Cap Math CP 2 cycle Guide de l eneignant Nouveaux programme SOUS LA DIRECTION DE Roland CHARNAY Profeeur de mathématique en IUFM Marie-Paule DUSSUC Profeeur de mathématique en IUFM Dany MADIER Profeeur de école
II Hatier, Pari 2009 ISBN : 978-2-218-93621-0 Toute repréentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tou procédé, en tou pay, faite an autoriation préalable et illicite et expoerait le contrevenant à de pouruite judiciaire. Réf. : loi du 11 mar 1957, alinéa 2 et 3 de l article 41. Une repréentation ou reproduction an autoriation de l éditeur ou du Centre françai d exploitation du droit de copie (20, rue de Grand-Augutin, 75006 Pari) contituerait une contrefaçon anctionnée par le article 425 et uivant du Code pénal.
Préentation de l enemble pédagogique Cap Mat h CP Le principaux parti-pri de cette méthode aini que on mode d emploi y ont expoé. Le upport de Cap Math CP... IV Préentation de la nouvelle édition de Cap Math CP... V L organiation du travail / Dan une clae à cour multiple... VI La démarche pédagogique... VII La préparation et la réaliation de bilan / Le trace écrite, le dico-math... VIII La différenciation et l aide aux élève... IX Le priorité dan le apprentiage... X La tranition Grande Section CP... XI Comment utilier la banque de problème?... XII Programmation de apprentiage Cette programmation et donnée ou forme de tableaux pour le principaux apprentiage ur l année pui détaillée pour chacun de 5 grand domaine. Principaux apprentiage ur l année... XIV Réolution de problème Organiation et getion de donnée... XVI Nombre et numération... XIX Calcul... XXIV Epace et géométrie... XXXI Grandeur et meure... XXXVI Decription de activité de 15 unité Sommaire Le Guide et l outil-pivot de la méthode. Detiné à l eneignant, il décrit de façon détaillée l enemble de activité qui ont propoée aux élève, tout au long de l année. Ce activité ont regroupée en 15 unité d apprentiage. Évaluation initiale... 1 Unité 1... 3 Unité 2... 25 Unité 3... 46 Unité 4... 65 Unité 5... 87 Unité 6... 107 Unité 7... 129 Unité 8... 149 Unité 9... 169 Unité 10... 190 Unité 11... 211 Unité 12... 230 Unité 13... 251 Unité 14... 272 Unité 15... 292 Tableau de correpondance du matériel photocopiable édition 2009-2005... 310 III
jaqucdcapmath 21/03/07 14:42 Page 1 C D - R o m CP CE1 Le cédérom complète le outil d eneignement déjà diponible pour le CP et le CE1. Il reprend certaine ituation en favoriant le travail autonome de l élève et en exploitant l'interactivité permie par l ordinateur. Le activité propoée peuvent être utiliée à pluieur fin : offrir de modalité de outien pour de élève en difficulté ; favorier l entraînement individualié de élève ; permettre à certain élève d approfondir leur apprentiage. Avec le même objectif, il peut intéreer de eneignant qui ne ont pa utiliateur de la méthode Cap math. Certaine activité ont exploitable en Grande Section et au CE2.? une partie Eneignant avec un tableau de bord permettant de uivre le travaux de élève : hitorique de conultation (par jeu ou par enfant), réultat obtenu un livret d accompagnement préentant chaque activité, niveau par niveau PC MAC Pentium 3 1GHz Proceeur G4 450MHz 512 Mo de mémoire vive Mac OS 10.2.8 ou upérieur Window 98 ou upérieur 256 Mo de mémoire vive carte graphique 32 Mo carte on (affichage 800*600 en million de couleur) carte graphique 8 Mo carte on (affichage 800*600 en millier de couleur) Epace dique requi : 200 Mo Réaliation : R2A Multimédia www.capmath-hatier.com 49 1608 6 ISBN : 978-2-218-92212-1 Hatier, 2007 Graphime : Grégoire Bourdin CP c y c l e Roland Charnay Marie-Paule Duuc Le upport de Cap Mat h Pour l eneignant le Guide de l eneignant Le guide et le «pivot» de la méthode, c et un outil incontournable. le Matériel photocopiable Fiche : de travail pour le activité de la clae d activité complémentaire de bilan périodique (toute le 3 unité) Bilan de compétence L utiliation du matériel et indiquée dan le Guide. Tableaux de progreion par thème Tableau de programmation par unité Le 15 unité de travail : decription détaillée de ituation d apprentiage et de activité de réviion exercice du fichier commenté avec viuel Bilan de fin d unité et de fin de période commenté Activité complémentaire Exploitation de banque de problème @ le Site compagnon www.capmath-hatier.com Fiche Différenciation Préentation animée de la méthode Forum Pour l élève le Fichier d entraînement Évaluation initiale 15 unité de travail : calcul mental, exercice de réviion, exercice d application uite aux phae d apprentiage 15 Bilan (en fin d unité) 5 Math-magazine (toute le 3 unité) 5 Banque de problème (en fin de fichier) Matériel individuel encarté : file numérique, monnaie, compteur, carte L utiliation du fichier et indiquée dan le Guide. le Dico-math le CD-Rom cycle 2 e ubtituer à de moment d apprentiage propoé dan Cap math, notamment pour le clae à cour multiple ou pour le clae hétérogène ; Le cédérom comprend également : CONFIGURATIONS MINIMALES 24 activité avec pluieur niveaux de jeu CE1 C D - R o m C D - R o m 24 activité avec pluieur niveaux de jeu Pour l apprentiage Pour l entraînement Pour la différenciation Pour la remédiation CP CE1 PC/MAC Le correpondance entre le CD-Rom et le activité ont mentionnée dan le Guide. Ce facicule indépendant, fourni avec le fichier, ert progreivement de référence aux élève. IV
