Famille continue de courbes terminales du spiral réglant pouvant être construites par points et par tangentes

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1 Famille continue de courbes terminales du spiral réglant pouvant être construites par points et par tangentes M. Aubert To cite this version: M. Aubert. Famille continue de courbes terminales du spiral réglant pouvant être construites par points et par tangentes. J. Phys. Theor. Appl., 1919, 9 (1), pp < /jphystap: >. <jpa > HAL Id: jpa Submitted on 1 Jan 1919 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 FAMILLE CONTINUE DE COURBES TERMINALES DU SPIRAL RÉGLANT POUVANT ÊTRE CONSTRUITES PAR POINTS ET PAR TANGENTES ; Par M. M. AUBERT. 1. Huygens est l inventeur du ressort spiral communément appelé spiral réglant qu il fit construire pour la première fois par 31. Thuret, habile horloger. Un essai de théorie du spiral fut tenté par F. Berthou d ( ~ ) ; on doit à Pierre Le Roy (2) la découverte expérimentale de la possibilité de réaliser l isochronisme par un choix convenable des extrémités, mais il était réservé à Phillips de formuler les conditions nécessaires et suffisantes auxquelles doit satisfaire la courbe terminale d un spiral pour qu elle soit réglante, c est-à-dire qu elle assure l isochronisme des oscillations. Dans son mémoire sur le spiral réglant des chrononû?tres et des le balancier et montres (3), Phillips considère l ensemble formé par le spiral. Si E est le module d Young du métal qui forme le spiral de longueur L, si 1 est le moment d inertie de la section de ce dernier, il résulte des lois de l élasticité que le moment G du couple qui tend à ramener à sa position d équilibre le balancier dérangé d un angle rla pour valeur : avec : Si s - o, la durée T d oscillation du système est : A étant le moment d inertie du balancier par rapport à son axe de rotation, et l isochronisme est alors réalisé, quelle que soit l amplitude des oscillations. Après avoir établi cette formule, Phillips démontre que i peut (1) F. BERTHOUD, Traité des horloqes marines, t. III, Paris, i (z) CBSS[NI fils, Voyages pour ép~ ouver les moni~~es ma~ i~aes de Pierre Le Ro~~, Paris m0. (3) PHILLIPS, Annales des ~nines, t. XIX; Article published online by EDP Sciences and available at

3 64 s annuler, à la condition que les courbes terminales satisfassent aux deux conditions suivantes : 1 Le centre de gravité G de chaque courbe doit se trouver sur la perpendiculaire OB menée par le centre 0 des spires au rayon extrême OC de cette courbe, là où.elle se réunit aux spires ( rcg. ~ ) ; 2 La distance de ce centre de gravité G au centre 0 des spires R2 doit être égale à ~, c est-à-dire à une troisième proportionnelle à la longueur 1 de la courbe et au rayon R des spires. De telles courbes assurent la régularité du développement concentrique du spiral cylindrique, suppriment toute poussée latérale du balancier contre ses pivots, il en résulte l annulation du frottement correspondant et surtout des variations que subit celui-ci par suite de l épaississement des huiles, elles permettent de réaliser le spiral libre. II. Dans le mémoire déjà cité, Phillips indique une méthode pour trouver graphiquement les courbes terminales qui conviennent à chaque cas.

