à s r t ér t r t2 s str t s st t é st r st é t 2 t r t tt t q rés t t êtr s t r st rsq t st r t ss ss t st s t s rt é ss r à t t ré t rès t r ss st é t t2 r é é s t t s q t r t r s r é é t r 2 s st r r r ss t t t ré t r é t r s r r r q t r t r s t s r ss t s st s é t t r t sé r r s q ss s s s s r é és s tt t à t r tr t ss 3 é é ss s st r tt ét st tér ss t rsq t à tr t r rés t r tèr t r st ss té à st s é ts s s st t s ss r r é è s st r t rs q t st ss t r ss r r t t t tr ss t s str t t s ré t r t t t st té é t st t é t s rt st é é t tré t st t st é é r

28 é s t st ér t é q tt t st é r s st t s r s t s s ré t rs t sés t êtr s sés ss rt t q r 3 t t t 1 st é t s r é és t s t t st s t sé s tr t t s 1 sé s P r r ét s t r é é str t s r é s r t r s s r ètr s t q r s rè s trô ss s t t q é s t st ér t r s r s ér ts è s 1 st ts st ér r s r t è è t êtr é é r s s très rs s t s r r r r r r 1 q r é è s r é r ré r rt t trô r s2stè è st t t q s r t ré r 1 q st s q s s s s à r s r ss s ét é q é s t t t rq è st s t s s t 1 q rq r s é è s t è st ré éré 1 tr s r rt r s ré s s 1 q st s sé s é s t s r é és é ér t st ér rt r st 1 r ss 3 é t tr r t à 2s q ù s è s s t s t és t t s r r s r str t è s 1 st s s s s è s rs s s è s r ss tér s t très r q s é s t st ér r rés t r r très t s s r èr s é s s t 1 r r s t t t r s r s str té s té s r 1 è s t été r sés s rés t s s q s t r s ér ts tr 1 é s t st ér rç st r q è st t à tr t 1942 r r è r t t 1 r ss r à s str t t t r r s t q r t ss t t rrêt r ss s tér s st é à r ss t s str t t r s s t s r s s ss q t t s r s t r ss r rés té r 1 r ètr s és r rés t t té s r r s s r s str t t t ss 1 r ss r é t 1950 r s q t ss r ss t tér rr t êtr r rés té ét t r t ss t t 1 r ss

29 P t t rt P r s t é r r è é st t r rés té r 1 r s à s r tr t ss t s str t t t s ré t r t t t s éq t s è st t s r t r r s s ét s tr 2 q r é s t s r ss s r t t r r è s r s t s r t s t s t èr s q st t t s t s ss ts r é r s éq t s è t s r rs è s s s t sés s r ét é ès s s 2 t ès q s r t ét t t s s r é és st ér t 1 té s tr 2 été t sé r r r r rés t r t s tér s ét è s rés rt s tr t s s str t t r r é r tèr st st ér à 1 st 1 ts éq r s t st s r s2stè s 1 r é ss t t 1 t 1 tr s t r s t 1 t à q t s sé r s ré t r st s q t 1 r ss t r t s t ss tr s t rs s s t téréssés à t r s s str ts tr q s 3 t 2 r è t s t r s s é t r s s éq t r r 1 P r s t r rés t t r ss s été é ré tr s t tr s t s tér s è s ét è s t 1 s str ts t t t tr s ré t s è s é ér q r s t è q st t t è é é q st ér s t r tt t s r s ré t rs ér s r r N été r sé r r 1 rts t r t 1 st ér s s é t r t t r ss t r èr rs è r s r rt s t q t t q é r t 19 r ss s q s 7 t s tér s 26 r s ét t t r rt st s ss à s r t 86 r ètr s è ré s s s r t r tr t ss s r r s à r é é rt r s tés é t q r t st r s r s ré st t r 1 ér t t s str té s trô sé s s r tr s è s s s s t s r s s t s t r st t t s r s s st rs ér s st s r r é rt t é r à ré r t s è s s s2 t ét q s t s r r és r r trô t été r sés s t è AM 2 é ès ét é ès t s r r été é rs r t t r tr 2st r Pr ss r r t s r é s t t trô r é és st ér st è 1 ét s s s ér t

