Cours Cours T-3 TSI1 TSI2 Résistance des matériaux X Période Torsion 1 2 3 4 5 Cycle 1 : Alimenter Moduler - Transmettre Durée : 4 semaines X ANALYSER Identifier les contraintes, les déformations et les sollicitations d un solide Les sollicitations en torsion sont celles qui permettent le dimensionnement des arbres de transmission. Figure 1 : arbres de transmission dans une boite de vitesse automobile Les essais de torsion permettent de caractériser le comportement du matériau au cisaillement. Seules les poutres à section circulaire permettent d'obtenir une résolution analytique par la rdm. Méthode de résolution d'un problème de torsion pure MODELISER Choisir un modèle de solide (indéformable ou déformable) en fonction de l'objectif visé 1) On schématise le problème de résistance de matériau (appui, appui-simple, encastrement). 2) On détermine les actions de liaison par application du PFS à la poutre : théorème de la résultante : XA=0 et YA=0 y" A B. x" théorème des moments au point faisant intervenir le plus d'inconnues ici = Cette étape est inutile pour une poutre uniquement encastrée d'un côté car on isole la partie sans encastrement à l'étape suivante. MODELISER Déterminer le torseur de cohésion dans un solide Associer un modèle de contraintes à l état de sollicitation 3) Déterminer le torseur de cohésion à chaque tronçon de la poutre (un dessin du tronçon isolé est fortement recommandé) : y" x G B. x" { (h)} = { ()} L ou { (h)} = { ()} o identifier la nature de la sollicitation torsion pour une poutre de direction : { ()} =,!",#",$" o tracer (si nécessaire) l'évolution des composantes du torseur de cohésion en fonction de la position x du centre G de la section afin de déterminer la section la plus sollicitée. Mt x Remarque : la torsion est rarement pure mais le problème peut être traité comme une torsion pure (on ajoute les contraintes et déformations de chaque sollicitation pure dans un deuxième temps, car dans le domaine élastique, le comportement est linéaire). Lycée Ferry de Cannes Page 1 sur 5 TSI2
RESOUDRE Déterminer la répartition des contraintes dans une section droite Vérifier la résistance mécanique d une poutre droite Déterminer le coefficient de sécurité par rapport aux exigences du cahier des charges fonctionnel 4) Résoudre le problème de résistance ou de déformation en torsion Résistance de la poutre en TORSION Contrainte de cisaillement (hyp : poutre, Saint Venant, Bernoulli, petit déplacement) : τ =, -.. o τ : contrainte de cisaillement dans la section en Pa (ou MPa) o Mt : moment de torsion de la poutre au point G en N.m, o Io moment quadratique polaire ( Io = π.d4 32 pour un disque) en m4, o r rayon du point dans la section (0 9 r 9 ; ) en m, < o ou /0. (module de torsion) en m3 (dépend de la forme de la section). - Critère de résistance au cisaillement : τ >?@ 9 A B C.D o τ >?@ : contrainte de cisaillement maximum dans la section en Pa (ou MPa), o Rg ou τ E : limite élastique au cisaillement (avec Rg Re/2), o k : coefficient de concentration de contrainte (k=1 en absence de variation de section), o s : coefficient de sécurité (s=1 par défaut) /0 Déformation de la poutre en torsion : F = HI G J.KL o α : angle de torsion de la poutre en rad, A o L : longueur de la poutre (Φ = O P angle unitaire de torsion) o Mt : moment de torsion de la poutre au point G en N.m, o G : module d'élasticité transversal en Pa (acier G=80 GPa), o Io moment quadratique polaire ( Io = π.d4 m 4. 32 pour un disque) en Figure 2 : paramétrage de la déformée M' M α Parfois (rarement), on souhaite déterminer l'angle de cisaillement (par exemple lors d'un essai de torsion afin de déterminer la loi de Hooke du matériau) : Relation entre les angles en torsion : = Ṙ. α o : angle de cisaillement en rad, o r : rayon du point considéré dans la section droite, o L : longueur de la poutre considérée, o α: angle de torsion de la poutre en rad, Références : "Mécanique des systèmes et des milieux indéformables" de L.Chevalier Edition Ellipses "Mécanique 2" de P. Agati Chez Dunod Base de donnée des matériaux : CesEdupack Lycée Ferry de Cannes Page 2 sur 5 TSI2