Préentation de la nouvelle édition de Cap Mat h CP Le programme actuel pour l école primaire introduient de changement, parfoi important, ur le contenu eneigné et notamment ur le moment où il ont abordé. C et principalement ce qui nou a conduit à apporter de modification par rapport à l édition précédente. Concernant la méthode d eneignement, la confirmation de la place à donner à la réolution de problème et l affirmation, pour le eneignant, de la liberté de leur choix pédagogique nou confortent dan le orientation retenue dè le départ pour cette collection. Le fondement de Cap Mat h repoent toujour ur un équilibre entre de activité de recherche (réolution de problème) et de néceaire activité d entraînement. La maîtrie de principaux élément de mathématique acquiert et exerce eentiellement par la réolution de problème, notamment à partir de ituation proche de la réalité. (ocle c o m m u n) La réolution de problème joue un rôle eentiel dan l activité mathématique. Elle et préente dan tou le domaine et exerce à tou le tade de apprentiage. (p r o g r a m m e) L acquiition de mécanime en mathématique et toujour aociée à une intelligence de leur ignification. (p r o g r a m m e) Cette nouvelle édition nou a également permi de prendre en compte le uggetion et remarque que nou adreent de nombreux eneignant utiliateur. Pour cette édition, cela concerne notamment : Une entrée encore plu progreive dan le apprentiage du CP pour mieux aurer le lien avec le acqui de la Grande Section. Une tructuration plu régulière de éance qui tient compte à la foi de la nouvelle organiation du temp colaire et de l horaire attribué aux mathématique, aini que de demande de eneignant pour organier leur travail (notamment pour le clae à cour multiple). Une intégration encore plu affirmée de outil de la méthode Cap m at h, avec en particulier de référence au CD-Rom pour le cycle 2 et au dico-math qui et, avec cette édition, une nouveauté au CP. V
L organiation du travail avec Cap Mat h Le chéma propoé par Cap Mat h prend en compte le horaire officiel et l organiation actuelle de l année et de la emaine colaire. L année colaire et organiée ur 36 emaine. Le apprentiage dan Cap Mat h ont prévu ur 15 unité, oit 30 emaine, ce qui laie donc une marge de temp diponible pour d autre activité (banque de problème, activité complémentaire ). Horaire annuel fixé par le programme 180 h pour le mathématique Schéma propoé par Cap Mat h pour l année 15 unité de 9 h 30 chacune, oit 142,5 h. Évaluation périodique, banque de problème, complément : 37,5 h. Quinzaine colaire 10 h pour le mathématique ur 8 journée Schéma propoé par Cap Mat h pour chaque unité (2 emaine) 7 éance pour le apprentiage de 1 h 15 chacune. 1 éance pour un bilan partiel d environ 45 min. Journée colaire Schéma propoé par Cap Mat h pour chaque éance d apprentiage 1 h 15 par journée 30 min pour le calcul mental et le réviion. 45 min pour de nouveaux apprentiage. Il nou emble préférable que ce deux plage de travail quotidienne ne oient pa conécutive. Par exemple, l une peut être ituée le matin et l autre l aprè-midi. Dan une clae à cour multiple Au CP, en particulier, et plu encore en début d année, le activité mathématique néceitent une préence importante de l eneignant. Troi choix ont été fait pour faciliter l utiliation de Cap Mat h dan une clae à cour multiple en permettant d être davantage préent pour une partie de la clae à certain moment : la régularité de l organiation de éance permet de prévoir deux temp ditinct dan la journée (de 30 minute et de 45 minute), ce deux temp n étant pa néceairement conécutif (voir ci-deu). le temp de travail ur le Fichier d entraînement dan 6 éance ur 7 doit, progreivement, devenir de plu en plu autonome pour l élève. le moment de recherche individuelle ou en équipe permettent également à l eneignant de e rendre diponible pour travailler avec d autre niveaux. De plu, certaine activité du CD-ROM (activité d apprentiage, calcul mental ) peuvent e ubtituer à de activité décrite dan le guide et permettre aini davantage de travail en autonomie de élève. VI
La démarche pédagogique La démarche pédagogique de Cap Mat h comprend troi phae : Phae d apprentiage Le principaux apprentiage de Cap Mat h ont mi en place à partir de ituationproblème. Ce problème ont le plu ouvent propoé collectivement, ou forme orale (le élève ont en phae d apprentiage de la lecture) et à partir de ituation réelle (matériel, jeu). Le Guide de l eneignant où l on trouve la decription détaillée de ce ituation d apprentiage, leur mie en œuvre et leur exploitation, et donc le pivot le paage obligé de la méthode. Le Matériel photocopiable fournit l eentiel du matériel néceaire à la mie en œuvre de ce ituation d apprentiage. Il facilite le travail de l eneignant. Ce apprentiage néceitent l engagement peronnel de chaque élève et la confrontation avec le autre pour échanger et débattre ur le répone obtenue, le procédure utiliée et le erreur qui ont urvenue. Le Guide de l eneignant fournit de indication ur le procédure qui peuvent être mie en œuvre par le élève et celle ur lequelle l eneignant doit attirer leur attention. Il indique le principale erreur qui peuvent apparaître et donne de indication ur l exploitation qui peut en être faite. Phae de ynthèe Pour être identifiée par le élève, le connaiance à retenir doivent faire l objet de moment de ynthèe. Le Guide de l eneignant précie le contenu de ynthèe à faire à l iue du travail de élève, notamment ur ce que le élève doivent retenir du travail qui vient d être réalié. Phae d entraînement Pour être tabiliée et mémoriée, le connaiance doivent enuite être exercée, pui entraînée régulièrement. Le Fichier d entraînement et le upport privilégié du travail peronnel et autonome de l élève. Le exercice, choii par l eneignant, permettent oit de conolider le connaiance nouvellement acquie (exercice d entraînement qui uivent la phae d apprentiage), oit de revenir ur de connaiance plu ancienne (exercice de réviion propoé dan chaque éance). La Banque de problème offre de nombreux énoncé permettant aux élève de réinvetir leur acqui et d être placé en ituation de recherche. Certaine activité du CD-Rom peuvent également être utiliée dan ce moment d entraînement ou de réviion. VII
