Logiciel de Simulation de Systèmes Asservis Linéaires à temps continu G.Blanchet P.Devriendt J.Prado

OTOM Logiciel de Simulation de Systèmes Asservis Linéaires à temps continu G.Blanchet P.Devriendt J.Prado

SOMMAIRE Chap.I. Avertissement... 9 Chap.II. Mise en œuvre... 11 I. Configuration matérielle... 11 II. La disquette d'installation... 11 III. L'installation... 12 IV. La désinstallation... 13 Chap.III. Le mode opératoire par l'exemple... 15 I- La définition de la fonction en boucle ouverte... 15 II- Visualisation des caractéristiques de la fonction... 17 III- La modification du gain... 17 IV- Les réponses en fréquence... 18 IV-1. Diagramme asymptotique... 18 IV-2. Tracé des diagrammes de Bode en boucle ouverte... 18 IV-2. Tracé de l'abaque de Black... 19 V- Les réponses temporelles en boucle fermée... 20 VI- Définition d'un correcteur et visualisation... 21 Chap.IV. Guide d'utilisation... 23 I- Les options du menu "Divers"... 24 I-1. "postscript "... 24 I-2. "PICT"... 25 I-3. "imprimante"... 25 I-4. "Couleurs "... 25 I-5. "Fin de travail "... 25 II- Les options du menu "Fichier"... 26 II-1. "chemin d'accès "... 26 II-2. "charger "... 26 II-3. "sauver "... 27 II-4. "effacer "... 27 II-5. "afficher"... 27 II-6. "imprimer"... 28 III- Le menu "Transf."... 28 III-1. "polynômes "... 28 III-2. "par valeurs "... 29 III-3. "graphique"... 30 III-4. "second ordre "... 31 III-5. "retard pur "... 31 III-6. "gain "... 32 III-7. "état du système "... 32 III-8. "pôle(s) transfert"... 33 III-9. "nouvelle fonction "... 33 IV- Le menu "Lieux"... 34 IV-1. "Diag.Asympt."... 34 IV-2. "pulsations"... 35 IV-3. "points "... 35 IV-4. "Bode"... 35 IV-5. "Nyquist"... 36 IV-6. "Bode + Nyquist"... 37

8 Sommaire IV-7. "Black"... 37 IV-8. "Evans"... 38 V- Définition d'un correcteur... 38 V-1. "effet intégral "... 39 V-2. "avance de phase"... 39 V-3."P.I.D."... 39 V-4."Gain "... 40 V-5. "annuler correcteur"... 40 V-6. "restitution correcteur"... 40 VI- L'affichage des diagrammes du correcteur... 40 VII- les réponses temporelles... 40 VII-1. "temps "... 41 VII-2. "pulsation du cosinus "... 41 VII-3. "points "... 41 VII-4. "impulsion"... 41 VII-5. "échelon", "rampe" et "cosinus"... 42 VII-6. "résidu(s)"... 42 VIII- Boucle ouverte ou fermée... 44 Chap.V. Exercices... 45 I- Simulation d'un deuxième ordre... 45 I-1. Le circuit à étudier... 45 I-2. Résultats... 46 I-3. Simulation... 46 II- Lieu de Nyquist... 46 III- Comportement selon la position des pôles et des zéros... 46 IV- Compensation par avance de phase... 47 V- Compensation par PI et PID... 47 VI- Méthode de Van Strejc et compensation... 48 VI-1. Détermination des constantes... 48 VI-2. Compensation... 49 VI-3. Réponse indicielle... 49 Chap.VI. Annexes... 51 Annexes A : L'acquisition des informations dans les fenêtres de saisie... 51 Annexes B : Quelques notes sur la transformée de Laplace... 53 Annexes C : Structure des fichiers.otm... 57 Annexes D : Indications sur les exercices... 59

CHAPITRE I Avertissement OTOM est un logiciel de simulation de systèmes linéaires à temps continu développé en vue d'un fonctionnement sur une configuration matérielle limitée. Cette dernière peut se restreindre à un PC-XT doté de 512 Koctets de mémoire, encor qu'il soit fortement conseillé d'être équipé d'un coprocesseur arithmétique si l'on veut avoir des performances acceptables. OTOM est adapté à des systèmes à une entrée et une sortie selon le schéma classique d'asservissement par bouclage unitaire. L'accès aux fonctions du logiciel se fait par des menus déroulants à l'aide de la souris ou du clavier (on peut d'ailleurs ne pas disposer d'une souris bien qu'un driver de souris soit indispensable). Chaque menu déroulant correspond à un ensemble d'options associées aux définitions de signaux, systèmes ou fonctionnalités décrites par le détail dans le chapitre 4 et partiellement répertoriées dans le schéma suivant : Menu 7 Menus 5, 6 Menu 7 Menus 3, 4 Menus 7 Consigne Signal d'erreur Compensateur (gain, PI, PD, PID) Entrée Système Sortie C(p) + ε(p) K(p) E(p) G(p) S(p) Boucle ouverte ou fermée retour unitaire Menu 8 Les fonctions de transfert peuvent être définies : par les transformées de Laplace de leurs numérateur et dénominateur, en donnant directement les valeurs des pôles et des zéros, ou enfin graphiquement en positionnant ces mêmes pôles et zéros dans le plan complexe. Les principales fonctionnalités d'otom sont les suivantes : affichage des diagrammes de Bode, Black et Nyquist, et du lieu d'evans,

10 Chapitre I Introduction affichage de réponses temporelles à une entrée en impulsion, en échelon unité, en rampe ou en cosinus, visualisation des différentes valeurs obtenues ainsi que de la décomposition en éléments simples de la transformée de Laplace du signal de sortie, introduction de correcteurs avance de phase, retard de phase ou P.I.D., sauvegarde et lecture d'une fonction de transfert sur disque, définition d'un deuxième ordre canonique par son coefficient d'amortissement et sa pulsation propre. sortie de tous graphiques sur imprimante matricielle standard 9 aiguilles, au format PICT (MacIntosh) ou postscript. Le chapitre II donne les indications nécessaires pour l'installation du logiciel. Le chapitre III donne un exemple de session de travail avec OTOM. Le chapitre IV décrit chaque option des menus du logiciel. Le chapitre V fournit quelques exemples d'exercices pour l'utilisation de OTOM. Les annexes fournissent des informations complémentaires sur l'utilisation du logiciel et sur la transformée de Laplace, ainsi que des indications sur les exercices proposés.