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43 P 1 s t r t 3 ré t r st ér s t 5 r s t s r t r t t t r t t tr t r s r r r ss t t s t t s s r r s s t s r s s s rs t s r r s r t tr r t r s t r s r s st r t r st r ss s r t r t r s str t t 2 s s r t t s CH 4 2 t r t x ss t t t t r t Q CH4 s r rt t t r t t2 s r s ss t ss st t s 2 t r s2st r r2 r t q t s { ẋ = (µ(s) D)x ṡ = D(s in s) µ(s)x r x s t ss s str t tr t s r s t 2 s in s t tr t t t s str t s µ(s) s t s r t r t ss D [D min,d max ] s t t r t s s r r t r s t tr r µ s t s r t r t r r s s t t t t 2 t Y s 2 rs t st t s t r t q t s s t s str t r r t s t t t r x = X/Y s s t r t s2st t t s q s r t t t t µ s t s s t r2 r r rt2 2 t s s µ(0) = 0 µ(s) > 0 r s > 0 t µ( ) s t r r s r t r 1 sts s s t t µ(s) s r s r 0 < s < s r s r s > s t s r s t 1 3 t s r t r t t r t t t r t r t t r [0,T] 1 r ss s J(x( ),s( ),D( )) = T 0 kµ(s(t))x(t)dt r (x( ), s( ), D( )) s t s 2 k s st t t t ss r t2 s r k = 1 t r 1 3 s r t s st 1 3 t t r r t str t D min D(t) D max s s r r s s t 2 s s r r2 r t r s t t tr r s r2 t t s t s 2 r str t r r tt t t s s tr t t 2 t s s 2 t s s t t s s2st t x 0 +s 0 = s in

44 1 3 t t t s r t t t t r 2 t s s x(t)+s(t) = x 0 +s 0 = s in s r s t t s t t s 2 s2st s r t t s s2st ẋ = γ(x) Dx; x(0) = x 0 t γ(x) = µ(s in x)x t t t γ(0) = 0 γ(s in ) = 0 t r r t t t t k = 1 s J(x( ),D( )) = T 0 γ(x(t))dt r (x( ),D( )) s t s 2 s t t str t D min D(t) D max 2 t t 2 r r tr t 2 t s s 2 t s s r 1 sts x ]0,s in [ s t t γ(x) γ(x ) r x [0,s in ] γ(x) s r s [0,x ] γ(x) s r s [x,s in ] 2 t s s t D = µ(s in x ) t tr r x = x s st 2 st t q t ss t t 0 D min D D max s r t t t t t s t t r µ(s) = µ max s µ(s) = µ max r s t 2 r 2 2 t s s s+k s+ s2 k i s+k s 1 3 t t t s r t r s ts rst st s t r s t t r s 1 Pr s t ss t t 2 t s s t t tr 1 3 t t s 2 D min x(t) < x D( ) = D max x(t) > x D x(t) = x r D = µ(s in x ) s t s r tr s x(t) = x t t t st 2 st t s s r t t s t x(t) t r s t t x t st r r t s t r t ts D = D min r t ts 1 t2 D = D max t t r s t s r r D st 2 t t t st 2 st t x r tr r s t r s t 1 s q t t t st st ss 2 t t r s t t t x st 2 t r x s tt

45 P 1 s t r t 3 ré t r st ér t t r s r st ss r rt s t t t tr t s s t s ss r q st s r t t t r t t t t t tr t r s s t rst q st t t 2 r s s r t t t r t r t tr t t t str t 2 t r s t 2 s2st t s t s s r s r s s s t t 2s s t s r r t s r t t 2 t s str t 2 r s2st t s r s s 2 r t s r r 3 t t q s s r s sts t t s t s r s t tr 2 t s s r t s t t t s t s s t tr s r 2 t s t x ǫ 2 x +ǫ 1 r s s ǫ 2 s +ǫ 1 s s s r st x r r ǫ 1 r ǫ 2 r t r t rs s s r r r s t t t t s s2st s s t s t r 2 r r 3 t s t s tr s t s r t x s s r t s s s r r t r s s t t t t s s rs r t t rs t 2 2s 2 s st r t t t tr r s s s t s r t t rs t r r t q s 2 t t t r t s s2st st s t t s r st t s t s t t t t t rs s t r s t s t r s s t t r t s s t s r t r t r t t rs s s rs st t t r s t r s rs t t r st ss t tr r t r s s st r s t s t r s ts r r r t t t s st t t q s rt r r2 s t s r t r str t s q st s r r ss s r s 2 2 st s t r 1 r r r2 rt r s s t t s r 2 t 3 t r t r r st r t 2 t t r t s s t rt t s q s r t s s2st r

46 1 3 t t t s r t s s r 2 st t r t t t t 2 t t t r s s s r st x s s r r2 Pr s t 1 r t 2 r tt 2 s t s t tr t s s rt t r s t t t s t s t r s t t s s x(t) = s in s(t) t s s t t t s t 2 t tr ss t s t r r2 t Pr s t 1 st s t t t t tr r st t t r st ss r rt s t tr s2st st s t t r s r st s t t 2 r t s 2 r s st ss t r s t t t t s r t t t x 0 +s 0 = s in s t 2 t s s 2 t s t s t 2 t r st ss t tr t r s t t t t t s r rs t st 2 t s t t s2st t s s2st s s t t t tr s2 t s 3 r s t t t s s r x 0 +s 0 = s in t s t 2 t t s r 2 t s s s t s t s t tr s t t r r s 2 t t t t str t 2 r s Pr s t s sts 2 t r D min r D max t t s t t t s r tr D s t t st t t s r r x = x r s = s t s tt r t s st s 2 t t t t t s = s r x = x r t s r r s t r s r s r t tr t t r r t t t t t t t s2 t s s r s t t 2 r s s t tr r s Pr s t s t t 2 t s s s t s t s rst ss x s s r t s 2 t tr Pr s t 1 r r t s s 0 x 0 s in s t t x 0 +s 0 = s in s r s t s str t r s ss t s r t t r µ max = 4.5 K S = 10 S in = 100 D max = 1.2D r tr r2 r r t ts s s x 2 s µ max K S s in q s 76.8 t s s t t tr r r t T = 2 r s r s ts t t s t r t s D min t t r D min = 0 D min = 1 r r s t t r s s t s s r r r 3 t tr t ǫ 1 = 1 2 ǫ 2 = 5 r ǫ 1 ǫ 2 r r t s t s x s s r s ǫ 2 = ǫ 1 D D min D max D ǫ 2 = ǫ 1 D D max D min D s r µ max K S t s s t s t r