La préparation et la réaliation de bilan Bilan à la fin de chaque unité : Tout au long de apprentiage, il et néceaire de avoir comment le connaiance travaillée récemment ont été comprie afin de pouvoir réagir au plu vite, i néceaire. C et là que réide l une de originalité de Cap Mat h. À la fin de chaque unité, un bilan de nouveaux apprentiage et propoé. Il et d abord préparé avec l eneignant, à l aide de upport de la page du fichier «Je prépare le bilan», le élève étant invité à commenter chaque planche, à évoquer l activité correpondante et à exprimer ce qu il pene avoir retenu du travail réalié. C et aui l occaion pour l eneignant de reformuler l eentiel de ce qu il fallait retenir. Dan un deuxième temp, le élève traitent le exercice d évaluation de la page «Je fai le bilan». À partir de leur répone, l eneignant peut compléter un bilan de compétence pour chaque élève, en utiliant le fiche du matériel photocopiable. Il peut également organier le remédiation utile à certain élève (cf. Différenciation et aide aux élève). Bilan à la fin de chaque période : Il et également important, toute le 3 unité, de faire un bilan exhautif de acqui de élève et de difficulté peritante. C et ce qui et propoé dan le matériel photocopiable au moyen de 5 bilan périodique («Je fai le point»). Le trace écrite, le dico-math L identification de élément de connaiance important et leur mémoriation ont parfoi difficile pour de jeune élève. La méthode Cap Mat h inite ur le phae d élaboration (réolution de problème), de mie en évidence par l eneignant (ynthèe), et d exercice (entraînement et réviion). Il et également néceaire que le élève puient e référer à de écrit, provioire ou permanent, qui permettent d organier le connaiance ur de upport écrit qui leur ont acceible, ce que le eneignant appellent ouvent le «trace écrite». Celle-ci peuvent prendre pluieur forme. De écrit provioire peuvent, au CP, reter incrit au tableau ou ur une affiche quelque jour pour que le élève puient y référer lor de éance qui uivent une phae conacrée à un nouvel apprentiage. Nou propoon aini que, dan la foulée de l introduction du ymbolime de première opération (igne +, et =), de première égalité oient recenée dan un répertoire au fur et à meure de leur production. À un certain moment, la quetion era poée d organier et de compléter ce premier répertoire appelé alor à être remplacé par un autre. D autre écrit ont detiné à être conervé de façon plu durable pour être conulté par le élève. Il peuvent alor donner lieu à de affichage facilement acceible pour le élève. Il peut agir, par exemple, d aider à retrouver le tracé d un chiffre, le nom d une figure, la référence d une unité de longueur (cm ou m) Ce affichage ne doivent cependant pa être trop nombreux pour éviter que le élève ne y perdent. Il peuvent être complété, dè le CP, par de trace écrite individuelle conignée dan un cahier. Le dico-math, que nou propoon pour cette nouvelle édition de Cap Mat h, vient en complément de ce divere trace écrite. Il doit habituer l élève à e reporter à une ource de reneignement ûre chaque foi qu il a oublié le en d un mot ou qu il veut retrouver une méthode, un procédé appri mai oublié (ouvent partiellement). Au départ, et notamment avec de jeune élève, il et utilié avec l aide de l eneignant et ou on impulion. Progreivement, il ont invité à y avoir recour de manière plu autonome. Évidemment, l eneignant rete libre d en autorier ou pa l uage en fonction de l activité propoée à e élève. Le fichier d entraînement de Cap Mat h ne comporte pa d élément de cour : on n y trouve pa de «leçon». La mie en place de apprentiage relève eentiellement d activité propoée dan le guide de l eneignant. Cela n enlève rien à la néceité de garder de trace de ce qui a été appri. VIII
La différenciation et l aide aux élève Tou le élève ne progreent pa au même rythme et n empruntent pa le même chemin de compréhenion. Cap Mat h propoe pluieur moyen pour prendre en compte ce phénomène. Différenciation par le mode de réolution Dan la plupart de ituation-problème propoée aux élève, pluieur mode de réolution correct ont poible. La poibilité donnée à l élève de traiter une quetion, en utiliant le moyen qui correpondent le mieux à a compréhenion de la ituation et aux connaiance qu il et capable de mobilier, contitue le moyen privilégié de la différenciation. Il permet à l élève de engager dan un travail an la crainte de ne pa utilier le eul mode de réolution attendu par l eneignant. À partir de là, il convient d avoir le ouci d amener le élève à faire évoluer leur mode de réolution ver de mode plu élaboré. Cap Mat h fournit de indication ur le moyen d atteindre cet objectif. Différenciation et aide par l