CHAPITRE II Mise en œuvre I- Configuration matérielle La configuration matérielle minima pour exploiter OTOM est la suivante : PC XT ou compatible, 512 Ko de mémoire, écran EGA, disque dur. La présence d'un coprocesseur mathématique est fortement conseillée. Si la souris n'est pas indispensable, un driver de souris est cependant obligatoire pour le fonctionnement du logiciel (MOUSE.COM ou MOUSE.SYS par exemple). Ce driver doit être déclaré dans les fichier CONFIG.SYS (DEVICE=MOUSE.SYS) ou AUTOEXEC.BAT (MOUSE.COM). Afin d'améliorer la vitesse d'exécution de l'application, et si l'on dispose de suffisamment de mémoire, de configurer un disque virtuel de 256 Koctets. Cette configuration se fait en utilisant un driver du type VDISK.SYS ou RAMDISK.SYS. Exemple : si on dispose du "driver" VDISK.SYS, on rajoute dans le fichier CONFIG.SYS la définition du disque virtuel de la façon suivante : device = vdisk.sys 256 Une imprimante compatible EPSON 9 aiguilles est nécessaire pour les impressions graphiques sur imprimante matricielle. II- La disquette d'installation La disquette contient : les logiciels d'installation et de désinstallation de OTOM, un fichier de configuration CONFIG.DAT, des ressources graphiques le logiciel proprement dit OTOM.EXE, les ressources nécessaires (menus, fenêtres, ) dans un sous-répertoire \RES.

12 Chapitre II - Mise en œuvre III- L'installation Après avoir mis en route la machine, introduire la disquette d'installation dans le lecteur de disquette. Taper : a: (ou b: si c'est le cas) instal Une fenêtre de saisie est affichée sur l'écran. Cette fenêtre permet d'indiquer : sur quel disque (disque principal) sera installé l'application (zone 1, première ligne), si l'on utilise un disque virtuel (zone 2, deuxième ligne) pendant l'exécution de OTOM. Les ressources (menus, fenêtres, etc.) y sont recopiées lors du lancement du logiciel, ce qui accélère leur chargement pendant l'exécution. Si l'on ne veut pas utiliser de disque virtuel, il suffit de lui donner le même nom que le disque d'installation. Installation de V/X.XX Disque principal :C Disque virtuel :C Sauve(1) Quitte(2) :0 Pour modifier une unité de disque, taper son nom dans la zone de saisie correspondante. Pour passer d'une zone à la suivante, taper sur la touche <enter>. Valider en tapant 1 (Sauve) en fin de modifications. Exemple 1 de configuration : machine avec disque dur comportant une seule partition (disque C) et un disque virtuel D : taper C en zone 1, D en zone 2 et valider (1 en zone 3). Disque principal :C Disque virtuel :D Sauve(1) Quitte(2) :1 Exemple 2 de configuration : machine avec disque dur comportant deux partitions (disques C et D), et disque virtuel E : taper E en zone 2. Pour que l'application soit sur le disque D, taper D en zone 1. Disque principal :D Disque virtuel :E Sauve(1) Quitte(2) :1 Exemple 3 de configuration : machine avec disque dur comportant deux partitions (disques C et D) sans disque virtuel : taper C ou D dans les zones 1 et 2.

Chapitre II - Mise en œuvre 13 Disque principal :C Disque virtuel :C Sauve(1) Quitte(2) :1 Le fichier de configuration CONFIG.DAT contient les informations d'installation. L'installation crée : un répertoire OTOM dans la racine du disque principal désigné, ainsi qu'un fichier OTOM.BAT. Le lancement de l'application se fera alors simplement en tapant OTOM à partir de la racine du disque principal désigné. un sous-répertoire \OTOM\RES qui contient les ressources de l'application. IV- La désinstallation Pour changer de machine, il faut au préalable désinstaller l'application. Insérer la disquette d'installation dans le lecteur A, puis : Taper : a: (ou b: si c'est le cas) desinst Toute modification des fichiers installés sur le disque dur ou de la disquette originale peut altérer les processus d'installation et désinstallation, ainsi que le bon fonctionnement de l'application.

CHAPITRE III Le mode opératoire par l'exemple Nous allons traiter dans ce chapitre un exemple illustrant le fonctionnement du logiciel OTOM. Les détails d'utilisation de chacune des fonctions utilisées sera donné dans le chapitre IV. Lancer l'application en tapant : OTOM. Un écran de présentation est affiché. Appuyez sur une touche ou cliquez sur la souris. Le menu principal de OTOM est affiché en première ligne de l'écran : 1 Divers 2 Fichier 3 Transf. 4 Lieux 5 Corr. 6 Aff.Cor 7 Réponse 8 Options Pour accéder à chacun des menus, taper sur la touche de fonction de même numéro que la fonction ou utiliser la souris. Par exemple, taper F3 pour accéder au menu 3. I- La définition de la fonction en boucle ouverte 1 On considère la fonction de transfert en boucle ouverte G(p) = ( p + 1) 2 1 0,1p + 1. La définition de G (p) sera faite en donnant ses pôles et zéros. Taper <F3> et sélectionner l'option par valeurs : Une fenêtre de saisie est affichée. Le curseur se positionne sur la première zone de saisie. Le premier pôle est ( 1+j0) de multiplicité 2, tandis que le second est ( 10+j0), de multiplicité 1.

16 Chap.III Le mode opératoire par l'exemple Entrer les parties réelles et imaginaires des pôles. Chaque entrée est validée par la touche < > et le curseur se positionne sur la zone suivante. Pour revenir à la zone précédente, utiliser la touche < > du pavé numérique. Pour valider la saisie, cliquer sur l'option <sauve>. Pôles Zéros Réel Imag. Mt Réel Imag. Mt -1 0 2_ -10 0 1_ (n'entrer que la partie imag.>=0 des racines complexes) sauve quitte Il faut cependant noter que le gain en boucle ouverte n'est pas respecté. On n'a en réalité défini que les pôles et zéros et ainsi la fonction de transfert a la forme : 1 1 G(p) = ( p + 1) 2 p + 10 Dans le tableau de saisie, la multiplicité détermine l'existence ou non des pôles et zéros. La saisie des parties réelles et imaginaires n'est pas indispensable. Dans ce cas elles ont la valeur 0. Exemple : le tableau : Pôles Zéros Réel Imag. Mt Réel Imag. Mt 2_ définit un pôle double à l'origine. Le fait qu'aucun zéro ne soit défini donne un numérateur égal à 1.