47 P 1 s t r t 3 ré t r st ér s s s r t t r t t tr t s2st t s t s s s2st r r2 r t q t s r s s st r t s rs t t s r r s s r rt t t r t 2 r s t r st s s s t s t t t s {s 0,x 0 } rr s t {10,10} {10,40} {10,70} D min = 0 r tt r X, S x, s D and Time Time r st ss t t tr x s s r s 0 +x 0 = s in s t D min = 0 D max = 1.2D t t x s tt t tt s s s s r s r t t s {10,10} {10,40} {50,10} x s s r t s2st s s t t t st 2 st t s r r r r T s t 2 s r t q s 1 t t t s r s s 2 q t s 0 r s 1 t s t r s t s st t Pr s t s s x 0 < x t tr s D = D min = 0 t x(t) r s x T s r t t x 0 + s 0 = s in r t s t t t r s s str t r t ss t r x r x 0 +s 0 = s in r s t s s r t t s r {10,10} {10,40} {50,10} t 2 t t t r s t s str t r t ss t r s t 2 t tt x t r t r s x 0 +s 0 = s in s t r x 0 < x s 0 s t s t t tr r s t s t D max r s t D = D min = 0 t t r t r2 s t s tr s t s r 2 r st t r s t t t t s x s s r

48 1 3 t t t s r t D min {s 0,x 0 } t t s r x s r s 10, 10 10, 10 10, 40 10, 40 10, 70 10, 70 10, , , 10 50, 10 80, 10 80, , , 10 s r t rt t t s D min t s r t s t r r s rt s t t t r x( ) s( ) s t s t t t t (s 0,x 0 ) D( ) s 2 r s ss t t s s s r st x tr Pr s t 1 s r tt D min s(t) > s D( ) = D max s(t) < s D s(t) = s r s = s in x t s st 2 2 s t t r st ss t tr t r s t t t t t s s ǫ 1 = 1 2 ǫ 2 = 0.2 s t t s2st r t s t t t s r rt r t s D min t t s r r s s r rt t rt s t r s s r s t r s ts r r rt r s t s t t t s {s 0,x 0 } rr s t {10,10} {10,40} {10,70} D min = 0 t t t s r s s r rt t s s t s 0 +x 0 = s in s t s t s t s2st s s s T s r x 0 > 0 t t t s 2s tt rs t tr t s t t t r s t t t s r t s s 2 t s s r t r t t st t s2st r s s2 t t 2 t r s t t t t t x 0 +s 0 = s in t s s s t s 2 t t t tr s r st t r s t t t t s s s s r st x

49 P 1 s t r t 3 ré t r st ér rt r r s s x s tt D min > 0 T r t t t t t t s r s 2s r t r s s s r st x r t r rt s r t r t s t t r s t s r s t r t t t s r r s t s s 2 t s s s t s t s x, X, S s 40 D Time Time r st ss t t tr s s s r s 0 + x 0 = s in s t D min = 0 D max = 1.2D t t x s tt t tt s s s s r s t t r st tr t s s t s t r s ts st s Pr s t t s t t t tr r s [ ] rs r t s2st t r s t s t t s 2 t tr 2 s s t st t t t st t t st r t rs r s t t r tr s r t t r t r t r s2st t r ss r s t t tr st r t t r t r r t ss t t s str t tr t s st t 2 t t t r t r s t s t s st r s s t r t s r t t s t t s r t st t t r t r s s rt 2 t r ss t r rr s

