DM N 1 - Révisions optique, mécanique, électricité - PSI* À rendre le 14 septembre à 8 h année 2018/2019 Ce devoir comporte 7 pages et deux parties totalement indépendantes. Un soin particulier devra être apporté à la justification des affirmations ou des raisonnements utilisés. Les applications numériques devront obligatoirement correspondre à un résultat décimale accompagné d une unité correcte (sauf pour une grandeur adimensionnée autre qu un angle). Par exemple : Pour une longueur, L = 3, 33.10 3 m est un résultat acceptable mais L = 1 3 cm ne l est pas. Pour la vitesse du son dans l air, c = 340 m.s 1 est un résultat acceptable mais c = 340 m ne l est pas. On prendra garde à fournir un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données de l énoncé. 1
1 Fibre optique à saut d indice Une fibre optique à saut d indice, représentée sur la figure 1, est composé d un cœur cylindrique en verre d axe (Ox), de diamètre 2a et d indice n, entouré d une gaine optique d indice n 1 légèrement inférieur à n. Les deux milieux sont supposés homogènes, isotropes et transparents. Un rayon situé dans le plan (Oxy) entre dans la fibre au point O avec un angle d incidence θ. Afin de ne pas confondre l angle i d incidence sur la gaine avec le nombre complexe imaginaire pur de module 1, on notera ce dernier j tel que j 2 = 1. Les rayons lumineux sont supposés issus d une radiation monochromatique de fréquence f, de pulsation ω et de longueur d onde λ dans le milieu constituant le cœur. Figure 1 Fibre optique en coupe 1. Rappeler rapidement en quoi consiste le phénomène de réflexion totale. 2. Les différents angles utiles sont représentés sur la figure 1. À quelle condition sur i, angle d incidence à l interface cœur/gaine, le rayon reste-t-il confiné à l intérieur du cœur? On note i l l angle d incidence limite. 3. Montrer que la condition précédente est vérifiée si l angle d incidence θ est inférieur à un angle limite θ l. Donner l expression de l ouverture numérique ON = sin θ l de la fibre en fonction de n et n 1 uniquement. 4. Donner la valeur numérique de ON pour n = 1, 50 et n 1 = 1, 47. On considère une fibre optique de longueur L. Le rayon entre dans la fibre avec un angle d incidence θ variable compris entre 0 et θ l. On note c la vitesse de la lumière dans le vide. 5. Pour quelle valeur de l angle θ, le temps de parcours de la lumière dans la fibre est-il minimal? maximal? Exprimer alors l intervalle de temps δt entre le temps de parcours minimal et maximal en fonction de L, c, n et n 1. 2
6. On pose 2 = 1 ( n 1 n ) 2. On admet que pour les fibres optiques 1. Montrer que, dans ce cas, on a : δt = nl c On conservera cette expression de δt pour la suite de cette deuxième partie. Figure 2 Impulsion lumineuse On injecte à l entrée de la fibre une impulsion lumineuse d une durée caractéristique t 0 = t 2 t 1 formée par un faisceau de rayons ayant un angle d incidence compris entre 0 et θ l. La figure 2 représente l allure de l amplitude A du signal lumineux en fonction du temps t. 7. Reproduire la figure 2 en ajoutant à la suite l allure du signal lumineux à la sortie de la fibre. Quelle est la durée caractéristique t 0 de l impulsion lumineuse en sortie de fibre? Le codage binaire de l information consiste à envoyer des impulsions lumineuses (appelées «bits») périodiquement avec une fréquence d émission F. 8. En supposant t 0 négligeable devant δt, quelle condition portant sur la fréquence d émission F exprime le non-recouvrement des impulsions à la sortie de la fibre optique? Pour une fréquence F donnée, on définit la longueur maximale L max de la fibre optique permettant d éviter le phénomène de recouvrement des impulsions. On appelle bande passante de la fibre le produit B = L max F. 9. Exprimer la bande passante B en fonction de c, n et. 10. Calculer la valeur numérique de et de la bande passante B (exprimée en MHz km) avec les valeurs de n et n 1 données dans la question 4. Pour un débit d information de F = 100 Mbits.s 1 = 100 MHz, quelle longueur maximale de fibre optique peut-on utiliser pour transmettre le signal? Commenter la valeur de L max obtenue. 3