Chap.III Le mode opératoire par l'exemple 17 II- Visualisation des caractéristiques de la fonction Taper <F3> et sélectionner l'option état du système. Les caractéristiques du système sont affichées. Numérateur et dénominateur sont donnés sous forme polynômiale. On remarque qu'il est nécessaire d'introduire un gain de 10 pour obtenir la fonction de transfert G(p) étudiée. ETAT ACTUEL DU SYSTEME Pulsations Temps minimum :.2 minimum : 0 maximum : 10 maximum : 10 Fonction Gain en continu : 1 Numérateur : 1 Coefficient de normalisation : 1 Dénominateur : 10 +21p +12p!2 +1p!3 Boucle : ouverte Réseau correcteur Gain en continu : 1 Numérateur : 1 Coefficient de normalisation : 1 Dénominateur : 1 sortie Le coefficient de normalisation indiqué sur cet état donne le rapport des coefficients des termes de plus haut degré. III- La modification du gain Sélectionner l'option gain du menu 3. Entrer la valeur 10 et valider ("sauve"). Gain en boucle ouverte : 10 Gain en décibels : 0 calcul sauve quitte Vous pouvez vérifier la définition de la fonction de transfert en réaffichant l'état du système. Le gain apparaît de façon explicite. ETAT ACTUEL DU SYSTEME Pulsations Temps minimum :.2 minimum : 0 maximum : 10 maximum : 10 Fonction Gain en continu : 10 Numérateur : 1 Coefficient de normalisation : 1 Dénominateur : 10 +21p +12p!2 +1p!3 Boucle : ouverte

18 Chap.III Le mode opératoire par l'exemple IV- Les réponses en fréquence Selon que l'on veuille tracer les caractéristiques en boucle ouverte ou fermée, la sélection s'effectue par l'option boucle accessible par le menu 8 (touche <F8>). Au démarrage de l'application la boucle est considérée ouverte. IV-1. Diagramme asymptotique Le diagramme asymptotique est accessible à l'aide du menu 3. La fonction de transfert possèdant un pôle double en ω=1 et un pôle simple en ω=10, les diagrammes asymptotiques d'amplitude et de phase ont les allures suivantes : 0 db 1 10 ω 0 1 10 ω 12 db/oct 18 db/oct 180 270 Les bornes de tracé en pulsations sont automatiquement calculées pour assurer que toutes les fréquences caractéristiques soient affichées. Le diagramme de Bode qui apparaît utilise les bornes d'analyse par défaut qui sont ici 0,2 rad/s et 10 rad/s. Il est possible de modifier directement ces valeurs de pulsations en cliquant sur les boutons <w min> et <W max>, ou en tapant sur les touches <w> et <W> respectivement. Cliquer sur Wmax : La valeur 10 est affiché. Taper 30 comme nouvelle valeur puis <enter>. On notera que la position du curseur est indiquée par la surbrillance d'un caractère. Sortir en validant. IV-2. Tracé des diagrammes de Bode en boucle ouverte Choisir dans le menu 4 l'option "Bode". Les diagrammes d'amplitude et phase de Bode sont affichés. Sont représentées :

Chap.III Le mode opératoire par l'exemple 19 dans la fenêtre du haut à droite, les valeurs de l'amplitude et de la phase de G(p) pour la pulsation ω correspondant à la position du curseur. dans l'autre fenêtre de texte les valeurs affichées donnent les pulsation et amplitude ou pulsation et phase associées à la position du curseur et non les valeurs correspondantes de G(p). Tapez <ESC> pour revenir à la sélection par menus. IV-2. Tracé de l'abaque de Black Ce tracé correspond à la fonction de transfert en boucle ouverte relativement au système de coordonnées (phase en degrés-amplitude en décibels).

20 Chap.III Le mode opératoire par l'exemple Utiliser les touches claviers <G> ou <g> (ou cliquer sur les boutons <Gain+> ou <gain-> pour modifier le gain. La variation de gain en décibels est affichée en bas à droite de l'écran. Définir une variation de 12 db (le pas de modification est de ±0,5 db), puis taper sur la touche <D> (ou cliquer sur le bouton <Dessin>). La nouvelle caractéristique est affichée. Taper sur la touche <W> ou cliquer sur le bouton <W> et utiliser les touches < > et < >. Le curseur de la souris est maintenant accroché à la caractéristique et les valeurs en boucle ouverte et boucle fermée sont affichées en haut de l'écran. Sortir en validant la modification faite sur le gain à l'aide de la touche <V> ou du bouton <Valide>. Cette modification du gain est considérée comme l'introduction d'un correcteur gain pur. V- Les réponses temporelles en boucle fermée Taper <F8> et valider l'option "boucle fermée". Taper ensuite <F7> et choisir l'option "échelon" pour avoir la réponse à un échelon unité. La réponse à l'échelon est affichée entre t=0 et t=10 secondes qui sont les valeurs par défaut des bornes de calcul des réponses. Sélectionner maintenant l'option "résidus" dans le menu 7. Celle-ci fournit la décomposition en éléments simples de la transformée de Laplace du signal de sortie. Réelle Imaginaire Mult Résidu(s) Boucle fermée -.940E+00 0.105E+01 1 -.244E+00 0.276E+00 -.940E+01 -.105E+01 1 -.244E+00 -.276E+00 -.101E+02 0.000E+00 1 -.116E-01 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 1 0.500E+00 0.000E+00

Chap.III Le mode opératoire par l'exemple 21 Si l'on désigne par S(p) la transformée de Laplace du signal de sortie, cette décomposition se lit : S(p) = E(p) G(p) = 0,244 + 0,276j p + 0,94 1,05 j 0,244 0,276j + p + 0,94 + 1,05 j + 0,0116 p + 10,1 + 0,5 p Si on affiche l'état du système, celui-çi indique que la boucle est fermée et qu'il y a une compensation correspondant au gain introduit dans la boucle ouverte (cf. abaque de Black). VI- Définition d'un correcteur et visualisation On cherche à avoir une marge de phase de 45 à la pulsation ω=2,5. On note, à l'aide du diagramme de Black, que, pour cette pulsation, il faut un avance de phase de 15. Pour obtenir les paramètres a et τ du correcteur PD, on utilise l'option "avance de phase" du menu 5. Introduire les valeurs 15 et 2,5. Cliquer sur calcul. Les valeurs de a et tau correspondantes sont : a 1,7, tau 0,31 : Avance de phase Avance de phase ( ) : 15 Pulsation (rad/s) : 2.5 1 + atp T = 0.3069308 a > 1. 1 + Tp a = 1.698396 gain :.767327 calcul sauve quitte Cliquer sur sauve. Le correcteur est ainsi défini. Repasser dans l'abaque de Black et augmenter le gain de +15 db pour amener le point de pulsation ω=2,5 à 0 db.

22 Chap.III Le mode opératoire par l'exemple Les caractéristiques du système non corrigé et du système corrigé sont affichées sur l'abaque de Black. Le menu 6 permet de visualiser les diagrammes de Bode, lieu de Nyquist et abaque de Black du correcteur défini. Tapez <F6>. Sélectionnez l'option "Bode+Nyquist". Celle-ci donne l'allure des lieux de Bode et Nyquist de la fonction de transfert du correcteur.