50 r t r r s t s r t 2 s t r ss s s r t t t t r s t r r s t t r t t t s t t t t s str t t t s tr t r t st r s t t r ss r t r t r t 2 r ts t r st ss 2 t st 3 t t r ss s s t t r t s r s t s r t s str t 2 t rs s r t t t s r t r r s t 2 t γ t r r t s t s t S in = 100 r t 2 t s s t t x 0 + s 0 = s in t 2 t s2st s 2 ẋ = γ(x) Dx rst s r q r t x s t t x < x t s r t t t t rr s t r t r s D max > D = µ(s in x) > D t s s t t t t tr s sts 2 D = 0 t t t s tr r t s2st t r s x = 76.8 tt t tr s t s t t D r t s t q r t x < x t s 2 t tr 2 t 2 r t rt r t s 2 st r D d > D r r t st 1 t t r t s t r t t t t s2st t t s t t t s r t t 2 t s2st s 2 ẋ = γ(x) D d x x r s st 2 t t r s γ s r s r x < x s r r s t s t r t t 2 r t s t t t s2st s t r2 r s t D r 2 st 3 t t r r t s str t 2 t s q t r t st t t 2 t t t tr s r t r s D s t 2 t t str t 2 s t 2 r t st t x t r s x rs 2 st rt r t t t D < D s t t x > x s s t s r s t r s 2 t t t t t γ s r s r x > x t t t r st tr r t st t t r s x s t t tr st s 1 t 3 t r t r s 2 t r st str t 2 s t t t r s t t t t s t t r t t r t t st t x t s t t str t 2 t st t t t tr s s r t rs t s s t r t s2st t r s t t t x 1 3 s t t t s r t r t r r s s t s s t tr r t s2st t r s t t t t r 2 t s s t s t s t t tr t r2 r 2 t s s r t t t t s r st t t s2st 2 t s s s t 2 r r t t s2st s r t t rs s s t s t ss 2 r t r 2t 2 t s t r t r s r r t r s r rr t s t 2 r t 3 t st r s t r s s r t t r s r s s t r P r t s

51 P 1 s t r t 3 ré t r st ér r t γ t r st tr t s t s r t 3 t r t t tr t r s t s s r t 3 t t ts s t s s t r 2 t t tr 2 t r t t r t r t t 3 t t s2st t str ts t t t r rst t s r t P rs 2 t s s s t t t t 1 t t s t s t s r t rs s t s s t s t t s s r t t x = D = t t tr s 2 Pr s t s s 2 t s s t t x 0 = 10 s 0 = 90 t r r s t tr s r r 3 t ǫ 1 = 1 t s r t tr t r s t 2 Pr s t t s t 2 P r t s rst 1 t st t tr t r s rr s tr s s r tt r P t 3 t r t rs r s ts r r rt 1 r t s t s s r q t q t t 422 s 2 P rs tr s s r t t t r t t s t

52 r t r x ( t ) x 0 = 10 x, s s ( t ) s 0 = 90 D D ( t ) s 0 = 90 x ( t ) x 0 = 10 x, s s ( t ) s 0 = 90 D D ( t ) s 0 = 90 r 1 t t tr t tr t t P t s 0 +x 0 = s in s r s ts s st t t P 2 t t st t 1t s s t t tr s t s 2 t s s s t s t t tr t 2 r rt r st t t t t tr s t t P s 0 +x 0 = s in s t s 2 r t r s ts t t s t t t r r t st 2 t r st ss t tr t r s t t t t t s t s t t P r t t r s s t r t P s x 0 = 10 s 0 = r s t 2 t r s ts r r s t r t t t s r s s r rt P t 3 t r t rs r s ts r r rt 1 r r s 2 t r s s r r r s t r r s 2 r t tr t r s t t t r st ss st 2 2 Pr s t 1 s 0 +x 0 = s in s t t s t t P tt t tr t r s tr s r t t r st r tt t

53 P 1 s t r t 3 ré t r st ér x ( t ) s 0 = 40 x ( t ) s 0 = 70 s s ( t ) s 0 = 70 x, s ( t ) s 0 = 40 x ( t ) s 0 = 10 D D ( t ) s 0 = 70 D ( t ) s 0 = 40 D ( t ) s 0 = 10 s ( t ) s 0 = 10 t t s ( t ) s 0 = 70 x ( t ) x ( t ) s 0 = 40 s 0 = 70 D ( t ) s 0 = 70 s s x, s ( t ) s 0 = 40 ( t ) s 0 = 10 t x ( t ) s 0 = 10 D D ( t ) s 0 = 40 t D ( t ) s 0 = 10 s ( t ) s 0 = 70 x ( t ) s 0 = 40 x ( t ) s 0 = 70 D ( t ) s 0 = 70 s x, s ( t ) s 0 = 40 x ( t ) s 0 = 10 D D ( t ) s 0 = 40 D ( t ) s 0 = 10 s ( t ) s 0 = 10 t t r r s t tr s s 0 + x 0 = s in s t t D D max t t t ts r t s s t s r t t tr t r s tr s t t P t tt t s tr t r s tr t r t r s 3 t tr t tr tt r ǫ = 5 t tr t r s rr s tr s t t P r t t r t t s tr s s r r2 s2 s 2 s P s t s t tr t r2 s s r r s tt r s r t 3 t s t r 2 t r s t 2 t r t r t t 3 3 t tr s r t r t s J(x(.),s(.),D(.)) = T 0 [ µ(s(t))x(t)+ǫd(t) 2 ] dt rs r t s 2 r s st s ǫ st t s t s 1 t t t s r ǫ s r t t tr t r s r

