Corrigé de l examen de mathématiques appliquées à l informatique (1 ère session)

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Lucile Bourget
il y a 8 ans
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1 Corrigé de l examen de mathématiques appliquées à l informatique ( ère session) EX À l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des oeufs en chocolat. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui reste 8 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 4 l de lait. Il a deux spécialités : l'œuf Extra et l'œuf Sublime. Le tableau cidessous reprend les quantités nécessaires à la fabrication de chaque type d œuf Œuf Extra Œuf Sublime Cacao kg kg Noisette kg kg Lait l l Il fera un profit de en vendant un oeuf Extra, et de en vendant un oeuf Sublime. Combien d'oeufs Extra et Sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice possible? Sol ex x : nombre d œufs extra y : nombre d œufs sublime + y 8 x + y 8 Système de contraintes : x + y 4 x y Fonction économique : f(x,y) = x +y D x+y=8 D x+y=8 D x+y=4 x y x y x y Polygone des contraintes D 4 y (nbr d'oeufs sublime) D 8 D 4 S S S 4 S 5 S x (nbr d'oeufs extra)

Le tableau cidessous reprend les quantités nécessaires à la fabrication de chaque type d œuf Œuf Extra Œuf Sublime Cacao kg kg Noisette kg kg Lait l l Il fera un profit de en vendant un oeuf Extra,

2 Corrigé de l examen de mathématiques appliquées à l informatique ( ère session) Coordonnées des sommets : S (,) S (,) S (,5) S 4 (,) S 5 (7,) Vérification des sommets : S et S 4 S est l intersection entre les droites D et D, + y = = 8 x =, y = 5 x + y = = 8 S 4 est l intersection entre les droites D et D + y = 8 + = 8 x =, y = x + y = 4 + = 4 Sommet optimum : S f(,) = f(,) = 8 f(,5) = f(,) = 8 f(7,) = 4 Production optimale : œufs extra et 5 œufs sublime EX (utiliser une méthode matricielle pour résoudre cet exercice) Un camion livre à des détaillants modèles de télévision, celles-ci sont emballées dans des caisses en carton dont les caractéristiques sont les suivantes : caisse de la télévision :,5 m³, 9 kg prix de la télévision : 4 caisse de la télévision :,75 m³, 4 kg prix de la télévision : 4 caisse de la télévision :,5 m³, 5 kg prix de la télévision : 749 Le chargement occupe un volume de 5, m³ et a une masse de,59 tonnes. Si le nombre total de télévisions est 8, quelle est la valeur marchande de ce chargement? Sol ex x = nombre de télévision de type y = nombre de télévision de type z = nombre de télévision de type + y + z = 8 Système à résoudre :,5x +,75y +,5z = 5, 9x + 4y + 5z = 59 8 Matrice augmentée du système :,5,75,5 5, L L/, L L/ L L

= f(,) = 8 f(7,) = 4 Production optimale : œufs extra et 5 œufs sublime EX (utiliser une méthode matricielle pour résoudre cet exercice) Un camion livre à des détaillants modèles de télévision,

3 Corrigé de l examen de mathématiques appliquées à l informatique ( ère session) L L L, L L L L L/-, L L/ L 5L L L L/ L L L, L L - L L L/-, L -L 8 7 L L L télévisions de type, télévisions de type, 8 télévisions de type Valeur du chargement : = 84 EX Soit la matrice = 4 8 A a) Déterminer la matrice A² b) Déterminer les réels a et b tels que A² = a.a + b.i La matrice I est la matrice identité = I c) Utiliser le point b) pour déterminer la matrice A³ (sans effectuer le produit de deux matrices)

chargement : 44.4 +.4 + 8.749 = 84 EX Soit la matrice = 4 8 A a) Déterminer la matrice A² b) Déterminer les réels a et b tels que A² = a.

4 Corrigé de l examen de mathématiques appliquées à l informatique ( ère session) Sol ex a) A² = = = a a a b b) = a 8a a + b a a 4a b a + b a a = a 8a + b a a a 4a + b -a = a = - a + b = b = Vérification a + b a a + ( ) a 8a + b a a =, b = ( ) 8( ) + a a 4a + b ( ) ( ) ( ) ( ) = 4( ) + c) A² = -A + I A³ = A.( -A + I) = -A² + A.I = -A² + A + A³ = + 8 = A³ = EX 4 Traduire le raisonnement suivant en logique propositionnelle : p : Lorsque les Beatles sont sur scène, la foule est en délire. p : La foule n est pas en délire. q : Donc, les Beatles ne sont pas sur scène. Ce raisonnement est il valide? (justifier par une table de vérité).

8a + b a a =, b = ( ) 8( ) + a a 4a + b ( ) ( ) ( ) ( ) = 4( ) + c) A² = -A + I A³ = A.( -A + I) = -A² + A.

5 Corrigé de l examen de mathématiques appliquées à l informatique ( ère session) Sol ex 4 a : Les Beatles sont sur scène b : La foule est en délire p = a b p = b q = a a b a b b a Le raisonnement est valide EX 5 Ecrire la fonction booléenne correspondant au circuit logique suivant. Etablir la table de vérité de cette fonction a b porte NAND porte OR porte NOT Sol ex 5 Fonction logique de sortie : f(a,b) = ( a + b )a. a b a a +b ( a +b).a ( a + b )a. EX Définir en extension les ensembles A = {x N : < x < 4} B = {x N : x 4 } C = {x N : x < 4 } a) Représenter par un diagramme de Venn les ensembles b) Compléter avec le bon symbole : A (B C) 4 C A (B C) (B C) (A B) (B C) A B A B C (A B C) (A B)

Etablir la table de vérité de cette fonction a b porte NAND porte OR porte NOT Sol ex 5 Fonction logique de sortie : f(a,b) = ( a + b )a. a b a a +b ( a +b).a ( a + b )a.

6 Corrigé de l examen de mathématiques appliquées à l informatique ( ère session) Sol ex A = {,} B = {,,,4} C = {,,,} A B 4 C A (B C) 4 C A (B C) (B C) (A B) (B C) A B A B C (A B C) (A B) EX 7 A une compétition d'athlétisme un club a engagé tous ces athlètes dans les différentes épreuves: se sont engagés dans la course à pieds, se sont engagés au saut en longueur et au lancer de poids, se sont engagés au lancer de poids dont se sont également engagés à la course à pieds, 5 vont faire du saut en longueur et parmi eux 9 vont faire de la course à pieds. aucun n est engagé dans les épreuves a) Calculer le nombre d'athlètes qui ne font qu'une seule épreuve. b) Calculer le nombre total de participants aux épreuves Sol ex 7 A = course à pieds B = lancer de poids C = saut en longueur # A = # (B C) = # B = # (B A) = # C = 5 # (A C) = 9 # (A B C) =

engagés au lancer de poids dont se sont également engagés à la course à pieds, 5 vont faire du saut en longueur et parmi eux 9 vont faire de la course à pieds.

7 Corrigé de l examen de mathématiques appliquées à l informatique ( ère session) A B # = 8 # = # = 4 # = 9 # = # = # = 5 C a) nbr d athlète qui participe à une seule épreuve : = 7 b) nbr total de participants : = 4

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