CHAPITRE IV Guide d'utilisation Après lancement d'otom : un écran de présentation est affiché. Appuyez sur la barre d'espacement. les menus disponibles sont affichés en haut de l'écran. 1 Divers 2 Fichier 3 Transf. 4 Lieux 5 Corr. 6 Aff.Cor 7 Réponse 8 Options Chaque menu est accessible à l'aide de la souris ou des touches de fonction de même numéro que le menu. Exemple : appuyer sur <F1>. Apparaît le premier menu : La première option du menu apparaît en "vidéo inverse". Les autres options sont accessibles en utilisant les touches < > et < > ou la souris. Si l'on n'utilise que le clavier, et une fois l'option choisie, valider cette dernière en tapant <enter> ou sortir du menu avec la touche <ESC>. La validation d'une option peut faire apparaître une fenêtre de saisie de paramètres. Dans l'exemple donné dans le chapitre III, si l'on valide l'option "valeurs " du menu 3, la fenêtre de saisie des pôles et zéros de la fonction de transfert est affichée sur l'écran. On se reportera au chapitre V pour consulter le mode opératoire de la saisie de données dans les fenêtres. Au bas de l'écran sont notées les informations suivantes : la version du logiciel, le répertoire utilisé pour les fichiers, type de correcteur : PI (proportionnel, intégral), AP (avance de phase) ou PID, présence d'un gain de correction G (Gain), O ou F pour boucle ouverte ou fermée.

24 Chap.IV Guide d'utilisation I- Les options du menu "Divers" Le menu 1 permet essentiellement, à partir des trois premières options, de définir le mode d'impression des fichiers. I-1. "postscript " La première option permet de définir les paramètres d'impression des copies d'écran (hardcopy) sous forme de fichiers postscript. Défintion des paramètres Postscript Fichier Word Mac (O/N) : N Echelle en % : 50 Colonne gauche : 30 Ligne haute : 205 Rotation (en degrés) : 0 sauve quitte La signification des options est la suivante : Word Mac : cette option permet de définir un fichier postscript compatible avec les versions antérieures à Word 5.0. Ce format permet en particulier un positionnement relatif dans la page de la copie d'écran. échelle : l'écran étant au format 640 350, celui-ci est plus large qu'une feuille de papier au format A4 lorsqu'on travaille à 100%. Cette option permet donc de redéfinir l'échelle du dessin. colonne gauche et ligne haute : permettent de positionner le coin haut-gauche de la copie d'écran dans la feuille de papier. rotation : définit l'angle de rotation du dessin autour du coin haut-gauche de la copie d'écran. (0,0) Feuille de papier Copie d'écran rotation +90

Chap.IV Guide d'utilisation 25 Les fichiers créés ont pour nom générique PSCXXX.PS où XXX est un numéro engendré automatiquement par le logiciel. I-2. "PICT" Cette option redirige les copies d'écran vers un fichier au format PICT-version 1, format qui est propre au MacIntosh. Les fichiers créés ont pour nom générique PICXXX.PIC où XXX est un numéro engendré automatiquement par le logiciel. La récupération de tels fichiers sur un MacIntosh sera effectuée de la façon suivante : convertir le fichier issu de la disquette PC au format Mac à l'aide d'un convertisseur du type Apple File exchange (sans option de conversion), modifier le type du fichier de BINA en PICT (avec ResEdit par exemple), ouvrir le fichier PICXXX.PIC à l'aide d'une application reconnaissant le format PICT (MacDraw 1.9 le fait correctement ce qui n'est pas toujours le cas des versions ultérieures de MacDraw). I-3. "imprimante" Les copies d'écran sont aiguillées vers une imprimante connectée au port parallèle et compatible EPSON. Une impression sur une imprimante réseau s'effectue correctement si celle-ci est déclarée connectée sur le port 1 et en émulation EPSON. Il est aussi possible d'utiliser les copies d'écrans lancées à partir de la touche <PrtScr>. Il faut seulement que la commande DOS graphics ait été exécutée au préalable. I-4. "Couleurs " Cette option permet de redéfinir la palette de couleurs utilisée dans le logiciel. Elle s'avère particulièrement utile lorsqu'on travaille avec un moniteur noir et blanc ou niveaux de gris. Pour modifier une couleur : on clique sur la couleur ou on la sélectionne avec les touches < > et < >, et on modifie la palette soit à l'aide des touches clavier <+> et < >, soit avec la souris en cliquant sur < + > et < > sur la première ligne de la fenêtre des couleurs. On peut sortir de deux façons : par <ESC> : les couleurs ne sont valides que pour la session de travail en cours. par <END> : la palette est modifiée et enregistrée dans le fichier CONFIG.DAT. I-5. "Fin de travail " L'option "Fin de travail" permet de sortir de l'application et de revenir au système d'exploitation dans le répertoire courant.

26 Chap.IV Guide d'utilisation II- Les options du menu "Fichier" Le menu 2 concerne la manipulation des fichiers de définition des fonctions de transfert et la visualisation des données de calcul. II-1. "chemin d'accès " Cette option permet de définir le répertoire dans lequel on sauve ou charge les fichiers descriptifs des fonctions de transfert. Chemin d'accès : sauve quitte Le répertoire par défaut est le répertoire de l'application. On retrouve le nom de ce répertoire sur la dernière ligne de l'écran des menus. II-2. "charger " Le choix d'un fichier descriptif d'un système s'effectue à l'aide d'une fenêtre scrollée. On sélectionne le fichier à l'aide de la souris ou des flèches < > et < > et on valide cette sélection avec l'option de sortie "charge". 0 BOUCLE 1 EXEMPLE 2 TP1 3 CAS 4 TEST charge annule Les informations contenues dans le fichier sont décrites en annexe. On peut visualiser ces informations à l'aide de l'option "état du système" du menu 3.

Chap.IV Guide d'utilisation 27 II-3. "sauver " Cette option permet d'enregistrer sur disque les caractéristiques d'une fonction de transfert : numérateur, dénominateur, etc. Nom du Fichier (sans extension) : sauve quitte Le fichier est écrit dans le répertoire défini par la première option. II-4. "effacer " Cette option permet d'effacer un fichier descripteur de fonction de transfert à l'aide d'une fenêtre scrollée (cf. option "charger" du même menu). II-5. "afficher" Cette option permet d'afficher le tableau des valeurs calculées dans les réponses en fréquences. Les valeurs affichées ne sont valides que si le calcul a été effectué! Cela est en particulier réalisé lorsqu'on a au préalable lancé une des options "lieux" du menu 4. On peut distinguer deux cas : premier cas : pas de correcteur : 1ère colonne : valeur des pulsations, 2ème colonne : module du gain complexe en db, 3ème colonne : phase du gain complexe en degrés Pulsation Module(dB) Phase( ) 0.200E+00 -.170E+00 -.113E+02 0.204E+00 -.177E+00 -.115E+02 0.208E+00 -.184E+00 -.118E+02 0.212E+00 -.191E+00 -.120E+02 L'affichage se fait par blocs. La barre d'espacement permet de visualiser le bloc suivant. La touche <ESC> interrompt l'affichage. 2ème cas : si un correcteur est défini la sortie comporte 5 colonnes. Les trois premières sont identiques à celles définies précédemment. Les deux suivantes donnent les module et phase de la fonction de transfert corrigée : Pulsation Module(dB) Phase( ) Module(dB) Phase( ) 0.200E+00 -.170E+00 -.113E+02 0.431E+00 0.478E+01 0.204E+00 -.177E+00 -.115E+02 0.447E+00 0.484E+01 0.216E+00 -.199E+00 -.122E+02 0.496E+00 0.502E+01