54 s s rs t s s 0 t s r t t t t s t t P t s r t2 t tr t r t r s 0 t t t t t t s t t P t s r t2 t tr s t r t r r r ǫ = 5 t rr s s r t r t r T = 2 t t s s t t s t r s t ǫ t s t r s 3 r tr t r s tr s rr s t t 3 t s t t ǫ = 5 r tt t st r P t 3 t r t rs r s ts r r rt 1 t t r t r s ts rst r t s r t s r rt s t t s t t P t t t2 t tr r rt r r t t s s r t t t t t t s r s r t r t t tr r r t t t t2 t tr t r t r r r s ts r rt s t r s ts r r t r t tr s t r r str 2 t t2 t r t r t t str t s r r r t t t s s t rst s st P t t t r 2 t t r t s t s t 2t s t r s t t t r t s r s ts s st t t 2 t tr r s t t r r Pr s t 2 t s s s t s r r s 2 r s ts t r s s r t t t t t s t s t s q t r st t rt t2 t t s t s s s s s s r s s rs t s t s r s ss ss t t r s r st ss ss s t r s t t r t r s ts r t tr t r2 r t st t t t ss t s s t s 2 2 t s s s t s r s ts t t t2 t r st tr t 2 r s 2 t 2 r t s st t t s s t t t s

55 P 1 s t r t 3 ré t r st ér r st tr s s t t r s t t t 1 3 t t s r r t t t t r s t s2st t r s t s t t t t t t tr P rs t s t s r t 1t s r r s ts t r 1 s t t s st t t 2 s r r s ts t t r t 3 t t t t P s t r t r 3 t t r s ts t s r t t x 0 + s 0 = s in s t t 2 r s r t t rs t t t r t rr r s r t r r r t t P r t 33254QH t rr s r r r t r s rt 2 s t r 2 r2 ss rt r r t s ss s t t s r

56 s

57

58 Pr Pr s t Pr Pr s t t D( ) ss tr t x(t,x 0,D( )) t s t t s2st ẋ = γ(x) D(t)x, x(0) = x 0 t t D = D( ) tr s t s 2 D min D(t) D max r t [0,T] x(t,x 0,D max ) x(t,x 0,D( ) x(t,x 0,D min ), r t [0,T] Pr t s r r t t t t r r s s t s 2 s2st s s r 2 tr D( ) s t s 2 D min D(t) D max s γ(x) D max x γ(x) D(t)x γ(x) D min x t t r Pr s t r r s t µ( ) µ( ) s r s t r s r t t t r s s r t s t t s s t s t2 t Pr t s s t ss t t µ( ) s r s r t 2 t s s D min D µ(s ) = D s < s in s t r 1 sts s min s t t µ(s min ) = D min s min s < s in t t x(t,x 0,D min ) s t s t ẋ = γ(x) D min x, x(0) = x 0 s t r s t r s x min = s in s min x r x 0 x t r 1 sts t min (x 0 ) s t t x(t min (x 0 ),x 0,D min ) = x r 2 x(t,x 0,D max ) s t s t ẋ = γ(x) D max x, x(0) = x 0 D max supµ( ) t s t r s t r s D max < supµ( ) t s max 2 µ(s max ) = D max r t 2 t s s s s max s s st st s s max < s in t t s t r s t r s x max = s in s max x s max s in t r s t r s 0 r x 0 x t r 1 sts t max (x 0 ) s t t x(t max (x 0 ),x 0,D max ) = x t s t (x 0 ) = { min(t,tmin (x 0 )) x 0 x min(t,t max (x 0 )) x 0 x

59 t r r s t (x 0 ) s t st t t t s t x(t,x 0,D min ) r s x x 0 x r x(t,x 0,D max ) r s x x 0 x ts r s t [0,T] t s s t s r r x [0,T] t (x 0 ) s t q t T t r Pr s t s r ss tr D( ) t t x 0 [0,s in )] s 2 t t s t x(t) = x(t,x 0,D( )) st s t s s x 0 0 x 0 x t t s s r t tr D (t) = { Dmin 0 t t (x 0 ) D t (x 0 ) < t T r t (x 0 ) s 2 rr s s t s 2 { x(t,x0,d x min ) 0 t t (x 0 ) (t) = x t (x 0 ) < t T s r ss tr D( ) s x(t) x(t,x 0,D min ) = x (t) r t [0,t (x 0 )] x (t) x r t [0,t (x 0 )] r t t γ(x(t)) γ(x (t)) r t [0,t (x 0 )] x (t) = x r t [t (x 0 ),T] r t t γ(x(t)) γ(x (t)) r t [t (x 0 ),T] s r t [0,T] γ(x(t)) γ(x (t)) r r r x 0 x J(x( ),D( )) = T 0 γ(x(t))dt T 0 x x 0 s in t t s tr t tr { Dmax 0 t t D (x 0 ) (t) = D t (x 0 ) < t T γ(x (t))dt = J(x ( ),D ( )) r t (x 0 ) s 2 rr s s t s 2 { x(t,x0,d x max ) 0 t t (x 0 ) (t) = x t (x 0 ) < t T s r ss tr D( ) s x(t) x(t,x 0,D max ) = x (t) r t [0,t (x 0 )]