O Ressort x eq x eq + ξ(t) Masse m x Figure 3 Oscillations non amorties 2 Oscillations libres et forcées On dispose d une masse m = 50 g et d un ressort à spires non jointives. La masse du ressort est négligeable, sa constante de raideur est k = 12, 5 N.m 1 et sa longueur à vide l 0 = 30 cm. La masse est constituée par un cylindre homgène en laiton de hauteur h = 2 cm et de rayon R = 1 cm. L accélération de la pesanteur a pour intensité g = 10 m.s 2. Le référentiel d étude est celui du laboratoire et est supposé galiléen. 1. Le ressort est accroché par son extrémité supérieure O à un point fixe. La masse est suspendue à l autre extrémité du ressort (figure 3). (a) Déterminer leq, la longueur du ressort à l équilibre. AN. (b) En déduire l abscisse xeq du centre de masse du cylindre à l équilibre. AN. (c) Déterminer l équation différentielle qui régit le déplacement ξ(t) du cylindre par rapport à sa position d équilibre. Un dispositif non représenté permet d enregistrer les variations de ξ en fonction du temps. La figure 4 fournit trois courbes obtenues pour diverses conditions initiales. (d) Ces courbes sont-elles en accord avec le mouvement attendu? (e) Préciser avec le minimum de calcul, les conditions initiales (à t = 0) pour les trois cas envisagés. 2. Afin d étudier l influence d un frottement fluide, la masse est plongée dans un liquide visqueux de masse volumique µ = 1 130 kg.m 3. La masse est constamment immer- 4
Courbe 3 Courbe 2 Courbe 1 4 2 ξ (cm) 0 2 4 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 t (s) Figure 4 Enregistrements des oscillations non amorties gée. Le liquide visqueux exerce sur la masse une force de frottement, proportionnelle à la vitesse de la masse (figure 5). O x eq x eq + ξ(t) x Figure 5 Oscillations amorties (a) Déterminer la nouvelle valeur de la position x eq d équilibre. 5
On montre que l équation différentielle du mouvement est donnée par : m d2 ξ dt 2 + β dξ dt + kξ = 0 (b) On souhaite obtenir un régime pseudo-périodique. Comment faut-il choisir β? On suppose qu on écarte la masse de "A" par rapport à la position d équilibre et qu on la lâche sans vitesse initiale. La solution ξ(t) est de la forme : ξ(t) = A exp ( λt) [cos ωt + b sin ωt] (c) Donner l expression de la pseudo-période T et de λ en fonction de β, m et ω 0 = k m. On enregistre le mouvement de la masse avec le même système que précédemment. On obtient ainsi le portrait de phase de la figure 6. dξ dt (cm.s 1 ) 60 40 20 0 20 40 60 6 4 2 0 ξ (cm) 2 4 6 Figure 6 Portrait de phase des oscillations amorties (d) Déterminer le décrément logarithmique δ à partir du portrait de phase et en déduire la valeur de β. On rappelle que : δ = 1 n ln ξ(t) ξ(t + nt ) 3. Oscillations forcées, analogie électromécanique. Pour étudier le régime sinusoïdal forcé du système masse ressort précédent, on peut forcer le mouvement de l extrémité O à l aide d un système bielle manivelle. 6
(a) Montrer que si le mouvement de O correspond à : x O (t) = a cos ωt alors le mouvement de la masse est régit par l équation différentielle : Pour la suite, on prendra β = 0, 5 S.I. m d2 ξ dt 2 + β dξ + kξ = ka cos ωt dt Plutôt que l étude mécanique, on étudie un analogue électrique formé par un circuit RLC série alimenté par un générateur de tension sinusoïdal e(t) = E 0 cos ωt. On considère donc le schéma électrique ci-dessous : i(t) R L e(t) = E 0 cos ωt C q(t) u c (t) (b) Déterminer l équation différentielle suivie par q. (c) Préciser l analogie électromécanique à l aide d un tableau de correspondance. On fixe R = 10 Ω. (d) Quelles valeurs faut-il imposer à L et C pour que le système électrique ait les mêmes caractéristiques que le système mécanique? Fin du devoir 7