28 Chap.IV Guide d'utilisation II-6. "imprimer" La fonction d'impression fonctionne de la même façon que celle d'affichage décrite précédemment. L'impression peut être interrompue en appuyant sur la touche <esc>. III- Le menu "Transf." Le menu 3 est le menu de définition des fonctions de transfert. III-1. "polynômes " La définition de la fonction de transfert peut se faire en donnant les polynômes en p des numérateur et dénominateur. La syntaxe utilisée est la suivante : Définition par polynômes : Numérateur : 1 Dénominateur : 1+p sauve quitte les coefficients sont donnés sous une des formes suivantes : XXX,XXX, ou XXX.XXX, ou XXX,XX E[±]YY. et les puissances de p sont définies par p!xx ou p^xx. Exemples : 1,3 + 2p +.5p!2 pour le polynôme 0,5p 2 +2p+1,3 0.5E2 + 4,1 p - p^3 pour le polynôme p 3 +4,1p+50

Chap.IV Guide d'utilisation 29 Lorsque la syntaxe n'est pas correcte, le logiciel interprète de toute façon l'expression et fournit un message d'erreur indiquant qu'il y a eu une modification. Dans ce cas, reprenez les expressions en réactivant la commande. Après validation des expressions par <sauve> le calcul des caractéristiques fréquentielles est effectué. Selon la machine utilisée ce calcul peut être plus ou moins long. III-2. "par valeurs " Cette option permet de définir les pôles et les zéros par leur valeur et leur multiplicité. Une fenêtre de saisie permet d'en donner les parties réelles et imaginaires. On consultera l'annexe 1 pour avoir le mode opératoire de la saisie. Pôles Zéros Réel Imag. Mt Réel Imag. Mt -1 0 1 0 (n'entrer que la partie imag.>=0 des racines complexes) sauve quitte L'exemple donné ici correspond à une fonction de transfert G(p) = 1 p + 1. Dans le cas où l'on a des racines complexes, il suffit de donner la racine dont la partie imaginaire est positive. Si l'on donne une partie imaginaire négative, le logiciel change son signe. La racine conjuguée est automatiquement prise en compte. Ainsi : Pôles Zéros Réel Imag. Mt Réel Imag. Mt -1 1 1_

30 Chap.IV Guide d'utilisation correspond à G(p) = 1 1 p + 1 j p + 1 + j = 1 p 2 + 2p + 2. Après définition des pôles et des zéros, (validation par <sauve>), le calcul des caractéristiques fréquentielles est effectué. III-3. "graphique" Cette option permet de définir graphiquement les pôles et zéros de la fonction de transfert. La fenêtre visualisée représente le plan complexe avec la partie réelle en abscisse et la partie imaginaire en ordonnée. Au départ, les unités portées sur le quadrillage correspondent à 1. Les commandes disponibles sont activées à partir des touches ou boutons suivants : <pôle> : le curseur prend la forme d'une croix lorqu'il se trouve dans le plan des pôles et zéros. Un pôle est défini en cliquant sur la souris ou en utilisant les touches <m> ou <M>. Le nombre de pôles est incrémenté de 1 ou 2 en fonction de sa nature réelle ou complexe. <zéro> : permet de définir des zéros. Le fonctionnement est le même que pour les pôles. <effp> : cette commande permet d'effacer un pôle préalablement défini, en amenant le curseur sur celui-ci. L'effacement est validé en cliquant sur la souris ou en utilisant les touches <m> ou <M>. <effz> : cette commande permet d'effacer un zéro préalablement défini, en amenant le curseur sur celui-ci. L'effacement est validé en cliquant sur la souris ou en utilisant les touches <m> ou <M>. <RAZ> : annule tous les pôles et zéros.

Chap.IV Guide d'utilisation 31 <Imp.> : cette touche commande l'impression graphique de l'écran. Un curseur permet de définir la zone à imprimer dans le cas où l'on crée un fichier au format postscript ou PICT. Positionner le curseur puis taper <enter> une première fois et recommencer pour définir l'autre limite du rectangle d'impression. On peut interrompre la définition en tapant <esc>. <W+> et <w > permettent de changer l'échelle en ordonnée. La valeur des graduations est affichée. <W+> et <w > correspondent respectivement à des zooms avant et arrière sur les pulsations. Les bornes sont ici de 0,5 rad/s et 500 000 rad/s. <T+> et <t > permettent de changer l'échelle en abscisse. La valeur des graduations est affichée. <T+> et <t > correspondent respectivement à des zooms avant et arrière sur les temps. Les bornes sont ici de 10-4 s et 10 4 s. <Valide> : permet de terminer en prenant en compte les modifications apportées à la fonction de transfert. <Quitte> : permet de terminer sans prendre en compte les modifications intervenues. La position du curseur est affichée dans les fenêtres du bas de l'écran. III-4. "second ordre " Cette option permet de définir une fonction de transfert du 2 ème ordre sous sa forme canonique. On donne les deux valeurs z=coefficient d'amortissement et ω n =pulsation propre du système. Définition d'un second ordre : 1 z = Wn 2 + 2zWnp + p 2 Wn = sauve quitte III-5. "retard pur " Cette option permet d'introduire un retard pur dans la boucle ouverte. Valeur du retard : sauve quitte La présence d'un retard pur inhibe les calculs en boucle fermée. En effet les calculs sont tous effectués à partir d'un modèle à temps continu. Le calcul des réponses temporelles est en particulier réalisé à partir d'une décomposition en éléments simples du signal de sortie. Le calcul des pôles utilisé dans le logiciel est fait en supposant que l'on a affaire à des polynômes ce qui n'est pas le cas en boucle fermée et en présence d'un retard pur dans la boucle.

32 Chap.IV Guide d'utilisation III-6. "gain " Cette option permet de modifier le gain en boucle ouverte du système, indépendamment du gain déjà introduit dans la fonction de transfert. Gain boucle ouverte : Gain en décibels : sauve calcul quitte Seule la première zone est accessible en édition. Le calcul du gain en décibels est effectué en activant l'option <calcul>. La définition d'une fonction de transfert donne un coefficient de normalisation égal aux rapport des termes de plus haut degé du numérateur et du dénominateur. Ce coefficient est multiplié par le gain pour donner le gain total. 1 Ainsi, si l'on définit la fonction de transfert par G(p) =, celle-ci apparaîtra 2p + 1 1 dans les informations sur la fonction sous la forme G(p) = avec un coefficient p + 0,5 de normalisation égal à 0,5. Ce coefficient ne sera pas modifié lorsqu'on est amené à modifier les pôles et les zéros avec les options "valeurs " ou "graphique" du menu "Transf.". III-7. "état du système " Cette option permet d'afficher l'état courant du système qui a été défini : reprenons 1 le cas d'un système : G(p) = 2p + 1 ETAT ACTUEL DU SYSTEME Pulsations Temps minimum :.2 minimum : 0 maximum : 10 maximum : 10 Fonction Gain en continu : 1 Numérateur : 1 Coefficient de normalisation :.5 Dénominateur : 1 +2p Boucle : ouverte Réseau correcteur Gain en continu : 1 Numérateur : 1 Coefficient de normalisation : 1 Dénominateur : 1 sortie Les paramètres affichés sont les suivants :