aménagement de ituation Le plu ouvent, dan la phae de mie en place de notion, le ituation propoée le ont dan de condition identique pour tou le élève. À l iue de ce travail, il peut être néceaire de reprendre, avec toute la clae ou avec quelque élève, certaine activité, en adaptant de donnée ou en autoriant ou non le recour à tel ou tel matériel (file numérique, calculatrice ). Le fiche Différenciation reprennent de exercice du Fichier, avec la poibilité pour l eneignant de choiir certaine donnée. Ce fiche, diponible ur le ite www.capmath-hatier.com, permettent aini une adaptation de exercice dan la perpective d une aide appropriée aux beoin et aux poibilité de chacun. Différenciation et aide par le choix de tâche propoée À d autre moment, il et néceaire d apporter une aide particulière à un élève ou à un groupe d élève en difficulté ur une connaiance particulièrement importante pour la uite de apprentiage. On peut alor propoer à ce élève de reprendre de ituation déjà rencontrée ou bien de travailler, avec l aide de l eneignant ou d un élève expert, ur de nouvelle activité fournie dan le Guide de l eneignant. Ce dernière ont propoée à la fin de chaque unité ou le terme d Activité complémentaire. Pendant ce temp, le autre élève peuvent travailler, en autonomie, ur d autre Activité complémentaire ou ur de problème plu difficile choii dan la Banque de problème du Fichier. Préparer l entrée dan une ituation d apprentiage Certain élève ont beoin de davantage de temp pour approprier un matériel, comprendre une conigne... Il et poible, pour eux, de prévoir, avant la éance, un moment où il ont l occaion de e familiarier avec ce qui era le contexte de la ituation (découverte et manipulation du matériel, appropriation d une conigne, commentaire ur un upport...). Lorqu il eront confronté à la tâche préentée à toute la clae, il pourront alor avoir un rôle actif et comprendre plu facilement le quetion poée. IX
Le priorité dan le apprentiage La réolution de problème La réolution de problème et l activité mathématique par excellence. C et à a capacité à utilier ce qu il ait pour venir à bout d un problème qu on reconnaît véritablement qu un élève maîtrie ce qu il a appri. Or on contate, dan la plupart de évaluation officielle, de faiblee chez trop d élève dan ce domaine. D où l importance qui et donné à ce travail dan Cap Mat h, dan troi direction : partir d un problème pour apprendre une nouvelle connaiance : cela permet à l élève de comprendre à quoi elle ert, quel et l intérêt de la maîtrier ; utilier le connaiance acquie dan de problème nouveaux : cela permet d en renforcer le en et d étendre on champ d utiliation ; développer le capacité à chercher : exploiter de information, explorer une pite et la remettre en caue, aider d un dein, faire de petite déduction, expliquer pourquoi une répone convient ou ne convient pa ont autant de compétence que l enfant peut commencer à développer trè tôt. Cette approche incrit également dan la perpective de la compétence du programme relative à l autonomie et l initiative, viant à développer chez l élève le capacité à : écouter pour comprendre, interroger, répéter, réalier un travail ou une activité ; échanger, quetionner, jutifier un point de vue ; travailler en groupe, engager dan un projet ; e repréenter on environnement proche, y repérer, y déplacer de façon adaptée. Toute cette phae de recherche et élaborée ur une feuille à part ou le cahier de brouillon. Cela permet à l élève de e entir libre d explorer une pite, pui une autre, an e oucier de faire «jute» et «propre» du premier coup avant même d avoir commencé à chercher. Le calcul mental Être à l aie avec le nombre, maîtrier le table d addition, avoir établir un réultat en réfléchiant (on parle de calcul réfléchi), tout cela et eentiel pour e débrouiller dan le problème comme pour aborder de nouveaux apprentiage. D où le oin apporté, tout au long de l année, à faire travailler le élève ur de figuration variée de nombre, à aborder de manière progreive le table d addition, et à propoer une pratique régulière du calcul réfléchi, en le aidant à élaborer de tratégie appropriée. Le travail ur le réultat qui doivent être diponible immédiatement concerne notamment au CP le répertoire additif et la capacité à donner rapidement le omme, le différence et le complément relatif à ce qu on a coutume d appeler le «table d addition». Il fait l objet d un entraînement quotidien, étendu en cour d année au calcul ur le dizaine entière. Le calcul réfléchi fait, lui aui, l objet d un entraînement régulier. Le travail ur la compréhenion Le programme inite ur cet apect du travail mathématique lorqu il mentionne que «L acquiition de mécanime en mathématique et toujour aociée à une intelligence de leur ignification». On ait en effet que de nombreue difficulté dan le apprentiage mathématique ont due à une perte du «fil de la compréhenion» qui e produit lorqu un élève manipule de ymbole ou de règle an avoir aucune maîtrie de ce qui permet d en expliquer le fonctionnement. Cap Mat h accorde une grande importance à cette quetion. C et ce qui jutifie par exemple le travail important ur la maîtrie de la numération décimale de poition. C et aui ce qui ou-tend l organiation piralaire de apprentiage dan Cap Mat h où une même notion et reprie pluieur foi dan l année à de niveaux différent d approfondiement, permettant que ce qui n a pa été compri la première foi puie l être à un autre moment dan l année. X