60 Pr Pr s t x (t) x r t [0,t (x 0 )] r t t γ(x(t)) γ(x (t)) r t [0,t (x 0 )] x (t) = x r t [t (x 0 ),T] r t t γ(x(t)) γ(x (t)) r t [t (x 0 ),T] s r t [0,T] γ(x(t)) γ(x (t)) r r r x 0 x J(x( ),D( )) = T 0 γ(x(t))dt T 0 γ(x (t))dt = J(x ( ),D ( )) r t t r t t s x 0 [0,s in ] t ss tr D( ) s J(x ( ),D ( )) = max D min D( ) D max J(x( ),D( )). s t t t s t tr 2 2 s t s 1 t 2 t Pr s t st t s s t2 t Pr ss t t t r 1 sts s s t t µ(s) s r s r 0 < s < s r s r s > s rs s min r s max r t r s s t s s s t s q t s µ(s) = D min r µ(s) = D max r s t 2 t s q t s t st t s t s st 1 t s t r r r t s t s min r s max t x ]0,s in [ 2 2 t s s γ (x ) = 0 γ (x) = µ(s in x) µ (s in x)x µ (s ) = µ (s in x ) > 0 t t s t s 2 0 < s < s r t 2 t s s D( min ) D µ(s ) = D s < s in s t r 1 sts s min s min s t t µ(s min) = µ s min = D min s min s < s in s min < s < s min s s st st s µ(s in ) D min t t s t s 2 s in s min t r x 0 x t s t r s t r s x min = s in s min x r r t r 1 sts t min (x 0 ) s t t x(t min (x 0 ),x 0,D min ) = x µ(s in ) < D min t t s t s 2 s in > s min t r x 0 x t s t r s t r t r s x min x t r t r s r r s 2

61 x min < x 0 x r x min = s in s min > 0 t s t r s t r s x min x t min (x 0 ) 2 x(t min (x 0 ),x 0,D min ) = x 0 < x 0 < x min t s t r s t r s s t t t r tt s x t t min (x 0 ) = + D max supµ( ) t s t r s t r s D max < supµ( ) t s max s max s t t µ(s max ) = µ ( s max) = Dmax s s max < s < s max 2 s s st st s s max s in t t s t r s t r s s max < s in < s max t t r s t r s x max = s in s max x s max < s in t t r s t r t r s x max x t r t r s 0 r r r x 0 x t s t tt s x t r r t r 1 sts t max (x 0 ) s t t x(t max (x 0 ),x 0,D max ) = x t (x 0 ) 2 r st t r s t s s t r µ(s in ) < D min t s t s 2 st t r 1 st t t s s 0 < x 0 < x min r x r s t r s 0 t r t t t r s D min = 0 P t 3 t r t rs r r s ts r rt s t r t r r rt P r t rs r t t 3 t s r 3 t P r rt r s t s r t t s x 0 = 10 s 0 = 90 s r t 3 t t t r r tt s r t 3 t st 1 t s t t 0.85s s r r t r e 010 t P P P 0.323s t P P 0.477s t r t s 31 t s r r s t t s x 0 = 10 s 0 = 10 s r t 3 t t st r r 1 t r s r t 3 t st 1 t s t t 0.57s s r r t r e 012 t P P P 0.29s t P P 0.223s t r t s 40 t s r r s t t s x 0 = 10 s 0 = 40

62 P t 3 t r t rs r r s ts r rt s t s r t 3 t t st r r 1 t r s r t 3 t st 1 t s t t 0.64s s r r t r e 012 t P P P 0.34s t P P 0.251s t r t s 48 t s r r s t t s x 0 = 10 s 0 = 70 s r t 3 t t st r r 1 t r s r t 3 t st 1 t s t t 0.37s s r r t r e 012 t P P P 0.207s t P P 0.138s t r t s 37 t s r tt r s t t s x 0 = 10 s 0 = 10 s r t 3 t t t r r t ss s r t 3 t st 1 t s t t 0.58s s r r t r e 005 t P P P 0.21s t P P 0.315s t r t s 20 t s r tt r s t t s x 0 = 10 s 0 = 40 s r t 3 t t st r r 1 t r s r t 3 t st 1 t s t t 0.32s s r r t r e 005 t P P P 0.16s t P P 0.11s t r t s 21 t s r tt r s t t s x 0 = 10 s 0 = 70 s r t 3 t t st r r 1 t r s r t 3 t st 1 t s t t 0.37s s r r t r e 005 t P P P 0.18s t P P 0.12s t r t s 23