Chap.IV Guide d'utilisation 33 Pulsations : les bornes pour les pulsations utilisées dans les calculs de réponses fréquentielles (Bode, Nyquist, etc.), Temps : les bornes de temps pour les réponses temporelles, Gain en continu : le gain introduit, Boucle : fermée ou ouverte, Numérateur de la fonction de transfert, Coefficient de normalisation (utilisé de manière interne pour les calculs), Dénominateur de la fonction de transfert, Gain en continu du correcteur : le gain introduit dans le lieu de Black, Numérateur de la fonction de transfert du correcteur, Coefficient de normalisation du correcteur, Dénominateur de la fonction de transfert du correcteur. Le coefficient de normalisation est égal au rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Le gain en "continu" est donc donné par le produit "gain" "coefficient de normalisation" "gain du correcteur". III-8. "pôle(s) transfert" Cette option donne les pôles de la fonction de transfert originale : partie réelle partie imaginaire ordre de multiplicité de cette racine Réelle Imaginaire Mult -.50E+00 0.00E+00 1 On sort de cette option cliquant sur la souris ou en appuyant sur la touche <ESC>, sur la barre d'espacement ou <enter>. III-9. "nouvelle fonction " Cette option remet la fonction de transfert en condition initiale : numérateur, dénominateur et gain à 1. Le correcteur éventuellement défini est désactivé. Les paramètres du correcteur ne sont cependant pas modifiés. On peut donc eventuellement le restituer grâce à l'option adéquate du menu des correcteurs.

34 Chap.IV Guide d'utilisation IV- Le menu "Lieux" Le menu "Lieux" est celui qui permet d'accéder aux tracés des différents lieux, diagrammes et abaques. IV-1. "Diag.Asympt." Cette option permet d'afficher les diagrammes asymptotiques d'amplitude et de phase de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte. Le tracé est effectué en calculant des valeurs minima et maxima des pulsations en fonction des fréquences caractéristiques du système. Le diagramme de Bode de G(p) est tracé en respectant les pulsations d'analyse définies par ailleurs : lieu de Bode borne d'analyse 0,2 rad/s lieu de Bode Dans le cas présent, les bornes d'analyse sont 0,2 rad/s et 10 rad/s. Les boutons utilisables sont les suivants : <wmin> et <Wmax> : permettent de modifier les pulsations limites de calcul des caractéristiques fréquentielles. Ces valeurs sont prises en compte lorsqu'on sort par l'option <Valide>. La saisie des valeurs de pulsations se fait comme pour les

Chap.IV Guide d'utilisation 35 zones de saisie textuelles. La seule différence est que le curseur n'est pas représenté. Sa position est repérée par la surbrillance d'un caractère. <Imp.> : active l'impression en fonction du choix effectué dans le menu 1. <Valide> et <Quitte> : sortie en prenant ou non en compte les modifications éventuelles des pulsations minima et maxima d'analyse. IV-2. "pulsations" Cette option permet de fixer les pulsations minima et maxima utilisées pour l'étude en fréquence de la fonction de transfert. Définition des pulsations : minimale :.2 maximale : 10 sauve quitte Lorsque la valeur de la pulsation est négative ou nulle, cette valeur est remise à 0,2 rad/s. L'écart entre pulsation minima et pulsation maxima est au minimum de 0,01 rad/s. La pulsation maxima possible est de 3 924 999 rad/s. Si un débordement survient lors d'un calcul, un message d'erreur s'affiche à l'écran. Il suffit alors de modifier les bornes de calcul. IV-3. "points " Cette option permet de définir le nombre de points utilisés pour le calcul des caractéristiques fréquentielles. Nombre de points en fréquence (<=400) : 200 sauve quitte La valeur par défaut est de 200. Si l'on dispose d'une machine peu rapide il y a intérêt à diminuer cette valeur. IV-4. "Bode" Cette option permet d'accéder au tracé des diagrammes de Bode de la fonction de transfert. Lorsqu'un correcteur a été introduit, le diagramme "corrigé" apparaît en "bleu clair" et le diagramme de la fonction originale en "jaune". Les valeurs associées au curseur sont affichées sur la droite de l'écran.

36 Chap.IV Guide d'utilisation Les touches < >, < >, < >, < >, <PgUp>, <PgDn> permettent de déplacer le curseur graphique. La touche <ESC> permet de revenir au menu principal. <i> ou <I> lancent le processus d'impression graphique de l'écran. Si le mode d'impression choisi est PICT ou postscript, un curseur permet de définir le cadre d'impression : on positionne une première fois le curseur et on tape <enter>, on refait la même manipulation pour clore le cadre d'impression ou on tape <esc> pour annuler l'impression. IV-5. "Nyquist" Cette option permet d'accéder au tracé du lieu de Nyquist. Si un correcteur a été défini, le lieu "corrigé" est tracé en "bleu clair", tandis que l'original l'est en "jaune". On dispose des touches de fonction suivantes : <w> ou <W> : le curseur se positionne sur la caractéristique. Les touches < >, < >, <TAB avant>, <TAB arrière> permettent alors de se déplacer sur le lieu. Les valeurs correspondantes du module, de la phase, etc. sont affichées à droite de l'écran. <i> ou <I> lancent le processus d'impression de l'écran. <ESC> permet de revenir au menu principal. Le cercle unité apparaît en rouge. Le cercle de rayon égal au gain statique est tracé en blanc. Remarque : les couleurs données ne le sont qu'à titre indicatif puisque les palettes peuvent être modifiées à l'aide de l'option "couleurs " du premier menu.

Chap.IV Guide d'utilisation 37 IV-6. "Bode + Nyquist" Cette option permet d'obtenir les tracés simultanés des diagrammes de Bode et du lieu de Nyquist. Ceux-ci sont cadrés sur les tracés de la fonction originale. IV-7. "Black" Cette option permet d'accéder au tracé de la fonction originale dans l'abaque de Black, et si un correcteur a été défini, du lieu corrigé. Le lieu de la fonction originale apparaît en jaune, et le lieu corrigé en bleu clair. Les touches et boutons apparaissant au bas de l'écran ont pour fonction : <Gain +> et <gain > : permettent de modifier le gain en boucle ouverte par pas de 0,5 décibel. La modification du gain est vue comme l'introduction d'un correcteur gain pur. <Dessin> : après modification du gain cette commande permet de tracer la nouvelle caractéristique translatée. <W> : le curseur est rattaché à la dernière caractéristique tracée. Le déplacement s'effectue alors avec les touches < >, < >, <TAB avant>, <TAB arrière>. <Rafr.> : rafraîchissement de l'écran. Ce dernier est retracé entièrement. <Imp.> : provoque l'impression selon le mode défini dans le menu 1. <Valide> : sortie avec prise en compte du gain modifié. <Quitte> : sortie sans prendre en compte la modification du gain. Les touches <m> ou <M> provoquent le tracé d'un marqueur à la pulsation correspondant à la position courante du curseur sur le lieu. Le rafraîchissement de l'écran les efface. La touche <CTRL C> (fonction de copie) permet d'enregistrer dans le presse-papier les valeurs de la pulsation et de la phase correspondant à la position du curseur, lorsque celui-ci est attaché au lieu de Black (cf. <W>).