La tranition Grande Section CP Le élève qui arrivent au CP ont acqui à l école maternelle de connaiance ur le nombre, l epace, le forme... L eneignant de CP e doit d évaluer et de prendre en compte ce acqui pour aurer la meilleure continuité poible dan le apprentiage. Évaluation initiale à l entrée au CP Un dipoitif et propoé dan le Fichier pour évaluer le connaiance numérique de élève à leur entrée au CP. Cette évaluation peut être réaliée ur pluieur jour, à partir de indication fournie dan le Guide de l eneignant. Première unité La première unité, oit environ 2 à 3 emaine, et conacrée à reprendre, enraciner et approfondir le connaiance mie en place en Grande Section. Le élève arrivent à l école élémentaire avec de connaiance qu il ont acquie à l école maternelle et dan leur environnement ocial. Celle-ci doivent être prie en compte, même i elle ont imparfaite et différente d un élève à l autre. Le début du cycle 2 et, en partie, conacré à repérer, organier, tabilier et enrichir ce connaiance. Rien ne jutifie, par exemple, une étude de nombre un par un. Le première activité ont donc d emblée ituée dan un domaine numérique relativement étendu. San formaliation prématurée, le travail propoé concerne notamment : la maîtrie de la uite de nombre juqu à 10 pui juqu à 16 : notamment la comptine orale ; l utiliation de nombre pour exprimer de quantité et en garder la mémoire ; la maîtrie de différent moyen de dénombrement : reconnaiance immédiate de petite quantité ou de quantité organiée (dé, doigt ), comptage un par un ; la maîtrie de l écriture de chiffre ; la conolidation de compétence dan le domaine du repérage dan différent epace : epace de la clae ou de la cour, epace de la feuille de papier, epace quadrillé. Familiariation avec le Fichier et mie en place de habitude de travail Cette première unité et également detinée à mettre en place, avec le élève, le habitude de travail qui eront utiliée tout au long du CP : implication individuelle ou en équipe dan de ituation-problème ; implication dan le moment d explication et de débat entre élève ; utiliation du Fichier d entraînement : organiation d une page, conigne, peronnage. Il et fort poible que cette unité, prévue pour durer 2 emaine, étende en réalité ur une période plu longue. Il n y a pa lieu de en alarmer. Le habitude de travail mie en place permettront une getion plu aiée par la uite. XI
Comment utilier la banque de problème? La banque de problème et contituée de 5 érie comportant chacune pluieur problème. Pour chaque érie, le problème ont varié : il ne relèvent pa tou du même domaine mathématique, de manière à favorier la réflexion quant au choix de procédure de réolution ; le donnée ont fournie par de upport diver : dein, texte, chéma. Comment faire travailler le élève? Chaque élève ne traitera an doute pa l enemble de problème. Le choix, l utiliation et la mie en œuvre de ceux-ci ont laié à l initiative de l eneignant. Certain problème peuvent être propoé en réolution individuelle. D autre ont réolu en équipe, oit directement, oit aprè une phae de réolution individuelle. La recherche e fait ur une feuille de brouillon. Enuite, le élève peuvent conigner leur olution ur cette feuille ou, parfoi, directement dan le fichier. Il agit de commencer à le préparer à rédiger leur répone en dehor d un fichier. Faut-il donner de explication complémentaire? Pour le première érie de problème, de explication complémentaire ont élaborée collectivement : ur la ignification de information fournie et la compréhenion de la quetion ; ur ce qu il faut faire : utilier une feuille pour chercher, répondre à la quetion poée Progreivement, le élève doivent pouvoir travailler de façon plu autonome. Comment exploiter le production de élève? Ce production ont tout d abord une ource d information pour l eneignant. Dan la meure où la variété de problème poé dan chaque érie le rend «indépendant» de apprentiage récent, il et intéreant d oberver quelle connaiance le élève mobilient pour chaque problème. C et un bon indicateur à la foi de la maîtrie qu il ont de ce connaiance, et urtout, du en qu il leur donnent. Par ailleur, à une correction au cour de laquelle erait donnée la «bonne» (ou la meilleure) olution, on préférera une mie en commun de différente production pour dicuter de la validité de procédure utiliée, pour identifier le erreur et pour mettre en relation de olution différente. Ce travail ur le olution de élève et un de moyen de le faire progreer, en montrant qu il y a rarement une eule façon de réoudre un problème et en leur permettant de approprier d autre olution que celle qu il ont utiliée. Comment différencier? Le premier moyen de différencier et de faire comprendre et accepter par le élève qu un problème peut être réolu en élaborant une olution peronnelle et non en eayant de deviner celle qui et attendue par l eneignant. Une autre pite et offerte par la poibilité de reprendre certain problème en le rendant «plu facile» ou «plu difficile». L eneignant peut le réalier facilement en reproduiant un énoncé et en remplaçant certaine donnée par d autre mieux adaptée aux poibilité et aux beoin de chaque élève. Cette pite ne devrait, en général, être utiliée qu aprè que tou le élève ont eayé de réoudre le problème tel qu il ont propoé. XII