63

64 tr trô t ré t r st ér és é r é t q t r s r s r s s s tr 3 rés t r è trô é r t s s s r s t t r s t r s t t r s t s t r t tt r èr s st à r rés t r s tr t r s s2stè t s t é r r s t s t t r t t s s q ér t s t s é ss r s t té é s r P P Pr 1 P tr2 t tr s rs té p(t) = 0 tr t t t r r s s t s q t r t rt x = x 0 rs r t r 3 t p = 0 s t s T t 0 tr r t s ré é t s s s t t st s tt t t 1 q s ss s r st s r r r é r t s s s t st rés té s rt rès t t é t tr r st r ss s s ré t s r t t s t rt s ét s r ét é s tr 2 s r 2s tt té r s r P r s t s r r s rt s2 t ès trô s s s t t s t r 1 P tr2

65 P trô t ré t r st ér t tr t r st r ss a,d r b,e r c,f, a r t r t t q rs té P ér b rst t r r ç s r t t r r c s t s r r d r P t r r e rs té t s s r f P r t s s t s r rr s t r str t s r 1t s t r s ts r s t t t tr r s t rs t s r t t r t t tr r t 1 3 t t s t q r s t t t t r str ts rst rt st s r s ts t t ss t2 t s r r t t tr s t s t t t s t t t t r s r r r s t 1 r s t t t r t s s r r s r r t t t 1 3 t s r t t q r s t t t s t 2 t tr s t r r s ss t t s 2 r s t tr st t r t r s 1 3 t r s t tr t r st r t 3 t s r ss r s r tr s r t r 1 t s 2 r r s s r t s r ss s s r r r t r s s r st s 1 r s2st s t st r r st 3 t r ss ts r st rt s 2s r t s t s t s ss r2 t t t s2st s t t 2 s r ss t st r s r t t 3 rt t st s s ts r t r t st rt r t r s t r s r s st r t r st r ss s r t r t r s str t t 2 s s r t t s CH 4 2 t r t x ss t t t t r t Q CH4 s r rt t t r t t2 s r s ss s t ss st t t 2 q t s r 2 t r s2st r r2 r t q t s { ẋ = (µ(s) D)x ṡ = D(s in s) µ(s)x

66 s r t tr r t t r t r t s s Q CH4 = µ(s)x x s t ss s str t tr t s r s t 2 s in s t tr t t t s str t s D [D min,d max ] s t t r t s s r r t r s t tr r µ s t s r t r t r r s s t r s t r s r t s s st r t r st r ss r s t t r s r t r t r s str t t 2 s s r t t s CH 4 2 t r t x ss t t t t r t Q CH4 s r rt t t r t t2 s r s r t r st 1 3 Q CH4 r t r T r t str ts D min D(t) D max r r ss t s t r t r s st t t 1 3 t t t J(x(.),s(.),D(.)) = t=t µ(s)xdt t 2 t s r r t=0 r s t r 1 3 t s r t r r t s st t s r r t ss st r s r s t r r r r s s r r s r t s t 1 Pr P tr2 t s r t t x = x r x s t 1 t t x xµ(s in x) s t s r r t r s r t t tr s2 t s s s t 1 t 2 ss t2 2s s s r r s r t ss t t s s 0 + x 0 = s in st s t t t t r t t tt t 1 s r t t q r D = µ(s in x ) s t t D min 1 D max t t tr s sts t r s t r r s q r t x s st s ss s t r D min r D max t s t x 0 t r s t t x t q r x s tt t t s t t D t s t s t t x s t 2 t s s D min D D max t s s s s t t r s r t r s t r 1t t r s ts r s t t s r t s rst ss t2 st 2 t s r r s r s st 2 t ss t2 t st 2 t t 2 t s s x 0 +s 0 = s in s t ss t s 2 t s s s s t t 3 t r t rt r s s t r r s r s t t r s r r s D r s D max D r s D D min s r t tr r 2 t s s t s q s r µ t s t t s t s 2

67 P trô t ré t r st ér 2 t s s t µ(s) s t s r t s s t t µ(0) = 0 µ(s) > 0 r s > 0 r r t s t r r s r t r 1 sts s s t t µ(s) s r s r 0 < s < s r s r s > s r t t r t t µ(s) = ms K +s, µ(s) = ms K +s+s 2 /K i s t s 2 t s 2 t s s s t rst s r s t s s r s r 0 < s < s = KKi r s r s > s t t s 2 r t r st t s r t s t2 t t r t t s r s t2 t t r t t s r s t r s s 1 s t 1 3 t s r t r t t r t t t r t r t t r [0,T] 1 r ss s J(x(.),s(.),D(.)) = T 0 µ(s(t))x(t)dt r (x(.),s(.),d(.)) s t s 2 r t str t D(.) [D min,d max ] t t r s ts r s t r t t 2 t s s s 2 t s s t t s s2st t t x 0 +s 0 = s in t t t r 2 t s s x(t)+s(t) = x 0 +s 0 = s in s r s t t s t t s t 3 t r s r t t s t 3 t r ẋ = γ(x) Dx, x(0) = x 0 J(x(.),D(.)) = T 0 γ(x(t))dt t γ(x) = xµ(s in x) s t 3 t r s q t t t s t 3 t r ṡ = D(s in s) γ(s in s), s(0) = s 0 J(s(.),D(.)) = T 0 γ(s in s(t))dt t s t r t s t q t t 3 t r s r t γ(x) s t s s s 2 t r rt s γ(0) = γ(s in ) = 0 γ(x) > 0 r 0 < x < s in r r t st r 1 t t r [0,s in ] ss t t t s q 1 t s t r