38 Chap.IV Guide d'utilisation IV-8. "Evans" Cette option permet de tracer le lieu des racines de 1+kG(P) lorsque k varie. Les touches et boutons apparaissant au bas de l'écran ont pour fonction : <Gain+> et <gain > permettent de modifier le gain maxima que peut prendre le gain k dans le tracé. Le maximum est de 1000 et le minimum de 0,1. <Nbpts+> et <Nbpts-> modifient le nombre de points de calcul, compris entre 10 et 200. <k> : le curseur est rattaché à l'une des trajectoires. Le déplacement s'effectue alors avec les touches < >, < >. Le déplacement entre branches est effectué à l'aide de la touche <TAB avant>. On peut noter des sauts entre branches de trajectoires lorsqu'on utilise les touches < >, < >. <PolZer> : passage à la définition graphique des pôles et zéros. <Dessin> : provoque un rafraîchissement d'écran. <Imp.> : provoque l'impression selon le mode défini dans le menu 1. <Quitte> : sortie et retour au choix de menu. Les pôles sont repérés par des croix et les zéros par des carrés. Les droites d'argument ±120 sont tracées en gris. V- Définition d'un correcteur Le menu "Corr." permet d'introduire un correcteur à avance de phase, retard de phase ou P.I.D. Les fonctions de transfert des trois types de correcteurs proposés sont : avance de phase (PD) : K(p) = k a 1 + aτp avec a>1. 1 + τp effet intégral (PI) : K(p) = k b 1 + τp τp et proportionnel, intégral et dérivé (PID) : K(p) = k 1 + T i p + T d p 1 + T d N p

Chap.IV Guide d'utilisation 39 V-1. "effet intégral " Cette option permet de définir un correcteur PI par sa constante de temps T. Le calcul de la valeur de T peut être effectué en donnant les valeurs de la pulsation et de la modification de phase à apporter, puis en cliquant sur l'option "calcul". Compensateur PI Retard de phase ( ) : Pulsation (rad/s) : 1 + Tp T = Tp gain : colle calcul sauve quitte L'option "colle" initialise la zone "pulsation" avec le contenu du presse-papier (cf. lieu de Black). La sortie par l'option "sauve" valide le compensateur ainsi défini. Le gain indiqué est celui pour lequel la modification de gain est de 0 db à la pulsation indiquée. V-2. "avance de phase" Cette option définit les coefficients a et T d'un correcteur à avance de phase. Avance de phase Avance de phase ( ) : Pulsation (rad/s) : 1 + atp T = a > 1. 1 + Tp a = gain : colle calcul sauve quitte Le calcul des paramètres du compensateur peut être effectué de façon automatique comme indiqué dans le paragraphe précédent. V-3."P.I.D." Cette option permet d'introduire un compensateur P.I.D. par la définition de ses coefficients T i, T d et N. Compensateur PID Phase courante ( ) : Marge de phase voulue ( ) : Pulsation (rad/s) : 1 Td*p Ti = 1 + + Td = Ti*p 1+(Td/N)*p N = gain : colle calcul sauve quitte

40 Chap.IV Guide d'utilisation L'option "colle" initialise la zone "pulsation" et la zone "phase courante" avec le contenu du presse-papier (cf. lieu de Black). V-4."Gain " La modification du gain de compensation peut être faite directement à l'aide de cette option en sus de l'utilisation de l'abaque de Black. Gain du compensateur : Gain en décibels : sauve calcul quitte Le gain de compensation peut aussi être calculé grâce à l'option "paramètres ". V-5. "annuler correcteur" Cette option permet d'invalider le correcteur précédemment défini. Les différentes sorties graphiques ne comporteront plus la courbe "lieu corrigé". Pour réintroduire le correcteur sans modifier ses paramètres, il suffit d'utiliser l'option "restitution". V-6. "restitution correcteur" Cette option permet de revalider le correcteur précédemment défini. Elle évite le recalcul des caractéristiques fréquentielles lorsque le correcteur n'a pas été modifié. VI- L'affichage des diagrammes du correcteur Ce menu permet d'accéder aux différentes représentations du correcteur introduit. Tous les tracés effectués ont la même présentation que les tracés correspondants au transfert en boucle ouverte. VII- les réponses temporelles Ce menu permet d'accéder aux réponses du système en boucle ouverte ou en boucle fermée à une entrée du type impulsion, échelon, rampe ou cosinus.

Chap.IV Guide d'utilisation 41 Les calculs sont tous effectués à partir d'une décomposition en éléments simples des fractions rationnelles E(p) G(p) ou E(p) H(p) où G(p) et H(p) sont respectivement les fonctions de transfert en boucle ouverte ou fermée. Cette décomposition est accessible à partir de la dernière option du menu ("résidus"). VII-1. "temps " Cette option permet d'introduire les bornes d'étude pour les réponses temporelles. Définition intervalle de temps : début : 0 fin : 10 sauve quitte Le calcul des réponses temporelles n'est pas effectué si un système non réalisable a été défini. Si un débordement intervient au cours du calcul de la réponse, la borne de fin est modifiée automatiquement. La modification de ces bornes peut être effectuée directement lors de l'affichage des réponses temporelles. VII-2. "pulsation du cosinus " Cette option permet de définir la pulsation ω 0 de l'entrée e(t)=cosω 0 t. Pulsation du cosinus : sauve quitte Sa transformée de Laplace est E(p) = p p 2 2 ( + ω 0 ). VII-3. "points " Cette option permet de définir le nombre de points de calcul de la réponse, qui n'est pas le même que le nombre de points utilisé pour le calcul des lieux.