Quelle connaiance ont ollicitée pour la réolution de différent problème? Le principale connaiance ou compétence qui peuvent être mobiliée pour chaque problème ont réumée dan le tableau ci-deou. Banque 2 : Le bon partage Dénombrement Banque 1 : Le bougie d anniveraire 1 X Comparaion de quantité ou de nombre Calcul (addition, outraction, complément) 2 X X 3 X X 4 X X 5 X X Reconnaiance de forme et repérage ur quadrillage Stratégie de recherche 6 X X X 7 X X X 8 X X X Banque 2 : Le bon partage 1 X X 2 X X 3 X X X 4 X X X X 5 X X X 6 X X X Banque 3 : Le carré bicolore* 1 X 2 X 3 X X 4 X X Banque 4 : Avec la monnaie 1 X 2 X 3 X X 4 X X Banque 5 : Fetival de problème 1 X 2 X X 3 X 4 X 5 X X 6 X X 7 X X * Pour cette érie, un matériel et fourni dan le fiche 53 et 54. De plu, de problème du même type ont propoé en activité complémentaire (dan l unité 9). XIII
Principaux apprentiage pour le 15 unité Problème / Organiation de donnée Nombre et numération Calcul Epace et géométrie Grandeur et meure Unité 1 Obtenir une quantité identique à une autre Nombre et quantité (apect cardinal) Repérage dan un epace connu Unité 2 Utilier un tableau à double entrée Comparaion de quantité et de nombre Repérage dan un epace connu Unité 3 Banque de problème 1 Expreion de nombre de 11 à 19 avec 10 Ajout et complément (juqu à 10) Décompoition de nombre (avec 1, 2 et 5) Repérage dan l epace, utiliation d un plan Unité 4 Suite de nombre (juqu à 39) Double et moitié Addition et outraction (igne +,, =) Repérage ur quadrillage Unité 5 Nombre et repérage de poition (apect ordinal) Dénombrer en appui ur dix, vingt, trente Ajout et retrait de petit nombre Reconnaiance de figure plane (carré, rectangle, triangle) Comparaion de longueur Unité 6 Banque de problème 2 Répertoire additif (réultat juqu à 10) Décompoition de nombre (avec 1, 2 et 5) Comparaion de longueur Unité 7 Suite de nombre (juqu à 59) Répertoire additif (aide à la mémoriation) Meure de longueur par report d une unité XIV
Problème / Organiation de donnée Nombre et numération Calcul Epace et géométrie Grandeur et meure Unité 8 Problème de groupement (par 2 et par 5) Valeur poitionnelle de chiffre Meure de longueur avec une règle graduée Calendrier (date et durée) Unité 9 Banque de problème 3 Valeur poitionnelle de chiffre Repérage ur quadrillage Monnaie en euro Unité 10 Double et moitié Calcul réfléchi (appui ur le double, appui ur 5 ou 10) Répertoire additif (réultat juqu à 18) Meure de ligne briée Unité 11 Tableau de nombre (juqu à 99) Écriture de nombre en lettre (juqu à 59) Calcul ur le dizaine entière Reproduction de figure ur quadrillage Unité 12 Banque de problème 4 Comparaion de nombre (juqu à 99) Addition de 2 nombre (calcul réfléchi, approche de la technique opératoire) Reconnaiance et reproduction de figure plane (carré, rectangle, triangle) Unité 13 Lecture et écriture de nombre (de 60 à 79) Addition : calcul poé Triangle : reconnaiance, caractériation Comparaion de mae Unité 14 Lecture et écriture de nombre (de 80 à 99) Calcul réfléchi de différence Monnaie Lecture de l heure Unité 15 Banque de problème 5 Calcul réfléchi de différence (approche d une technique) Décompoition de nombre avec 10, 20, 50 Contruction et reproduction de olide (cube, pavé) XV
Réolution de problème Organiation et getion de donnée La réolution de problème occupe une place importante dan le activité propoée dan Cap Mat h, permettant notamment le développement, chez le élève, d une penée logique (chercher, abtraire, raionner) et de leur capacité à devenir autonome et à prendre de initiative (7 e compétence du ocle commun). C et aui l occaion pour le élève, dan tou le domaine de mathématique, de renforcer la maîtrie de leur connaiance, dan de ituation variée, proche de leur intérêt. La maîtrie de principaux élément de mathématique acquiert et exerce eentiellement par la réolution de problème, notamment à partir de ituation proche de la réalité (ocle commun). Le capacité uivante, d ordre méthodologique, ont particulièrement travaillée, dan toute le unité et dan le banque de problème : organier le donnée d un problème en vue de a réolution ; utilier e connaiance pour traiter de problème ; produire une olution originale dan un problème de recherche ; mettre en œuvre un raionnement imple ; formuler et communiquer a démarche ; contrôler et dicuter la pertinence ou la vraiemblance d une olution ; identifier de erreur dan une olution en ditinguant celle qui ont relative au choix d une procédure de celle qui interviennent dan a mie en œuvre. De problème imple lié à la vie courante de élève ont ytématiquement propoé, oralement et par écrit dè l unité 7. La getion de donnée : outre le capacité relative à la réolution de problème, la capacité à «lire et compléter un tableau dan de ituation concrète imple» et particulièrement travaillée en unité 2. La réolution de problème et préente dan la plupart de activité propoée. Elle et évidemment l enjeu principal de apprentiage, une connaiance n étant réellement maîtriée que lorqu elle peut être mobiliée par l élève, de façon autonome, pour traiter de problème. Elle et aui le moyen de provoquer ce apprentiage, de leur donner du en. 1 Choiir de ituation qui permettent de développer de tratégie de recherche S engager dan la réolution d un problème n et pa une attitude pontanée de élève à leur arrivée au CP. Il ont parfoi tendance à attendre de indication ur la démarche à uivre avant de e lancer dan un travail. Il et donc néceaire, par l action, de leur faire comprendre ce que l on attend d eux en mathématique : développer un comportement de «chercheur», de créativité mathématique, prendre de initiative, accepter la reponabilité de la réolution du problème, argumenter à propo de la validité d une olution Travailler avec du matériel et favorier l anticipation La plupart de ituation d apprentiage néceitent l utiliation de matériel. Il et en effet plu facile pour un jeune élève de approprier un problème lorque celui-ci et poé à propo d un matériel effectivement préent dan la clae. La compréhenion de ituation décrite dan un fichier et ource de difficulté, XVI