68 s r t tr r 2 t s s r 1 sts x ]0,s in [ s t t γ (x ) = 0 γ (x) > 0 r x [0,x ) γ (x) < 0 r x (x,s in ] r t t s r 2 2 t s s r st r t t str t r r t t s s t t γ (x) = m (1+s in/k i )x 2 +(K +s in +s 2 in/k i )(s in 2x) ( K +sin x+(s in x) 2 /K i ) 2 ms in K+s in +s 2 in /K i r r γ (0) = x t t r (0,s in ) x = K K i K i +s in +s in > 0 γ (s in ) = ms in K < 0 γ (x) = 0 s q s t K 2 K 2 i K i (K i +s in ) +Ks 2 in K i +s in r 2 r t t str t r r t t s s t t γ (x) = m x2 +(K +s in )(s in 2x) (K +s in x) 2 r r γ (0) = ms in K+s in > 0 γ (s in ) = ms in < 0 K γ (x) = 0 s q s t x t t r (0,s in ) x = K +s in K 2 +Ks in t s t t t t r s r t t r r t r s r t t 2 tt K i = s in D min D max x s D P r t r s r r s m = 5 K = 10 K i = 50 2 t t 2 r r tr t 2 t s s t tr r t r D min 2 t s s ss t t µ(s in ) > D min s st 2 t s s s s t t s t t r t 2 ttr t q r t s t t t t t s s s t r st r t

69 P trô t ré t r st ér r P ts t t s y = µ(s) y = D min y = D max rr s t t r s s s t r s rr s t s = s in x D = µ(s ) r t r t t y = µ(s) r P ts t t s y = γ(x) y = D min x y = D max x rr s t t r s s s t r r s rr s t x γ(x ) r t r t t y = γ(x) r s s t t s st s t t s t r r r s t t t t r s t 2 rr s t s γ(x) r s r r t t t 2 t s s s t 2 2 t s s r st r t r s r t t µ(s) = ms 1+2s n K +s 1+s n t t γ(x) = xµ(s in x) 1 t t 1 s t t r [0,s in ] s

70 s r t tr r r r t r t rs s m = 1 K = 0.1 n = 6 s in = 2 t t γ(x) = xµ(s in x) s rr s t t r s r t t s 1 ts t 1 s t t r [0,s in ] s r s t t r s rst r t r s ts st s r t s ss t t 0 D min D D max r D = µ(s in x ) Pr s t ss x s s r t t tr s 2 D min x < x D(x) = D max x > x D x = x r D = µ(s in x ) s t s r tr ss s s s r t t tr s 2 r s = s in x D = µ(s ) s t s r tr D min s > s D(s) = D max s < s D s = s r s t s r s Pr s t q t t s r r r t 1 t r s t r r t s r s t 2 s t P tr2 1 Pr P P t s r s t t t P P t t r t t str t 2 s s q t t t s rst

71 P trô t ré t r st ér s in D = D max x x D = D min t T r t s2 t s s t st s s ss q t s r ts s t rst t r tr t s s s t str t s t 2 2 r t t P P t str t 2 Pr s t s sts t r s x r s s r t t s t x(t) t r s t t x r s s(t) t r s t t s t st r r t s t r t ts D = D min r t ts 1 t2 D = D max t x r s s t 2 r s t s r r x r s s t st 2 t s t s r tr D s r s s ss 2 D min D D max t s r 2 t s s s t r st t s r 3 s t s t r P t 1t s t s r t r t s t t str t 2 r s s r t r t 3 t r t t s t s 2 t s 2 t s s s t t 2 t s r r t s r r S s s 2 t t t s ss t r 1 sts st t (s,x) D S(x,s) s t t r 2 t t S t t t 0 t s t s2st t D = D S(x,s) r s S r 2 t r t s s t t D(x(t),s(t)) [D min,d max ] r 2 t t > t 0 t s s t 2 t s s s t r t t s s 0 +x 0 = s in s t s t t str t 2 Pr s t ss rst t t x(t) s s r s t tr r r D = D min r D = D max s t st t (s(t),x(t)) t r s t s r r x = x st st 2 t ss t2 t s s r r x = x t r t r t s ss t st 2 t r t st t r tr s s t st 2 t x = x r r s 2 x = x 0 = ẋ = (µ(s) D)x D = µ(s)