4 Soit à tracer une courbe terminale se raccordant en C à la spire et se terminant au point A (flg. 1). D après les deux conditions imposées, le centre de gravité G de cette courbe ABC doit se trouver sur OB perpendiculaire à OC et OG doit être égal à R ~ p 1 On trace de sentiment une première courbe ABC, on la divise ensuite en éléments suffisamment petits Ca, ccb, bc,..., pour qu on puisse les assimiler à des droites ou à des arcs de cercle, on mesure la distance y à Ox du centre de gravité de chacun des éléments et on forme lydl. Si G est sur Ox (1) v-ydl = o ; si cette condition n est pas réalisée, on modifie soit la partie supérieure de la courbe, soit la partie inférieure de manière à y arriver. Reste à satisfaire à la seconde condition, x mesurant la distance du centre de gravité d un élément à Oy, on calcule Erdl. 2 Lorsque l égalité 1:xdl - R2 (2), qui exprime que OG = R ~, Z n a pas, _ lieu, on modifie la courbe tout en continuant à satisfaire à la condition (1). Si on a par exemple Exdl > R2, on prend de part et d autre du point B deux arcs B1VT et BN tels que le centre de gravité de leur ensemble soit sur OD et on remplace l arc MBN par un arc intérieur MIN dont le centre de gravité soit sur OD et dont le moment par rapport à (Jy est moindre que celui de l arc ~IBN et par approximations successives, on arrive ainsi à satisfaire à la condition (2), l égalité (1) étant toujours vérifiée. Certains horlogers apportent à la méthode précédente une légère variante, au lieu de déduire par le calcul la position du point G, ils la fixent expérimentalement. «On trace une courbe approximative ABC inscrite dans une circonférence de 100 millimètres de rayon. Après l avoir exécutée en fil de fer, on suspend cette courbe dans deux positions différentes en la plaçant devant le dessin et en traçant chaque fois les verticales. L intersection de ces verticales donne le centre de gravité dont il faut E-( J la formule OG = On modifie la courbe vérifier la position par 2013 en fil de fer jusque ce que la condition ci-dessus soit réalisée ( ). Enfin 65 (1 J.BMEs, CUU1 S ~mcligue et tlaëo~~iyue de l eglage de précision.

5 66 M. Pettavel, directeur de l école d horlogerie de Fleurier, a réalisé sur les indications de ~1. Ch. Ed. Guillaume un appareil permettant la détermination mécanique rapide de courbes de Phillips ~1). III. Pour faciliter la tâche aux artistes chronométriers, quelques la forme d un certain nombre de courbes terminales. Ils ont traduit les résul- auteurs ont, à la suite de Phillips, définis graphiquement tats auxquels ils sont parvenus soit en reproduisant par la gravure les courbes obtenues, soit en donnant sous forme de tableau les éléments suffisants pour la construction de ces courbes en coordonnées polaires (2). Pour avoir des courbes terminales que l on puisse construire avec la règle et le compas, ou par points et par tangentes, et pour lesquelles il soit possible de déterminer, en chaque point, les éléments géométriques (rayon de courbure, centre de courbure, etc.), d autres auteurs ont cherché à utiliser les courbes usuelles et leurs combinaisons. Rarmi les formes particulières ainsi obtenues, nous citerons les courbes terminales formées. 1 D un segment de droite ; 2 D un ou deux arcs de cercle (v ) ; 3 De deux quarts de cercle réunis par une droite ; 4 D une ellipse de grand axe a R.~ et d excentricité e 0,573. ~ D une façon générale, toute courbe définie en coordonnées polaires, par exemple, par une relation de la forme :, où m est un paramètre (développante de cercle, cardioïde, etc.), peut être choisie comme courbe terminale. Les deux conditions de Phillips donnent deux équations qui déunissent et l intervalle O dans lequel doit varier 6, et si même par suite de la présence de fonctions périodiques dans f ( ~~~, 0), le problème admet un nombre infini de solutions, ces solutions sont isolées et parfaitement déterminées. Le présent travail a pour objet l étude d un groupe de courbes ter- (1) Congrès international de chonométrie, 1~02, page 195. (2) P. BERNER. Coordonnées polaires des courbes Phillips. Journal suisse d!wrlo~e~ ie, t. XXX I et XXX 1 V. (3) F. ~1EELHOFF, ~;ou~~bes te3 r~i~aales circulaires. ~Iou7~~aal suisse d horlogerie, t. XXV11I et XXIX.