Annexe 1 : déformations en torsion Les déformations sont mesurées en comparant la rotation des 2 parties extrêmes de la poutre α ou en mesurant la déformation d'une génératrice. L'angle de torsion de la poutre est l'angle α (algébrique). Cet angle permet de caractériser la déformation de l'arbre dans les problèmes de torsion où le positionnement angulaire est important. A Angle unitaire de torsion A la vue des déformations dans le cas de la torsion, on constate que la déformation transversale MM T est nulle sur la fibre moyenne et qu'elle est proportionnelle au rayon polaire r du point M : MM T = r. α L'angle de torsion est rendue indépendant de la longueur de la poutre L par division : angle unitaire de torsion : Φ = O P Figure 3 : paramétrage de la déformée (angle pour les calculs intermédiaires ou les formulaires) M' M α Angle de cisaillement De plus en petite déformation élastique la déformation est proportionnelle à la longueur du cylindre : MM T = L. On en déduit la déformation transversale appelée angle de cisaillement : =,,V Cela permet d'obtenir la formule suivante : Angle de cisaillement : = Ṙ. α Validation et conséquence des hypothèses Hypothèse de Barré Saint-Venant (en observant les déformations loin des mors, des variations brusques de section ou des moments concentrés) : on constate que les déformations sont uniformes sur la longueur de la poutre. Hypothèse de Navier-Bernoulli : On constate que seule une poutre à section circulaire respecte cette hypothèse. Les autres types de sections conduisent à une déformation des sections droites (gauchissement). Elasticité du matériau : Lors d'un essai de torsion, la machine permet de mesurer le moment de torsion appliqué à la poutre ainsi que son cisaillement. On montre que lorsque les contraintes τ dans le matériau sont inférieures à la limite élastique τ e, le matériau a un comportement élastique : déformation nulle en absence d'effort, proportionnalité entre le moment appliqué et la déformation (voir Figure 4). T R = W.X R Lycée Ferry de Cannes Page 3 sur 5 TSI2
Annexe 2 : contraintes en torsion L'élasticité du matériau et le respect des hypothèses de Navier-Bernoulli conduisent (dans les conditions de Barré Saint-Venant) à établir que la contrainte est tangente à la section droite d'une poutre soumise à de la torsion simple. Le torseur de cohésion ne comporte qu'une composante non nulle Mt (pour une poutre à section circulaire, on passe en coordonnée polaire) : HI = (Y GM """""" Λ τ(m). e """" ds). ] x" = ay r(m). e """. Λ τ(m). e """". ] dsb. x" = ay Loi de comportement Loi de Hooke (en cisaillement) : τ = G. avec τ : contrainte de cisaillement dans la section droite (en MPa), G : module d'élasticité transversal en MPa (pour l'acier G=80 000MPa), : angle de cisaillement de la section. Le cisaillement valant = r. Φ, la loi de Hooke donne donc τ = G. r. Φ. En reprenant le moment de torsion :HI = c r. (G. r. Φ)dSe = G. Φ c r < Φ = Mt (G. Io) où Io est le moment quadratique polaire : Io = r < Exemple pour une section circulaire de diamètre D: ds r(m) τ(m)dsb dse = G. Φ. Io ou encore Io = Y r < ]h<.k.h i < ds = g g r <. r. dθ. dr = g dθ g r m. dr = 2. π. (D 2 )n 4 ]hj.hj ]h<.k ]hj.h i <.hj Io = π. Dn 32 La contrainte est maximale là où la déformation est maximale dans la section soit pour r = ; < : τ >?@ = G. r. Φ = G. r. Mt (G. Io) p qrs = HI u ( KL ) t avec pour une section circulaire : Io = k.iv m< et r maximum valant r = ; <, avec /0. le module de torsion qui apparaît dans les notices des fabricants de profilés. Lycée Ferry de Cannes Page 4 sur 5 TSI2
Annexe 3 : Comportement des matériaux Courbes pour un essai de torsion aux allures similaires à celles d'un essai de traction : Charge unitaire Mt / (Io/r) τe Matériau fragile RDM : domaine élastique τe τm Striction : la diminution de la section entraîne la diminution de l'effort. Matériau ductile déformation plastique τe Rupture de l'éprouvette déformation élastique τp 0,2% : contrainte à 0,2% de cisaillement Matériau ductile sans démarcation entre le domaine élastique et plastique Effort nul / Déformation nulle = 0,2% Figure 4 : Allures des courbes de torsion Caractéristiques des matériaux - le module d'élasticité G (en MPa) (pente de la droite τ en fonction de la déformation unitaire ), - la résistance élastique au cisaillement noté τ e ou Rg (en MPa), Valeurs usuelles pour l'acier : G=80 000 MPa (w = x <()yz) ) τ e (ou Rg) = centaines de MPa Source CesEdupack Figure 5 : Module d'élasticité au cisaillement en fonction de la limite élastique à la traction (la limite élastique au cisaillement est souvent inférieure à la limite élastique en traction). Lycée Ferry de Cannes Page 5 sur 5 TSI2