42 Chap.IV Guide d'utilisation Nombre de points en temps (<=400) : sauve quitte VII-4. "impulsion" Cette option permet de calculer et tracer la réponse impulsionnelle du transfert en boucle ouverte ou fermée selon l'option choisie dans le menu 8. Les commandes disponibles à partir de boutons sont les suivantes : <tmin> et <Tmax> : permettent de modifier le bornes temporelles. <Dessin> : provoque un rafraîchissement d'écran. <Imp.> : provoque l'impression selon le mode défini dans le menu 1. <Quitte> : sortie et retour au choix de menu. Les informations affichées sur la partie droite de l'écran, et correspondant à la position du curseur, sont le temps correspondant à l'indice et l'amplitude (valeur de la réponse au point courant). VII-5. "échelon", "rampe" et "cosinus" Ces options correspondant respectivement aux tracés des réponses à une entrée en échelon, en rampe ou en cosinus. Les fonctionnalités sont quasi-identiques à celles de l'option "impulsion". La seule différence réside en l'affichage de l'erreur (différence entrée sortie). Considérons l'exemple du système : G(p) = 1 avec une entrée ( 2p + 1) en cosinus de pulsation ω 0 =0,2 rad/s.

Chap.IV Guide d'utilisation 43 VII-6. "résidu(s)" L'option "résidu(s)" n'est accessible que si l'on a effectué un calcul de réponse temporelle. La décomposition en éléments simples qui est calculée correspond à la dernière réponse temporelle demandée. Les informations obtenues sur l'écran sont les suivantes : colonne 1 : partie réelle des pôles, colonne 2 : partie imaginaire des pôles, colonne 3 : ordre de multiplicité des pôles, les colonnes suivantes fournissent les résidus obtenus à partir de la décomposition en éléments simples de la transformée de Laplace du signal de sortie. Ainsi, si l'on a activé au préalable le tracé de la réponse indicielle, on obtient la décomposition de G(p)/p où G(p) est la fonction de transfert (corrigée ou non et en boucle ouverte ou fermée selon l'option choisie). Exemple : Exemple : réponse à un cosinus de pulsation 0,2 rad/s de G(p) = Le tableau affiché est le suivant : 1 2p + 1. Réelle Imaginaire Mult Résidu(s) -.500E+00 0.000E+00 1.862E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.200E+00 0 0.431E+00.172E+00 0.000E+00.200E+00 0 0.431E+00 0.172E+00 correspondant à la décomposition : E(p) G(p) = p p 2 + 0,04 1 2p + 1 = 0,862 0,431 0,172j 0,431 + 0,172j + + p + 0,5 p 0,2j p + 0,2j

44 Chap.IV Guide d'utilisation 1 Exemple : on définit la fonction de transfertg(p) = ( p 2 + 2p + 2) 2 et on s'intéresse à sa réponse indicielle. Tracez sa réponse indicielle (option 3, menu 6) et activez ensuite l'option 3 du menu 2. L'écran obtenu est le suivant : Réelle Imaginaire Mult Résidu(s) -0.100E+01 0.100E+01 2 0.125E+00 0.125E+00 -.125E+00 0.250E+00-0.100E+01 -.100E+01 2 0.125E+00 -.125E+00 -.125E+00 -.250E+00-0.000E+00 0.000E+00 1 0.250E+00 0.000E+00 On dispose de trois pôles : un à l'origine, correspondant à l'entrée en échelon, et des pôles ( 1+j) et ( 1 j) de multiplicité 2. La décomposition se lit : G(p) p = 0,125 + 0,125j ( p + 1 j) 2 + 0,125 + 0,25j p + 1 j 0,125 0,125j + p + 1 + j ( ) 2 + 0,125 0,25j p + 1 + j + 0,25 p Exemple : soit le système défini par G(p) = On étudie sa réponse à une rampe. 1 ( p + 1) 3. Réelle Imaginaire Mult Résidu(s) -0.100E+01 0.000E+00 3 0.100E+01 0.000E+00 0.200E+01 0.000E+00 0.300E+01 0.000E+00-0.000E+00 0.000E+00 2 0.100E+01 0.000E+00 -.300E+01 0.000E+00 La décomposition se lit : G(p) p 2 = 1 ( p + 1) 3 + 2 p + 1 ( ) 2 + 3 p + 1 + 1 p 2 3 p VIII- Boucle ouverte ou fermée Le menu 8 permet d'introduire une contre-réaction unitaire dans le système. Dans ce cas, les représentations fréquentielles et temporelles sont modifiées : dans le plan de Nyquist, on trace simultanément la fonction de transfert en boucle fermée et la fonction de transfert en boucle ouverte, les réponses temporelles sont calculées pour la boucle fermée. A l'initialisation, lors du lancement du programme, la boucle est considérée ouverte.

CHAPITRE V Exercices I- Simulation d'un deuxième ordre I-1. Le circuit à étudier On considère le circuit RLC suivant : R L e(t) C s(t) E(p) et S(p) étant les transformées de Laplace de e(t) et s(t), donner l'expression de S(p) en fonction de E(p) et des conditions initiales s(0) et s'(0). On rappelle que la transformée de Laplace de dn s(t) est donnée par : n dt p n S(p) p n 1 s(0 + ) p n 2 s'(0 + ) s (n 1) (0 + ) Les conditions initiales étant supposées nulles : s(0)=0 et s'(0)=0, vérifier que la fonction de transfert est : G(p) = 1 1 + RCp + LCp 2 1 On pose ω n = LC et 2z = RC où ω n est appelée pulsation propre et z coefficient ω n d'amortissement. Ces deux paramètres caractérisent le comportement dynamique d'un système linéaire continu du deuxième ordre. On choisira ω n = 100 et z = 0,3.

46 Chap. V Exercices I-2. Résultats Déterminer : la valeur de ω pour laquelle on a résonance (maximum G r du module de G(p)), la valeur du coefficient de surtension (rapport entre G r et le gain en continu), les valeurs de ω pour lesquelles le gain est "à 3dB" par rapport à sa valeur à la résonance (définit la bande passante à 3dB). I-3. Simulation Utiliser OTOM pour : définir la fonction de transfert du système précédent et visualiser le lieu de Bode, vérifier les valeurs relevées précédemment : gains, fréquences, visualiser la réponse indicielle et donner le temps de réponse à 10% (temps au bout duquel la réponse est comprise entre 90% et 110% du régime permanent). II- Lieu de Nyquist Avec des hypothèses simplificatrices, la fonction de transfert caractérisant l'assiette d'un avion en fonction de l'angle de braquage du gouvernail de profondeur (en vol horizontal symétrique) est donnée par : G(p) = 1 + 5p ( ) pp 2 + 0,4p + 1 Tracer le diagramme asymptotique de G(p). En déduire l'allure du lieu de Nyquist. Vérifier ce résultat à l'aide du logiciel de simulation. III- Comportement selon la position des pôles et des zéros On définit les systèmes : 2 p G 1 (p) = 58 116 + 8p + p 2 et G 2 (p) = 58 2 + p 116 + 8p + p 2 Visualiser les diagrammes de Bode et de Nyquist. Donner les pulsations de résonance ω r. Visualiser les réponses indicielles. Interpréter les résultats. Donner l'expression analytique des réponses dans les deux cas. Comment peut-on, à l'aide du logiciel, obtenir la réponse à cosωt, sans utiliser l'option "cosinus" du menu "réponse"? Tracer cette réponse pour ω=ω r et en relever l'amplitude.