Algorithmique. I Définition

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1 Algorithmique I Définition Voici une définition du mot algorithme que l on peut trouver dans un dictionnaire : Ensemble de règles opératoires dont l application permet de résoudre un problème énoncé au moyen d une nombre fini d opérations. Un algorithme peut être traduit, grâce à un langage de programmation, en un programme executable par un ordinateur. Ainsi, un algorithme désigne un ensemble fini d instructions d un calcul ou de la résolution d un problème. Un programme sera la traduction d un algorithme dans un langage de programmation exécutable par un ordinateur ou une calculatrice programmable. Le mot Algorithme vient du nom du mathématicien Al-Khuwarizmi (latinisé au Moyen Age en Algoritmi) né vers 783 en Ouzbékistan et mort vers 850. Dans son traité Kitab al jabr m al muqabalah, il étudie les équations du second degré. Exemple 1: Voici un algorithme de calcul écrit en langage courant : Choisir un nombre Lui soustraire 1 Élever au carré le résultat obtenu Ajouter l opposé de 4 Écrire le résultat Pour écrire un algorithme on utilise aussi souvent un langage symbolique. Avec l algorithme précédent on obtient : Affecter à a la valeur de x 1 Affecter à b la valeur de a 2 Affecter à c la valeur de b 4 Afficher c x 1 a a 2 b b 4 c Afficher c Pour éviter d avoir trop de lettres on peut réutiliser plusieurs fois la même variable : x 1 a a 2 a a 4 a Afficher a Programmation à la calculatrice : voir à la fin du livre Cours Page 1 Algorithmique

2 II Boucles et instruction conditionnelle 1 Boucle Pour On souhaite écrire un algorithme permettant de calculer u 50 où la suite u est définie par u 0 = 1 et pour tout entier n, u n+1 = 3u 2 n +4. Pour une suite définie par récurrence pour calculer u 50 on doit calculer u 1, puis u 2, puis u 3,... jusqu à arriver à u 50. Pour calculer u 1, on prend u 0, on le met au carré, on multiplie par 3, on ajoute 4 puis on prend la Pour calculer u 2, on prend u 1, on le met au carré, on multiplie par 3, on ajoute 4 puis on prend la Pour calculer u 3, on prend u 2, on le met au carré, on multiplie par 3, on ajoute 4 puis on prend la On remarque que l on va répéter 50 fois la même opération. Au lieu d écrire 50 fois la même instruction on va demander de répéter l opération un certain nombre de fois. Pour pouvoir savoir combien de fois on fait les mêmes opérations on utilise un compteur. Voici l algorithme : 1 u Pour k allant de 1 à 50 faire 3u2 +4 u Afficher u Grâce à la calculatrice on trouve u 50 1, Exercice 79 page 35 : Partie A : Situation théorique 1. v 1 = 1035, v , K S , , ,151 On multiplie à chaque fois S par la même valeur 1,005. On a donc ici une suite géométrique. L algorithme calcul u N où u est la suite géométrique de raison 1,005 et de premier terme S que l on choisit au début. Cours Page 2 Algorithmique

3 3. Deux nombres entiers S et N Pour K allant de 1 à N affecter à S la valeur S 1, Afficher S Partie B : Situation pratique 1. a) , = b) , = 1070, Entrée 1000 S Pour K allant de 1 à 12 faire S 1, S Afficher S Exercice 21 page 22 : 1. On note u n le PIB de la Chine en milliards de dollars en l année 2009+n. On a u 0 = et u n+1 = 1,09u n. u n est une suite géométrique de raison 1,09 donc u n = 5 000(1,09) n. Ainsi le PIB de la Chine en 2015 est u ,5 milliards de dollars. 2. U = 5000, N = 6 3. a) Entrer U0 et stocker dans U Entrer N Pour K allant de 1 à N, faire stocker U +0,06 U dans U Afficher U Il faut ensuite entrer U = 200 et N = 7 (on commence ici en 2008 et non 2009). b) La prévision pour le PIB en 2015 au Nigéria est d environ 300,72 milliards de dollars. Exercice 24 page 23 : 1. a) On note u n le nombre de boites produites la n-ième semaine. On a donc u 1 = 50 et u n+1 = u n +10. u n est une suite arithmétique de raison 10, donc u n = 50+10(n 1) = 10n+40. b) On cherche pour quelle valeur de n on aura u n 200 : u n > n+40 > n > 160 n > 16 La production dépassera les 200 boites lors de la 17-ième semaine. (u 16 = 200) 2. N = 5 donne S = 350. Cours Page 3 Algorithmique

4 2 Boucle Tant que L instruction Tant que permet de répéter les même opération tant que le but recherché n est pas atteint. A la différence de l instruction précédente, on ne sait pas à l avance combien de fois on va répéter les opérations. Exercice 59 page 29 (1., 2. et 3.) : 1. Pour passer d une semaine à l autre on doit multiplier l aire déjà envahie par 1, 04 (augmentation de 4%) puis ajouter 13 (augmentation de 13m 2 chaque semaine). On a donc bien u n+1 = 1,04 u n Stocker 0 dans N et 300 dans U Tant que U 600 faire stocker N +1 dans N stocker 1,04 U +13 dans U FinTantQue Afficher N On trouve N = a) v n+1 = u n = 1,04u n = 1,04(v n 325)+338 = 1,04v n = 1,04v n v n est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme v 0 = u = 625. b) v n = 625 1,04 n u n = v n 325 = 625 1,04 n 325 c) En entrant la suite dans la calculatrice et en affichant la table de valeurs on a u 9 564,57 et u ,15. Donc on retrouve bien qu au bout de 10 semaines les chardons auront envahit plus de 600 m 2. Exercice 72 page 33 : 1. Une année : ,0225 = 15337,5. Deux années : 15337,5 1,0225 = 15682, a) On passe d une année à l autre en multipliant le capitale toujours par le même nombre :1, C n est une suite géométrique de raison 1,0225 et de premier terme C 0 = Donc C n = ,0225 n. b) C n+1 = ,0225n+1 = 1,0225n+1 C n ,0225 n 1,0225 = 1,0225 > 1 n Donc, comme C n > 0, on a C n+1 > C n et donc la suite est croissante. De plus 1,0225 > 1 donc lim n + 1,0225n = + et donc lim C n = + n + Le capital augmente tous les ans vers l infini. 3. Il faut corriger le calcul de C : Stocker C 1,0225 dans C 4. Il faut 32 année pour atteindre un capital de plus de euros. 5. Il faut 55 ans pour atteindre plus de euros, ce qui est envisageable si Hélène commence à épargner jeune et si le taux ne baisse pas... Cours Page 4 Algorithmique

5 Exercice 44 page 26 : 1. u n = 100 1,1 n 2. u n est croissante et lim n + u n = + car 1,1 > a) Comme u n est croissante et tend vers + les valeurs de u n vont forcément finir par dépasser le chiffre 500. b) P = 17 Exercice 48 page 26 : 1. 1h : 1,84cm 3, 2h : 1,693cm 3, 24h : 0,27 2. a) v n est une suite géométrique de raison 0,92 car on passe d un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre : 0,92. On a donc v n = 2 0,92 n. b) Comme 0 < 0,92 < 1, la suite v n est décroissante et lim n + v n = 0. Le produit va donc finir par disparaitre du corps du patient. 3. a) Au bout de 9 heures. b) Au bout de 17 heures c) Au bout de 92 heures Cours Page 5 Algorithmique