dan la meure où l élève ne maîtrie pa encore la prie d information dan un texte. Mai i le élève peuvent réoudre le problème poé à l aide du matériel, il ne font pa de mathématique. C et la néceité d avoir à contruire la répone, an dipoer du matériel, qui conduit à l activité mathématique. Ce n et qu aprè débat entre le élève que la olution pourra être validée à l aide d une manipulation. Entretenir le connaiance et en permettre l utiliation autonome Une foi élaborée dan un contexte matériel, le connaiance doivent être exercée, entretenue et utiliée. Le travail peronnel dan le Fichier d entraînement et alor néceaire. La Banque de problème, ituée en fin de fichier, permet de diverifier le contexte d utiliation de connaiance et de rendre l élève plu autonome dan cette utiliation. En effet, que ce oit dan un problème de recherche ou de réinvetiement de connaiance acquie, l élève doit pouvoir être placé en ituation de déterminer lui-même ce qui et utile pour le réoudre. Si le problème vient toujour en application immédiate de connaiance étudiée, l élève n et plu autonome dan la réolution. Il repère mécaniquement qu il faut utilier ce qui vient d être travaillé. 2 Utilier le calcul mental pour réoudre de problème La tradition de la réolution de problème et marquée par la place de énoncé écrit. Il ne agit pa d en nier l importance. Mai d autre mode de préentation de ituation doivent être utilié : ou forme expérimentale, avec l aide d illutration ou ou forme orale. À cet égard, le moment de calcul mental jouent un rôle particulier. C et ce qui nou a conduit à renforcer le travail conacré à ce type d activité (en général à deux reprie pour chaque unité de travail, à partir de l unité 7). Le calcul mental, un moyen et une aide pour la réolution de problème Le problème propoé en calcul mental portent ur de nombre bien connu de élève qui ne le effraient pa. Il mobilient donc plu facilement leur attention ur le raionnement à mettre en œuvre et ur le en de opération ollicitée. De plu, leur préentation orale évite bon nombre de difficulté que certain élève rencontrent dan le décodage d un texte et permet donc un accè plu rapide au travail mathématique. Dan la vie quotidienne, le calcul mental et ouvent utilié pour prendre une déciion ou effectuer un choix. C et donc un moyen ordinaire de calculer pour répondre à de problème que l on doit réoudre. 3 Travailler le raionnement Réoudre un problème comporte deux face complémentaire : la première e itue du côté de l invention, de l imagination (explorer une voie originale, faire de eai, remettre en caue ce qui a été fait ou l ajuter ), la econde du côté du raionnement (être méthodique, déduire une information nouvelle d une information connue ). Dè leur plu jeune âge, le élève doivent être confronté à ce deux apect du travail mathématique. Le premier et à l œuvre dan beaucoup de ituation nouvelle et dan le «problème pour chercher». Le econd doit également être travaillé. Apprendre à organier et à déduire Deux type de problème ont propoé au CP : ceux dan lequel il faut déterminer tou le élément d une collection, en utiliant de critère impoé, par exemple avec 3 peronnage qui peuvent être debout, ai ou couché et porté ou non une caquette ; ceux du type «jeu du portrait» dan lequel il faut trouver un élément d une collection en exploitant le information fournie par le répone à une uite de quetion. XVII
4 Développer le goût de mathématique L intérêt pour l activité mathématique apparaît trè tôt chez certain enfant, mai chez d autre la crainte e manifete également précocement. Permettre aux un de conforter leur intérêt et aux autre de urmonter leur crainte doit également être un de no objectif. Pour un coin mathématique, dan la clae La pratique de jeux mathématique et particulièrement favorable à la réaliation de cet objectif. De jeux peuvent être élaboré à partir de indication fournie dan le activité complémentaire propoée à la fin de chaque unité de travail. Il ont décrit dan le Guide de l eneignant. D autre jeux ont décrit dan le page «Math-magazine» du fichier de l élève. Enfin, certain jeux du commerce (mater-mind, reveri, puiance 4, dame, échec, tangram, cae-tête ) comportent une compoante tratégique trè intéreante pour le développement de capacité d organiation et de déduction. L intallation de ce jeux dan un coin mathématique permet aux élève d y accéder librement ou à de moment choii par l eneignant (par exemple pendant de phae de différenciation). Quelque uggetion peuvent être faite quant à l utiliation du «coin mathématique» Le conigne peuvent être donnée collectivement lorque le jeu et intallé pour la première foi, ou écrite ur une fiche. Le choix de activité peut faire l objet d un uivi par le biai d une fiche ur laquelle chaque élève note par exemple on nom et la date d utiliation du jeu. En fonction de beoin particulier d un élève, l eneignant peut également l orienter ver telle ou telle activité (cette poibilité doit cependant être utiliée avec prudence, pour ne pa dénaturer le «coin mathématique»). XVIII