6 minales que l on puisse construire par points et par tangentes et dont l équation en coordonnées polaires renferme deux paramètres qui permettent de les assujettir à une condition supplémentaire autre que celle de Phillips, l ensemble de ces courbes formant une famille continue. La courbe choisie est la spirale logarithmique : 67 dont la tangente MT fait en chaque point 1VI un angle constant V tel que : avec le rayon vecteur FIG. 2. Soit L ( fig. 2) une spirale logarithmique et l angle compris entre 2013 ~ et ~ tel que tang f = b. La tangente NP au point correspondant N est perpendiculaire à OX, prenons ce point N comme origine des arcs et cherchons les coordonnées (~, ~) du centre de gravité G

7 68 d un arc NE de L. étant les coordonnées d un point quelconque longueur de l arc NE. 1B1 de la courbe et 1 la ds l élément d arc ayant pour valeur : On en cléc~ui~ : avec : Soit, d autre part, C le centre d un cercle S de rayon R, projection sur le plan d un spiral cylindrique, perpendiculairement à son axe ; si S est tangent à NP en N, les coordonnées de C sont : L sera une courbe terminale si : En remplaçant 1, ~(p Xc et Yc par leurs valeurs, simplifiant et posant les C) égalités (3) et (4) C) deviennent : u = R,

8 0, REMARQUE Si, dans les expressions (5) et (6), on fait b = o, ce qui entraîne ~! = o, il vient : 69 ce qui donne par élimination de u et faisant 8-2~ : équation qui se retrouve dans la détermination de la courbe terminale formée d un seul arc de cercle (1). I V. Le tableau 1 contient des valeurs de 2c et de 8 satisfaisant aux équations (5) et (6), les limites inférieure et -supérieure de b étant - respectivement et 0, Les solutions correspondant à une même valeur de b sont affectées d indices différents et cc == 2013 est calculé pour R.- 1 u ~ (2). (1) GROSS~LBN~, HOl logetie théorique, t. II. p Pour b ~ 0 la spirale se réduit à une circonférence, c est le cas traité par F. Keelhoff (lac. cit.). (2) Cei-Itaines valeurs de 8,, u,, tc.ÿ ne présentent qu un intérêt théorique, elles n ont été calculées que pour déterminer l allure des courbes représentées liq. 3 et 4.

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10 Les Les ligures (4) et (3) donnent respectivement (~~, b étant pris comme variable. 71 les courbes de it et de Il est à remarquer que les nombres qui figurent dans le tableau précédent ne sont pas les seules solutions des équations (5) et (6); ainsi les valeurs suivantes répondent encore à la question : D une façon générale, le système des égalités (5) et (6) admet, lorsque b est donné, une infinité de solutions. - V. Construction des courbes. tableaux 1, Il et III contiennent les éléments nécessaires à la construction d un certain nombre de courbes terminales. Soit à tracer la courbe terminale correspondant à 0,0600~91 par exemple, et se raccordant à un spiral cylindrique dont la projection sur le plan de la figure est un cercle de rayon R 1. Par rapport à deux axes rectangulaires (~~ et Oy ( f zg. 2), placer le point N origine des arcs de la spirale, point dont les coordonnées sont : la tangente NP en ce point est perpendiculaire à Ox.

11 72 rl racer les droites OU,, OU,, OU3,..., qui font respectivement avec Ox des angles de 15, 30, ~~,..., etc. Porter sur ces droites selon l angle qu elles font avec Ox les longueurs qui figurent dans le tableau III dans la colonne 0, Dans le cas considéré, la colonne envisagée s arrête à 2101, se reporter alors aux tableaux II et 1 qui donnent, l un, la valeur py du rayon vecteur et l autre l argument 8~ de l extrémité E de la courbe. Si R r, les nombres donnant les coordonnées de N et les rayons vecteurs sont à multiplier par r. La tangente en chaque point M s obtient en traçant la droite MT qui fait, avec le rayon vecteur O:~ I, l angle V == - 7t -,g~ 2 (tableau 1) étant défini par la relation : Par N mener une parallèle NC à Ox, prendre : C est le centre du cercle projection des spires.