Nombre et numération Rappel du programme pour le cycle 2 Le élève apprennent la numération décimale inférieure à 1000. Il dénombrent de collection, connaient la uite de nombre, comparent, et rangent. Compétence attendue à la fin du CE1 (maîtrie du ocle commun) L élève et capable de : Écrire, nommer, comparer, ranger le nombre entier naturel inférieur à 1000. Le repère fourni pour organier la progreivité de apprentiage retiennent 3 compétence pour le cour préparatoire : Connaître (avoir écrire et nommer le nombre entier naturel inférieur à 100) ; Comparer, ranger, encadrer ce nombre ; Écrire une uite de nombre dan l ordre croiant ou décroiant. Unité 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Déignation orale et écrite de nombre entier naturel (inférieur à 100) Mettre en relation nombre et quantité (reconnaiance rapide, comptage un par un ) : apect cardinal et de échange par dizaine et centaine l l Mettre en relation nombre et rang dan une lite : apect ordinal Dénombrer de quantité en utiliant de groupement par dizaine Comprendre et déterminer la valeur de chiffre en fonction de leur poition dan l écriture d un nombre Connaître la uite orale de nombre de 1 en 1, de 2 en 2, de 10 en 10 Connaître la uite écrite (en chiffre) de nombre de 1 en 1, de 2 en 2, de 10 en 10 Aocier le déignation chiffrée, orale et littérale de nombre l l l l l l l l l l l l l l l l Ordre ur le nombre entier naturel Comparer, ranger, encadrer de nombre l l apprentiage l réviion XIX
Unité 1 à 3 Quantité et nombre de 1 à 19 Le troi première unité de travail ont conacrée à une conolidation et à un approfondiement de acqui de la Grande Section. À l école maternelle, le élève ont été confronté à un large domaine numérique («au moin juqu à trente», elon le programme). Dan cette perpective, le début d année de CP ne peut pa être retreint à un domaine d étude trop limité, ce qui erait ynonyme de régreion pour la plupart de élève. Nou avon donc choii de travailler, pendant ce 3 unité, ur le domaine de nombre inférieur à 20. Nou propoon d abord de outil permettant de repérer le compétence de chaque élève : connaiance de la comptine numérique, dénombrement et réaliation de quantité d objet, reconnaiance d écriture chiffrée, réolution de problème portant ur le quantité (comparaion, augmentation, diminution ). Le travail vie enuite à tabilier et enrichir ce compétence. Comme dan l édition précédente de Cap Math, cinq point doivent particulièrement retenir l attention pour le début du CP. Faire prendre concience de l utilité de nombre Au cour de cette première étape, le problème propoé conduient le élève à prendre concience de différente utiliation de nombre pour exprimer et mémorier de quantité ou pour le comparer, an avoir à le reproduire. Ce ituation ont fondamentale pour permettre aux élève de donner du en aux nombre. Aurer une bonne maîtrie de la uite orale de nombre juqu à 16, pui juqu à 19 (comptine numérique) Conolider la maîtrie de la uite orale, en particulier dan la zone délicate entre dix et vingt, contitue un objectif important, ce qui uppoe notamment d être capable de : la réciter à partir de un ; la réciter d un nombre fixé à un autre nombre fixé ; la réciter «en reculant» ; dire le nombre qui uit ou qui précède immédiatement un nombre donné. Ce compétence ont évidemment eentielle pour le activité de dénombrement, mai également pour le calcul. Le travail conitant à mettre en relation l ajout ou le retrait d un objet dan une collection avec le paage au uivant ou au précédent dan la uite de nombre et, de ce point de vue, eentiel. Dan un récent Rapport de ynthèe minitère de la Recherche, février 2002, le chercheur P. Barrouillet et V. Camo oulignent que «l acquiition de la chaîne numérique verbale et on uage dan le proceu de quantification et déterminante pour le apprentiage arithmétique et mathématique ultérieur». 1 Conolider différente tratégie de dénombrement Certaine quantité (de un à quatre ou cinq) peuvent être reconnue par perception globale, an recour au comptage. Le élève doivent être entraîné à ce type de reconnaiance, tout comme à la capacité de montrer rapidement un nombre compri entre un et dix à l aide de doigt. Pour exprimer une quantité à l aide d un nombre, pluieur moyen ont donc développé : reconnaiance immédiate pour le trè petite quantité (juqu à quatre), quelle que oit la dipoition de objet ; reconnaiance immédiate pour de collection organiée (contellation du dé, doigt) ; comptage un par un (procédure qui préente encore de difficulté pour certain élève : organier le comptage pour ne pa oublier d objet ni compter deux foi le même, avoir compri que le dernier nombre dit caractérie la quantité d objet). Reconnaître le écriture chiffrée de nombre La reconnaiance de écriture chiffrée (au moin pour le nombre juqu à 9) et déjà aurée pour certain élève alor qu elle rete délicate pour d autre. Une aide et un entraînement ont donc néceaire. L utiliation de la file numérique (matérialiation de la uite écrite) permet de faire le lien entre déignation orale et écriture chiffrée de nombre, l élève pointant ucceivement chaque nombre de la file (1, 2, 3 ) en même temp qu il énonce la uite orale (un, deux, troi ). 1. Une verion courte de ce rapport et publiée dan M. Kail, Michel Fayol, Le cience cognitive et l école, PUF, 2003. XX